Cinemática em 2D e 3D

Cinemática em 2D e 3D o vetores posição, velocidade e aceleração o movimento com aceleração constante, movimento de projéteis o Cinemática rotacional, movimento circular uniforme

Movimento 2D e 3D Localizar um objeto é dizer sua posição com relação a um sistema de coordenadas (em nosso caso um sistema de coordenadas ortogonais). caso 1D: precisávamos de um único número para definir a posição no eixo x. caso 3D: precisamos de três números (ou um vetor) para localizar uma partícula num ponto P(x, y, z). z z y O y A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z. r xd^ z k^ P O vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z: r = xd ^ + ye ^ + zk. ^ ye^ x x Vetor posição de uma partícula em dado instante... Vetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz r = xd^ + ye^ + zk^ Coordenadas da posição da partícula

Velocidade média Durante um intervalo de tempo Δt, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é r1, até um ponto P2, onde o vetor posição é r2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é O y Posição da partícula no instante t 2 r 2 r 1 P2 r P 1 v = r m t Vetor deslocamento r aponta de P 1 para P 2. Posição da partícula no Definimos a velocidade média como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo: z Trajetória da partícula. instante t 1 x Mudança no vetor posição da partícula Vetor velocidade média de uma partícula durante um intervalo de tempo de t 1 a t 2 v m = Intervalo de tempo r t = r 2 - r 1 t 2 - t 1 Posição final menos a posição inicial Tempo final menos o tempo inicial

Veja que podemos escrever: Assim, o vetor velocidade média é simplesmente o vetor cujas componentes são as velocidades médias nos eixos x, y, z.

Velocidade instantânea Agora, definimos a velocidade instantânea como a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. O vetor velocidade instantânea de uma partícula......é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero... v r = lim = t 0 t dr dt...e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição. Note que, quando Δt 0, os pontos P1 e P2 na Figura anterior ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor Δr torna-se tangente à curva. A direção do vetor nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos.

Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando componentes: v dr dx dt dt d^ dy = = + dt e^ + dz dt k^ de onde se conclui que onde: de. Daí se conclui que v x v y v z em relação ao tempo. Ou s Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula... dx v x = dt dy v y = dt dz v z = dt...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes. O módulo do vetor velocidade instantânea é dado pelo teorema de Pitágoras: 0 v 0 = v = "v 2 x + v 2 2 y + v z

A Figura mostra uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor v) é: v = "v x 2 + v y 2 y O vetor velocidade instantânea v é sempre tangente à trajetória. v y v Caminho da partícula no plano xy a e a direção da velocidade instantânea v (em relação ao eixo x) é dada pelo ângulo α: O v x v x e v y são os componentes x e y de v. x tan a = v y v x

Aceleração média e instantânea e a partícula sofreu uma variação de velocidade Δv (em módulo e/ou direção) num intervalo de tempo Δt, a aceleração média é definida como o vetor: Vetor aceleração média de uma partícula durante o intervalo a m = de t 1 a t 2 Intervalo de tempo Variação na velocidade da partícula v t Obviamente, a aceleração instantânea é: = v 2 - v 1 t 2 - t 1 Tempo final menos o inicial Velocidade final menos a inicial O vetor aceleração instantânea de uma partícula... a lim t 0 v t = = dv dt...é igual ao limite de seu vetor aceleração média quando o intervalo se aproxima de zero......e é igual à taxa de variação de seu vetor velocidade instantânea.

Em termos de vetores unitários temos a dv dv x = = + + dt dt d^ dv y dt e^ dv z dt k^ onde Cada componente do vetor aceleração instantânea da partícula... a x = dv x dv y dv z a dt y = a dt z = dt...é igual à taxa de variação instantânea dos seus componentes de velocidade

ATENÇÃO: Qualquer partícula que segue uma trajetória curva está acelerando. Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando o módulo da velocidade for constante. Essa conclusão pode parecer contrária ao uso cotidiano da palavra aceleração no sentido de aumento de velocidade (em módulo). No entanto, a definição precisa da aceleração a dv dv x = = + + dt dt d^ dv y dt e^ dv z dt k^ mostra que existe aceleração diferente de zero sempre que houver qualquer variação do vetor velocidade (no módulo e/ou na direção).

Componentes perpendiculares e paralelos da aceleração empre podemos decompor a aceleração em: - uma componente paralela à trajetória da partícula e à sua velocidade v. A componente paralela a nos informa sobre mudanças no módulo da velocidade da partícula. - outra componente perpendicular à trajetória e a v. A componente perpendicular a nos informa sobre as variações na direção do movimento da partícula.

Exemplos: (b) Quando a velocidade é crescente ao longo de uma trajetória curva... v (a) Quando a velocidade é constante ao longo de uma trajetória curva... P... a aceleração aponta para a frente da normal. a v Normal em P P... a aceleração é normal à trajetória. a Normal em P (c) Quando a velocidade é decrescente ao longo de uma trajetória curva... v P... a aceleração aponta para trás da normal. a Normal em P

Movimento de um projétil Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar. Exemplos: uma bola de beisebol batida, uma bola de futebol chutada, uma bala disparada por uma arma de fogo. A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória. Adotaremos um modelo idealizado: representaremos o projétil como uma partícula com aceleração constante em módulo, direção e sentido (devida à gravidade). desprezaremos os efeitos de resistência do ar e a curvatura e rotação da Terra.

v v 0. v 0 y O v 0 a T a x = 0, a y = -g x A aceleração da gravidade é sempre vertical; a gravidade não pode produzir um movimento lateral do projétil. O plano do movimento será considerado o plano de coordenadas xy, sendo o eixo x horizontal e o eixo y vertical e orientado de baixo para cima.

A chave para analisar o movimento de um projétil é tratar as coordenadas x e y separadamente:

Concluimos que: O movimento vertical é uniformemente acelerado (com aceleração g). O movimento horizontal possui velocidade constante. Os deslocamentos vertical e horizontal são independentes. As componentes da aceleração são: a x 0 a y g

Num lançamento típico temos: y No topo da trajetória, o projétil possui velocidade vertical igual a zero (v y = 0), mas sua aceleração vertical continua a ser -g. v 2 v 0y O v 0x v 0 a 0 v 1y v 1 v 1x a a y = -g v3y v 3x a v 3 x v 1y v 0y v 3y Verticalmente, o projétil exibe movimento de aceleração constante em resposta à força gravitacional terrestre. Logo, sua velocidade vertical varia em quantidades iguais durante intervalos iguais. v 0x v 1x v 2x v 3x Horizontalmente, o projétil exibe movimento de velocidade constante: sua aceleração horizontal é zero e, portanto, percorre distâncias x iguais em intervalos iguais. O movimento é descrito pelas seguintes equações: Coordenadas no instante t de um projétil (direção y positiva para cima e x = y = 0 em t = 0) Componentes de velocidade no instante t de um projétil (direção y positiva para cima) x = 1 v 0 cos a 0 2 t Velocidade em t = 0 Direção em t = 0 y = 1 v 0 sen a 0 2 t - 1 2 gt2 v x = v 0 cos a 0 Velocidade em t = 0 Direção em t = 0 v y = v 0 sen a 0 - gt Tempo Aceleração devida à gravidade: note g 7 0. Tempo

EXEMPLO 1:

EXEMPLO 2:

EXEMPLO 3:

Movimento circular uniforme Quando uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, dizemos que ela descreve um movimento circular uniforme. Neste caso, não existe um componente da aceleração paralelo (tangente) à trajetória; caso houvesse, o módulo da velocidade seria variável. O vetor da aceleração é perpendicular (normal) à trajetória e, portanto, orientado para dentro (nunca para fora!) em direção ao centro da trajetória circular. Isso faz com que a direção da velocidade varie sem mudar a velocidade escalar.

(a) Um ponto percorre uma distância s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular. v 1 P 2 v 2 ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma d a P 2 em um intervalo Como t. A os variação dois triângulos do vetor velocidade indicados d valo é indicada na Figura na figura 3.28b. são semelhantes, temos: Os ângulos designados por f nas figuras 3.28a e 3.28b são é perpendicular à linha 0 v OP 0 1 e = s 2 é perpendicular à linha ou 0 v 0 = v OP 2. P 1 gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões v 1 R R s entre dentes são iguais, logo P 1 s f R R 0 v 0 = s ou 0 v 0 = v 1 O vmódulo 1 R am da aceleração média R s durante o intervalo Δt é, portanto, O módulo a m da aceleração média durante o intervalo t é, p (b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média. O v 1 f v v 2 Estes dois triângulos são semelhantes. a m = 0 v 0 t = v 1 R O módulo a da aceleração instantânea no ponto P 1 é o lim são quando o ponto P 2 tende a se superpor ao ponto P 1 : a = lim t 0 v 1 R s t = v 1 R s t lim t 0 s t

O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expressão quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1: a = lim t 0 v 1 R s t = v 1 R lim t 0 s t e o intervalo Δt é curto, Δs é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite Δs/ Δt é a velocidade escalar v1 no ponto P1.

Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v1 a velocidade escalar em qualquer ponto. Logo, Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme a rad = v 2 R Velocidade escalar do objeto Raio da trajetória circular do objeto (c) A aceleração instantânea v a rad R A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo. O

Velocidade e aceleração por integração Já analisamos o caso especial do movimento retilíneo com aceleração constante e mostramos que é governado pelas equações: v x = v 0x + a x t x = x 0 + v 0x t + 1 2 a t x 2 Porém, quando ax não é constante, essas equações não são mais válidas. Como podemos analisar o movimento nesses casos?

A Figura mostra ax em função do tempo para um corpo cuja aceleração não é constante. Podemos dividir o intervalo de tempo entre t1 e t2 em intervalos muito pequenos e designar cada um deles como Δt. a mx a x Área desta coluna = v x = variação na velocidade durante o intervalo de tempo t eja amx a aceleração média durante Δt. Pela equação a mx = v x t a variação da velocidade v x durante Δt é dada por: v x = a mx t O t 1 t 2 t t Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t 1 e t 2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites.

Graficamente, Δvx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e largura Δt, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de Δt. a mx a x Área desta coluna = v x = variação na velocidade durante o intervalo de tempo t A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (digamos, de t1 a t2) é a soma das variações Δvx de todos os pequenos subintervalos. O t 1 t 2 t t Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t 1 e t 2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites. Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva ax(t) delimitada entre as linhas verticais t1 e t2.

No limite em que todos os intervalos Δt tornam-se muito pequenos e numerosos, o valor de amx para o intervalo entre t e t + Δ t se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva ax(t) é dada pela integral de ax de t1 a t2. e v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então: v 2x - v 1x = v 2x v 1x dv x = t 1 t 2 a x dt A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.

O mesmo procedimento pode ser utilizado com a curva da velocidade versus tempo. e x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela equação v mx = x t = x 2 - x 1 t 2 - t 1 o deslocamento Δx durante um pequeno intervalo de tempo Δt será igual a vmxδt, onde vmx é a velocidade média durante Δt. O deslocamento total x2 x1 durante o intervalo t2 t1 é dado por: x 2 - x 1 = x 2 x 1 dx = t 1 t 2 v x dt Graficamente, o deslocamento durante o intervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vx(t) entre esses dois limites.