Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II do Exame/Teste de Recuperação 2 de Julho de 218, 15:h - versão 2 Duração: Exame (3h), Teste (1h3) Apresente e justifique todos os cálculos Para exame a cotação de cada pergunta é metade da cotação da mesma pergunta para teste Teste 1 1. Estude, quanto à existência de limite no ponto (, 2), a função f definida no conjunto R 2 \ {(, 2)} por f(x, y) = 3x2 (y 2) x 4 + (y 2) 2. O limite não existe. De facto, na reta y 2 = mx, com m tem-se No entanto, para y 2 = x 2 tem-se 3x 2 (y 2) x 4 + (y 2) 2 = x 3m x 2 como x. + m2 3x 2 (y 2) x 4 + (y 2) 2 = 34 x 4 + x 4 3 2 como x. [1.] 2. Considere a função definida em R 2 por g(x, y) = x 2 + y 2 5. Calcule a derivada de g no ponto (4, 3) segundo o vetor (cos α, sen α). Indique qual o vector de norma 1 segundo o qual g tem maior crescimento nesse ponto. A função g é um polinómio, e portanto é de classe C 1. Logo a derivada de g no ponto (4, 3) segundo o vetor (cos α, sen α) é g(4, 3) (cos α, sen α) = 8 cos α + 6 sen α. O vetor gradiente g(4, 3) = (8, 6) determina a direção a qual a derivada direcional de g em (4, 3) é a maior possível. Portanto, o vetor de norma 1 segundo o qual g tem maior crescimento no ponto (4, 3) é 1 5 (4, 3). 3. Sejam F : R 2 R 2 uma função diferenciável cuja matriz jacobiana no ponto (a, b) é [ ] 1 3 DF (a, b) = 2 1 tal que F (a, b) = (, π) e G : R 2 R 3 a função definida por G(x, y) = (4 cos x + 3 sen y, 2x + 5y, x y). Sendo H = (H 1, H 2, H 3 ) = G F determine o gradiente de H 3 no ponto (a, b), H 3 (a, b).
Usando a regra da derivada da função composta tem-se 3 [ ] DH(a, b) = 2 5 1 3. 2 1 1 1 Portanto H 3 (a, b) = (3, 4). 4. Considere a função h(x, y, z) = z 2 (2z + 2x) + 2y 2 6z + x 2 2x definida em R 3. [.5] (a) Verififque que o conjunto dos pontos críticos de h é {(,, 1), (,, 1), ( 5 4,, 3 2 }. [2.5] (b) Classifique todo os pontos críticos de h. O gradiente de h é Verifica-se que h(x, y, z) = ( 2(z 2 + x 1), 4y, 2(3z 2 + 2zx 3) ). h(,, 1) = (,, ) h(,, 1) = (,, ) h( 5/4,, 3/2) = (,, ). A matriz hessiana de h é Considere-se as matrizes 2 4z 4. (1) 4z 12z + 4x 2 4 H(,, 1) = 4 (2) 4 12 H(,, 1) = H( 5/4,, 3/2) = 2 4 4 (3) 4 12 2 6 4. (4) 6 13 É claro 4 é um valor próprio das matrizes em (2) (4). Pela fórmula de Laplace para determinantes tem-se 2 4z 2 4z det 4 = ( 1) 2+2 4 det, 4z 12z + 2x 4z 12z + 2x e segue que todo os valores próprios das matrizes são não nulos, as matrizes em (2) e (4) tem pelo menos um valor próprio negativo e a matriz em (3) tem todos os valores próprios positivos. Logo (,, 1) e ( 5/4,, 3/2) são pontos selas e (,, 1) é um ponto mínimo relativo de h.
5. Considere o conjunto A = {(x, y, z) R 3 : 2 < y + z < x < 3, y >, z > }. e f : A R uma função contínua no fecho de A. [2.5] [ [ (a) Escreva uma expressão para o integral A f usando integrais iterados da forma ] ] f(x, y, z)dx dz dy. 2 3 y 3 2 y y+z f(x, y, z) dzdydz + 3 3 y 3 2 y+z f(x, y, z) dzdydz. [2.5] [ [ (b) Escreva uma expressão para o integral A f usando integrais iterados da forma ] ] f(x, y, z)dy dz dx. 3 2 x z 2 2 z f(x, y, z) dydzdx + 3 x x z 2 2 f(x, y, z) dydzdx. 6. Considere o conjunto T = { (x, y, z) R 3 : 3x 2 + 3y 2 + (z + 1) 2 < 3, y >, z < 1 } Utilizando coordenadas cilíndricas obtenha o volume de T. 1 π 1 1 3(1 ρ 2 ) ρ dzdθdρ = 3 3 π. 7. Sejam a R + e, para cada u ]a, + [, R u a região definida por R u = { (x, y, z) R 3 : a < x 2 + y 2 + z 2 < u, y > x, z > } Sendo φ: ]a, + [ R a função definida por φ(u) = Ru cos [ uπ(x 2 + y 2 + z 2 ) ] dx dy dz, (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 determine φ (a + 1). Usando coordenadas esféricas obtém-se π/2 5π/4 u cos [ uπ(r 2 ) ] 2 φ(u) = a r 3 r 2 u sen φ drdθdφ = 2 π cos [ ur 2 π ] dr. a r π/4
Considere-se as funções Φ(s, t) = 2 s 2 π cos [ tr 2 π ] dr σ(u) = ( u, u ). a r Como φ(u) = Φ ( σ(u) ), segue que φ (a+1) = DΦ ( σ(a+1) ) σ (a+1). Aplicando o teorema fundamental cálculo e a regra de Leibniz obtém-se [ 2 φ cos(a + 1) (a + 1) = 2 π ] a+1 1 rπ sen(a + 1)r 2 π dr 2 a + 1 2 a + 1 a 1 [ 2 cos(a + 1) 2 π = + cos(a + ] 1)2 π cos(a + 1)aπ. 2 2(a + 1) 2(a + 1) 2(a + 1) Teste 2 1. Considere o sistema { 2z cos y + 2x e yz = 3y sen z + e x+y = 1 Prove que o sistema permite definir (x, y) como uma função continuamente diferenciável de z numa vizinhança da origem e, sendo (x, y) = ( f 1 (z), f 2 (z) ) essa função, determine f 1 (). Sendo F (x, y, z) = (2z cos y + 2x e yz, 3y sen z + e x+y ), tem-se [ 2 e yz 2z sen y + 2xz e DF (x, y, z) = yz 2 cos y + 2xy e yz ] e x+y 3 sen z + e x+y 3y sen z [ ] 2 2 DF (,, ) = 1 1 Como a matriz [ 2 1 1 ] é não singular, e portanto pelo teorema da função implícita existem (i) um retângulo aberto R = ] a 1, a 1 [ ] a 2, a 2 [ ] a 3, a 3 [, com a 1, a 2, a 3 > e (ii) uma função f : ] a 3, a 3 [ R, que se designa por f(z) = ( f 1 (z), f 2 (z) ), de classe C 1 tal que f() = (, ) e { } {( (x, y, z) R : F (x, y, z) = (, 1) = f1 (z), f 2 (z), z ) } : a 3 < z < a 3. Como a função composta F ( f 1 (z), f 2 (z), z ) é constante tem-se [ ] = f 1() = 1. [ 2 ] 2 1 1 f 1 () f 2 () 1 2. Seja M o conjunto definido por M = { (x, y, z) R 3 : z x cos y =, z 2 + 3x sen y = 1 } [1.5] (a) Prove que M é uma variedade diferencial e indique a sua dimensão.
[1.5] (b) Determine o espaço tangente a M no ponto (1,, 1). Considere-se a função de classe C 1 definida por F (x, y, z) = (z x cos y, z 2 + 3x sen y). Tem-se que M = { (x,, y, z) R 3 : F (x, y, z) = (, 1). A derivada de F é DF (x, y, z) = [ ] cos y 3 sen y 1. x sen y 3x cos y 2z O determinante da matrix [ cos y ] 3 sen y x sen y 3x cos y é 3x. Como F (, y, z) = (z, z 2 ) segue que (, y, z) M. Portanto, em cada ponto (x, y, z) M a matriz DF (x, y, z) tem característica 2. Logo M é uma subvariedade de R 3 de dimensão 1. O espaço tangente a M no ponto (1,, 1) é a reta dada pelo núcleo da matriz [ ] 1 1 DF (1,, 1) = 3 2 ou seja a reta gerada por (3, 2, 3). 3. Sendo C = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 }, determine ou prove que não existem os extremos da função f : C R definida por f(x, y, z) = 3y + 4z. O conjunto C é fechado e limitado, ou seja compacto. Pelo teorema de Weierstrass existem pontos a, b C tais que para qualquer p C tem-se f(a) f(p) f(b). Usando o método dos multiplicadores de Lagrange pode-se determinar os pontos extremos a e b. Considere-se as equações Note-se que (,, ) = f(x, y, z) + λ(x, y, z) = (, 3, 4) + λ(x, y, z) 1 = x 2 + y 2 + z 2. (,, ) = f(x, y, z) + λ(x, y, z) (,, ) = f(x, y, z) + λ(2x, 2y, 2z) são equações equivalentes. Logo λ e x =, λ = 3/y, 4y = 3z. Portanto 1 = (1 + 16/9)y 2, y = ±3/5, z = ±4/5, e f(, ±3/5, ±4/5) = ±5. Ou seja os extremos de f são 5 e 5 que se realizam nos pontos (, 3/5, 4/5) e (, 3/5, 4/5) respetivamente. 4. Considere a linha Γ R 3 definida pela parametrização ( ) γ(θ) = 3 sen θ, θ, 3 cos θ, θ [, 2π] [1.] (a) Determine o comprimento de Γ.
(b) Sendo f : R 3 R 3 o campo vectorial definido por ( ) f(x, y, z) = e 2y+z2, 2x e 2y+z2, 2xz e 2.y+z2 Verifique se f é conservativo e determine o trabalho realizado por f ao longo de Γ. O comprimento de Γ é o integral Γ γ (θ) dθ = 2π = 1 2π. 9 cos 2 θ + 1 + 9 sen 2 θ Tem-se f(x, y, z) = ( ) ( ) e 2y+z2, 2x e 2y+z2, 2xz e 2y+z2 = e 2y+z2 1, 2x, 2xz, logo f(x, y, z) = φ(x, y, z), onde φ(x, y, z) = x e 2y+z2. Portanto f é conservativo e o trabalho realizado por f ao longo de Γ é φ ( γ(2π) ) φ ( γ(2π) ) = φ (,, 3 ) φ (, 2π, 3 ) =. 5. Seja S a superfície que admite a representação paramétrica ( ) g(u, v) = (1 v 2 ) sen u, v, (1 v 2 ) cos u, (u, v) [, 2π[ [ 1, 1] (a) Sendo F : R 3 R 3 o campo vectorial definido por F (x, y, z) = ( x, y, z ), determine, usando a definição, o fluxo de F através de S no sentido da normal ν tal que ν(,, 1) = (,, 1). (b) Sabendo que S delimita um sólido em R 3 determine o volume desse sólido. Considere-se os campos tangentes a S No ponto (,, 1) = g(, ) tem-se g u = ( (1 v 2 ) cos u,, (1 v 2 ) sen u ) g v = ( 2v sen u, 1, 2v cos u ). g u (, ) = ( 1,, ) g v (, ) = (, 1, ), e portanto o fluxo de F através de S no sentido da normal ν tal que ν(,, 1) = (,, 1) é dado por S F ν = 2π 1 1 F ( g(u, v) ) ( g u g ) dvdu v
Tem-se F ( g(u, v) ) ( g u g ) (1 v 2 ) sen u v (1 v 2 ) cos u = det (1 v 2 ) cos u (1 v 2 ) sen u v 2v sen u 1 2v cos u = 1 v 4. Portanto o fluxo é 16π/5. Seja R a região delimitada por S. Como div F = 3, o teorema de Gauss (divergência) implica que vol 3 (R) = = 1 3 = 1 3 R dxdydz R S = 16 15 π. div F dxdydz F ν 6. Sendo S = { (x, y, z) R 3 : y 2 + z 2 = 1, < x < 2 } { (x, y, z) R 3 : y 2 + z 2 1, x = 2 }, Determine o fluxo do rotacional do campo G : R 3 R 3 definido por ( ) G(x, y, z) = z cos x, y e x, x e y2 +z 2 através de S orientada no sentido da normal ν tal que ν(1, 1, ) = (, 1, ). Aplicando o teorema de Stokes obtém-se S rot ν = = S 2π 2π 2π = = = π. G τ G(, sen t, cos t) (, sen t, cos t) dt sen 2 t dt cos(2t) 1 2 dt 7. Sejam n N, tal que n > 1, S R n uma variedade (n 1) compacta, D um domínio quase-regular conexo cuja fronteira é S, Ω R n um aberto que contém o fecho de D e f : Ω R n um campo vectorial de classe C 1 tal que, em cada ponto a S, f(a) pertence ao espaço tangente a S no ponto a. Prove que o conjunto {x D : (div f)(x) = } é infinito.
Para cada ponto a S, tem-se f(a) ν(a) +. Pelo teorema de Gauss tem-se D div f = S f ν =. Se o conjunto Z = {x D : (div f)(x) = } for finito, então Z é conexo e div f > ou div f < em D Z. Portanto D div f > ou D div f < que é absurdo. Logo Z não pode ser finito.