Soluções dos exercícios da semana 1 (23/02 a 27/02)

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1 Soluções dos exercícios da semana 3/ a 7/. a int A { x, y R : y > x } ; A { x, y R : y ±x } ; ext A { x, y R : y < x } b int B { x, y R : < xy < } ; B { x, y R : xy xy } ; ext B { x, y R : xy < xy > } c int C ; C {x, y R : y x } + k ; k Z ext C { x, y R : y x + k, k Z} R \ C d int D { x, y R : y < x < y } ; D { x, y R : x y x y x y x y } ; ext D { x, y R : x < y x > y } e int E { x, y R : x < y < x + y > } ; E { x, y R : x y y x x + y } ; ext E { x, y R : x > y > x + y < }. A é fechado pois A int A A logo A não é aberto pois não é nem R nem o vazio. A não é limitado pois dada uma bola centrada na origem de raio L >,, L + A \ B L,, logo A não é compacto. A é conexo pois não é a reunião de partes separadas. B é aberto pois B ext B logo não é fechado pois não é R nem o vazio. B não é limitado pois dada uma bola centrada na origem de raio L >, L +, 3L+ B \ B L, logo não é compacto. B não é conexo pois é a reunião de B {x, y B : x > } com B {x, y B : x < } e B B B B. C é fechado pois C int C C logo não é aberto pois não é R nem o vazio. C não é limitado pois dada uma bola centrada na origem de raio L >, existe um k Z tal que + k > L e + k, C \ B L,, logo C não é compacto. C não é conexo pois é a reunião de C {x, y C : y > x} com C {x, y C : y < x} e C C C C. D não é aberto pois D int D. D não é fechado pois D int D D logo não é compacto. D é limitado pois D B,. D é conexo pois não é a reunião de partes separadas. E não é aberto pois E int E. E não é fechado pois E int E E logo não é compacto. E é limitado pois E B,. E é conexo pois não é a reunião de partes separadas. 3. a int A { x, y, z R 3 : x + y + z > x + y + z < } ; A { x, y, z R 3 : x + y + z x + y + z } ; ext A { x, y, z R 3 : x + y + z < x + y + z > }. A não é aberto pois A int A. A não é fechado pois A A. A é limitado pois A B,,. A é conexo pois não é a reunião de partes separadas. b int B { x, y, z R 3 : < y < x z < } ; B { x, y, z R 3 : y x z } ; ext B { x, y, z R 3 : y < y > x z > } ; B não é aberto pois B int B. B não é fechado pois B B. B é limitado pois B B,,. B é conexo pois não é a reunião de partes separadas.

2 c int C ; C { x, y, z R 3 : x + y + z x + y + z } C; ext C { x, y, z R 3 : x + y + z x + y + z > }. C não é aberto pois C int C. C é fechado pois C C. C é limitado pois C B,,. C é conexo pois não é a reunião de partes separadas.. Determine o limite das sucessões com os seguintes termos gerais a lim a n,, b lim b n e, π 5. Sejam x k n e y k n os termos gerais das k-ésimas sucessões coordenadas de x n e y n, respectivamente. Então x k n y k n xn y n < z n y k n z n < x k n < y k n + z n Como, por hipótese, y k n a k e z n, em que a k é a k-ésima coordenada de a, pelo teorema das sucessões enquadradas em R, x k n a k e x n a. 6. a D { x, y R : x 3 + y < } \ {, }. int D D e D { x, y R : x 3 + y } {, } b f é contínua em D pois é o quociente e composta de funções contínuas em todo o seu domínio logaritmo, raiz quadrada e funções polinomiais. c f é prolongável por continuidade na origem, pois o seu limite nesse ponto existe em R é, e não o é nos restantes pontos da fronteira, pois nesses pontos tem limite infinito. 7. f é contínua em x, y se x y pois coincide numa bola centrada em cada um desses pontos com o quociente e composta de funções contínuas em todo o seu domínio exponencial e funções polinomiais. f é contínua em x, y se x y unicamente no ponto, pois nos restantes pontos dessa linha não existe limite e nesse ponto o limite de f existe. xx + y 8. a lim x,y, x + y. x + y + z b lim x,y,z,, x + y + z não existe. x + y c lim não existe. x,y, x + y xy 3 + x y + senxz d lim x,y,z,, x + y + z xy 3 + x y + ysenxz e lim x,y,z,, x + y + z não existe. 9. a D R + R int D. Logo D é aberto e, como não é o vazio nem R não é fechado logo não é compacto. D D D com D D R + e D D R que são separados logo D não é conexo. b g é contínua em todo o seu domínio pois é o produto e composta de funções contínuas em todo o seu domínio logaritmo e funções polinomiais. c lim x, y, x, y A gx, y

3 } d Sendo B {x, y D : x e y, y >, lim x, y, x, y B gx, y. a f é contínua em R \ {, } b f é contínua em R. c f 3 é contínua em R.. a g não é prolongável na origem pois não existe limite nesse ponto. b g não é prolongável na origem pois não existe limite nesse ponto. 3

4 Soluções dos exercícios da semana /3 a 6/3 x x. a J f x, y logx + y +, x + y ; x + y x + y y e xy x e xy b J f x, y sen y x cos y + x c J f3 x x + x x d J f x, y, z x + y + z e J f5 x, y, z z x y x + y + z z x + y + z x z y cosxy + z x cosxy + z z cosxy + z x z y f J f6 x, y, z z y x y x z x y xy g J f7 x, y x + y x + y, x > y xy x y x y y x x h J f8 x x e x x x i J f9 x, x, x 3, x, x 5, x 5. x x 5 x 5, x, y, z,,, xz >. a f é contínua em x, y se x + y pois coincide numa bola centrada em cada um desses pontos com uma função polinomial ou a composta de funções contínuas raiz quadrada e uma função polinomial. Se x + y, f só é contínua em x, y se x, y, pois esse é o único ponto dessa recta onde existe o limite de f vale.

5 b f não é diferenciável em, pois não existe f x,. c f,, f,.,, f,, tem que ser calculado pela definição e não existe. 3. a g é diferenciável em x, y se x e y pois coincide numa bola centrada em cada um desses pontos com a composta de funções diferenciáveis nos pontos respectivos função polinomial e raiz quadrada cujo argumento não se anula. Se x ou y mas x, y,. g não é diferenciável pois não existe g xx.y. Em,, g não é diferenciável pois gx, y g, x g x, y + g y, lim x,y, x + y + não existe. x y + se x y + b g xx, y x, se x, y, x y + se x y + g yx, y y +. se x, y, c g,, g,., 3 existe. 3, g,, tem que ser calculado pela definição e não. a D { x.y R : xy x y + > } int D logo D é aberto. Como não é R nem vazio, D não é fechado logo não é compacto. ext D { x.y R : xy x y + < }. D não é conexo pois, sendo D {x.y D : x > } e D {x.y D : x < }, D D D e D D D D. b h é diferenciável em D pois é um integral indefinido cujos extremos são funções diferenciáveis funções polinomiais e cuja função integranda é contínua pois é o quociente de uma duas funções contínuas ϕ e uma função polinomial. h xx, y fxy x h yx, y fxy y fx y+ x fx y+ y+ 5. a D { x, y R : x + y xy y x x, y, }. Sendo D o domínio de diferenciabilidade de F, D { x, y R : x + y < xy < y > x }. y F x, y, x. xy xy 3 b F,, J F,. 6. a G não é diferenciável na origem pois o limite não existe. Gx, y G, xg x, yg y, lim x,y, x + y 5

6 b v,, por exemplo, já que G,., 7. a H é diferenciável em todos os pontos não situados sobre os eixos coordenados pois coincide numa bola centrada em cada um desses pontos com uma função polinomial.. b Sendo x, y, um ponto dos eixos coordenados, lim x, y x.y xy > Hx, y lim x, y x.y xy Hx, y logo H não é contínua em x, y. Não é, portanto diferenciável nesse ponto. c Dado que R { x, y R : xy < } { x, y R : xy } e lim x, y. xy > Hx, y lim x, y. xy Hx, y H é contínua na origem. As derivadas parciais nesse ponto devem ser calculadas pela definição obtendo-se H x, H y,. d A derivada na origem segundo o vector 3, deve ser calculada pela definição obtendo-se H 3,,. Como H 3,, H,.3,, H não é diferenciável na origem. 8. a As derivadas parciais de g na origem devem ser calculadas pela definição pois esse é o único ponto onde a função poderá não ser diferenciável, obtendo-se x + y xy se x, y, se x, y, g xx, y x + y g yx, y x + y se x, y, se x, y, g é diferenciável em R pois ambas as derivadas parciais são contínuas em R. b As derivadas parciais de g na origem devem ser calculadas pela definição pois esse é o único ponto onde a função poderá não ser diferenciável, obtendo-se xy 3 x g xx, y x + y se x, y, x y g yx, y x + y se x, y, se x, y, se x, y, g é diferenciável em R \ {, } pois coincide numa bola centrada em cada um desses pontos com uma função racional e o limite não existe. g x, y g, xg x, yg y, lim x,y, x + y c As derivadas parciais de g 3 na origem devem ser calculadas pela definição pois esse é o único ponto onde a função poderá não ser diferenciável, obtendo-se xy x g 3 xx, y x + y se x, y, y g 3 yx, y x + y se x, y, se x, y, se x, y, g 3 é diferenciável em R pois ambas as derivadas parciais são contínuas em R. 6

7 Soluções dos exercícios da semana 3 9/3 a 3/3. Tem-se J f,, 3 J g u, v chcos u + sen v sen u chcos u + sen v cos v J g f,, J g π, πj f,, e. a J g f, J g, J f, b φ,, J h,, J g, c Fazendo w xy, vem ψ x, y h u g f,, : R 3 R g f,, x, y, z x 3y z u, v, w u 3 3 e π x, y + h v u, v, w v com ux, y x arctg y, vx, y x y e wx, y xy, isto é ψ x, y x, y + h w x arctg y+x y+xy x arctg y+x y +x y +3 cosx y xy x y xy sen x y xy x y arctg y + + xy y xy+ arctg y e u, v, w w x, y arctg y 3. a f é contínua em R \ {x, y : x, y } pois coincide numa bola de cada um desses pontos com uma função polinomial ou o quociente e composta de funções contínuas funções racionais e exponencial. f é contínua no ponto x, y com norma pois fx, y b f u,v u, v não existe pois lim x,y x,y f + hu, + hv fu, v f + hu, + hv fu, v lim e lim. h + h h h Logo f não é diferenciável sobre a circunferência centrada na origem de raio sendo diferenciável nos restantes pontos de R pois coincide numa bola de cada um desses pontos com uma função polinomial ou o quociente e composta de funções diferenciáveis funções racionais e exponencial. c Calcule f x, lim h fh, f, h e f y, não existe pela alínea anterior com u, v,. d fr, pois fb,, já que nesses pontos f coincide com o quadrado da norma e < fx, y < se x + y >. 7

8 e g f C B ɛ, pois, para ɛ <, é as funções coordenadas são compostas de funções de classe C funções polinomiais e exponencial. g f,, J gf, J f, ou seja g f,,,.. a F g π F F F gθ sen θ + gθ3 cos θ + z gθ π 6 cosθ + θπ π θπ 6 + π b Equação para a recta tangente à linha descrita por g no ponto,, gπ: x +, y, z λg π x +, y, z λ, 3, π, λ R Equação para o plano normal à linha descrita por g no ponto,, gπ: x +, y, z.g π 3y + z π π c Equação para o plano tangente à superfície correspondente ao conjunto de nível F x, y, z no ponto,, : x, y, z. F,, x + y + z Equação para o recta normal à superfície correspondente ao conjunto de nível F x, y, z no ponto,, : x, y, z λ F,, x, y, z λ,,, λ R 5. a Sendo u xy, v y e w x + y, g g f x, y x, y u u, v, w u f u, v, w u u y x f b Da alínea anterior, fazendo x e y, vem g f x, y + u, v, w w w x, y x, y + f v f xy, y, x + y xy, y, x + y, g f u, v, w v x, y + u, v, w w w x, y, f f,, 3,, a f é diferenciável em R + 3 pois é a composta de uma função diferenciável g que é de classe C com uma função cujas funções coordenadas são funções racionais. 8

9 b Fazendo u x y, v y z e w z x vem f xx, y, z g u y f yx, y, z g u f zx, y, z g v g u, v, w ux, y, z + w g u u, v, w z g x u, v, w w u, v, w u x, y, z + g v g z v u, v, w x g y u, v, w u g u, v, w v x, y, z + z w g x w u, v, w y g z u, v, w v e xf xx, y, z + yf yx, y, z + zf zx, y, z 7. Sendo u, v gx, y +, gx, y, f xx, y + f yx, y g u u, v u Quando x, y,, u, v, logo 8. Sendo u x cos y e v x sen y, g v x, y + u, v v x, y + f x, + f y, g u u, v, w w x, y, z u, v, w v x, y, z u, v, w w x, y, z z u, v u g x, g y, g x, y + u, v v v x, y g f f v x, y u, v ux, y + u, v x, y u v g f f x, y u, v ux, y + u, v v x, y u v g x, y f u, v u u x, y + f v u u, v v u x, y f x, y + u u, u v x, y f + u, v u u v x, y + f v v u, v v x, y f x, y + v u, v v x, y g x, y f u, v u u x, y + f u u, v v v u x, y f x, y + u u, u v x, y f + u, v u u v x, y + f v u, v v v x, y f x, y + v u, v v x, y Como u x, y cos y, v x, y sen y, u x, y v, v x, y u u x, y v x, y, u x, y u, v x, y v, 9

10 tem-se g x, y + g x x, y f xu, v + f y u, v + uf xu, v + vf yu, v 9. f.,.99 f, + f x, x + f y, y

11 Soluções dos exercícios da semana 6/3 a /3. a Como f é contínua na origem, f, lim fx, y x,y, b f não é diferenciável na origem já que o limite fx, y f, xf x, yf y, lim x,y, x + y não existe pois os limites direccionais dependem da direcção. c As derivadas cruzadas existem e são iguais em R \ {, } pois a função é de classe C numa bola centrada em qualquer desses pontos já que nessa bola coincide com uma função de classe C função racional. Na origem as derivadas não coincidem pois, pela definição, f xy, e f yx, não existe. y x + y. a H f x, y x + y x xy x y b H f x, y x + y x y xy 3 c H f3 x, y, z 3 6 y z z y d H f x, y, z xyz + z x z x y x x y x x x 6x x 3 3x e H f5 x, x, x 3, x 3x x 3x x x 3 3 gx, y g, + g x,y, +! g x,y, + 3! g3 x,yθx, θy xy + xy 6 θx e θx + 3x e θx + 3y e θy + θy e θy, θ,. a p x+, y h, +h x+,y, +! h x+,y x++y x+y b hx, y P x +, y 3! h3 x+,y + θx +, + θx e < 3 5. a Como g x, y x, y, x, y, e a H g, corresponde uma sequência de menores principais todos positivos a função possui um único extremo no ponto, o qual é um mínimo.

12 b Como g x, y x, y, x, y, e a H g, corresponde uma sequência de menores principais com sinal +,+.- a função possui não possui extremos já que o único ponto de estacionariedade é um ponto de sela. c Como g 3 x, y x + y, y + x, x, y, e a H g3, corresponde uma sequência de menores principais todos positivos a função possui um único extremo no ponto, o qual é um mínimo. d Como g x, y x 3 x + y, y 3 y + x, x, y, x, y ±, x e H g x, y y, nos pontos x, y ±, a função tem mínimos, sendo o ponto de estacionariedade, um ponto de sela já que a função vale no ponto e pode ser escrita na forma x + y x y que é positiva quando x y e negativa quando x y em ambos os casos y +. e Como g 5 x, y 3 x + y x, y, x, y, mas não existe Hessiana na origem, verifica-se que o único ponto de estacionariedade é a origem a qual é um máximo absoluto por inspecção da função. f Como g 6 x, y ϕx + y em que ϕu u e u, os extremos de g 6 só podem ser extremos de ϕ ou o ponto,, único extremo de ux, y x + y. Por análise da função ϕ conclui-se que u x, y, corresponde a um mínimo absoluto e que u x + y correspondem a máximos absolutos. g Como g 7 x, y y 8 x, x y, x, y, e a H g7, corresponde uma sequência de menores principais todos positivos a função possui um único extremo no ponto, o qual é um mínimo. h Como g 8 x, y e x y x+x y, y x +y, x, y, x, y, e H g8 x, y e x y + x + x y x y x + y x y x + y + 8y + x y a função tem um ponto de sela na origem sequência dos menores principais com sinais +,+,- e um máximo em, sequência dos menores principais com sinais +,-,+. i Como g 9 x, y, z x y, y x +, z,, x, y, z 3, 3, e a H g9 x, y, z corresponde uma sequência de menores principais todos positivos a função possui um único extremo no ponto 3, 3, o qual é um mínimo. j Como g x, y y y x 3 y x x + z y 3 x, y x z y, z y y x z y z y y + z 3 principais com sinais +,+,+,+ e ao ponto de menores principais com sinais +,-,+,-. z,, x, y, z ±, ±, ± e H g x, y, z, ao ponto,, corresponde um mínimo sequência de menores,, corresponde um máximo sequência 6. Os pontos de estacionariedada de h são dados por h x, y, z x 3, y 3, 6z 3z,, x, y, z,, x, y, z,, aos quais correspondem as formas semi-definidas associadas às matrizes. Como o valor de h,, e esta função se pode escrever na forma ±6

13 x + y + z 3 z verifica-se que,, é um minimizante. Como o valor de h,, e h x, y, z se pode escrever na forma x + y z + z verifica-se que,, é um ponto de sela. 7. Os pontos de estacionariedada de h são dados por h x, y 6x y y3 x y, x x y y, x y x, y, e a matriz hessiana por H h x, y 6x 6 6x y xy6 x 3y xy6 x 3y x x y Aos pontos das formas x ou y correspondem formas semi-definidas e ao ponto, corresponde um máximo sequência dos menores principais com sinais +,-,+. Como a função vale quer quando x quer quando y e pode ser factorizada na forma x 3 y 6 3x y, por estudo directo do sinal de h conclui-se que os pontos x não são extremos e que os pontos y são máximos se x < x >, mínimos se < x < e não são extremos se x x.. 8. a Os pontos de estacionariedada de h 3 são dados por h 3 x, y 3x y y, x 3 3x + y, x x, y, x, y, x, y, e a 6xy matriz hessiana por H h3 x, y y 3x y 3x y x 3. Aos pontos, 3x + e, correspondem pontos de sela pois a sequência dos menores principais tem sinais +,,- e ao ponto, corresponde um máximo sequência dos menores principais com sinais +,-,+. Nos pontos com abcissa, a hessiana corresponde a uma forma semi-definida. Como a função vale nesses pontos e pode ser factorizada na forma x x + y y +, por estudo directo do sinal de h 3 conclui-se que os pontos x são máximos se < y <, mínimos se y < y > e não são extremos se y y. 9. a b Os extremos não são absolutos pois f+, + + e f, +. n F n u,ux, x n F n k k u n n F k x, x. n k Como e ax n a n e ax, x, x n e x se k k n e n F x, x e x k n k k n k n se < k < n.assim, F n u,u x, x n un e x n. k k b Os pontos de estacionariedade são dados por F x, y e x e x+y, e y e x+y, x y. Como a hessiana de F nesses pontos é dada por e x a forma quadrática correspondente é semi-definida. Como na direcção singular u v todas as derivadas de ordem superior se anulam, pela alínea anterior, o estudo é inconclusivo. c Como, quando x y, F x, x e F x, y pode ser factorizada na forma e x e y conclui-se que os pontos da forma x, x são mínimos absolutos. 3

14 . a b Soluções dos exercícios da semana 5 3/3 a 7/3,, π π x y 3 + x dx dy x cos y sen zx dx dy dz, π,π,π π cos y dy cosxz dx x y 3 + x dx dy π sen y π π π π y 3 x 3 dy y x cos y sen zx dz dy dx cosπx dx x sen πx π π π. a b y x sen x dx dy sen x dy dx c Usando a alínea b por a alínea a não ser elementarmente primitivável, x sen x dy dx x sen x y x dx cos x cos 3. a b c y x dx dy y e y dy dx y dx dy 5 x e y dx dy x dy dx 5 x x dx 8 3 e y x y dy e y e π arccos x x cos y dy dx π π cos y x cos y dx dy π π cos y x cos y dy sen 3 y 6 sen y π π 3 d. a A b A π y y y y dx dy + y dx dy y y x x y dy dx + π π cos x π y cm A arccos y dx dy + dy dx arccos y π π π cos x π x dy dx dx dy y cos x dx y dy dx 8π x x π sen x + x π π π π y dy dx + x dx + x y dy dx x dx y cos x dx π cos x 7 dx 7 6π π 8

15 5. a V 6. a b V c V +x +x z z z y z y+z dy dz dx + dx dy dz y z x y+z dy dz y y x x z zy z dz dy dz dx 3z z + z3 6 3 x x x dz dy dx + y z z z y y z dx dy dz + dx dy dz + y 8 y z z dx dy dz + dx dy dz z z y y dx dy dz dx dy dz b x 3 x y x + y dz dy dx z z y dx dy dz z 3 y z dx dy dz 7. a x cm V b z z z z x dx dy dz com V V z z z z dx dy dz x cm V + com y y x x x dz dy dx + y x x x dz dy dx + y y y y y y y x dx dy dz + y y x dx dy dz + y y x dx dy dz y x dx dy dz y V + y x x dz dy dx + y x x dz dy dx + y y y y y y y y dx dy dz + y y dx dy dz + y y y x ddy dz y dx dy dz 8. x cm m y y cm m m x x e x y dx dy + y y y x e x y dx dy + y x x e x y dx dy, por simetria. xy e x y dx dy e m e sh m e y y x e x y dx dy 5

16 9. I xx E ρx, y, zd xx dx dz dy y y y z x y +z y + z y + z dx dz dy 87π 6 Obs: este exercício deveria estar na ficha 6 pois é muito mais simples usando coordenadas cilíndricas 6

17 Soluções dos exercícios da semana 6 3/3 a /3. a Fazendo x ρ cos θ e y ρ sen θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, x < y < x ρ <, ρ < x < e x x x + y dy dx π ρ ρ dρ dθ π dθ ρ 3 dρ θ π b Fazendo x ρ cos θ e y ρ sen θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, y x ρ, x > y > < θ < π, y ρ sen θ e y y y dx dy π ρ sen θρ dρ dθ + π π cos θ π ρ π + π cotg θ 3 i sen θ ρ ρ sen θρ dρ dθ ρ 3 sen θ 3 π π 3 sen θ c Fazendo x ρ cos θ e y ρ sen θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, y x ρ 3, y < < x < y 3 π < θ < π, e 3 3x x dy dx π π 3 ρ dρ dθ d Fazendo x + ρ cos θ e y ρ sen θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, y x x 3 ρ, ρ < 3 < x <, < y < θ < π, e θ π π ρ 3 dθ 3π 8π x x 3 3 x + y dy dx π π ρ + ρ cos θ + ρ dρ dθ ρ + ρ3 3 cos θ + ρ dθ 9θ + sen θ 3 π 9π e Fazendo x 3ρ cos θ e y ρ sen θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J 6ρ, x 9 < y < x 9 ρ <, ρ < x < 3 e 3 3 x 9 x 9 xy dy dx π cosθ ρ sen θ cos θ6ρ dρ dθ π 3 ρ π sen θ dθ 3ρ 3 dρ OBS: O mesmo resultado poderia ser obtido por simetria já que o integral nos quadrantes ímpares é o simétrico do integral nos quadrantes pares. 7

18 f Fazendo x ρ cos θ e y ρ sen θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, y 8 x ρ, ρ < 3 < x <, x ρ cos θ, y > < θ < π, x > π < θ < π e 8 8 x x x dy dx + y π π cos θ ρ cos θ sen θ cos θρ dρ dθ. Fazendo x ρ cos θ e y ρ sen θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, x + y ρ, y x < θ < π, x < ρ < π cos θ ρ dρ dθ π ρ cos θ cos θ e π tg θ θ dθ π cos θ dθ π 8 3. Fazendo u x + y e v x y trata-se de uma transformação de coordenadas pois é uma aplicação linear invertível e portanto um difeomorfismo cujo módulo do jacobiano é y u v, y u + v, x > y v >, x < y u < e sen x + y x y uv sen u, vindo y y sen x + y x y dx dy u uv sen u dv du v u sen u u cosu du 8 cos 8. a Fazendo x ρ cos θ, y ρ sen θ e z z, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, x + y < ρ <, e 3 π fx, y, z dx dy dz ρ ρ dρ dθ dz z 3 π θ ρ 8π R b Fazendo x ρ cos θ, y ρ sen θ e z z, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, x + y < z < x y ρ < z < ρ, e π ρ fx, y, zx dx dy dz ρ cos θρ dz dρ dθ R sen θ ρ π ρ ρ ρρ dz dρ OBS: O resultado podia ter sido obtido imediatamente por simetria. c Fazendo x ρ sen θ, y y e z ρ cos θ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, x + z < y ρ < y e π 3 y fx, y, zx dx dy dz ρ sen θρ dρ dy dθ R cos θ π 3 y OBS: O resultado podia ter sido obtido imediatamente por simetria. ρ dρ dy 8

19 d Fazendo x + ρ cos θ, y + ρ sen θ e z z, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, x + y + < ρ <, < z < 6 x y + < z < ρ e R fx, y, z dx dy dz π 6 ρ sen θ cos θ π ρ cos θ + ρ sen θρ dρ dθ dz 6 ρ OBS: Novamente, separando em dois integrais ambos são nulos por simetria. ρ dz dρ e Fazendo x 3ρ cos θ, y ρ sen θ e z z, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J 6ρ, x + 9y < 36 ρ <, < z < 8 x + 9y < z < 8 6ρ e R fx, y, z dx dy dz π 8 6ρ 7ρ π ρ3 3π ρ dz dρ dθ θ π ρ z 8 6ρ 5. a Fazendo x r cos θ, y r sen θ e z z, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J r, x + y < r <, x + y z x + y z > r < z < z e m θ π A ρx, y, z dx dy dz r 3 z r r dr π π r b Por simetria x cm y cm e, de forma análoga à alínea anterior, z cm m θ π A b De forma análoga à alínea a, I zz θ π A zρx, y, z dx dy dz r 3 z r r r 6 dr π 6 r 5 5 r π r x + y ρx, y, z dx dy dz r 3 z r r dr π π 3 r π r r 7 t r r dz dr dθ 8π 5 r r zr dz dr dθ 6π 7 r r dz dr dθ 6. a Fazendo x ρ cos θ sen ϕ, y ρ sen θ sen ϕ e z ρ cos ϕ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ sen ϕ, x + y + z < 9 ρ < 3, e R fx, y, z dx dy dz π π 3 ρ ρ sen ϕ dρ dϕ dθ θ π cos ϕ π ρ π 5 9

20 b Fazendo x ρ cos θ sen ϕ, y ρ sen θ sen ϕ e z ρ cos ϕ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ sen ϕ, < x + y + z < < ρ <, x + y < z ϕ < π 3π < ϕ π e R fx, y, z dx dy dz π π π π + θ π π log 3π ρ cos ϕ ρ sen ϕ dρ dϕ dθ ρ cos ϕ ρ sen ϕ dρ dϕ dθ log cos ϕ π + log cos ϕ π 3π log OBS: O resultado podia ser obtido imediatamente por simetria. ρ c Fazendo x ρ cos θ sen ϕ, y ρ sen θ sen ϕ e z + ρ cos ϕ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ sen ϕ, x + y + z < 9 ρ < 3, e π π 3 fx, y, z dx dy dz ρ sen ϕρ sen ϕ dρ dϕ dθ R θ π cos ϕ cos ϕ 3 π ρ π 5 d Fazendo x 6ρ cos θ sen ϕ, y 3ρ sen θ sen ϕ e z ρ cos ϕ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J 36ρ sen ϕ, x + y + 9z < 36 ρ <, e π π fx, y, z dx dy dz 36ρ sen ϕ dρ dϕ dθ θ π π cos ϕ ρ 3 8π R 7. Fazendo x 3 + ρ cos θ sen ϕ, y + ρ sen θ e z 3 + ρ cos θ cos ϕ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ3 + ρ cos θ, x + z 3 + y < ρ <, e V π π ρ3 + ρ cos θ dρ dϕ dθ ϕ π 3ρθ + ρ sen θ π dρ π 3πρ 6π 8. Fazendo x ρ cos θ, y ρ sen θ e z z, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ, + x + y z x + y + ρ z ρ, x + y + z ρ + z, x + y + z + ρ + z +, e V π θ π ρ π{ ρ + 3 ρ 3 + ρ ρ dz dρ dθ + 9. a Como a função integranda é de classe C, F ρ z + ρ ρ dρ + θ π e tx+t dt x π ρ + ρ } 3 ρ3 +ρ z ρ +ρ ρ dρ π 3 t e t dt e t ρ dz dρ dθ e

21 b Como a função integranda é de classe C, π F π π cosx cos t cos t+ sen t dt cos t sen sen t dt cos sen t x π π π c Como a função integranda é de classe C e o extremo variável é diferenciável, F 3 e x+ e t x x+ e dt+ e e t e e t dt+ e e e t + e e e e x x c Como a função integranda é de classe C e os extremos são diferenciáveis, F costx t dt + x t sen t dt +. cos cosx 3 + x x + + x cos t cos. Fazendo x ρ cos θ sen ϕ, y ρ sen θ sen ϕ e z ρ cos ϕ, o módulo do jacobiano da transformação de coordenadas é det J ρ sen ϕ, < x + y + z < u < ρ < u, y > x π < θ < 3π, z > ϕ < π e cosx x x Gu 3π π θ 3π π π u cos ϕ π sen uρ π ρ 3 ρ sen ϕ dρ dϕ dθ u sen uρ π ρ dρ π u sen uρ π ρ dρ Como so extremos são diferenciáveis no ponto em questão e a função integranda é de classe C, G π π sen uρ π sen u u π u ρ dρ + u u u πρ cosρ π dρ π 8 sen ρ π u

22 Soluções dos exercícios da semana 7 3/ a 7/. a Como f é de classe C R por ser a soma, composta e produto de funções de classe C coseno, seno, exponencial e funções polinomiais, f,, e x det J f, y sen xy + e x sen xy y sen xy x sen xy + y, existe uma inversa local de f, satisfazendo as condições dadas. b Como J g, J f,, g, : R R tal que g, x, y x, y c f, f, f não é injectiva logo não tem inversa.. a e x+y3, x y 5 u, v x, y que h log x+3 5 x, y y 5, log x 6 5 y 5 b log u+3 5 v 5, log u 6 5 v 5 logo h : R + R R tal 6x + y e x+y3 3x + y e x+y3 det J h, 5x y x y, logo, apesar de h ser invertível não satisfaz as condições do teorema da função inversa. Podemos afirma que h não é diferenciável em, pois caso contrário J h, J h,. 3. F x, y, z e x sen xy + cosxy + e z, e xy + cos x cos y + z é de classe C por ser a soma, produto e composta de funções de classe C exponencial, coseno e funções polinomiais e F, π,. Como e x y sen xy + + y cosxy e x x cosxy x sen xy det F,F,y, π, + π y e xy sen x x e xy + sen y a função F está nas condições do Teorema da Função implícita numa vizinhança de, π, o que permite afirmar que xistem funções x e y nas condições pretendidas e também que, y z F, F, y, π, F, F, π z, +π π +π Então dx dz + π e dy dz π + π +π. a F C R pois é a soma e composta de funções de classe C exponencial, seno hiperbólico e funções polinomiais e F,,,. Como F, F chz + x det,,, w, z w,,, 3 o Teorema da Função Implícita garante a existência de funções nas condições do enunciado. π +π, π,

23 b w, z,, y F, F w, z F, F,,,, y,,, logo z, 3. c Usando a fórmula da alínea anterior para w, x, y, z perto do ponto,,, válido pois o determinante em causa não se anula por continuidade, vem xy z wx e x, y + w chx + z Derivando em ordem a x usando a regra da cadeia pois w e z são funções de x e y, vem z, 9 w 8, a A função F x, y x y sen x+y sen x+y satisfaz as condições do teorema da função implícita em torno do ponto, pois é de classe C por ser a diferença, produto e composta de funções de classe C seno e funções polinomiais, F, e F, sen x + y + x y cosx + y cosx + y, logo a equação permite definir y nas condições do enunciado b Pelo teorema da função implícita, F y, F, sen x+y+x y cosx+y cosx+y, c F x, y sen x + y x y cosx + y. Como perto do ponto, o segundo termo não se anula, tem-se sen x + y o que em torno de, equivale a y x. Então pode-se definir yx x, a qual é uma função de classe C e y. 6. a F x, y, z, t x + y + z 5, ln x +z sen t +, yz cos t é de classe C por a soma e composta de funções de classe C logaritmo, seno, coseno e funções polinomiais e satisfaz F, 3,, π. Como F, F, F 3 det, 3,, π, y, z 8x y 8z x x +z z x +z z y,3,, π 8 F está nas condições do Teorema da Função Implícita e a equação permite definir x, y e z como funções continuamente diferenciáveis de t numa vizinhança do ponto em questão. b Pelo teorema da função implícita v x v y v z F, F, F 3, y, z, 3,, π F, F, F 3 t 6 6, 3,, π 3 cos t sen t t π Logo v x, v y, v z,, 3. 3

24 c O teorema da função implícita pode aplicar-se numa vizinhança do ponto em questão por continuidade e permite concluir que Logo v z sen t y v x v y v z e a z dvz dt z y z x +z xy xy z xy y x +z y z y zx +z y y y cos t vy sen t y cos t sen t cos t y x +z y 3 sen t e no instante t π, a z. 7. a Escrevendo F x, y e x + cosx y 3y x +, F é de classe C em R, F, e F, x sen x y 3 3 logo a desigualdade permite definir y com função, continuamente diferenciável de x numa vizinhança do ponto em questão. b Trocando x com y as duas primeiras condições são idênticas e F, e x xy sen x y logo o teorema da função implícita não se pode aplicar neste caso., c Como y F, F d Se y tem extremo em a e y a ainda y a, não se pode aplicar o teorema da função inversa. F a, b F a, b, y a e F a, b. Tem-se F a, b + F F a, F by a a, b a, b F F, ou, usando os resultados anteriores, a, b + F F F y a a, b a, b F F, F a, b, a, by a e Já se verificou que y. Como y 3 F, x y cosx y > trata-se de um mínimo., 3 8. Se F é homogénea de grau n, o Teorema de Euler permite dizer que 3 e x y sen x y af xa, b + bf ya, b nf a, b Se F a, b, como F é de classe C e F ya, b a b F xa, b verifica as condições do teorema da função implícita pelo que define y como função continuamente diferenciável de x, tendo-se y a F ya, b F x a, b b af xa, b F xa, b b a

25 9. Como n f f i i a, i a para todo o i,..., n. Como F é de classe C e F a, a equação permite escrever x i como função continuamente diferenciável de todos os x j como j,..., n e j i. Tem-se ainda i F F i+ a i a i+ a para todo o i,..., n e n a F n a F a. Então n n i n i F F i+ n i n n F n i i i n F n n i i i n i F i+ F i F i n n F i i+ 5

26 Soluções dos exercícios da semana 8 / a /. a Sendo F x, y x 3y, A { x, y R : F x, y }, F C A e J F 3. Logo rjf carj F em todos os pontos de A e A é uma variedade diferencial de dimensão rj F b Sendo F x, y y 3x 3 x, B { x, y R : F x, y < x < }, F C B e J F 6x. Logo rj F carj F em todos os pontos de B e B é uma variedade diferencial de dimensão rj F c Sendo F x, y x + y, C { x, y R : F x, y }, F C C e J F x y. Logo rj F carj F em todos os pontos de C pois rj F soemnte na origem que não pertence a C e C é uma variedade diferencial de dimensão rj F d Sendo F x, y x sen y, D { x, y R : F x, y y < π }, F C D e J F cos y. Logo rjf carj F em todos os pontos de D e D é uma variedade diferencial de dimensão rj F e Sendo F x, y, z x + y + 9z 36, E { x, y, z R 3 :, F x, y, z }, F C E e J F 8x y 8z. Logo rjf carj F em todos os pontos de E pois rj F somente na origem que não pertence a E e E é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F f Sendo Gx, y x + y, F { x, y R :, Gx, y y > x }, G C F e J G 8x y. Logo rjg carj G em todos os pontos de F pois rj G somente na origem que não pertence a F e F é uma variedade diferencial de dimensão rj F g Sendo F x, y, z x + y, G { x, y, z R 3 :, F x, y, z y > x z < }, F C G e J F 8x y. Logo rj F carj F em todos os pontos de G pois rj F somente nos pontos do eixo Oz que não intersecta G e G é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F h Sendo F x, y, z y + z x, H { x, y, z R 3 :, F x, y, z }, F C H e J F y z. Logo rjf carj F em todos os pontos de H e E é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F i Sendo F x, y, z x y + z, I { x, y, z R 3 :, F x, y, z }, F C I e J F x y z. Logo rjf carj F em todos os pontos de I excepto na origem não se podendo, portanto concluir assim se I é uma variedade diferencial ou não. É, no entanto, fácil verificar que na origem não pode existir um espaço tangente de dimensão pois existem 3 vectores tangentes linearmente independentes. Então I não é variedade diferencial. j Sendo F x, y, z x + y z, J { x, y, z R 3 :, F x, y, z z > }, F C J e J F x y z. Logo rj F carj F em todos os pontos de J pois rj F somente na origem que não pertence a J e J é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F k Sendo F x, y, z x y z +, K { x, y, z R 3 :, F x, y, z }, F C K e J F x y z. Logo rjf carj F em todos os pontos de K pois rj F somente na origem que não pertence a K e K é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F l Sendo F x, y, z x +y z, x +y +z, L { x, y, z R 3 :, F x, y, z }, F C L e x y x y J F. Por condensação J x y z F tem a mesma característica que z + Logo rj F carj F em todos os pontos de L pois rj F somente no eixo Oz e no plano z que não intersectam L e L é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F. 6

27 m Sendo F x, y, z x y z, x y z, M { x, y, z R 3 :, F x, y, z x > }, y z F C M e J F. Por condensação J F tem a mesma característica que y z. Logo rj + y + z F carj F em todos os pontos de L pois rj F somente na recta x y que não intersecta M e M é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F n Sendo F x, y, z x + y + z 5, N { x, y, z R 3 :, F x, y, z x > }, F C N pois o eixo Ox não intersecta N e J F x y y + z 5 z y + z 5 y +z y. +z Logo rj F carj F em todos os pontos de N pois rj F somente na circunferência y + z 5 x que não intersecta N e N é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F o Sendo F x, y, z x + y, x + y + z, O { x, y, z R 3 :, F x, y, z }, F C O x y e J F. Logo rj F carj F em todos os pontos de L pois rj F somente no eixo Oz que não intersecta O e O é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F. a Por exemplo, fazendo x 3y 6t, vem x 3t + y t + t R b Por exemplo, fazendo x t, vem x t y 3t 3 + t + t, c Usando uma parametrização baseada nas coordenadas polares, x cos θ y sen θ θ, π parametriza toda a variedade com a excepção de uma vizinhança do ponto,. Para parametrizar a variedade numa vizinhança desse ponto pode usar-se uma parametrização semelhante com θ ɛ, ɛ, ɛ > d Basta fazer y t x sen t t π, π e Usando uma parametrização baseada nas coordenadas cilíndricas, x 3 cos θ sen ϕ y 6 sen θ sen ϕ z cos ϕ θ, ϕ, π, π parametriza a variedade toda com excepção de vizinhanças dos pontos da linha definida por θ ϕ, π na mesma parametrização. Para parametrizar a variedade em vizinhanças desses pontos podem usar-se parametrizações semelhantes com x, y e z definidos do mesmo modo mas θ ɛ, ɛ, ɛ > e com z cos θ sen ϕ x 3 sen θ sen ϕ y 6 cos ϕ θ, ϕ, π, π. f Usando uma parametrização baseada nas coordenadas polares, x cos θ y sen θ θ arctg, π + arctg pois y x tg θ. g Usando uma parametrização baseada nas coordenadas cilíndricas, x cos θ y sen θ z t θ, t arctg, π + arctg, pois y x tg θ h Basta fazer y u z v x u + v u, v R j Usando uma parametrização baseada nas coordenadas cilíndricas, x ρ cos θ y ρ sen θ z ρ ρθ R +, π e x ρ cos θ y ρ sen θ z ρ ρθ R +, π k Por exemplo, pode fazer-se x sh t y ch t cos θ z ch t sen θ t, θ R, π para parametrizar toda a variedade excepto numa vizinhança dos pontos da linha que corresponde a θ nas expressões apresentadas para x, y e z. Para uma vizinahnça desses pontos pode usar-se uma parametrização semelhante com t, θ R ɛ, ɛ, ɛ >. l Eliminando x +y entre as duas equações obtém-se z z ou seja as condições dadas são equivalentes a x +y z. Usando uma parametrização baseada nas coordenadas polares 7

28 faz-se x cos θ y sen θz θ, π que parametriza a variedade com excepção de uma vizinhança do ponto,,. Para uma vizinhança desse ponto pode usar-se uma parametrização semelhante com θ ɛ, ɛ, ɛ >. m Eliminando x entre as duas equações, estas ficam equivalentes a y + z x y + z. Usando uma parametrização baseada nas coordenadas polares vem y + cos θ z + sen θ x + cos θ + sen θ θ, π que parametriza a variedade excepto numa vizinhança do ponto +, +,. Numa vizinhança desse ponto pode usar-se uma parametrização semelhante com θ ɛ, ɛ, ɛ > n Usando duas vezes o raciocínio associado às coordenadas polares vem x cos θ y sen θ + 5 cos ϕ z sen θ + 5 sen ϕ θ, ϕ, π o que parametriza a variedade excepto numa vizinhança das linhas que correspondem a fazer θ e/ou ϕ nas expressões apresentadas. Para uma vizinhança dos pontos da primeira linha com excepção do ponto, 5, basta usar uma parametrização semelhante com θ, ϕ ɛ, ɛ, π, ɛ > e para os pontos da segunda linha com excepção do mesmo ponto basta usar, novamente, uma parametrização semelhante mas com θ, ϕ, π ɛ, ɛ, ɛ >. Finalmente, numa vizinhança do ponto, 5, basta usar, ainda, uma parametrização semelhante mas, desta feita, com θ, ϕ ɛ, ɛ, ɛ >. o Usando uma parametrização baseada nas coordenadas polares, x cos θ y sen θ z cos θ + sen θ θ, π parametriza toda a variedade com a excepção de uma vizinhança do ponto,,. Para parametrizar a variedade numa vizinhança desse ponto pode usar-se uma parametrização semelhante com θ ɛ, ɛ, ɛ > 3. a Fazendo F a x, y x +y, V a { x, y R : F a x, y y > x } e J Fa, 8x y,. Então o espaço normal a Va no ponto P a é o espaço gerado pelo vector, pelo que o espaço tangente a V a no mesmo ponto é o espaço gerado por, b Sendo a variedade parametrizada por g b t t cos t, t sen t, t, π e sendo gπ P b, tem-se cos t t sen t J gb π. Então o espaço tangente a V sen t + t cos t π b no ponto P b é o espaço π gerado por, π enquanto que o espaço normal é o gerado por π,. c Fazendo F c x, y, z x y +z, V c { x, y, z R 3 : F c x, y, z < y < } e J Fc,, x y z,. Então o espaço normal a V, c no ponto P c é o espaço gerado pelo vector,, pelo que o espaço tangente a V c no mesmo ponto é o seu complemento ortogonal isto é o espaço { x, y, z R 3 : x y + z } x + y z, x x + y + z d Fazendo F d x, y, z J Fd,, x y x y z,,, V d { x, y, z R 3 : F d x, y, z } e. Então o espaço normal a V d no ponto P d é o espaço gerado pelos vectores,, e,, pelo que o espaço tangente a V a no mesmo ponto é o seu complemento ortogonal sendo, portanto o espaço gerado por,, e Sendo a variedade parametrizada por g e x, z x, x z, z, x, z R e sendo g, P e, tem-se J ge, xz x z. Então o espaço tangente a V e no ponto, P e é o espaço gerado pelos vectores,, e,, enquanto que o espaço normal é o seu complemento ortogonal sendo, portanto o espaço { x, y, z R 3 : x + y y + z } ou seja o espaço gerado por,,. 8

29 f Sendo a variedade parametrizada por g f x x, cosπx, e x, x, e sendo g P f, tem-se J gf π sen πx. Então o espaço tangente a V f no ponto P f é o e x espaço gerado pelo vector,, enquanto que o espaço normal é o seu complemento ortogonal sendo, portanto o espaço {x, y, z R x + z } ou seja o espaço gerado pelos vectores,, e,,.. Sendo gt t cos t, t sen t, t +, t,, C {gt : t, }. Tem-se g C, e J g cos t t sen t sen t + t cos t sendo, portanto, rj g em todos os pontos de C. Então C é uma variedade diferencial e g uma sua parametrização. Da expressão de x, y e z resulta que x + y z e 8xy z sen z logo pode tomar-se F x, y, z x +y z, 8xy z sen z. Tem-se ainda que g π, π, π + e que o espaço tangente no ponto, π, π + é o gerado pelo vector correspondente à coluna de J g π isto é por π,,. Logo a recta tangente é definida por x, y, z, π, π + + λ π,,, λ R e o plano normal por π,,.x, y π, z π π x + y + z + 5 π 5. Sendo gu, v cos v, sen v, u, u, v,, π, D {gu, v : u, v,, π}. Tem-se g C,, π e J g sen v cos v sendo, portanto, rj g em todos os pontos de D. Então D é uma variedade diferencial de dimensão e g uma sua parametrização. Tem-se ainda que g. 7π,, e que o espaço tangente no ponto,, é o gerado pelos vectors correspondentes às colunas de J g. 7π isto é por,, e,,. Logo o espaço normal a D nesse ponto é o complemento ortogonal do espaço gerado por esses vectores e portanto gerado por,, e a recta normal a D no ponto,, tem equação x, y, z,, + λ,,, λ R e o plano tangente por x, y +, z.,, x y 6. a Fazendo F x, y, z x +y +z e F x, y, z x +y z tem-se que A i { x, y, z R 3 : F i x.y.z },,. Como F, F C R 3, J F x y e J F x y e rj Fi em A i e A i é uma variedade de dimensão 3 rj Fi, i,. b Fazendo F F, F vem A A { x, y, z R 3 : F x.y.z }. Como F C R 3 e J F x y x y a qual, por condensação, tem a mesma característica que J x y F que, por sua vez, tem característica igual a excepto nos pontos do eixo Oz que não intersecta A A, este último é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F c A span {,, } logo A // { x, y, z R 3 : x + z } A span {,, } logo A // { x, y, z R 3 : x z } d Sendo V A A \ A A e V A A é imediato que V é uma variedade diferencial de dimensão pois é a reunião disjunta de duas variedades de dimensão e V é uma variedade diferencial de dimensão pela alínea anterior. Basta, então, notar que A A V V. Claramente A não é uma variedade diferencial pois nos pontos de V não é possível determinar dois vectores tangentes linearmente independentes e se A fosse variedade teria dimensão e o espaço tangente teria dimensão em todos os pontos de A. 9

30 e Usando a alínea b o espaço tangente em,, é o espaço ortognal ao espaço gerado pelos dois vectores correspondentes às linhas d a jacobiana de F nesse ponto. Assim é o espaço gerado por,, 7. Dado que x, y, z B x +y x 3 +y 3 +z pode concluir-se que B é a reunião de dois conjuntos disjuntos B { x, y, z R 3 : x + y } e B { x, y, z R 3 : x 3 + y 3 + z }. Sendo F x, y, z x +y, e F x, y, z x 3 +y 3 +z, B i { x, y, z R 3 : F i x, y, z } e F i C M, i,. Tem-se J F x y e J F x 3 y 3 z que têm ambas característica excepto a primeira nos pontos do eixo Oz que não inetrsecta B e a segunda no ponto 3, 3, que não pertence a B. Logo rj Fi carj Fi em todos os pontos de B i e B i é uma variedade diferencial de dimensão 3 rj F, com i,. Assim B é uma variedade diferencial de dimensão pois é a reunião de duas variedades de dimensão disjuntas. Uma parametrização pode ser dada por x cos θ y sen θ z t θ, t, π R numa vizinhança de cada ponto de B excepto na recta X y, uma parametrização semelhante mas com θ, t ɛ, ɛ R, ɛ > numa vizinhança de cada um dos pontos dessa recta, x 3 + cos θ sen ϕ y sen θ sen ϕ z cos ϕ θ, ϕ, π, π numa vizinhança de cada um dos pontos de B com excepção dos pontos da linha que resulta de fazer θ e ϕ, π na parametrização correspondente. Para uma vizinhança de cada um desses pontos podem usar-se parametrizações semelhantes mas com as variáveis rodadas ver exercício. 3

31 Soluções dos exercícios da semana 9 7/ a 3/. fx, y, z, 8x, 8y, x, y, B, logo o único ponto 8 de estacionariedade no interior do domínio é,. A hessiana nesse ponto é H f, 8 cujos menores principais são, 8, 6 pelo que se trata de um mínimo da função. Na fronteira da região variedade de dimensão usa-se o Método dos Multiplicadores de Lagrange MML Gx, y, λ fx, y + λx + y Gx, y, λ 8x + λx, 8y + λy, x + y O que resulta em x + λ y + λ x + y λ + λ + λ + λ + ± Então para a função restrita à fronteira do domínio há exactamente dois pontos de estacionariedade. ±, ±. Como esta fronteira é um conjunto compacto fechado e limitado e f é uma função contínua, a função restrita à fronteira tem máximo e mínimo pelo que um desses pontos é o maximizante de f restrita à fronteira e o outro o minimizante. Como f±, ± 6 e f, 5 e B, também é um compacto conclui-se que o máximo de f é 6 + atingido no ponto,, e o mínimo é 5, atingido no ponto,.. Como se pretende maximizar/minimizar a distância restrita a uma variedade de dimensão usa-se o MML e, para simplificar as contas usa-se a função fx, y, z x + y + z que tem máximo e mínimo nos mesmos pontos que a distância à origem. resulta em Gx, y, z, λ, λ x + y + z + λ x + y + λ x + z Gx, y, z, λ, λ x + λ x + λ, y + λ y, z + λ z, x + y, x + z e os pontos de estacionariedade são as soluções de x + λ x + λ y + λ y z + λ z x + y x x + z y λ x z ± Como a variedade é compacta por ser fechada conjunto de nível de uma função contínua e limitada contida numa bola centrada na origem de raio e f é contínua tem maximizanta e minimizante. Então, representando por dx, y, z a distância do ponto x, y, z à origem, como d,, e d,, ± 3 o ponto da variedade mais próximo da origem é,, e os pontos mais afastados são,, ±. 3. Como o domínio é uma variedade de dimensão, pelo MML os pontos de estacionariedade, caso existam, têm que ser soluções de G com Gx, y, z, λ xy + z + λxyz 3

32 Então Gx, y, z, λ y + z + λyz, x + λxz, x + λxy, xyz,,, y + z + λyz x + λz x + λy xyz Pela última equação sabe-se que x, y, z logo obtém-se y z λ o que torna a primeira equação impossível. Assim não há pontos de estacionariedade logo g não tem extremos.. a hx, y, z x, y, z +,, x, y, z,, que é o único ponto de estacionariedade. H h,, cujos menores principais são,,, 8 logo a forma associada é definida positiva e o ponto é um minimizante de h, que é o único ponto de extremo de h. b O ponto determinado na alínea anterior satisfaz acondição logo resta verificar se existe algum extremo na fronteira, isto é, na variedade de dimensão definida por x + y + z 8. Fazendo Gx, y, z, λ hx, y, z + λx + y + z 8 vem Gx, y, z, λ x + λx, y + λy, z + + λz, x + y + z 8,,, ou seja x + λ y + λ z + λ x + y + z 8 λ x z y z + z 8 x, y, z ±,, Logo para h restrita à variedade que é compacta existem exactamente uma máximo e um mínimo. Como h,,, h-,,eh,, para a restrição dada cujo domínio também é compacto temos um máximo de valor em,, e um mínimo de valor em,, 5. Sendo x, y e z as dimensões do paralelipipedo, pretende-se maximizar V x, y, z xyz sujeita à restrição xy + xz + yz 6. Pelo MML Gx, y, z, λ xyz+λxy+xz+yz 8 Gx, y, z, λ yz+λy+z, xz+λx+z, xy+λx+y, xy+xz+yz 8 Como yz λy + z xz λx + z xy λx + y da última equação vem λx + y + z o que significa que λ logo das primeira duas equações resulta x y e, de modo semelhante, y z logo 3x 8 e x y z 6 3 note-se que existe o máximo por considerações geométricas. 6. Para o caso de uma variedade parametrizada o argumento que sustenta o MML traduz-se em J f g J g em que g é a parametrização e f a função a maximizar/minimizar neste caso pode tomar-se o quadrado da distância, x + y. Assim a equação em questão é sen t sen t x y + cos t+cost, sen t+ sen t cos t + cost 3

33 ou seja cos t + cost sen t + sen t sen t sen t cos t + cost sen t cost cos t sen t sen t Então os pontos de estacionariedade são os correspondentes a t e t π ou seja x, y, e x, y,. Como as respectivas distâncias são d, 3 e d,,, é o ponto do cardióide mais afastado de, e, o mais próximo. 7. m C λ ds. Tem-se, ainda, sendo gt cos t, sen t, sen t sen, λgt t e ds 5 sen t g t dt sen t + cos t + cost dt + cos t dt 5 sen t dt. Então π sen t m λ ds 5 sen t dt t sen t π π 5 sen t C 8. I zz D f ds com fx, y, z x + y λx, y, z. Neste caso, uma parametrização da linha é gt 3 cos t, 3 sen t, t t, π logo fgt 3 e t e ds 3 + dt dt. Então I zz D f ds π 3 e t dt 6 e t π 6 e π 9. Sendo x + y + z R, z > a equação da calote semi-esférica S, x CM y CM, por simetria. Tem-se, ainda que A πr πr e z CM A S z ds. Usando como parametrização gθ, ϕ R cos θ sen ϕ, R sen θ sen ϕ, R cos ϕ θ, ϕ, π, π vem g θ g ϕ R cos θ sen ϕ, R sen θ sen ϕ, R sen ϕ cos ϕ e g θ g ϕ R sen ϕ. Então z ds z g z CM πr π π θ g ϕ dθ dϕ e π R cos ϕr sen ϕ dϕ dθ R cos ϕ sen ϕ dϕ R sen ϕ π R Então c centróide é o ponto,, R.. A carga total é dada por Q ρ S σ ds. Usando para S a parametrização gρ, θ, ρ cos θ, ρ sen θ ρ, θ,, π, vem e g ρ g θ ρ + 6ρ 6. Então σ ds σ g g ρ g θ ρ, ρ cos θ, ρ sen θ ρ g θ dθ dϕ e Q π σρ, ρ cos θ, ρ sen θρ + 6ρ 6 dρ dθ π ρ + 6ρ 6 dρ dθ θ π ρ + ρ8 8π 33

34 . A área é dada por S ds. Usando a parametrização gρ, θ ρ sen θ, ρ, ρ cos θ ρ, θ, π 6, π 6 vem g ρ g θ ρ sen θ, ρ, ρ cos θ e g ρ g θ ρ. Então ds g A π 6 π 6 ρ g θ dθ dϕ e ρ dρ dθ θ π 6 π 6. Parametrizando U, x, y, z gx, y x, y, xy, x, y,, 3 e ds g y, x, dx dy x + y + dx dy M U σ U ds 3 + x x + y + ρ x + y + dy dx π 6 g dx dy 3 arctg x y arctg π 3

35 Soluções dos exercícios da semana /5 a 8/5. a Como o campo não é fechado usa-se a definição. Parametrizando a linha vem x, y γθ sen θ, cos θ, θ, π e dl cos θ, sen θ dθ Γ f. dl π cos θ, sen θ. cos θ, sen θ dθ π dθ θ π π b Parametrizando os três segmentos de recta que são lados do triângulo vem Γ : x, y γ t, + t, t,, Γ : x, y γ t t,, t, e Γ 3 : x, y γ 3 t + t, t, t,. Γ Γ Γ 3 f. dl. Tem-se dl,, t dt e 3. a Como fax b Como f b x z Γ g. dl t,., +, t., + t, + t., dt 3 3 fay f b z t 6, t 6, t 5.,, t dt 7t 6 dt t 7 o campo não é fechado logo não é conservatvo. o campo não é fechado logo não é conservatvo. dt c Como fcx x fcy o campo é fechado. Como o seu domínio é um conjunto simplesmente conexo R, é conservativo. Sendo φ c C R o potencial de f c, Igualando a f c y, φ c f c x 3 + xy φ c x, y 3x + x y + Cy φ c x + C y φ c x + C y f c y C y 6y cos3y Cy sen 3y + K Então φ c x, y 3x + x y + sen 3y + K d Como f d x f d x z f d y f d y z f d z f d z o campo é fechado. Como o seu domínio é um conjunto simplesmente conexo R 3, é conservativo. Sendo φ d C R 3 o potencial de f d, Igualando a f d y, φ d f d x sen x φ d x, y, z cos x + Cy, z φ d C φ d C f d y C cos y Cy, z sen y + C z Substituindo na expressão de φ d vem φ d x, y, z cos x + sen y + C z φ d z C z 35

36 Igualando a f d z, φ d z C z f d z C z z C z z + K Então φ d x, y cos x + sen y + z + K e Como fex z e yz fey, fex z y e yz fez e fey z x + yz e yz fez o campo é fechado. Como o seu domínio é um conjunto simplesmente conexo R 3, é conservativo. Sendo φ e C R 3 o potencial de f e, φ e f e x e yz + x φ e x, y, z x e yz + x + Cy, z φ e xz e yz + C Igualando a f e y, φ e xz e yz + C f e y C Cy, z y + C z Substituindo na expressão de φ e vem Igualando a f e z, φ e x, y, z x e yz + x + y + C z φ e z xy e yz + C z φ e z xy e yz + C z f e z C z cos z C z sen z + K Então φ e x, y x e yz + x + y + sen z + K f Como f f x xy x +y + f f y e f f x z f f z f f y z f f z o campo é fechado. Como o seu domínio é um conjunto simplesmente conexo R 3, é conservativo. Sendo φ f C R 3 o potencial de f f, φ f f f x Igualando a f f y, x x + y + φ f x, y, z logx +y ++Cy, z φ f φ f y x + y + + C f f y C Cy, z C z Substituindo na expressão de φ f vem Igualando a f f z, φ f x, y, z logx + y + + C z φ f z C z φ f z C z f f z C z z 3 C z z + K Então φ f x, y logx + y + + z + K y x + y + + C 36

37 . a Usando a parametrização para Γ: γx x, x, dl, x dx e f a. dl x + 3x, x 3x., x dx x 3 3x + x dx x x 3 + x Γ c Como f c é conservativo, Γ f c. dl φ c, φ c, 5 + sen sen 3 5. b Usando a parametrização para Γ: γx x, x 3, x 6, dl, 3x, 6x 5 dx e f b. dl x x 3 + x 6, x + 3x 3 x 6, x x 3 + x 6., 3x, 6x 5 dx Γ x 9x 8 5x 6 + 9x 5 8x 3 + x dx x x x7 + 3 x6 x + x 5 7 d Como f d é conservativo, Γ f d. dl φ d,, φ d,, cos + sen + cos + sen + 3 e Como f e é conservativo, Γ f e. dl φ e,, φ e,, e + 3 sen e + 3 sen f Como f f é conservativo, Γ f f. dl φ f,, φ f,, log 3 + log fx, y f x, y + f x, y com f x, y y, x e f x, y y x +y, x x +y. Como f é fechado e o seu domínio é um conjunto simplesmente conexo, f é conservativo logo o trabalho de f é nulo visto que a curva dada Γ é fechada. Como f também é fechado mas o seu domínio não é simplesmente conexo R \ {, } não se pode afirmar se é conservativo mas, por homotopia o trabalho de f é igual ao trabalho desse campo ao longo da circunferência unitária centrada na origem percorrida no sentido positivo Γ, homotópica à curva dada no domínio de f. Usando para Γ a parametrização γ θ cos θ, sen θ, θ, π, dl sen θ, cos θ dθ e Γ f. dl f + f. dl Γ π 7. fx, y f x, y+f x, y com f x, y Γ f. dl + sen θ, cos θ. sen θ, cos θ dθ Γ y x x+ +y, x+ +y f. dl f. dl Γ π e f x, y dθ π y x +y, x x +y. Como ambos os campos são fechados apesar de não se saber se são conservativos pois os domínios não são simplesmente conexos e a curva dada Γ é homotópica à circunferência de raio um centrada no ponto, Γ no domínio de f e homotópica à circunferência de raio um centrada no ponto, Γ no domínio de f, Γ f. dl Γ f. dl + f. dl Γ f. dl + Γ f. dl Γ Usando as parametrizações para Γ e Γ, γ θ + cos θ, sen θ e γ θ + cos θ, sen θ, com θ, π vem, para ambas, dl sen θ, cos θ dθ e π f. dl sen θ, cos θ. sen θ, cos θ π dθ + sen θ, + cos θ. sen θ, cos θ dθ Γ π cos θ dθ sen θ π 37