Hélio Magalhães de Oliveira,

Entrando na Onda... Hélio Magalhães de Oliveira, hmo@ufpe.br Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária Recife - PE URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deoliveira.html http://www.ee.ufpe.br/codec/weblet.html 1

Wavelets: Uma Evolução na Representação de Sinais A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas mais poderosas. Uma teoria mais potente e geral foi introduzida nos anos 80: A Transformada de Wavelet Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas. Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em PDS. ORIGEM- Escola Francesa (Morlet, Grossmann,Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)... Pacotes de ondas acústicas sísmicas. 2

Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar, análise escalonada. As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são continuamente diferenciáveis. Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden Award 1997. Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais. Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não triviais, continuamente diferenciáveis. Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada). 3

Jean Morlet. (ecce homo!) Gama de aplicações: geologia sísmica visão computacional e humana radar e sonar computação gráfica predição de terremotos e maremotos turbulência distinção celular (normais vs patológicas) modelos para trato auditivo compressão de imagens descontaminação de sinais (denoising) detecção de rupturas e bordas 4

análise de tons musicais neurofisiologia detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais médicos espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica modelagem geométrica caracterização de sinais acústicos reconhecimento de alvos transitório e falhas em linhas de potência Metalurgia (rugosidade de superfícies) visualização volumétrica Telecomunicações previsão em mercados financeiros Estatística solução de eq. dif. ordinárias& parciais Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822: 5

"La Théorie Analytique de la Chaleur": Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo. Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no domínio da freqüência. A decomposição evoluiu para a representação via transformada de Fourier. Definição (ANÁLISE DE FOURIER): A transformada de Fourier de um sinal f(t), - < t < + é + jwt = f ( t) e dt F( w) :, denotada algumas vezes I [ f ( t)], se a integral imprópria existe. o 6

Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao domínio temporal (SÍNTESE DE FOURIER): f ( t) 1 = + jwt F( w) e dw 2π. o par transformada: f(t) F(w). TEOREMA DE PARSEVAL. Seja f(t) F(w) um sinal real, de energia finita. Então a energia do sinal pode ser calculada em qualquer dos domínios, i.e, + f 2 ( t) dt + 2 = F( f ) df. o Por que wavelets? Em que esta ferramenta pode ser mais potente que a análise espectral clássica de Fourier? De onde surgiram as wavelets? 7

Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários Os sinais devem ser tratados não no domínio t ou domínio f, mas em ambos (espaço conjunto tempo-freqüência)! Conceito de estacionaridade Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta um caráter local. Todo o sinal, desde o começo dos tempos (- ) até o fim dos tempos (+ ) é levado em consideração. A transformada de Fourier representa um "comportamento global médio" do sinal. 8

(a) (b) Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal (possivelmente) estacionário, (b) Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário. A transformada de Fourier analisa a contribuição de cada componente harmônica no sinal como um todo. 9

O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou menos" semelhante em qualquer trecho analisado... Abordagem (pouco formal, mas suficiente). Figura. Sinal com linha de base. Evolução na TF clássica: (STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela (transformada de Fourier de tempo curto). Esta transformada introduz um caráter local e passa a depender fortemente do instante de tempo analisado. 10

Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um caráter local. Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral fosse analisada, resultando em um espectro local. seqüência de "fotos" do espectro:... F(w,t -1 ), F(w, t 0 ), F(w,t 1 ), F(w,t 2 )... evoluindo temporalmente. Sinais práticos " bem comportado" com relação à estacionaridade: sinais periódicos. Não é a toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente restrita a esta classe de sinais. 11

FOTOS: Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos, 15, 20, 25 e 30 anos). Uma única foto representativa do indivíduo, uma "foto média". Essa foto média representa o espectro de Fourier. Um caráter local (no tempo) => trabalhar com mais fotos, => maior complexidade, capacidade de armazenamento/ processamento A classe de sinais, cujo espectro permanece relativamente independente no tempo, são referidos como sinais estacionários. Os não-estacionários trazem variações substanciais e significativas de padrão e comportamento, dependendo do instante de tempo considerado. 12

É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3 4 de fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal completamente diferente (e.g., girafa). Diferentes níveis de "estacionaridade": seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos; seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem); seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de origens diferentes; seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu); seqüência de fotos arbitrárias diferentes em tempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc. 13

Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido?. A resposta não é fechada. Depende do que se deseja e quanto se pode "pagar". A Transformada de Gabor Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem. A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas freqüencial. Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT Short Time Fourier Transform) também conhecida como a Transformada de Gabor. 14

A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário. A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do cálculo do espectro. Formalmente, + * jwt STFT(w,τ ) := f(t)w (t τ) e dt. 15

Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo. Janela: a mais comum é janela Gaussiana. t t 1 f 1 f 1 f 2 Figura. Análise espectral com Transformada de Fourier clássica e em tempo curto. As próximas perguntas: f 2 Por que a STFT não é suficiente? O que seria mais apropriado, além de um transformada local (wavelets também são locais)? 16

A necessidade da segunda operação básica das wavelets, o escalonamento, também pode ser entendida neste contexto. A Guisa de uma Análise de Wavelets Alternativa para abordar o plano conjunto tempo-freqüência : A análise visualizada como um banco de filtros. resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou f/f=cte (ou fator de qualidade Q constante). Q constante: as resoluções t e f mudam com a freqüência central, satisfazendo ainda o princípio da Incerteza de Gabor-Heisenberg (célula básica). 17

FOTOS NOVAMENTE: Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com uma meia dúzia de fotos (0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos). (1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos). O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas". Figura. Exemplo de uma ondinha: ondelette de Morlet (Matlab ). As wavelets podem ser interpretadas como as transformadas lineares locais geradas por um banco de filtros de fator de qualidade constante. 18

domínios tempo e freqüência (f t) domínios escala e deslocamento (a b). Interpretação: "mapas". Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior, ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global. 1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo 1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do Brasil como um todo. Quem já usou mapas sabe que depende fundamentalmente do que se quer investigar! A análise via wavelets permite, por assim dizer, visualizar tanto a floresta quanto as árvores. 19

Na Transformada Contínua de Wavelet CWT, todas as respostas ao impulso no banco de filtros são versões (expandidas ou comprimidas) da mesma ψ(t), chamada de Wavelet básica. Assim, 1 t CWT( a, ) : + * τ τ = f ( t) ψ ( )dt a a. o no rol das Transformadas Lineares... A função ψ(t) é conhecida como wavelet mãe. A partir dela geram-se versões modificas no decorrer da transformada. Ela é um protótipo para a geração de outras funções janela: versões dilatadas e comprimidas da mesma "wavelet mãe". 20

Banda passante constante (STFT) f 2f 3f 4f... 0 0 0 0 Banda passante relativa (Q) constante (WT) f f f 0 2f 0 4f 0 8f 0... Figura. Análise Espectral com banco de Filtros: (a) STFT e (b) WT. Toos os filtros são da mesma família (e.g., filtros BPFs Gaussianos, centrados em freqüências distintas, porém todos com o mesmo fator de qualidade Q). 21

Wavelets Contínuas Introdução a Transformada Contínua de Wavelet A Transformada de Wavelet foi desenvolvida como uma alternativa à STFT para solucionar o problema da resolução. Fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constante em todo o plano t-f. CWT: Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas Alta resolução freqüêncial e baixa resolução temporal para freqüências mais baixas. 22

Freqüência Freqüência Tempo Tempo (a) (b) Figura. Resolução no plano t-f pela análise (a) STFT (b) Transformada de Wavelet. 23

A Transformada de Wavelet Contínua CWT ψ(t) wavelet-mãe ψ(t) L2(R). + ψ 2 (t)dt < + Operações: 1 t a) escalonamento ψ a ( t) = ψ, a 0. a a b) deslocamento ψ b( t) = ψ ( t b). c) deslocamento com escalonamento ψ a, b ( t) = ψ a ( t b) = 1 t b a ψ a { ψ ( t)} { ψ a, b ( t)} ( a, a 0) ( b R). versão: Comprimida da wavelet mãe, se a<1; Dilatada da wavelet mãe, se a>1.. o 24

O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando garantir a isomeria: todas as ondelettes tem a mesma energia! ( t) ( t) 2 2 ψ = ψ a, b. Portanto, a escolha das wavelets como sendo versões 1 t b a ψ a garante a mesma energia para qualquer wavelet! Define-se CWT(a,b):= + f * t) ψ a b( t) dt (, =< f(t),ψa,b>. o Analogia com Fourier: F(w)= + f jwt ( t) e dt =< f(t),e jwt >. 25

Fourier F(w), em cada w: Projeção de f(t) na direção das ondas { e que constituem uma "base" do espaço de sinais. jwt } w R Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento nãolocal no tempo, mas de - a +. Wavelets: a ( t decomposição de f(t) em sinais {, b } * a R + b R que constitui um novo conjunto de análise do espaço de sinais. Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e não sinais ab aeterno. A combinação oscilatório (daí o termo onda) e de curta duração (inha) gera o termo ondinhas, ondeletas, ondelettes no original, ou de forma já consagrada, wavelets. ψ ) 26

Um critério para definir wavelets: Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no domínio temporal é nulo. + ψ ( t) dt = 0 Condição de admissibilidade, Dado o par transformada de Fourier: ψ ( ) Ψ( ω) t, 2 Ψ( ω ) d ω < + ω o Ψ + 2 ( ζ ) C ψ dζ < ζ + => lim Ψ( ζ ) = 0 ζ 0. Ψ ( 0) = 0 => + ψ ( t) dt = 0. 27

Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros, note os seguintes fatos: Ψ ( 0) = 0 (pela admissibilidade) Ψ ( ± ) = 0 (pois ψ é de energia finita). Dado ε >0 arbitrário, α, β R, 0 < α < β < + tal que Ψ(w) < ε para w < α e w > β. o Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro Ψ pode ser essencialmente não nulo. Figura. Comportamento de ) (w Ψ tipo passa-faixa. 28

O escalonamento é o processo de compressão e dilatação do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em mapas cartográficos. O termo a -1/2 é um fator de normalização da energia do sinal e transformada afim. 1 t b ψ a, b( t) = ψ, a a a 0 é uma Uma wavelet ψ a, b ( t) é definida por um mapeamento afim unitário. Esta Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a) de uma mesma onda protótipo, chamada waveletmãe ψ(t). 29

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações. Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via 1 1 t f ( t) CWT( a, b) ( C + + = ψ a ψ b dadb ) 2 a a Uma das primeiras transformadas WT corresponde a Wavelet de Morlet, cuja Wavelet mãe é ψ(t)=exp(-t2/2).exp(jw 0 t). Note que ela corresponde a um BPF gaussiano.. 30

A Transformada Inversa (CWT -1 ) e a Condição de Admissibilidade Sejam f(t) L2(R) e ψ a,b (t) L2(R-{0} R). Sob que condições é possível "pegar uma onda"? (catch the wave...) Escolher uma wavelet protótipo tal que ψ(t) Ψ(w) e C ψ = + Ψ( ζ ) ζ 2 dζ < +. A wavelet utilizada no processo de reconstrução é referida sempre como wavelet dual. Por isso ψ*(t) é chamada de "dual" da wavelet ψ(t). 31

Formula de inversão sob condições menos restritivas Definição (Wavelets diádicas). Uma wavelet ψ(t) L2(R), ψ(t) Ψ(w), é dita ser uma wavelet diádica se e somente se satisfaz a condição de estabilidade, i.e., A,B R 0<A B<+ tais que m A Ψ(2 w) m Z B. o Estas wavelets não obedecem a condição de admissibilidade (porém obedecem a condição de estabilidade, menos restringente) e não são wavelets ortogonais. A recuperação (fórmula de transformada inversa) se faz com o auxílio da wavelet dual. 32

Exemplos: Um mar de Wavelets Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como wavelets mãe. Nome da família de Wavelets 'haar' Haar wavelet. 'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets. 'coif' Coiflets. 'bior' Biorthogonal wavelets. 'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet. 'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets. 'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet. 'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets. 'deo' de Oliveira wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'mth' Mathieu wavelets. 'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets. o 33

Wavelet de Haar Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas. ψ ( H ) ( t) : = 1 2 1 2 0-1 < t 0 0 < t 1 caso contrário. Estas são versões do tipo "wavelet digital". Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets). 34

Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes. Wavelet Sombrero Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que ψ ( t) = ρ''( t) é a wavelet sombrero (chapéu mexicano), por razões óbvias. ψ ( Mhat) ( t) = 2( t 2 π 1) e 1 / 4 t 3 2 / 2. Figura. Wavelet Sombrero. Matlab. 35

Wavelet densidade Gaussiana Uma wavelet simples derivada da função densidade gaussiana (gaus1) é dada por: ( fdg ) 2te ψ ( t ) = gaus π t 1 : = 1 / 4 2 / 2. 0.644 1 0.5 ψ ( x) 0 0.5 0.644 1 10 5 0 5 10 8 x 8 Figura. Wavelet derivada da densidade de probabilidade gaussiana: gaus1 e gaus8. 36

Wavelet complexa de Morlet Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de sinais. Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), empregou a wavelet complexa: ψ 2 ( Mor) 1 t / 2 jw0t ( t) e e 1 / 4 = π. Figura. Wavelet complexa de Morlet. (parte real e parte imaginária). 37

Wavelet de Shannon A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon. Espectro da Wavelet real: w 3π / 2 w + 3π / 2 Ψ( w ) = + π π. Tomando a transformada inversa: Assumindo t=2x+1, ( Sha) πt 3πt ψ ( t) = Sa cos 2 2. ψ ( Sha) ( x) = 2 sen(2π ( x π + 1)) sen(2πx) 2x + 1. 38

ψ No caso da wavelet complexa, pode-se usar ) j 2πt ( t) = Sinc( t) e. ( CSha (a) (b) Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon (Matlab ). Constata-se facilmente que esta wavelet tem suporte infinito (i.é., M tal que ψ(t) =0 t >M). 39

40 Wavelet de Meyer A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como: = Ψ caso contrário. 0 /3 8 w /3 4 1 4 3 2 cos 2 1 /3 4 w /3 2 1 2 3 2 sen 2 1 ) ( 2 / 2 / π π π υ π π π π π υ π π jw jw e w e w w. Figura. Wavelet de Meyer: (a) função de escala (b) wavelet. Matlab.

Wavelets de Daubechies Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na decomposição são ortogonais. As 1 as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto. Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são diferenciáveis. Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto. Figura. Wavelets dbn de Daubechies (N=2,3,4,...): As Daublets Matlab. 41

Figura. Diversas versões de uma db2. Estas formas de onda são ortogonais (!). 42

Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ (t) quanto na wavelet-mãe ψ (t). Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em 1989. São também wavelets de suporte compacto. Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é número de momentos nulos. 43

Wavelet de "de Oliveira" Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a Q- constante. Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por ( deo) jw / 2 ( deo) Ψ ( w) = e S ( w)., ( deo ) ( deo) ( w) = S w Ψ. onde ( ) Figura. Módulo da Wavelet de "de Oliveira" 44

( deo) Figura. Wavelet ψ ( t) : Parte real ( deo) Figura. Wavelet ψ ( t) : parte imaginária. 45

Wavelets Discretas A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que é altamente redundante. As wavelets agora não são transladadas nem escalonadas continuamente, mas sim em intervalos discretos. Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua. ψ a, b 1 t - b 1 t nb ( t) ψ ψ t = m,n ( ) ψ a m a a a0 o = m 0 a m 0 onde m e n são inteiros, a 0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo, b 0 é o fator de translação fixo e b depende agora do fator de dilatação. 46

A Transformada Discreta de Wavelets: As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS) Formas discretas são atraentes do ponto de vista: i) implementação e ii) computacional. A discretização da WT 1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de escala e translação), 2) não na variável independente do sinal a ser analisado (tempo ou espaço). Retículado 2D no plano escala-translação: A grade é indexada por dois inteiros m e n: m => passos na escala discreta n => passos das translações discretas. Fixam-se dois valores dos passos, a 0 e b 0. 47

Escala discreta (logarítmica): a=a 0 m m=1,2,3,... Translações discretas: b=nb 0 a 0 m n=1,2,3,... dado m. Assim + m 1 t nb 0a0 WT( a, b) = CTWS( m, n) : = f ( t) ψ dt m m a a0 0. o Note que: f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo, coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos. Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n) são definidas apenas para valores positivos de escala (a 0 >0), porém esta restrição não é severa. 48

tipo Assim, a DWT consiste em um mapeamento do CTWS: L2(R) l2(ζ + -{0} Ζ) f(t) CTWS(m,n) Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet. Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma representação em série de Fourier ao invés de uma DFT: Série + n= F 0 ne jnw t contínuo, com coeficientes discretos N 1 f ( k) e 2πnk j N representação de tempo DFT representação em tempo k = 0 discreto, com espectro discreto. 49

Reticulado: A escolha da grade. Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no domínio escala-translação. A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a discretização da escala e translado. O reticulado uniforme no plano escaladeslocamento é expresso por: {( ma0, nb0 } m n Z a, b = ), 0 0. Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento é o reticulado hiperbólico { } m m ( a0, na0 b0 m n Z a, b = ), 0 0 m m 2 = 2, n2 ), (. { } Caso diádico: a 0 =2 e b 0 =1 e,1 m n Z 50

m (escala) n (deslocamento) Figura. Resolução de transformadas wavelets: plano translação-escala. A Transformada Discreta de Wavelets: Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS) 51

Além da discretização do plano escalatranslação, a variável independente do sinal pode também ser discretizada. Neste caso, define-se: 1 + k WT( a, b) = DTWS( m, n) : = f ( k) ψ m a k = 0 nb a a 0 m 0 m 0. o Assim, as DTWS consiste em um mapeamento do tipo DTWS: l2(ζ) l2(ζ + -{0} Ζ) f(k) DTWS(m,n). Enunciado de forma alternativa: sinais discretos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes. 52

Interessante observar que a DTWS é mais análoga à uma representação do tipo DFT que em série de Fourier. O menor passo inteiro para a escala é a 0 =2. Usa-se então este fator de escalonamento, o que é referido como escalonamento diádico. O menor passo inteiro de translação temporal é b 0 =1. Wavelets diádicas: m / 2 + k = DTWS( m, n) = 2 f ( k) ψ 2 ( m k n). 53

Em resumo: + 1/ 2 CWT(a,b)= t b a f ( t) ψ *( ) dt a CTWS( m, n) m / 2 + m ( 2 t n) = 2 f ( t) ψ dt m / 2 + k= DTWS( m, n) = 2 f ( k) ψ 2 m ( k n). o 54

Um Estudo de Caso: Decomposição via Daubechies db2 para ECG Decomposição wavelet (AMR) usando db2 para um sinal ECG, com seis níveis de decomposição. ECG Figura. Análise de ECG com db2. 55

A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db2. Lembra decomposição em série de Fourier: Os "harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas, mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não perpétuas). Uma característica diferente: A 6 =S 6 (versão grosseira ou passa-baixa), a qual devem ser adicionados os detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para compor a aproximação. Maior grau de liberdade é conferido à análise, pois o mesmo sinal pode ser decomposto via um grande número de diferentes wavelets, ao invés de sempre ser decomposto em componentes senoidais. 56

Aplicações de Wavelets Provocações... (!) Wavelets em Descontaminação de Sinais Infelizmente, descontaminação é um problema difícil não há fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído. Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes "incoerentes" com o sinal de informação. As wavelets tem se mostrado como ferramentas importantes no combate e remoção de ruído. 57

sinal original f k ruído aditivo n k v.a. - ruído branco gaussiano. observações Matricialmente, y=f+σn. y k σ = fk + nk, k=0,1,2,...,k-1, Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se DWT ( y) DWT( f ) + σdwt( n) =. Os coeficientes wavelet do ruído superpõemse aos coeficientes wavelets do sinal. SNR alta: Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do sinal em que o ruído é "comparável" ao sinal, mantendo apenas coeficientes wavelets onde a contribuição do sinal é "importante". É comum o uso de um limiar abrupto (hard 0 se x T C( x) = threshold), x caso contrário. 58

Algoritmo Waveshrink P1. Fixe um nível m 1 e normalize as observações via ~ y = k yk / Km. P2. Calcule a DWT da observações normalizadas. P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes wavelet obtidos. O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é definido por: x Tm se x > Tm C( x ) = Sgn( x ). 0 caso contrário, em que T m é um limiar. P4. Efetue a transformada inversa de wavelet para obter uma estimativa descontaminada do sinal original. o 59

Figura. Waveshrink: descontaminação de sinais usando wavelets. Compressão via wavelets A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão: Inclusão no padrão internacional JPEG 2000. padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o armazenamento de impressões digitais. 60

Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagem comprimida por JPEG (28 KB); (c) Imagem comprimida wavelets (5KB). 61

Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de Transmissão Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na detecção de faltas em linhas de transmissão, inclusive na análise de faltas de difícil detecção (e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com compensação série e faltas em linhas com acoplamento mútuo). A implementação de algoritmos de identificação ou localização de faltas em linhas de transmissão está baseada na configuração do sistema de monitoramento dos sinais de tensão e/ou corrente na linha de transmissão, através do uso de registradores digitais de perturbação. Entre Daubechies, Haar, Coiflet, Symmlet e Biortogonal a wavelet escolhida foi a Sym2. 62

PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE Novas wavelets Wavelets em GF(p) Potenciais aplicações Multiplex, Acesso múltiplo, seqüências de DNA Wavelet de "de Oliveira" Modulação digital, Modems ADSL Wavelets de Chebyshev Análise em biomédica (eletrogastrografia, ECG...) Wavelets de Legendre Desenhos, Tomografia, RMN, Imagens médicas Wavelets de Mathieu Óptica, eletromagnetismo (antenas...) IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE SINAIS NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS 63