NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Prof. Dr. Helder Alves Pereira Abril, 08

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -. Teste I e Estágio I. Campos eletrostáticos.. Campos elétricos em meio material.. Teste II e Estágio II. Problemas de valor de fronteira em eletrostática.. Campos magnetostáticos. 3. Teste III e Estágio III. Forças, materiais e dispositivos magnéticos.

FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS - TÓPICOS DAS AULAS -. Forças devido aos campos magnéticos.. Torque e momento magnéticos. 3. Dipolo magnético. 4. Magnetização em materiais. 5. Classificação dos materiais magnéticos. 6. Condições de fronteira magnéticas. 7. Indutores e indutâncias. 8. Energia magnética. 9. Circuitos magnéticos.

Forças devido aos campos magnéticos Há pelo menos três maneiras da força provocada por campos magnéticos se manifestar:. Movimento de partículas carregadas submetidas a um campo magnético externo.. Presença de um elemento de corrente em um campo magnético externo. 3. Interação entre dois elementos de corrente.

. Força sobre partícula carregada: Um campo magnético pode exercer força somente sobre uma carga em movimento. Desse modo, a força magnética experimentada por uma carga Q em movimento, com velocidade u em um campo magnético B, é dada por F m æ Qç u è B sendo perpendicular à direção da velocidade e à do campo magnético, portanto, não realiza trabalho. Fm d l 0 ö ø

Para uma carga Q em movimento, na presença de um campo elétrico e de um campo magnético simultaneamente, a força total sobre a carga é dada por ø ö ç è æ + ø ö ç è æ + + B u E Q F B u Q Q E F F F m e Equação da força de Lorentz

. Força sobre um elemento de corrente: Para determinarmos a força sobre um elemento de corrente Idl, devido a um campo magnético externo B, partimos das seguintes expressões Id F m l dq dt d l æ Qç u B è ö ø dq d l dt dq u Uma carga elementar dq, se movimentando com uma velocidade u, é equivalente a um elemento de corrente de condução Idl.

Portanto, temos que d F m dqç è æ u B ö ø Id l B F m ò L Id l B caso a corrente I percorra um caminho fechado L, ou um circuito. Devemos ter em mente que o campo magnético produzido pelo elemento de corrente Idl não exerce força sobre ele mesmo. O campo B, que exerce força sobre Idl, deve ser gerado por um outro elemento, ou seja, B é externo ao elemento de corrente Idl.

Se, ao invés do elemento de corrente em uma linha (Idl), tivermos elementos de corrente em uma superfície (KdS) ou em um volume (Jdv), temos que d F m K ds B d F m J dv B

3. Força entre dois elementos de corrente: De acordo com a lei de Biot-Savart, ambos os elementos de corrente geram campos magnéticos. Dessa forma, podemos determinar a força d(df ) sobre o elemento I dl devido ao campo db, gerado pelo elemento de corrente I dl. Figura

Dessa forma, as densidades de fluxo magnético geradas pelos elementos de correntes são dadas por Portanto, as forças exercidas pelos campos externos nos elementos de corrente são dadas por 0 3 0 3 4 e 4 µ p µ p R R d l I B d R R d l I B d - ò ò e e L L B d l I F B d l I F B d l I F d B d l I F d

Substituindo as expressões dos campos magnéticos externos obtemos 3 0 3 0 4 4 - ø ö ç è æ - ø ö ç è æ ò ò ò ò F F R R d l d l I I F R R d l d l I I F L L L L p µ p µ

Exercícios. Uma partícula carregada de massa kg e carga C, parte da origem, com velocidade inicial zero, em uma região onde E3â z V/m. Determine: a) A força sobre a partícula. b) O tempo que a partícula leva para alcançar o ponto P (0, 0, ). c) A velocidade e a aceleração da partícula em P. d) A energia cinética da partícula em P.. Uma partícula carregada se move com uma velocidade uniforme 4â x m/s em uma região onde E0â y V/m e BB 0 â z Wb/m². Determine B 0 tal que a velocidade da partícula permaneça constante.

Exercício 3. Uma espira retangular, percorrida por uma corrente I, é colocada paralelamente a um fio infinitamente longo, percorrido por uma corrente I, como mostrado na figura. Determine: a) A expressão da força sobre a espira. b) A força sobre o fio infinitamente longo, se I 0 A, I 5 A, ρ 0 0 cm, a0 cm e b30 cm. Figura

Torque e momento magnéticos Tendo considerado a força sobre uma espira de corrente em um campo magnético, podemos determinar o torque sobre ela. Se a espira for colocada paralelamente a um campo magnético, ela sofre uma força que tende a girá-la. O torque T, ou momento mecânico de força sobre a espira, é o produto vetorial entre o braço de alavanca r e a força F, ou seja, T r F onde a unidade do torque é dada em Newton-metro.

Considerando uma espira retangular, de comprimento l e largura w, submetida a um campo magnético uniforme, temos Figura 3

F ò Id l B ò -3 ( Idzâ ) ( B â )- ( Idzâ ) ( B â ) z x x ò 4- z x x IlB x â y - IlB x â y 0 Ou seja, nenhuma força é exercida na espira como um todo. F â o y - F â o y Entretanto, F o e -F o agem em diferentes pontos sobre a espira e, com isso, geram um conjugado.

Se a normal ao plano da espira faz um ângulo α com B, o torque sobre a espira é dado por S l w > Representa a área da espira. Figura 4 T F wsena BIlwsena o BISsen a

Definimos m ISâ n como o momento dipolo magnético da espira em A m². O momento dipolo magnético é o produto entre a corrente e a área da espira. Sua direção é perpendicular à espira. Dessa forma, temos que T m B

Essa expressão é geralmente aplicável para determinar o torque sobre uma espira plana, em qualquer formato, embora tenha sido obtida para uma espira retangular. A única limitação é que o campo deve ser uniforme.

Exercício 4. Uma bobina retangular, de área 0 cm², é percorrida por uma corrente de 50 A e está sobre o plano x + 6y - 3z 7, tal que o momento magnético da bobina está orientado para fora da origem. Calcule seu momento magnético.

Dipolo magnético Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmente referido como dipolo magnético. Podemos determinar o campo magnético B em um ponto P (r, θ, φ) devido a uma espira circular, percorrida por uma corrente I, da seguinte forma: Determinando A. Simplificando a expressão encontrada para campos distantes (r >> a). Determinando B. Figura 5

Dessa forma, encontramos B Ñ A µ 4 m 0 sen pr 3 ( cosqâ + qâ ) r θ

Podemos fazer um comparativo das expressões determinadas para os campos elétrico e magnético da seguinte forma Figura 6

Figura 7 Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmente referido como dipolo magnético.

Magnetização em materiais Sabemos que um dado material é composto de átomos. Cada átomo pode ser considerado como constituído de elétrons orbitando em torno de um núcleo central positivo. Figura 8

Os elétrons também giram em torno de seus próprios eixos. Figura 9 Portanto, um campo magnético interno é gerado pelos elétrons que orbitam em torno do núcleo ou pela rotação dos elétrons em torno de si mesmos.

Esses dois movimentos eletrônicos geram campos magnéticos internos B i que são similares ao campo magnético produzido por uma espira de corrente. Figura 0

Sem um campo externo B aplicado ao material, a soma dos momentos de dipolo magnético é igual a zero devido à orientação aleatória dos mesmos. Figura

Quando um campo externo B é aplicado, os momentos magnéticos dos elétrons tendem a se alinhar com B, tal que o momento magnético líquido é diferente de zero. Figura

Se há N átomos em um dado volume Δv e o k-ésimo átomo tem um momento de dipolo magnético igual a m k, temos que N M lim 0 å k m k Dv Dv representando a densidade de polarização magnética do meio.

Um meio para o qual M não é zero em nenhum ponto é dito magnetizado. Para um volume diferencial dv, o momento magnético é dado por d m M dv' Desse modo, d µ 0 M â µ M R A R dv' 0 ' 4pR 4pR 3 dv

Integrando da por todo o volume e considerando que ò ò - Ñ ø ö ç ç ç è æ - Ñ Ñ ø ö ç è æ Ñ ø ö ç è æ Ñ v S ds F F dv R M M R R M R R R ' ' ' ' ' ' ' 3

Temos que A µ J µ 0 ò m dv' + 0 ò m ds R 4p R ' 4p v' S ' K onde: Representa a densidade de J Ñ M corrente de magnetização ligada, m em um volume, em A/m². K M m â n Representa a densidade de corrente ligada em uma superfície, e â n é o vetor normal à superfície.

No espaço livre, temos que M0, logo onde J f representa a densidade de corrente livre em um volume. ø ö ç ç ç è æ Ñ Ñ f 0 f ou J B J H µ

Em um meio material M é diferente de zero, dessa forma ou + Ñ Ñ + ø ö çç ç è æ Ñ M H J J J B m f µ 0 ø ö ç è æ + M H B 0 µ

Para materiais lineares, temos que M c H m Representa a susceptibilidade magnética do meio

Dessa forma ( ) + ø ö ç è æ + H H H H B µ r µ c µ c µ 0 m 0 m 0 Representa a permeabilidade relativa do meio

Classificação dos materiais magnéticos Em geral, podemos usar a susceptibilidade magnética (χ m ), ou a permeabilidade magnética relativa (µ r ), para classificar os materiais em termos de suas propriedades magnéticas, ou de seu comportamento magnético. Um material é dito não magnético se χ m 0 (ou µ r ). Ele é magnético caso essa condição não se verifique. B µ ( + ) 0 c m µ 0 µ r H H Espaço livre, ar e materiais com χ m 0 (ou µ r ) são considerados não-magnéticos.

Em termos gerais, os materiais magnéticos podem ser agrupados em três categorias principais, são elas:. Diamagnéticos. Paramagnéticos 3. Ferromagnéticos Figura 3

O diamagnetismo ocorre em materiais em que os campos magnéticos, devido aos movimentos de translação dos elétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seus próprios eixos, se cancelam mutuamente. Desse modo, o momento magnético permanente (ou intrínseco) de cada átomo é zero, e os materiais são fracamente afetados pelo campo magnético. Figura 4

Os materiais cujos átomos têm um momento magnético permanente diferente de zero podem ser ou paramagnéticos ou ferromagnéticos. O paramagnetismo ocorre em materiais para os quais os campos magnéticos produzidos pelos movimentos de translação dos elétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seus próprios eixos não se cancelam completamente. Figura 5

O ferromagnetismo ocorre em materiais para os quais os átomos têm momento magnético permanente relativamente grande. São denominados materiais ferromagnéticos porque o material mais conhecido dessa categoria é o ferro. Outros materiais são o cobalto, o níquel e seus compostos.

De forma distinta dos materiais diamagnéticos e dos paramagnéticos, os materiais ferromagnéticos apresentam as seguintes propriedades: São capazes de serem magnetizados fortemente por um campo magnético. Retêm um grau considerável de magnetização quando retirados do campo. Perdem suas propriedades ferromagnéticas e tornam-se materiais paramagnéticos lineares quando a temperatura fica acima de um certo valor (temperatura Curie). São não-lineares, isto é, a relação constitutiva Bµ 0 µ r H não se verifica para materiais ferromagnéticos porque µ r depende de B e não pode ser representado por um único valor.

Embora Bµ 0 (H+M) seja válida para todos os materiais, inclusive os ferromagnéticos, a relação entre B e H depende da magnetização prévia do material ferromagnético, isto é, sua história magnética. Ao invés de termos uma relação linear entre B e H, somente é possível representar essa relação pela curva de magnetização ou curva B-H.

Material linear Figura 6

Curva B-H Figura 7

Material desmagnetizado Figura 8

Curva inicial de magnetização Figura 9

Ponto de saturação Figura 0

Histerese Atraso de B em relação à diminuição de H Figura

Densidade de fluxo remanente Causa de ímâs permanentes Figura

Intensidade de campo coercitiva H C 0 Figura 3

Laço de histerese O formato varia de um material para outro Figura 4

Laço de histerese Figura 5 A área representa a energia perdida por unidade de volume durante um ciclo de magnetização

Exercício 5. Em uma certa região (µ4,6µ 0 ), B - y 0e âz mwb/m² encontre: a) Χ m. b) H. c) M.

Condições de fronteira magnéticas São definidas como as condições que o campo H, ou B, deve satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes. Fazemos uso da lei de Gauss para campos magnéticos e da lei circuital de Ampère. ò B ds 0 e H dl ò I

Considerando a fronteira entre dois meios magnéticos e caracterizada, respectivamente, por µ e µ, temos Meio (µ ) B N θ B T B ΔS B N θ B Δh â n Meio (µ ) B T ò B d S B N DS + B T Figura 6 pr Dh - B N DS + B T pr Dh ( B - B ) DS 0 N N

Ou seja, a componente normal de B é contínua na fronteira. B Þ B B cosq B cos N N q Dessa forma, em relação a H, obtemos que B N BN A componente normal de H é µ H µ H N N descontínua na fronteira.

Aplicando ò H d l I Meio (µ ) H N θ H â n Meio (µ ) H N H T H T H K Δh a b θ X X X X X d Δw c Figura 7 Corrente na superfície da fronteira e normal ao caminho.

Temos que ( ) K H H w K w H H w K h H w H h H h H w H h H l d H - D D - D D + D - D - D - D + D ò T T T T N T N N T N

Ou seja, a componente tangencial de H na superfície é descontínua. Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não são condutores, então K0 e Dessa forma, temos que H H T T B B T T A componente tangencial de B é µ µ descontínua na fronteira.

No caso geral, æ ç è H considerando que â n representa o vetor unitário normal à interface e orientado do meio para o meio. ö - H â K n ø Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não são condutores, então K0, logo temos que T H T H T µ µ B B T

Considerando uma fronteira onde não há qualquer fonte de corrente na superfície da interface de separação, temos que Meio (μ ) â n θ Meio (μ ) θ B B Figura 8 B B H B N µ B cos T T sen µ q B H q B µ N T T B B cos sen µ q q

Dessa forma, tg µ q tg µ q ou tg tg q q µ µ r r Essa expressão representa a lei da refração para linhas de fluxo magnético.

Exercícios 6. A região, descrita por 3x + 4y 0, é um espaço livre, enquanto que a região, descrita por 3x + 4y 0, é um material magnético para o qual µ 0µ 0. Assumindo que a fronteira entre o material e o espaço livre seja livre de corrente, determine B, se B 0,â x + 0,4â y + 0,â z Wb/m². 7. Um vetor unitário normal apontando da região (µµ 0 ) para a região (µµ 0 ) é â n (6â x + â y - 3â z )/7. Se H 0â x + â y + â z A/m e H H x â x - 5â y + 4â z A/m, determine: a) O vetor H x. b) A densidade de corrente K na interface. c) Os ângulos que B e B fazem com a normal à interface.

Indutores e indutâncias Um circuito, ou um caminho fechado condutor, que é percorrido por uma corrente I gera um campo magnético B. Este campo B gera um fluxo y ò S B d S que atravessa cada espira do circuito. Figura 9

Se o circuito tiver N espiras idênticas, definimos o fluxo concatenado (λ) como l Ny Ainda, se o meio que circunda o circuito é linear, o fluxo concatenado é proporcional à corrente que o gerou, ou seja, l µ I l LI onde L é uma constante de proporcionalidade denominada indutância do circuito. A indutância L é uma propriedade que é função da geometria do circuito.

Figura 30

Um circuito, ou parte de um circuito, que tem uma indutância é denominado indutor. Podemos definir a indutância L de um indutor como a razão entre o fluxo magnético concatenado e a corrente através do indutor, ou seja, L l Ny Comumente referida como auto-indutância. I I O fluxo concatenado é gerado pelo próprio indutor. A unidade de indutância é o henry (H), que é equivalente à unidade de webers/ampère (Wb/A).

Podemos considerar a indutância como uma medida da quantidade de energia magnética que pode ser armazenada dentro de um indutor. A energia magnética (em joules) armazenada em um indutor é expressa como W LI L m W I m

Se, ao invés de termos um circuito, tivermos dois circuitos percorridos por correntes I e I, uma interação magnética existirá entre os circuitos. Figura 3 Quatro componentes de fluxo (ψ, ψ, ψ e ψ ) são geradas.

O fluxo ψ representa o fluxo que passa através do circuito devido à corrente I no circuito. Figura 3 Se B é o campo devido à I e S é a área do circuito, então y ò S B d S

Definimos a indutância mútua M como a razão entre o fluxo concatenado λ N ψ sobre o circuito devido à corrente I no circuito, ou seja, Figura 33 M l I N y I

De maneira similar, a indutância mútua M é definida como o fluxo concatenado no circuito por unidade de corrente I, ou seja, Figura 34 M l I N y I

Se o meio que circunda os circuitos é linear, ou seja, ausência de material ferromagnético, temos que M M. A indutância mútua é expressa em henrys (H). Dessa forma, a auto-indutância dos circuitos e, respectivamente, podem ser definidas como L l e I N y I L l I N I y onde ψ ψ + ψ e ψ ψ + ψ.

A energia total no campo magnético é a soma das energias devido a L, L e M (ou M ), ou seja, W W + W + W L I + L I ± m M I I O sinal positivo é considerado se as correntes I e I fluem tal que os campos magnéticos dos dois circuitos se reforçam. Se as correntes fluem de tal modo que seus campos magnéticos se opõe, o sinal é considerado negativo.

Um indutor é um condutor montado com formato adequado para armazenar energia magnética. Exemplos típicos de indutores são toróides, solenóides, linhas de transmissão coaxial e linhas de transmissão de fios paralelos. A indutância de cada um desses indutores pode ser determinada pelo seguinte procedimento: Escolhe-se um sistema de coordenadas apropriado. Considera-se que o indutor é percorrido por uma corrente I. Determina-se B a partir da lei de Biot-Savart, ou a partir da lei de Ampère, desde que se constate presença de simetria. Calcula-se o fluxo magnético. Determina-se o valor da indutância. L Ny I

Em um indutor, tal como uma linha de transmissão coaxial ou uma linha de transmissão de fios paralelos, a indutância produzida pelo fluxo interno ao condutor é denominada indutância interna (L in ). Enquanto que a produzida pelo fluxo externo é denominada indutância externa (L ext ). A indutância total L é dada por L L + L in ext de forma que L ext C µe

Energia magnética Considere um volume diferencial em um campo magnético. Figura 35

Seja o volume coberto com lâminas metálicas condutoras nas superfícies do topo e da base percorridas por uma corrente ΔI. Figura 36 Assumimos que toda a região está preenchida com tais volumes diferenciais.

Dessa forma, cada volume diferencial tem uma indutância de onde ΔIH Δy. Com isso, temos que I z x H I L D D D D D D µ y v H W z y x H I L W D D D D D D D D m m µ µ

A densidade de energia magnetostática w m, em J/m³, é definida como! " lim ( * + ", /0 0 / Desse modo, a energia em um campo magnetostático, considerando um meio linear, é dada por W m ò w dv ò B H dv m ò µ H dv que é similar à equação da energia para um campo elestrostático.

Exercícios 8. Calcule a auto-indutância, por unidade de comprimento, de um solenóide infinitamente longo. 9. Um solenóide muito longo, com seção reta de x cm, tem um núcleo de ferro (µ r 000) e 4000 espiras/metro. Se o solenóide for percorrido por uma corrente de 500 ma, determine: a) Sua auto-indutância por metro. b) A energia armazenada, por metro, nesse campo.

Exercício 0. Determine a auto-indutância de um cabo coaxial de raio interno a e raio externo b. Figura 37

Exercício. Determine a indutância, por unidade de comprimento, de uma linha de transmissão a dois fios, com separação entre eles de d. Cada fio tem um raio a. Figura 38

Exercício. Dois anéis circulares coaxiais de raios a e b (b>a) estão separados por uma distância h (h >> a, b) como mostrado na figura 39. Determine a indutância mútua entre os anéis. Figura 39

Exercício 3. Determine a indutância mútua de duas espiras circulares, coplanares e concêntricas de raios m e 3 m.

Circuitos magnéticos O conceito de circuitos magnéticos está baseado na resolução de alguns problemas de campo magnético utilizando a abordagem de circuitos. Dispositivos magnéticos como toróides, transformadores, motores, geradores e relés podem ser considerados circuitos magnéticos. A análise desses circuitos é simplificada se uma analogia entre circuitos elétricos e magnéticos for explorada. Uma vez feito isso, podemos diretamente aplicar conceitos de circuitos elétricos para resolver circuitos magnéticos análogos.

Resumo da analogia entre circuitos elétricos e magnéticos Figura 40

Analogia entre um circuito elétrico e um circuito magnético Figura 4

Definimos a força magnetomotriz (fmm), em ampères-espiras, como Á NI A fonte de fmm em circuitos magnéticos é usualmente uma bobina percorrida por uma corrente. ò H d l Definimos também relutância, em ampères-espiras/weber, como Â l µ S onde l e S são, respectivamente, o comprimento médio e a área da seção reta do núcleo magnético.

O recíproco da relutância é a permeância. A relação básica para elementos de circuitos é a lei de Ohm (VRI), ou seja, Á y Â Baseado nisso, as leis de Kirchhoff de corrente e de tensão podem ser aplicadas aos nós e às malhas de um determinado circuito magnético da mesma forma como em um circuito elétrico. As regras de soma de tensões e de combinação de resistências em série e em paralelo também são válidas para fmm s e relutâncias.

Para n elementos de circuito magnético em série, temos y y y... y 3 n Á Á + Á + Á 3 +... + Á n Para n elementos de circuito magnético em paralelo, temos y y + y + y +... + y 3 n Á Á Á 3... Á n

Algumas diferenças entre circuitos elétricos e magnéticos devem ser destacadas: Diferentemente de um circuito elétrico onde flui corrente I, o fluxo magnético não flui. A condutividade (σ) é independente da densidade de corrente (J) em um circuito elétrico, enquanto que a permeabilidade (µ) varia com a densidade de fluxo magnético (B) em um circuito magnético. Isso porque materiais ferromagnéticos, não lineares, são normalmente utilizados na maioria dos dispositivos magnéticos práticos. Apesar dessas diferenças, o conceito de circuito magnético é útil como uma análise aproximada dos dispositivos magnéticos práticos.

Exercício 4. O núcleo toroidal da figura 4 tem ρ 0 0 cm e uma seção reta circular com a cm. Se o núcleo é feito de aço (µ r 000) e tem uma bobina com 00 espiras, calcule a intensidade de corrente que irá gerar um fluxo de 0,5 mwb no núcleo. Figura 4

Exercício 5. O toróide da figura 43 tem uma bobina com 000 espiras enroladas em torno de seu núcleo. Se ρ 0 0 cm e a cm, qual a corrente necessária para estabelecer um fluxo magnético de 0,5 mwb: a) Se o núcleo é não magnético? b) Se o núcleo tem µ r 500? Figura 43

Exercício 6. No circuito magnético da figura 44, calcule a corrente na bobina que irá gerar uma densidade de fluxo magnético de,5 Wb/m² no entreferro de ar, assumindo que µ r 50, e que todos os trechos do núcleo tenham a mesma área de seção reta de 0 cm². Figura 44

Referências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição 0. Editora Bookman.

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -. Teste I e Estágio I. Campos eletrostáticos.. Campos elétricos em meio material.. Teste II e Estágio II. Problemas de valor de fronteira em eletrostática.. Campos magnetostáticos. 3. Teste III e Estágio III. Forças, materiais e dispositivos magnéticos.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Prof. Dr. Helder Alves Pereira Abril, 08