CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2018.1 Vetores Mateus Barros 3º Período Engenharia Civil
Definição O que é um vetor? Um vetor é um segmento de reta orientado, que representa uma grandeza vetorial e contém três informações : Módulo, direção e sentido. Módulo: Valor numérico mais unidade de medida, representada pelo comprimento do segmento; Direção: Dada pela inclinação da reta do segmento em referência a uma reta vertical ou horizontal. Sentido: É a orientação, numa mesma direção podemos ter dois sentidos possíveis. Por exemplo, numa direção horizontal temos os sentidos: da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. 2
Grandezas Grandeza Escalar: É aquela que para sua perfeita determinação necessitamos de um número e de uma unidade de medida. Ex: Área, Tempo, Massa, Temperatura, etc... Grandeza Vetorial: É aquela que só fica completamente determinada por um número, uma unidade de medida, uma direção e um sentido. Ex: Força, Velocidade, Deslocamento, etc... 3
Situação Problema Considere a seguinte situação: o piloto de um barco a motor atravessa um rio com correnteza mantendo a proa do barco na direção vertical no sentido de baixo para cima. Saindo do ponto P ele atinge o ponto X na margem oposta, por que isso acontece? 4
Representação dos Vetores A nomenclatura para representar um vetor: V. Em módulo, os vetores são representados por: V. Os vetores no espaço R³ possuem três componentes, podendo ser representados de duas formas mais usuais: V = (X, Y, Z) V = (Xi + Yj + Zk) 5
Cálculo do Módulo de Um Vetor Para vetores no plano cartesiano R², temos: V = (X, Y) V = (X) 2 + (Y)² Para vetores no espaço R³, usamos algo semelhante: V = (X, Y, Z) V = (X) 2 + Y ² + (Z)² 6
Equipolência de Vetores Dois segmentos orientados serão equipolentes, quando tiverem o mesmo módulo, direção e sentido. Portanto, AB ~ XY. 7
Operações Vetoriais Para descrever o tipo de movimento da situação problema, necessita-se de operações vetoriais, que serão desenvolvidas com base na definição matemática de um vetor. Operações Vetoriais : Adição de vetores; Subtração de vetores; Multiplicação de um vetor por um escalar; Decomposição de vetores. 8
Adição Vetorial Regra do polígono Consiste em transportamos a e b de modo que a origem de um coincide com a extremidade do outro, sem modificar seus módulos, direção e sentidos. Ligamos a origem a de com a extremidade de b. O vetor a + b assim obtido é o vetor soma de a +b. a b a + b a b 9
Adição Vetorial Regra do Paralelogramo Nesse método transportamos a e b de modo que suas origens coincidem, sem modificar seus módulos, direções e sentidos. Pela extremidade de cada vetor traça-se uma reta paralela ao outro, obtendo-se um paralelogramo. O vetor soma S corresponde à diagonal desse paralelogramo, com origem na origem comum de a e b. 10
Adição Vetorial Nessa regra, sendo α o ângulo formado entre as direções de a e b, o módulo do vetor soma S é dado por: S ² = a 2 + b 2 + 2 a b cos α 11
Subtração Vetorial Para efetuar a diferença entre dois vetores a e b, pode-se usar qualquer uma das regras descritas anteriormente, levando-se em conta que: S = a b = a + (-b) Ou seja, a diferença entre dois vetores é a soma do primeiro com o vetor oposto do segundo. Observação: -b é o oposto de b (vetor com o mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto ao de b). 12
Multiplicação de um vetor por um escalar Consideramos um número real K 0 e um vetor a 0. O produto de K por a é um vetor w cujas características são : I w I = I K I x I a I A direção de w é a mesma de a. Se K > 0, w tem o mesmo sentido de a; se K < 0, w tem sentido oposto ao de a. Observações: Se K = 0 ou a = 0, o produto deles é o vetor nulo. Se K = -1, o produto deles terá sentido oposto ao vetor a 13
Multiplicação de um vetor por um escalar Multiplicação por um escalar: a b = 2a c = -1/2a 14
Vamos praticar... Na figura, representamos dois vetores a e b de mesma origem e módulo 14 u e 16u respectivamente. Qual é o modulo do vetor soma de a com b? R: 26 u 15
Vamos praticar... Uma caixa de massa m é puxada por duas forças F1 e F2, que são representadas pelos vetores a e b respectivamente formando um ângulo θ = 60.Se a =40 N e b = 30 N, qual o modulo do vetor soma? R: 60,82 N 16
Vamos praticar... O vetor S é resultado da soma dos vetores a com b, e tem módulo igual a 20. Sabendo que a e b são perpendiculares entre si, e que um deles é o dobro do módulo do outro. Qual o módulo do maior? R: 4 17
Vamos Praticar... Qual é o módulo do vetor diferença de a com b? se a =2u e b =3u e o ângulo formado entre eles seja 120 graus. a b θ R: 7 18
Decomposição Vetorial A decomposição vetorial é o processo inverso da adição de dois vetores ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si. Na adição de dois vetores ortogonais, temos: b S a 19
Decomposição Vetorial Vamos efetuar o processo inverso dessa adição, ou seja, do vetor soma encontraremos os vetores ortogonais: y y Sy β S β S α α x x Aplicando as relações trigonométricas do triangulo retângulo: Cos α = Sx/S Sx = Cos α. S ou Sx = Sen β. S Sen α = Sy/S Sy = Sen α. S ou Sy = Cos β. S Sx 20
Vamos praticar... Um bloco de peso 49 N está em repouso sobre um plano inclinado de ângulo 30 graus. Qual o valor das componentes do peso na direção x e na direção y respectivamente? R: Sy = 42,43 N Sx = 24,5 N 21
Vamos praticar... Determine a Velocidade na direção y e na direção x. sabendo que V = 20 m/s e α = 55. R: Sy = 11,47 m/s Sx = 16,38 m/s Digite a equação aqui. 22
Vetor Velocidade Vetor velocidade média (Vm) Considere, nas trajetórias a seguir, o ponto de partida (P1) e o de chegada (P2) de um móvel. 23
Vetor Velocidade Nos esquemas anteriores : s representa o deslocamento escalar, medido com base na trajetória do móvel desde o espaço de partida até o de chegada. Assim, a velocidade escalar média é dada por: Vm = s/ t d representa o deslocamento vetorial, medido pelo vetor que une o ponto de partida ao ponto de chegada. Dessa maneira: Velocidade vetorial média Intensidade : Vm = IdI/ t Direção : a mesma de d Sentido : o mesmo de d 24
Vetor Velocidade Vetor velocidade instantânea (v) Em relação à velocidade vetorial instantânea (v) considere um móvel descrevendo uma trajetória curva. Em cada ponto da trajetória a velocidade vetorial é representada por um vetor, conforme mostra o esquema a seguir: Em cada ponto, o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória e obedece as seguintes condições: V Intensidade: A mesma da velocidade escalar instantânea Direção : tangente a trajetória Sentido : o mesmo do movimento 25
Vetor Aceleração A aceleração vetorial instantânea (a), que é a aceleração vetorial em cada ponto da trajetória, é representada por um vetor que pode formar um ângulo qualquer entre 0 e 180 com o vetor velocidade. α a 26
Vetor Aceleração O vetor aceleração vetorial pode ser decomposto em dois componentes, são eles: Vetor aceleração tangencial (at) Vetor aceleração centrípeta (ac) 27
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