Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 1

Conceito Complete a tabela: A freqüência relativa f i =n i /n comumente é associada à probabilidade. Espaço Amostral n(e) Evento n(a) P(A) Resultados de um Exame de Sangue (HIV) 30 Resultados Positivos 3 0,1 Testes de estatistica 14 Resultados > 90 13 13/14 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 2

Variáveis Aleatórias Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 3

Variáveis Aleatórias Espaço Amostral E Exemplifique Variável Aleatória X Números Reais x Distribuição ou fdp f(x) Distribuição de Probabilidade fdp - Função Densidade Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 4

Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade 64 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 5

Função de Distribuição Acumulada (F(x)) Suponhamos que a variável aleatória X assuma os três valores 0,1 e 2, com probabilidade 1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 6

Esperança Matemática Ex.: Seja X uma v.a. que assume os seguintes valores e tenha a seguinte distribuição de probabilidade: Use <Calc> <Calculator> Use o Programa EXCEL E Cálculo da Esperança Matemática X ) = xi f ( x ) = 15(0.56) + 10(0.23) + 5(0.02) + ( 5)(0.19) = 9, 85 ( i Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 7

Esperança Matemática Ex.: Seja X uma v.a. que assume os seguintes valores e tenha a seguinte distribuição de probabilidade: Cálculo da Esperança Matemática E X ) = xi f ( x ) = 15(0.56) + 10(0.23) + 5(0.02) + ( 5)(0.19) = 9, 85 ( i Obs. Z = 1 2X Z 20,10, -10} 1 = {30, Z 2 = X + 2 Z 2 = {17,12, 7,-3} E( Z 1 ) = E(2X ) = 2E( X ) = 19.7 E( Z 2 ) = E( X + 2) = 2 + E( X ) = 11.85 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 8

A Variância de uma Variável Aleatória Definimos a variância de X denotada por Var(X), S 2 ou σ 2, da seguinte maneira: [ 2 ( X E( )) ] [ ] 2 ( ) Var( X ) = E X Var( X ) = E X µ Uma outra expressão para a variância é: Var [ ] 2 2 2 E( X ) = E( ) 2 ( X ) = E( X ) X µ A raiz quadrada positiva de Var(X) é o desvio padrão de X, DP(X), S ou σ. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 9

A Variância de uma Variável Aleatória Para o Exemplo Var( X ) = E( X ) E( X ) = E( X ) µ 2 [ ] 2 2 anterior: 2 Use <Calc> <Calculator> Use o Programa EXCEL 7.56 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 10

Exercício: O tempo T, em minutos, necessário para um operário de uma indústria processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: T P 2 0,1 3 0,1 4 0,3 5 0,2 6 0,2 7 0,1 Use o Programa EXCEL Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de U$ 2.0 mas se ele processa uma peça em menos de 6 minutos, ganha U$ 0.5 por minuto poupado (por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de U$ 1.0). Qual a média e a variância da quantia ganha por peça? Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 11

Exercício: Observe a mudança da distribuição de probabilidade: T P G P Use o Programa EXCEL Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 12

Distribuições Contínuas Área da curva é unitária Probabilidade está associada a área P f ( x) 0 f b ( x) = 1 ( a X b) = f ( x) dx ( b > a a) f(x) => fdp Função densidade de probabilidade Algumas Distribuições Contínuas: Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t) Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Lognormal Weibull Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 13

Distribuição Normal (ou Gaussiana) Observe no programa Quality Gamebox o Processo de Construção de uma Distribuição Normal. A distribuição mais importante em Estatística ( The Bell Curve ) Aplicação: Cite variáveis, em sua área de interesse, que tem uma distribuição Normal. Complete a tabela Descrição da Variável Média (estimada) Desvio Padrão (estimada) Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 14

Statdisk Use o programa Statdisk <Analysis> <Probability Distribution> <Normal Distribution> Observe em <Options> os valores acumulados Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 15

<Calc> <Probability Distributions> Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 16

Exercício Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida: a) Entre 100 e 115 b) Entre 100 e 90 c) Superior a 110 d) Inferior a 95 e) Inferior a 105 f) Superior a 97 g) Entre 105 e 112 h) Entre 89 e 93 i) 98 Dica: Crie uma coluna com os valores 100 115...98 no Minitab Crie uma coluna com os valores 0,74...0,32... no Minitab Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade: a) P(X>k)=0,26 b) P(X<k)=0,32 c) P(k1<100<k2)=0,47 (k1 e k2 simétricos em relação a 100) Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 17

Target e Upper Spec. Limit X : N ( µ ; σ ) mm Ponto de Inflexão 1s 1s p(d) TT 3s USL Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 18

Normal Reduzida ou Padronizada ϕ(z) z = x µ σ Tal fórmula está tabelada e fornece valores acumulados Z Bench -3-2 -1 0 1 2 3 z Z: N(0; 1) µ-3σ µ -2σ µ -σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ x : N( µ ; σ ) Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 19 X Qual o formato da curva acumulada?

Regra 68 -- 95 -- 99 Alguns intervalos simétricos que são usados freqüentemente. Probabilidade do valor da amostra 40% 30% 20% 10% 0% -4-3 P(µ - 1.00 σ X 1.00 σ) = 0.6826 P(µ - 1.645 σ X µ + 1.645 σ) = 0.90 P(µ - 1.96 σ X µ + 1.96 σ) = 0.95 P(µ - 2.00 σ X µ + 2.00 σ) = 0.9545 P(µ - 2.57 σ X µ + 2.57 σ) = 0.99 P(µ - 3.00 σ X µ + 3.00 σ) = 0.9978-2 -1 68% 95% 99.73% 0 Número de Desvios Padrão da Média 1 2 3 4 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 20

Exemplo Cumulative Probability Suponha que X: N(100; 2) e que desejamos avaliar P(X 104). P(x 104) = 0.9772 = F(104) 100 104 0 z0 = 2 z x z 104 100 2 0 = = Φ( 2) = 0.9772 2 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 21

Exemplo Usando Normal Reduzida A tensão de ruptura (em newtons) de uma fibra sintética é representada por X e distribuída como N(800; 12). O controle de qualidade na fabricação da fibra exige uma tensão de no mínimo 772 N. Uma amostra da fibra é randomicamente testada. A probabilidade de obtermos P(X 772) é obtido a partir de: P ( ) X < 772 12 x µ = P σ = P = Φ < 772 800 12 ( Z < 2.33) ( 2.33) = 0. 01 σ = 3 σ = 1 P(X 772)=1 - P(X <77 2) = 0.99 772 800 x -2.33 0 z Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 22

Normal Probability Plot Gere uma sequência de dados qualquer. Ex.: 100 valores Weibull (5,8) e faça o gráfico Probability Plot 99 95 90 Percent 80 70 60 50 40 30 20 10 5 10 20 30 50 70 80 90 10% 10% 10% 10% 10% 10% 1 Observe: 25 35 45 55 Dados no eixo X Data e Espaços diferentes no eixo Y são Propositais devido aos percentis da curva Normal! Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 23

Testando Normalidade 3 Maneiras de Ver se Seus Dados estão Distribuídos Normalmente Normal Probability Plots Norm al Distribution Frequency Frequency Frequency 100 50 0 300 200 100 0 300 200 100 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 C1 Normal Probability Plots 60 70 80 90 100 110 120 130 C2 Normal Probability Plots 0 10 20 30 40 50 60 70 80 C3 Probability A verage: 70 S td Dev: 10.999 N of dat a: 500 Probability A verage: 70 S td Dev: 10 N of dat a: 500 Probability.99.95.80.50.20.05.01.001.999.99.95.80.50.20.05.01.001.999.99.95.80.50.20.05.01.001 26 60 0 36 70 46 80 56 90 66 Normal 100 Pos Skew 76 86 Po sitive Skewed Distribution 10 20 30 40 50 Neg Skew 96 p-val ue: 0.328 106 Anderson-Darl ing Normali ty Test A-Squared: 0. 418 110 120 130 Anderson-Darl ing Normali ty Test 60 A-Squared: 46.447 p-val ue: 0.000 70 80 A verage: 70 Anderson-Darl ing Normali ty Test Pedro Paulo Balestrassi S td Dev: 10 www.iem.efei.br/pedro A-Squared: 43.953 35-3629-1161 AlliedSignal 199524 - N of dat a: 500 Ne gative Skewe d Dis trib utio n p-val ue: 0.000 Se Se o Teste de de Normalidade mostrar um "valor-p" Menor que 0,05, então os os dados NÃO ESTÃO bem representados por uma distribuição normal Used With Permission Dr. Steve Zinkgraf

Teste Anderson-Darling A distribuição pode ser considerada Normal Exercício: Gere diferentes sequências de dados de uma forma aleatória e teste a normalidade usando o Minitab Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 25

Soma de Normais Processo A Processo B Tempo Total (A+B)? 3 7 X X = 3 = 7 s = 1 s = 2 S A+ B = S 2 A 1+ 2 = 3 + S 2 B = (1) 2 Incorreto; + (2) 2 = 5 = 2.23 Correto; Some as variâncias e depois obtenha o Desvio Padrão Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 26

Diferença de Normais Linha A Diferença: Linha A Linha B Linha B? -10-5 0 5 10 15 XA B = XA - XB = 3-7 = - 4 X = 3 X = 7 s = 1 s = 2 S A B = S 2 A + S 2 B = (1) 2 + (2) 2 = 5 = 2.23 Correto 1 2= 1 Incorreto Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 27

Pratique O orçamento de uma empresa para uma certa conta é R$ 100. Variações de 3% acima e abaixo deste valor são consideradas aceitáveis, ou seja, de R$ 97 a R$ 103. Sabese, pela análise de dados históricos, que a variação nesta conta obedece à distribuição normal, com média de R$ 99 e desvio-padrão de R$ 1,25. Que porcentagem de vezes o orçamento encontra-se fora da faixa aceitável? Resp 5,55% Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 28

Exercícios 1. Em um banco há uma norma de que nenhum cliente deve permanecer na fila por mais de 15 minutos. Se o tempo de espera é normal, com média 9,45 minutos e desvio-padrão de 2,75 minutos, em que porcentagem das vezes a norma não é cumprida? 2. O tempo que Alarico leva do seu trabalho até sua casa tem distribuição normal, com média 90 minutos e desvio-padrão de 5 minutos. Qual é a probabilidade dele levar mais do que 110 minutos no trajeto? 3. Uma pessoa precisa pegar um trem que parte pontualmente em 20 min, podendo optar por dois trajetos para chegar à estação: T 1 ou T 2. Sabe-se que o tempo para percorrer T 1 é normal com média 18 min e desvio-padrão de 5 min, e idem para T 2, mas com média 20 min e desvio-padrão 2 min. Qual é a melhor decisão de trajeto? Sabendo que o trem está com atraso de 3 min, qual é a melhor decisão agora? Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 29

Distribuição Uniforme Pratique no Minitab: O raciocínio é o mesmo que para distribuições normais 1/3 f(x) 3 6 x Medidas de uma certa temperatura variam uniformemente entre 3 e 6 graus Celsius. Qual a probabilidade de termos uma temperatura: a) entre 3 e 4? b) Maior do que 5? c) Igual a 4? Observe o cálculo simples de área. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 30

Distribuição Exponencial f ( x) = λ λ x e, x 0 com λ R,( λ > 0) = 0, outros valores E( X ) = DP( X ) = 1 λ Ex.: Um componente eletrônico é conhecido por ter sua vida útil representada por uma fdp exponencial com tempo médio de falha E(X) de 10 5 horas (logo λ = 10-5 ). Suponha que desejamos determinar a fração de componentes que poderão falhar antes da vida média ou valor esperado. λ f(x) P T 1 1 λ λx λx 1 λ = 0 λe = 0.63212 dx = e 1 0 λ = 1 e 63.212 Esse resultado indica que 63,212% 36.788 x dos componentes irão falhar antes de 10 5 horas. E( X ) = 1 λ Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 31

Distribuições Discretas Algumas Distribuições Discretas A Distribuição Binomial A Distribuição de Poisson A Distribuição Geométrica A Distribuição de Pascal A Distribuição Multinomial A Distribuição Hipergeométrica A soma das frequências é unitária n i= 1 f f ( x ) i 0 ( ) = 1 x i ( X = x ) f ( ) P = i x i A probabilidade é a frequência Ex.: Reclamações de clientes num período, número de erros em um relatório, porcentagem de peças defeituosas num lote, etc. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 32

A Distribuição Binomial Use o programa Statdisk <Analysis> <Probability Distribution> <Binomial Distribution> Observe em <Options> os valores acumulados Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 33

A Distribuição Binomial Ex.: A probabilidade de um teste Burn in / Burn out queimar um componente eletrônico é 0,2. Colocando-se três componentes sob teste, qual a probabilidade de que pelo menos dois deles se queime? x 0 1 2 3 E = {QQQ, QQN, QNQ, NQQ, NNQ, NQN, QNN, NNN} onde Q e N representam a queima ou não do componente P(x) P ( X = x) n x n x = p (1 p) x = 0 para outros P{NNN} = P(X = 0) = q 3 = (0.8) 3 P{NNQ} + P{NQN} + P{QNN} = P(X = 1) = 3pq 2 = 3(0.2)(0.8) 2 P{QQN} + P{QNQ} + P{NQQ} = P(X = 2) = 3p 2 q = 3(0.2) 2 (0.8) P{QQQ} = P(X = 3) = p 3 = (0.2) 3 x = 01,,2, Ln valores P(X 2) = P(X=2) + P(X= 3) = 3p 2 q + p 3 = 0.104 = 10,4% E(X) = np e Var (X) = npq X: Número de Queimas Q Faça no Minitab! Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 34

Exercício Suponha que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0.2 de funcionar durante o tempo de garantia. São ensaiadas 20 válvulas. a) Qual a probabilidade de que delas, exatamente k, funcionem durante o tempo de garantia (k = 0, 1, 2,... 20)? b) Qual a probabilidade de que 4 funcionem durante o tempo de garantia? c) Qual o número médio e a variância de lâmpadas que irão funcionar durante o tempo de garantia? Aqui: X Número de válvulas que funcionam durante o tempo de garantia. p = 0.2 X = 0, 1, 2,... 20 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 35

Resposta E(X) = np e Var (X) = npq P(X = x) com média E(x) = np = 20.(0.2) = 4 e desvio padrão npq = 1788. P( X = k) 20 = k 20 ( ) k ( ) k 0.2 0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 36 x

A Distribuição de Poisson α k e α P( X = k) = X = 0,1, 2, L k! E( X ) = Var( X ) = α O Processo de Poisson Ex.: Em uma experiência de laboratório passam, em média, por um contador, quatro partículas radioativas por milissegundo. Qual a probabilidade de entrarem no contador seis partículas em determinado milissegundo? Utilizando a distribuição de Poisson com α = 4, temos então que: P( X = 6) = e 4 4 6! 6 = 0.1042 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 37

A Distribuição de Poisson Ex.: Chegam, em média, 10 navios-tanque por dia a um movimentado porto, que tem capacidade para 15 desses navios. Qual a probabilidade de que, em determinado dia, um ou mais navios tanque tenham de ficar ao largo, aguardando vaga? Temos aqui que, para α = 10: P( X > 15) = 1 P( X 15) = 1 0.9513 = 0.0487 Ex.: Uma central telefônica recebe em média 300 chamadas por hora e pode processar no máximo 10 ligações por minuto. Estimar a probabilidade de a capacidade da mesa ser ultrapassada. Temos agora: α = 300/60 = 5 chamadas/minuto em média P( X > 10) = 1 P( X 10) = 1 0.986 = 0.014 = 1,4% Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 38

Aproximação da Distribuição Binomial Ex.: Consideremos um experimento binomial com n = 200, p = 0.04 em que se pede a probabilidade de, no máximo, 5 sucessos. O cálculo direto é impraticável, usando a Distribuição Binomial P( X 5) = 5 k = 0 200 (0.04) k k (0.96) 5 k α = np = (200) (0.04) = 8 P(X 5) = 0.1912 Obtido de Tabela (ou micro) usando a Distribuição de Poisson Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 39

Aproximação da Distribuição Binomial Ex.: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa injeção é de 0,001. a) Determinar a probabilidade de que de 2.000 indivíduos injetados, exatamente 3 tenham reação negativa. Usando a distribuição binomial com n = 2.000 e p = 0.001 temos: 2000 3 1997 P( X = 3) = (0.001) (0.999) 3 O cálculo desses números dá origem a considerável dificuldade. Pela aproximação de Poisson temos: 2 3 α = np = (2000) (0.001) = 2 P( X = 2 3! = 0.1804 b) Determinar a probabilidade de que de 2.000 indivíduos injetados, mais de 4 tenham reação negativa. P( X > 4) = 1 [ P( X = 4) + P( X = 3) + P( X = 2) + P( X = 1) + P( X = 0) ] 2 4 2 3 2 2 0 e 2 e 2 e 2 e 2 = 1 + + + 4! 3! 1! 0! 2 16 8 4 = 1 e + + + 2 + 1 = 0.055 24 6 2 Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 40 3) = e

Exercício A quantidade média de caminhões que chegam a uma empresa por dia é de 60 veículos. As instalações podem atender até um total de 75 veículos por dia. Qual a probabilidade de que caminhões fiquem esperando na fila? Qual a probabilidade de que em uma semana com 6 dias trabalhados, caminhões fiquem em fila em dois dias? Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 41

Crystal Ball Lidando com Distribuições no Excel Crystal Ball é um software que roda em Excel; Y=f(X) Y é a resposta de um modelo e X é representada por uma (ou mais) Distribuição de Probabilidade O método de geração de repetidas amostras de X com o respectivo cálculo de Y é chamado de Simulação de Monte Carlo. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 42

Crystal Ball - Detalhes Crystal Ball... é usado apenas em processos que possam ser modelados pelo Excel. Em casos mais complexos, softwares como o ARENA ou ProModel são melhores; só pode fazer previsões dadas as suas suposições iniciais. Portanto, suposições pobres originarão resultados pobres! deveria ser usado para aproximações. Os valores extremos não são confiáveis; Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 43

Simulação: Crystal Ball Utilize o Crystal Ball para... fazer previsões das saídas na forma de amplitude de valores associados às suas probabilidades fornecer estatísticas da variável de saída ajustar distribuições aos dados de entrada ou saída realizar análise de sensibilidade das variáveis independentes do modelo. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 44

Exemplo Imagine-se como um potencial comprador de um complexo de apartamentos. Você deseja comprá-los e, posteriormente, alugá-los. Após uma pesquisa de mercado, você verifica que o número de unidades alugadas em qualquer mês está entre 30 e 40 unidades. O valor do aluguel na região do complexo é de aproximadamente $500/mês, e as despesas mensais de aproximadamente $15.000. Quão lucrativo você espera que seja o seu empreendimento? Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 45

Passo 1: Crie a planilha no Excel Planilha Excel Crie uma equação para a previsão de Y Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 46

Barra de Ferramentas do Crystal Ball A seguinte barra deve aparecer no Excel O Crystal Ball é uma adds in. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 47

Passo 2: Defina suposições Defina suas suposições (X) usando o conhecimento e os dados do processo Número de Unidades alugadas: é uma Distribuição Uniforme com amplitude entre 30 e 40; Selecione a célula correspondente ao Número de unidades alugadas (D5); Selecione DEFINE ASSUMPTION na barra de ferramentas; em seguida, selecione: Uniform Distribution, Click OK. Entre com os valores conforme indicado. Click ENTER Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 48

Distribution Gallery Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 49

Aluguel por unidade Aluguel por unidade: Distribuição Triangular, com valor mais provável de $500/mês, com valor mínimo de $450 e máximo de $575. Selecione a célula correspondente ao valor do aluguel (D6); Selecione DEFINE ASSUMPTION e escolha Triangular Distribution, Click OK. Entre com os valores conforme indicado. Click ENTER, e depois em OK. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 50

Triangular Distributiom Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 51

Despesas Mensais Despesas Mensais: Distribuição Normal com média $15.000 e Desvio Padrão de $1.000; Selecione a célula correspondente à Despesas Mensais (D7); Selecione DEFINE ASSUMPTION, selecione: Normal Distribution, Click OK. Entre com os valores conforme indicado. Click ENTER, e OK. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 52

Normal Distribution Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 53

Passo 3: Y (Lucro ou Prejuízo) Defina a variável de previsão Y Selecione a célula correspondente ao LUCRO OU PREJUÍZO (D9) Selecione DEFINE FORECAST ; Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 54

Y (Lucro ou Prejuízo) Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 55

Passo 4: Simulação de Monte Carlo Defina suas preferências para rodar a simulação; Entre com: Número máximo de Interações (Simulações) (Trials) Informe o critério de parada da simulação; Selecione OPTIONS: Selecione Sensitivity Analysis Click OK Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 56

Run Preferences Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 57

Passo 5: Rodando a Simulação Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 58

Resultados: Forecast Qual a probabilidade do empreendimento ser lucrativo? Entre com ZERO no limite inferior (Isto significa a probabilidade de se ter lucro com o negócio P(X>0)). Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 59

Resultados: Statistics / Percentiles Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 60

Resultados: Statistics Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 61

Resultados: Percentiles Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 62

Resultados: Best Fitting Para uma previsão particular, uma Distribuição de Probabilidades pode ser ajustada aos dados. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 63

Resultados: Best Fitting Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 64

Resultados: Best Fitting Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 65

Resultados: Best Fitting Vá clicando em NEXT DISTRIBUTION até encontrar a distribuição que melhor se ajusta aos dados. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 66

Resultados: Best Fitting Ao encontrá-la, clique em Accept e OK. Como fazer isso no Minitab? Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 67

Resultados:Análise de Sensibilidade Quanto maior for a porcentagem, maior a colaboração da variável para o valor de Y. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 68

Crystal Ball: Outras Funções Para copiar e colar células de suposição Para rodar a simulação novamente Para criar relatórios Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 69

Relatórios Crystal Ball criará um relatório de resumo dos resultados. Isto inclui gráficos e objetos que poderão ser copiados para o Word ou Powerpoint. Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 70

Churrasco Faça o planejamento de um churrasco usando uma planilha Excel com o Crystal Ball. Faça estimativas do número de convidados, preço de ingredientes, custos, aluguel, etc... Obtenha a distribuição do custo por indivíduo, etc... Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 71

À luta! Livro Texto: Montgomery/Runger Capítulo 3: Seção 3.8 Capítulo 4: Seção 4.4 Seção 4.6 Seção 4.9 Capítulo 5: Seção 5.6 Seção 5.9 Resolva exercícios com resposta! Pedro Paulo Balestrassi www.iem.efei.br/pedro 35-3629-1161 72