DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL

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1 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL

2 Introdução Variável aleatória Discreta: assume um número finito ou infinito numerável de valores Contínua: assume todos os valores de um intervalo de números reais Geralmente, estuda-se uma amostra e os resultados obtidos permitem induzir conclusões para a população População Variável discreta/contínua Amostra Distribuição de probabilidades Parâmetros: Valor médio Desvio padrão Distribuição de frequências Estatísticas: Média Desvio padrão (amostral) Vamos trabalhar com distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas: Distribuição Binomial

3 Distribuição De Bernoulli Sempre que uma experiência aleatória só tem dois resultados possíveis, esta pode ser descrita por uma distribuição de Bernoulli Considere-se uma experiência aleatória X na qual se observa a realização ou não realização de determinado acontecimento A, de probabilidade P(A) = p. A realização de A diz-se um sucesso ; A não realização de A diz-se um insucesso e P( ) = 1 p A variável aleatória discreta X toma os valores: X = 1 Acontecimento A ocorre Sucesso X = 0 Acontecimento A não ocorre Insucesso

4 Valor médio de X: = p De facto, = 1Xp + 0X(1 - p) = p Desvio padrão de X: De facto, Exemplos: uma peça é classificada como boa ou defeituosa; o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo; no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5.

5 Distribuição Binomial A distribuição binomial aparece associada ao seguinte tipo de problema: Determinar a probabilidade de, em n provas de Bernoulli, serem obtidos k sucessos (correspondendo à realização de um certo acontecimento A de probabilidade p) e portanto n k insucessos (não realização de A). A variável aleatória X, que representa o número de sucessos nas n provas, tem uma distribuição Binomial com parâmetros n e p, e escreve-se simbolicamente X ~ B(n; p). Esta experiência aleatória tem as seguintes características: É constituída por n provas idênticas; O resultado de cada prova (observação) é independente dos resultados obtidos anteriormente; Em cada prova da experiência apenas são possíveis dois resultados: o sucesso A ou o insucesso A probabilidade p do sucesso A não varia de uma prova para a outra

6 Exemplo 1: Considere-se a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado equilibrado, com as faces numerados de 1 a 6, três vezes. Seja X o número de vezes que ocorre a face 5 nos três lançamentos. Acontecimento A: Sair face 5 Sucesso: Ocorre o acontecimento A Insucesso: Ocorre o acontecimento contrário de A Modelos de Probabilidades Assim, : não sair face 5 A variável aleatória X pode tomar os valores: 0, 1, 2, 3

7 P(X = 0) Significa determinar a probabilidade de na 1ª prova ocorrer insucesso, na 2ª prova ocorrer insucesso e na 3ª prova ocorrer insucesso, P(X = 0) = = P(X = 1) significa determinar a probabilidade de ocorrer um sucesso e dois insucessos P(X = 1) = P(X = 2) P(X = 2) = significa determinar a probabilidade de ocorrer dois sucessos e um insucesso

8 P(X = 3) significa determinar a probabilidade de ocorrer três sucessos P(X = 3) = A distribuição de probabilidade da variável X é: x i P(X= x i ) A variável X tem uma distribuição binomial de parâmetros n = 3 e p = e representa-se por

9 Exemplo 2: Modelos de Probabilidades A Sara e a Catarina gostam muito de jogar xadrez e decidiram fazer, no próximo fim de semana, um campeonato de 4 jogos. Sabendo que a Sara ganhar 40% dos jogos e que a variável aleatória X corresponde ao número de jogos que a sara vence: a) Defina a distribuição de probabilidades de X. P(X = 0) = 0,6x0,6x0,6x0,6 0,1296 P(X = 1) = 4x0,4x0,6x0,6x0,6 0,3456 P(X = 2) = 6x0,4x0,4x0,6x0,6 0,3456 P(X = 3) = 4x0,4x0,4x0,4x0,6 0,1536 P(X = 4) = 0,4x0,4x0,4x0,4 0,0256 A distribuição de probabilidade da variável X é: x i P(X= x i ) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256

10 Resolução com a Calculadora gráfica: Determinar P(X = k) DISTR (2nd/vars) A: binompdf (nºde provas, probabilidade de obter sucesso, nº de sucessos) P(X = 0) = binompdf(4,0.4,0) 0,1296 P(X = 1) = binompdf(4,0.4,1) 0,3456 P(X = 2) = binompdf(4,0.4,2) 0,3456 P(X = 3) = binompdf(4,0.4,3) 0,1536 P(X = 4) = binompdf(4,0.4,4) 0,0256 STAT/EDIT L1: valores da variável X L2: binompdf (nºde provas, probabilidade de obter sucesso, nº de sucessos)

11 Resolução com a Tabela: B(4, 0.4) n = 4 p = 0.4 P(X = 0) = 0,1296 P(X = 1) = 0,3456 P(X = 2) = 0,3456 P(X = 3) = 0,1536 P(X = 4) = 0,0256

12 b) Qual a probabilidade de a Sara ganhar menos de 3 jogos? P(X 2) = P(X = 0) + P(x = 1) + P(X = 2) = 0, , ,3456 = 0,8208 Resolução com a Calculadora gráfica: Determinar P(X k) DISTR (2nd/vars) B: binomcdf (nºde provas, probabilidade de obter sucesso, nº de sucessos) P(X 2) = Binomcdf(4, 0.4, 2) 0,8208

13 VALOR MÉDIO E DESVIO-PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Valor médio: = n.p Desvio-padrão: Exemplo 3: O sistema de segurança da casa do Sr. Santar possui 3 alarmes, todos com a mesma probabilidade de funcionar de 0,8. a) Qual o número médio de alarmes que deverão funcionar no caso da casa ser assaltada? = 3x0,8 = 2,4 alarmes b) Qual o desvio-padrão da distribuição dos alarmes? 0,7 alarmes