GET00189 Probabilidade I Lista de exercícios - Capítulo 4 1. Suponha uma urna com 10 bolas, entre as quais 4 são brancas. Para cada item a seguir determine a variável aleatória em questão, identifique o modelo adequado para essa variável aleatória e calcule a probabilidade pedida. (a) Se forem retiradas 8 bolas, com reposição, qual a probabilidade de saírem pelo menos 3 bolas brancas? (b) Se forem retiradas 8 bolas, sem reposição, qual a probabilidade de saírem mais de 3 bolas brancas? (c) Se as bolas forem retiradas com reposição, qual a probabilidade da terceira bola branca sair ser na 8 a retirada? (d) Se as bolas forem retiradas com reposição, qual a probabilidade da primeira bola branca sair depois da 8 a retirada? (e) E se a urna tivesse 1000 bolas, entre as quais 4 fossem brancas. Qual a probabilidade aproximada de saírem 3 bolas brancas entre 80 retiradas com reposição? 2. Suponha que itens são inspecionados, um a um, numa linha de montagem e que a probabilidade de que um dado item tenha que ser reparado, devido a algum tipo de defeito, seja de 1/30. Imagine que a linha de montagem vai entrar em operação em breve. Pergunta-se: (a) Qual é a quantidade esperada de itens adequados que são encontrados antes que cinco voltem para reparo? (b) Qual é a probabilidade que o primeiro item com defeito apareça depois de que os 10 primeiro itens sejam considerados adequados. 3. ([Farias e Laurencel, 2008] - ex.2.5 pág.61) Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se sair face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair face 5 o desconto é de 20%. Se sair face 4 o desconto é de 10% e se ocorrerem faces 1, 2 ou 3, o desconto é de 5%. Seja X = desconto concedido. (a) Encontre a função de distribuição de probabilidade de X. (b) Calcule o desconto médio concedido. (c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de 5 clientes, pelo menos um consiga um desconto maior que 10%. (d) Calcule a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a receber 30% de desconto. 4. Na Lotofácil são sorteados 15 entre os 25 números existentes. O apostador pode escolher 15, 16, 17 ou 18 números para apostar. O apostador ganha o prêmio máximo se entre os números escolhidos por ele estiverem os 15 números sorteados. Calcule a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo apostando em: (a) 15 números; (b) 16 números; (c) 17 números; (d) 18 números.
5. Considere o jogo da Lotofácil descrita no exercício anterior. Nesse tipo de jogo o apostador gasta R$ 1,50, R$ 24,00, R$ 204,00 ou R$ 1.224,00 para apostar, respectivamente, em 15, 16, 17 ou 18 números. Desconsiderando ganhos diferente do prêmio máximo, calcule o ganho médio do apostador para cada tipo de aposta, supondo que o prêmio máximo para o próximo sorteio seja de R$ 1.700.000,00. 6. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) (a) Se X Bin(n, p), qual é o modelo de Y = n X? (b) Se X Geo(p), qual é o modelo de Y = X + 1? 7. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) Dentre os estudantes João, Pedro e Manoel, o professor escolhe ao acaso um deles para fazer uma pergunta. Suponha que esse procedimento (sortear um estudante e fazer uma pergunta) seja repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de: (a) Manoel nunca ser escolhido? (b) Um (qualquer) dos estudantes não ter sido escolhido para responder sequer uma pergunta? 8. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) Uma vacina, com taxa de imunização de 80% segundo o fabricante, foi aplicada num conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam se certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar a sua imunização. (a) Sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3 crianças não imunizadas no grupo de 20 crianças? (b) Se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do fabricante, que critério você estabeleceria? 9. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) O número de chegadas a um posto de informações turísticas é modelado por um modelo Poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade de ocorrer: (a) Pelo menos uma chegada? (b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas? 10. ([Ross, 2010] - Capítulo 4) Uma empresa que produz disquetes sabe que a probabilidade de um disquete ser produzido com defeito é de 0,01, independente um do outro. A empresa vende os disquetes em caixas com 10 unidades. Ela garante que o cliente pode devolver uma caixa de disquetes caso esta contenha mais de um disquete com defeito. Suponha que um cliente comprou 3 caixas de disquete, qual a probabilidade dele devolver exatamente um caixa. 11. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros segundo um modelo de Poisson com taxa de 2 erros por página.
(a) Qual a probabilidade de encontrar pelo menos um erro em uma página escolhida ao acado? (b) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos 1 página conter pelo menos 1 erro? (c) Dentro das condições de (b), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos um erro. Você identifica o modelo dessa variável? 12. Uma moeda não justa é tal que, em média, para sair a 2 a cara ela tem que ser jogada 5 vezes. Determine, para essa moeda, a probabilidade de sair cara quando ela é jogada uma única vez. 13. ([Ross, 2010] - Capítulo 4) Aproximadamente 80.000 casamentos ocorreram na cidade do Rio de Janeiro no último ano. Calcule, tanto pela forma precisa quanto pela aproximada, a probabilidade em pelo menos um desses casais (a) ambos terem nascido no dia 30 de abril; (b) ambos fazerem aniversário no mesmo dia do ano? Por que nesse exemplo podemos fazer as contas aproximadas? 14. Um distribuidor recebe um lote de 100 peças de um fornecedor. Como não é possível verificar todas as 100 peças o distribuidor realiza uma inspeção por amostragem, isto é, o distribuidor seleciona aleatoriamente 10 peças do lote e verifica se cada uma delas apresenta defeito. O lote será aceito pelo distribuidor se não houver peças com defeito na amostra. (a) Considerando que a amostra é recolhida com reposição calcule a probabilidade de um lote com 6 peças com defeito ser aceito pelo distribuidor. (b) Considerando que a amostra é recolhida sem reposição calcule a probabilidade de um lote com 6 peças com defeito ser aceito pelo distribuidor. (c) Para cada um dos itens acima qual deveria ser o tamanho da amostra (menor possível) para garantir que a probabilidade do distribuidor aceitar um lote com 6 peças seja menor que 0,10? 15. Para cada item a seguir primeiro mostre que p X é função de probabilidade e em seguida identifique a distribuição de probabilidade da varável aleatória X. (a) p X (x) = 1 2 x, x = 0, 1, 2,... e 2 x! (b) p X (x) = 3 ( ) x 2, x = 1, 2, 3,... 2 5 ( ) ( ) 10 10 1 3 (c) p X (x) =, x = 0, 1, 2,..., 10. x 3 x 4 ( ) x 1 (d) p X (x) = 4(x 1), x = 2, 3, 4, 5,... 3
16. Em cada item a seguir identifique o modelo probabilístico da variável aleatória X cuja função geradora de momento é M X. (a) e et e 1 3 (b) 3 4t, t < 3 (c) 2et, t < ln(3) 4 3 e t 25 (d) 1 8 (et 1) 3 (e) 3, t < 5 (f) et(2t 3) (5 t) 2 17. ([Meyer, 2011] - ex.8 pág.261) Suponha que a função geradora de momentos de uma v.a. X seja da forma M X (t) = (0, 4e t + 0, 6) 8. (a) Qual a função geradora de momentos de Y = 3X + 2? (b) Calcule E[X]. (c) Você pode verificar sua resposta de (b) por algum outro método? reconhecer M X (t). Tente
Referências Bibliográficas [Farias e Laurencel, 2008] Farias, A. e Laurencel, L. (2008). Variáveis aleatórias discretas. [Magalhães, 2011] Magalhães, M. N. (2011). Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Edusp, 3 a edição. [Meyer, 2011] Meyer, P. L. (2011). Probabilidade: aplicações à estatística. LTC. [Ross, 2010] Ross, S. (2010). A first course in probability. Prentice Hall, 8 a edição. Respostas 1. (a) X Bin(8; 0, 4) e P (X 3) = 0, 684605 (b) X hiper(10; 4; 8) e P (X > 3) = 0, 333333 (c) X BinNeg(3; 0, 4) e P (X = 8) = 0, 104509 (d) X Geom(0, 4) e P (X > 8) = 0, 016796 (e) X P oisson(0, 32) e P (X = 3) = 0, 003965742. 2. (a) 145 (b) 0,688722. 3. (a) - (b) 12,5% de desconto em média (c) 0,868313 (d) 125/1296. 4. (a) 1/3.268.760 (b) 2/408.955 (c) 9/192.280 (d) 12/48.070. 5. -0,979925; -15,686127; -124,428542; -799,618889. 6. (a) Y Bin(n, 1 p) (b) Y é a forma alternativa da geométrica com o mesmo parâmetro p. 7. (a) 0,131687 (b) 0,395062. 8. (a) 0,205364 (b) - 9. (a) 0,864665 (b) 0,285714. 10. 0,012689. 11. (a) 0,864665 (b) 0,999955 (c) B(n = 5, p = 0, 864665). 12. 0,4. 13. (a) exata: 1 (1 1/365 2 ) 80.000 0.451453; aproximada: 1 e 0,600488 0, 451456 (b) exata: 1 (1 1/365) 80.000 1; aproximada: 1 e 219,1781 1. 14. (a) 0,538615 (b) 0,522305 (c) 38 e 32. 15. (a) X P oi(λ = 2) (b) X Geom(p = 3/5) (c) X B(n = 10, p = 1/4) (d) X BinNeg(r = 2, p = 2/3). 17. (a) M Y (t) = e 2t (0, 4e 3t + 0, 6) 8 (b) E(X) = 3, 2 (c) Sim, X B(n = 8, p = 0, 4) E(X) = np.