Exercícios para a Apostila GET Teoria das Probabilidade II. Prof a : Jessica Kubrusly

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1 Exercícios para a Apostila GET Teoria das Probabilidade II Prof a : Jessica Kubrusly

2 Capítulo 1: Variáveis Aleatórias 1.1. Considere o seguinte experimento: dispositivos eletrônicos são selecionados, de forma sequencial e ao acaso, e testados até que seja encontrado um cujo tempo de funcionamento seja menor que 10 minutos, nesse momento o experimento é encerrado. Em cada item a seguir uma variável aleatória é definida baseada neste experimento. Para cada uma delas defina a sua imagem e em seguida classifique a variável aleatória como discreta ou não. (a) X é o número de dispositivos testados. (b) Y é o número de dispositivos que duraram mais de 30 min, entre todos os testados. (c) Z é o maior tempo de funcionamento (em minutos) entre os dispositivos testados. (d) W é igual a 1 se foram testados mais de 100 dispositivos e 0 caso contrário. (e) Defina uma outra v.a., indique a sua imagem e classifique-a como discreta ou não Considere o experimento de lançar uma moeda 3 vezes. (a) Defina um espaço amostral para esse experimento. (b) Determine a probabilidade associada à cada elemento do espaço amostral. Para esse experimento considere a variável aleatória X como a diferença entre o número de caras e o número de coroas. (c) Defina Im(X) e classifique X como v.a. discreta ou não. (d) Encontre a função de distribuição de X e esboce seu gráfico Cada item a seguir apresenta a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para cada item faça o seguinte: (i) Defina Im(X); (ii) Diga se X é discreta ou não, justifique sua resposta; (iii) Diga se X é contínua ou não, justifique sua resposta. 0, x < 3; 1/3, 3 x < 2; (a) F (x) = 2/3, 2 x < 1; 1, x 1. 0, x < 0; x/3, 0 x < 1; (c) F (x) = (x + 1)/3, 1 x < 2; 1, x 2. 0, x < 0; (b) F (x) = x, 0 x < 1; 1, x 1. (d) F (x) = 0, x < 0; 0, 2, 0 x < 1/3; 0, 5, 1/3 x < 2/3; 0, 8, 2/3 x < 1; 1, x Seja X uma variável aleatória com função distribuição definida por: 0, x < 0; F X (x) = x 2, 0 x < 1; 1, x 1. (a) Desenhe o gráfico de F X e verifique as propriedades da função de distribuição. (b) Classifique X como variável aleatória discretas ou contínua. (c) Defina a imagem da variável aleatória X.

3 (d) Calcule P(X > 0.3), P(X 0.3), P(X = 0.3), P(0.3 X 0.8) Seja X uma variável aleatória com função distribuição definida por: 0, x < 1/2; 1/3, 1/2 x < 1; F X (x) = 2/3, 1 x < 3/2; 1, x 3/2. (a) Desenhe o gráfico de F X e verifique as propriedades da função de distribuição. (b) Classifique X como variável aleatória discretas ou contínua. (c) Defina a imagem da variável aleatória X. (d) Calcule P(X > 1), P(X 1), P(X = 1), P(1 X 2) ([Magalhães, 2011] - Exercício 5 - Seção 2.2) Determine as constantes a e b, para que a função G seja função de distribuição de alguma variável aleatória contínua. G(x) = a 2b, x < 0; ax, 0 x < 1; a + b(x 1), 1 x < 2; 1, x Seja Y v.a. com função de distribuição G definida no exercício 1.6. acima. (a) Esboce o gráfico de G. (b) Defina a imagem da variável aleatória Y. (c) Calcule P(Y > 1, 5) e P(0 < Y < 1, 5) ([Magalhães, 2011] - Exercício 7 - Seção 2.2) A variável X tem função de distribuição dada por: 0, x < 1; 1/2, 1 x < 1/2; F (x) = 3/4, 1/2 x < 2; 1, x 2. (a) Classifique a variável X. (b) Expresse P(X 0) e P(X > 0) em termos de F e calcule seus valores. (c) Expresse P(X 1) e P(X > 1) em termos de F e indique os valores obtidos. Comente sobre as diferenças em relação ao resultado do item (b) ([Magalhães, 2011] - Exercício 9 - Seção 2.2) A variável X tem função de distribuição dada por: F (x) = (a) Obtenha o valor de c. (b) Classifique a variável X. (c) Determine P(X 3 2 X < 4). 0, x < 1; 1 c (1 e (x 1) ), 1 x < 2; 1 c (1 e 1 + e 2 e 2(x 1) ), x Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Prove as suas respostas. (a) Se F é função de distribuição, então 2F também é. (b) Se F é função de distribuição, então F 2 também é.

4 Capítulo 2: Variáveis Aleatórias Discretas 2.1. ([Ross, 2010] - Probelma Capítulo 4) Duas bolas são selecionadas, de forma aleatória e sem reposição, de uma urna contendo 8 bolas brancas, 4 bolas pretas e 2 laranjas. Suponha que ganhamos R$ 2,00 por cada bola preta selecionada e perdemos R$ 1,00 por cada bola branca. Seja X valor arrecadado (ou perdido) depois de retirar as duas bolas. Quais os possíveis valores de X e quais as probabilidades associadas a cada um desses valores? 2.2. ([Ross, 2010] - Problema Capítulo 4) Três dados são lançados. Assumindo que cada uma das 6 3 = 216 saídas são igualmente prováveis, encontre a função de probabilidade da variável aleatória X definida pela soma dos valores dos três dados ([Ross, 2010] - Problemas 4.7 e Capítulo 4) Suponha o experimento de jogar dois dados. Para cada variável aleatória definida a seguir determine a sua imagem, a sua função de probabilidade e a sua função de distribuição. (a) X é o valor máximo entre as duas saídas. (b) Y é a soma das duas saídas ([DeGroot e Schervish, 2012] - Exemplo 9 - pág.100) Suponha que uma variável aleatória X tenha distribuição discreta dada pela função de probabilidade { c, x = 0, 1, 2,..., p X (x) = 2x 0, caso contrário. Determine o valor da constante c ([Farias e Laurencel, 2008] - Exemplo pág.30) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. discreta com função de probabilidade definida na tabela abaixo. t p T (t) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2 u.m. (unidade monetária) mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0, 50 u.m. por cada minuto poupado. Encontre a função de distribuição da v.a. G = quantia (em u.m.) ganha por peça Considere uma urna com 2 bolas brancas e 1 bola preta. Suponha o experimento de retirar, com reposição, 4 bolas dessa urna. Seja X = número de bolas brancas nas quatro retiradas. (a) Encontre a função de probabilidade da v.a. X, isto é, p X. (b) Calcule E(X). Defina Y = número de bolas pretas nas quatro retiradas. (c) Escreva Y como função de X e, usando as propriedades do valor esperado, calcule E(Y ).

5 (d) Encontre, a partir de p X, a função de probabilidade da v.a. Y, isto é, p Y. (e) Encontre novamente E(Y ), agora a partir de p Y. (f) Encontre Var(X) e Var(Y ) ([Magalhães, 2011] - Exercício 4 - Seção 4.2) Determine E(X), sendo a função de distribuição da variável X é dada por: 0, x < 2; 1/2, 2 x < 0; F (x) = 5/8, 0 x < 1; 7/8, 1 x < 2; 1, x Seja X variável aleatória com função distribuição 0, x 1 1/8, 1 x < 1/2 3/8, 1/2 x < 0 F (x) = 1/2, 0 x < 1/2 3/4, 1/2 x < 1 1, x 1. (a) Calcule E(X). (b) Calcule E(X 2 ) a partir da distribuição de X. (c) Calcule E(X 2 ) a partir da distribuição de X 2. (d) Calcule Var(X) ([Ross, 2010] - Problema 20 - Capítulo 4) Um livro sobre jogos de azar recomenda a seguinte estratégia para o jogo de roleta. O jogador aposta R$ 1,00 no vermelho. Se sair um vermelho (probabilidade 18/38 de ocorrer), o jogador deve pegar seu dinheiro (R$ 1,00 da aposta mais R$ 1,00 de lucro) e sair do jogo. Se não sair o vermelho (probabilidade 20/38 de ocorrer), para as duas rodadas seguintes o jogador deve fazer apostas adicionais de R$ 1,00 no vermelho e então sair do jogo. Seja X o ganho (ou perda, no caso de ganho negativo) do jogador depois que ele saiu do jogo. (a) Encontre P(X > 0). (b) Você está convencido de que essa estratégia é realmente uma estratégia de vitória? Explique sua resposta? (c) Encontre E(X) ([Ross, 2010] - Problemas 21 e 37 - Capítulo 4) Quatro ônibus escolares transportam 148 alunos. Os números de alunos por ônibus são: 40, 33, 25 e 50. Considere o experimento de escolher de forma aleatória um entre os 148 alunos. Seja X o número de alunos no ônibus do aluno escolhido. Agora suponha que um entre os quatro motoristas é escolhido, também de forma aleatória. Seja Y o número de alunos no ônibus do motorista escolhido. (a) Quem você acha que e maior, E(X) ou E(Y )? Por quê? (b) Calcule E(X) e E(Y ). (c) Calcule Var(X) e Var(Y ).

6 2.11. Em uma urna existem 5 bolas, entre as quais 2 são vermelhas. Suponha que bolas sejam retiradas, uma a uma e sem reposição, até que as duas vermelhas sejam observadas. Isto é, quando as duas vermelhas aparecerem termina o experimento. Encontre o número esperado de bolas retiradas dessa urna Um laptop de 3000 reais está sendo rifado. O responsável pela rifa está vendendo números que custam 1 real cada. Se você compra um número, qual é o seu ganho esperado? Se você compra 100 números, qual é o seu ganho esperado? Encontre a variância do seu ganho em ambos os casos ([Ross, 2010] - Problema 38 - Capítulo 4) Se E(X) = 1 e Var(X) = 5, encontre (a) E((2 + X) 2 ); (b) Var(4 + 3X) Decida se a afirmação a seguir é falsa ou verdadeira. Demonstre se ela for verdadeira ou apresente um contra-exemplo no caso dela ser falsa. Seja X uma variável aleatória, então E(1/X) = 1/ E(X) ([Ross, 2010] - Problema 30 - Capítulo 4) - Paradoxo de São Petersburgo Uma pessoa lança uma moeda justa até aparecer coroa pela primeira vez. Se a coroa aparecer no n-ésimo lançamento, a pessoa ganha 2 n reais. Seja X o ganho dessa pessoa. (a) Mostre que E(X) =. (b) Você pagaria R$ 1 milhão para jogar esse jogo uma única vez? (c) Você pagaria R$ 1 milhão por cada partida se você pudesse jogar quantas partidas quisesse e só pagasse a conta no final, quando parasse de jogar?

7 Capítulo 3: Algumas Distribuições Discretas 3.1. Suponha uma urna com 10 bolas, entre as quais 4 são brancas. Para cada item a seguir determine a variável aleatória em questão, identifique o modelo adequado para essa variável aleatória e calcule a probabilidade pedida. (a) Se forem retiradas 8 bolas, com reposição, qual a probabilidade de saírem pelo menos 3 bolas brancas? (b) Se forem retiradas 8 bolas, sem reposição, qual a probabilidade de saírem mais de 3 bolas brancas? (c) Se as bolas forem retiradas com reposição, qual a probabilidade da terceira bola branca sair ser na 8 a retirada? (d) Se as bolas forem retiradas com reposição, qual a probabilidade da primeira bola branca sair depois da 8 a retirada? (e) E se a urna tivesse 1000 bolas, entre as quais 4 fossem brancas. Qual a probabilidade aproximada de saírem 3 bolas brancas entre 80 retiradas com reposição? 3.2. Suponha que itens são inspecionados, um a um, numa linha de montagem e que a probabilidade de que um dado item tenha que ser reparado, devido a algum tipo de defeito, seja de 1/30. Imagine que a linha de montagem vai entrar em operação em breve. Pergunta-se: (a) Qual é a quantidade esperada de itens adequados que são encontrados antes que cinco voltem para reparo? (b) Qual é a probabilidade que o primeiro item com defeito apareça depois de que os 10 primeiro itens sejam considerados adequados ([Farias e Laurencel, 2008] - ex.2.5 pág.61) Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se sair face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair face 5 o desconto é de 20%. Se sair face 4 o desconto é de 10% e se ocorrerem faces 1, 2 ou 3, o desconto é de 5%. Seja X = desconto concedido. (a) Encontre a função de distribuição de probabilidade de X. (b) Calcule o desconto médio concedido. (c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de 5 clientes, pelo menos um consiga um desconto maior que 10%. (d) Calcule a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a receber 30% de desconto Na Lotofácil são sorteados 15 entre os 25 números existentes. O apostador pode escolher 15, 16, 17 ou 18 números para apostar. O apostador ganha o prêmio máximo se entre os números escolhidos por ele estiverem os 15 números sorteados. Calcule a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo apostando em: (a) 15 números; (b) 16 números; (c) 17 números; (d) 18 números.

8 3.5. Considere o jogo da Lotofácil descrita no exercício anterior. Nesse tipo de jogo o apostador gasta R$ 1,50, R$ 24,00, R$ 204,00 ou R$ 1.224,00 para apostar, respectivamente, em 15, 16, 17 ou 18 números. Desconsiderando ganhos diferente do prêmio máximo, calcule o ganho médio do apostador para cada tipo de aposta, supondo que o prêmio máximo para o próximo sorteio seja de R$ , ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) (a) Se X Binomial(n, p), qual é o modelo de Y = n X? (b) Se X Geométrica(p), qual é o modelo de Y = X 1? 3.7. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) Dentre os estudantes João, Pedro e Manoel, o professor escolhe ao acaso um deles para fazer uma pergunta. Suponha que esse procedimento (sortear um estudante e fazer uma pergunta) seja repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de: (a) Manoel nunca ser escolhido? (b) Um (qualquer) dos estudantes não ter sido escolhido para responder sequer uma pergunta? 3.8. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) Uma vacina, com taxa de imunização de 80% segundo o fabricante, foi aplicada num conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam se certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar a sua imunização. (a) Sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3 crianças não imunizadas no grupo de 20 crianças? (b) Se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do fabricante, que critério você estabeleceria? 3.9. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) O número de chegadas a um posto de informações turísticas é modelado por um modelo Poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade de ocorrer: (a) Pelo menos uma chegada? (b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas? ([Ross, 2010] - Capítulo 4) Uma empresa que produz disquetes sabe que a probabilidade de um disquete ser produzido com defeito é de 0,01, independente um do outro. A empresa vende os disquetes em caixas com 10 unidades. Ela garante que o cliente pode devolver uma caixa de disquetes caso esta contenha mais de um disquete com defeito. Suponha que um cliente comprou 3 caixas de disquete, qual a probabilidade dele devolver exatamente um caixa ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3) Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros segundo um modelo de Poisson com taxa de 2 erros por página. (a) Qual a probabilidade de encontrar pelo menos um erro em uma página escolhida ao acado?

9 (b) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos 1 página conter pelo menos 1 erro? (c) Dentro das condições de (b), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos um erro. Você identifica o modelo dessa variável? Uma moeda não justa é tal que, em média, para sair a 2 a cara ela tem que ser jogada 5 vezes. Determine, para essa moeda, a probabilidade de sair cara quando ela é jogada uma única vez ([Ross, 2010] - Capítulo 4) Aproximadamente casamentos ocorreram na cidade do Rio de Janeiro no último ano. Calcule, tanto pela forma precisa quanto pela aproximada, a probabilidade em pelo menos um desses casais (a) ambos terem nascido no dia 30 de abril; (b) ambos fazerem aniversário no mesmo dia do ano? Por que nesse exemplo podemos fazer as contas aproximadas? Um distribuidor recebe um lote de 100 peças de um fornecedor. Como não é possível verificar todas as 100 peças o distribuidor realiza uma inspeção por amostragem, isto é, o distribuidor seleciona aleatoriamente 10 peças do lote e verifica se cada uma delas apresenta defeito. O lote será aceito pelo distribuidor se não houver peças com defeito na amostra. (a) Considerando que a amostra é recolhida com reposição calcule a probabilidade de um lote com 6 peças com defeito ser aceito pelo distribuidor. (b) Considerando que a amostra é recolhida sem reposição calcule a probabilidade de um lote com 6 peças com defeito ser aceito pelo distribuidor. (c) Para cada um dos itens acima qual deveria ser o tamanho da amostra (menor possível) para garantir que a probabilidade do distribuidor aceitar um lote com 6 peças seja menor que 0,10? Para cada item a seguir primeiro mostre que p X é função de probabilidade e em seguida identifique a distribuição de probabilidade da varável aleatória X. (a) p X (x) = 1 2 x e 2, x = 0, 1, 2,... x! (b) p X (x) = 3 ( ) 2 x, x = 1, 2, 3, ( ) ( ) (c) p X (x) = x 3 x, x = 0, 1, 2,..., ( ) 1 x (d) p X (x) = 4(x 1), x = 2, 3, 4, 5,... 3

10 Capítulo 4: Variáveis Aleatórias Contínuas 4.1. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Seja X uma variável aleatória com função densidade definida por: { C(1 x f X (x) = 2 ), 1 < x < 1 0, caso contrário (a) Determine o valor de C. (b) Determine F X, isto é, a função de distribuição de X. (c) Qual a probabilidade de X assumir valores positivos e menores que 1 2? 4.2. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.5) Obtenha o valor (ou valores) de c, para que as expressões abaixo sejam funções densidade. 0, x 1; (a) f(x) = cx, 1 < x 0; ce 6x, x > 0. (b) f(x) = cx 2 I ( c,c) (x). (c) f(x) = (c + 1)f 1 (x) cf 2 (x), x R e f 1 e f 2 são densidades ([Magalhães, 2011] - Seção 2.5) Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição: 0, x 0 x F X (x) = 2 /2, 0 < x 1/2; x 3, 1/2 < x 1; 1, x > 1. (a) Verifique que F satisfaz as propriedades de função distribuição. (b) Obtenha a função de densidade de X Para a variável aleatória do exercício (4.3.) acima faça o que se pede: (a) Esboço os gráficos de F e f e determine a imagem de X. (b) Calcule P(1/3 < X < 2/3) e P(X > 1/3 X < 2/3). (c) Encontre E(X), E(2X + 1) e E(2/X). (d) Encontre Var(X), Var(1 3X) e Var(X 2 ) ([Magalhães e de Lima, 2002] - Seção 6.1) O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir. 1 4, se 0 x < 2 1 f X (x) = 8, se 2 x < 6 Determine: 0, caso contrário.

11 (a) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar mais de 3 minutos para digitar o texto. (b) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar entre 1 e 4 minutos para digitar o texto. (c) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar menos de 3 minutos para digitar o texto, dado que ela já está digitando o texto a 1 minuto. (d) Um número b tal que P(X > b) = 0, 6. (e) O valor esperado e a variância de X ([Magalhães e de Lima, 2002] - Seção 6.1) A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade do interior é representada pela variável aleatória Y com densidade dada por: f Y (y) = 8 9 y 4 9, 0, 5 y < 2. (a) Qual a probabilidade de se gastar menos de 0,8 milhões em um ano na manutenção do asfalto nesta cidade? (b) Sabendo que já foram gastos mais de 1 milhão na manutenção do asfalto nesta cidade, qual a probabilidade deste gasto ser menor que 1,5 milhões? (c) Determine o valor esperado e a variância de Y. (d) Determine a mediana de Y. OBS: a mediana m de uma v.a. Y é tal que P(Y < m) = P(Y > m) = 1/ ([Magalhães e de Lima, 2002] - Seção 6.1) Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo probabilístico para o comprimento, em centímetros, desses fósseis. f(x) = (a) Faça o gráficos da função de densidade. x/40, 4 x < 8; x/20 + 3/5, 8 x < 10; 1/10, 10 x < 11; 0, caso contrário. (b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento ser inferior a 6cm. Determine também a probabilidade do comprimento ser superior a 5cm e inferior a 10,5cm. (c) Encontre o comprimento médio dos fósseis dessa região ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.1.2 pág.22) A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade 2x/3, 0 x < 1; f X (x) = x/3 + 1, 1 x < 3; 0, caso contrário. (a) Qual é a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido ao acaso? (b) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95% dos dias?

12 4.9. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.1.4 pág.25) Calcule E(X) e Var(X) da variável aleatória X com função de distribuição acumulada F X dada por 0, x 0 F X (x) = x 5, 0 < x < 1 1, x ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Suponha que o tempo de vida, em horas, de um certo componente eletrônico seja uma variável aleatória contínua com função de densidade definida por: { 10, se x > 10; f X (x) = x 2 0, se x 10; (a) Qual a probabilidade de um desses componentes eletrônicos durar mais de 20 horas? (b) Encontre a função distribuição de X. (c) Qual a probabilidade de, entre 6 desses componentes eletrônicos, pelo menos 3 funcionarem por pelo menos 15 horas? Quais hipóteses é preciso assumir? ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Um posto de gasolina recebe combustível uma vez por semana. Sua venda semanal, em milhares de galões de combustível, pode ser definida como uma variável aleatória contínua com função densidade definida por: { 5(1 x) 4, se 0 < x < 1; f X (x) = 0, caso contrário. Qual o tamanho do tanque desse posto para que a probabilidade dele ficar vazio antes de acabar a semana seja menor que 0.01? ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Encontre E(X) se X tem função densidade dada por: { 1 (a) f(x) = 4 xe x/2, x > 0; (b) f(x) = 0, caso contrário. { 5/x 2, x > 5; (c) f(x) = 0, x ([Magalhães, 2011] - Seção 2.5) Para X com densidade f(x) = 1 x I (0,2) (x), obtenha: { c(1 x 2 ), 1 < x < 1; 0, caso contrário. (a) A função de distribuição de X. (Dica: faça primeiro o gráfico de f) (b) P(X > 1/2). (c) P(X < 2/3 X > 1/2). (d) E(X) e Var(X) Seja X variável aleatória contínua com função de distribuição dada por: 0, x < 2; x F X (x) = 2 1, 2 x 4 1, x > 4 Determine: (a) P(1 X 3) (b) P( 1 X 1) (c) P(X > 3 X > 2.5) (d) E(X) e Var(X) (e) E(3X 2) e Var(3X 2) (f) E(X 3 + 1) e Var(X 3 + 1) Suponha que X seja uma variável aleatória de média 10 e variância 25. Para quais valores de a e b a variável aleatória Y = ax + b terá média 0 e variância 1?

13 Capítulo 5: Algumas Distribuições Contínuas 5.1. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Em uma estação, trens partem para a cidade A de 15 em 15 minutos, começando às 7:00h; e trens partem para a cidade B de 15 em 15 minutos, começando às 7:05h. Se um passageiro chega na estação em um instante uniformemente distribuído entre 7:00h e 8:00h, e pegar o primeiro trem que chegar, qual a probabilidade dele ir para a cidade A? 5.2. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Você chega em um ponto de ônibus às 10:00h e sabe que o instante em que o ônibus chega é uniformemente distribuído entre 10:00h e 10:30h. (a) Qual a probabilidade de você ter que esperar o ônibus por mais de 10 minutos? (b) Se até às 10:15h o ônibus ainda não tiver chegado, qual a probabilidade de você ter que esperar pelo menos por mais 10 minutos? 5.3. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Uma pessoa, que tenta acertar um alvo, recebe 10 pontos se o seu tiro for a 1 polegada do alvo, 5 pontos se for entre 1 e 3 polegadas do alvo, e 3 pontos se for entre 3 e 5 polegadas do alvo. Encontre o número esperado de pontos marcados, se a distância entre o tiro e o alvo for uniformemente distribuída entre 0 e ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4) Seja X U( α, α), determine o valor do parâmetro α de modo que: (a) P( 1 < X < 2) = 3/4. (b) P( X < 1) = P( X > 2) ([Ross, 2010] - Capítulo 5) O tempo (em horas) que uma máquina leva para ser consertada é uma variável aleatória exponencial com média de 2 horas. (a) Qual a probabilidade do tempo de reparo ultrapassar de 2 horas? (b) Qual a probabilidade do tempo de reparo ser no máximo de 10 horas, dado que sua duração já excedeu 9 horas? (c) Encontre o tempo de conserto para o qual podemos afirmar com 90% de certeza que a máquina vai ser consertada antes desse tempo? 5.6. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) O número de anos que um rádio funciona pode ser considerado uma variável aleatória exponencial com média de 8 anos. Se João comprou um rádio usado, qual a probabilidade dele durar por mais 8 anos? E se a distribuição não fosse exponencial, ainda é possível de fazer as contas? Por quê? Comente as respostas baseado na propriedade de falta de memória da distribuição exponencial Considere que o número de ligações que chegam em uma central telefônica segue um modelo de Poisson com média de 50 ligação por hora. Faça os itens a seguir usando primeiro a distribuição de Poisson e depois usando uma distribuição contínua.

14 (a) Qual a probabilidade da 1 a ligação do dia demorar mais de 5 minutos para chegar? (b) Qual a probabilidade da 1 a ligação do dia chegar nos primeiros dois minutos de funcionamento? 5.8. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Seja X variável aleatória exponencial com média 1/λ e k um inteiro positivo. Mostre que E(X k ) = k! λ k Suponha que o tempo (em horas) até a ocorrência de um problema na n-ésima bomba de combustível de um certo tipo de aeronave seja uma variável aleatória contínua com distribuição Gama(α = n, λ = 1/100). Se ocorre problema em uma bomba, esta é desligada e outra bomba é automaticamente acionada. Em uma dessas aeronaves foram instaladas duas bombas de combustível. Quando ocorre um problema na primeira bomba, a segunda bomba é automaticamente acionada. Se ocorrer um problema na segunda bomba durante um voo não há mais bombas para serem acionadas e por isso é necessário realizar um pouso de emergência. Considerando que essa aeronave irá realizar um voo com duração de 50 horas, responda: (a) Qual a probabilidade do voo terminar sem que a segunda bomba tenha sido acionada? (b) Qual a probabilidade de ser necessário realizar um pouso de emergência devido a problemas com a bomba de combustível? (c) Qual o tempo médio de voo dessa aeronave (com duas bombas) desde a sua decolagem até a realização de um pouso de emergência? (d) Quantas bombas deveriam ter a aeronave para que a probabilidade de realizar um pouso de emergência devido a problemas com a bomba de combustível seja menor que 1%? Seja X Gama(α, λ) e f X a sua função de densidade. Para cada um dos três casos a seguir, faça os itens i, ii e iii. (a) α < 1; (b) α = 1; (c) α > 1. i. Encontre lim x 0 f X (x) e lim x f X (x); ii. Verifique o sinal de d dx f X(x), x > 0; iii. Com as informações acima faça um esboço do gráfico de f X A umidade relativa, quando medida um determinado local, pode ser considerada uma variável aleatória com função densidade dada por { ky f(y) = 3 (1 y) 2, se 0 y 1 0, caso contrário. (a) Encontre o valor de k para que f seja realmente função de probabilidade. (b) Qual o modelo probabilístico adotado para a variável umidade relativa? Porque esse modelo é adequado para esse tipo de variável? (c) Sabe-se que se a umidade relativa ficar abaixo de 30%, a localidade entra em estado de atenção. Calcule a probabilidade da localidade entrar em estado de atenção, segundo o modelo proposto.

15 5.12. O custo de reparação semanal, para uma determinada máquina, em centenas de reais, é uma variável aleatória com distribuição beta de parâmetros α = 1 e β = 3. Qual a quantia que deve ser reservado para os custos de reparação, por semana, de forma a garantir que em apenas 10% das semanas o custo de reparação semanal exceda o montante reservado? Expresse os itens a seguir em termos da função Gama. Quando possível encontre a resposta numérica. Quando isso não for possível, reduza ao máximo o argumento da função Gama. (a) (d) Γ 0 x 3 e 2x dx ( ) ( ) 5 3 B 2 2, Seja X Beta(α, α). (b) (e) 0 x 1 3 e x 4 dx (c) x 9 2 e 1 2 x dx 0 ) 1 x (1 x) 2 dx B ( 7 2, 7 2 B ( 5 2, 11 2 ) (f) (a) Mostre que a função de densidade de X é simétrica em torno de 1/2. (b) Sem fazer contas, encontre E(X). (c) Esboce o gráfico da função de densidade de f X para: α < 1, α = 1 e α > 1. Antes de esboçar o gráfico determine, para cada caso: lim x 0 f X (x), lim x 1 f X (x) e o sinal de d dx f X(x), para 0 < x < A mediana de uma variável aleatória contínua X é o valor m tal que P(X < m) = P(X > m) = 1/2. Encontre a mediana de X para: (a) X U(a, b); (b) X Exp(λ). (c) X P areto(α, b) Cada item a seguir apresenta uma função de densidade. Identifique o modelo probabilístico da v.a. com essa distribuição, assim como o valor dos parâmetros. (a) f X (x) = 1/2, 1 < x < 1. (b) f X (x) = e x/3 3, x > 0. (c) f X (x) = 4x 2 e 2x, x > 0. (d) f X (x) = 4 (1 x) 9 3, 0 < x < 1. x 2 (e) f X (x) = 32 x 3, x 4. (f) f X (x) = e x πx, x > 0. (g) f X (x) = 1 2 xe x2 /4, x > 0. 0

16 Capítulo 6: Funções de Variáveis Aleatórias Contínuas 6.1. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ = 1, encontre a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y definida por Y = ln(x) ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Se X U(0, 1), encontre a função de densidade de Y = e X ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Se X U(a, b) e Y U(0, 1), quais os valores α e β tais que Y = αx + β? 6.4. ([Bussab e Morettin, 2002] - pág.186) Suponha X com f.d.p. definida a seguir. Seja Y = e X. Determine a f.d.p. de Y. { 3x 2 f X (x) = 2, 1 < x < 1; 0, caso contrário Seja X um variável aleatória contínua com distribuição de Pareto de parâmetros α e b. Mostre que Y = ln(x/b) Exp(α) Seja X variável aleatória contínua com função densidade f X (x) = kxi (0,2) (x). Encontre a densidade Y = X(2 X) (Dica: primeiro encontre o valor de k) Seja X Beta(α, 1). Mostre que ln(x) Exp(α). Para o exercícios a seguir considere X v.a. contínua com função de densidade { 2x, se 0 < x < 1 f X (x) = 0, caso contrário Seja Y = 1/X. Encontre f Y e faça seu gráfico Seja Y = (X 1/2) 2. Encontre f Y e faça seu gráfico Seja Y = X 1/4. Encontre f Y e faça seu gráfico Seja Y = min(3x 2, 1 X 2 ). Encontre f Y e faça seu gráfico Considere X variável aleatória contínua com função de densidade f X definida a seguir. Para Y = 2X 1, encontre f Y e faça seu gráfico. 1 2, se 1 < x 0 f X (x) = x, se 0 < x < 1 0, caso contrário Encontre a distribuição da variável aleatória dada pela raiz quadrada de uma outra que tem distribuição Gama de média e variância iguais a ([James, 2004] - ex.13 pág.90) Se X tem densidade f X (x) = e 2 x, x R, qual a densidade de Y = X? Dê uma repassada em todos os exercícios desta lista apontando aqueles que poderiam ser resolvidos com o Método Jacobiano. Se você ainda não tiver usado esse método na resolução dos exercícios, escolha alguns para usá-lo e compare a resposta a partir do Método do Jacobiano com a resposta a partir do Método da Função de Distribuição.

17 Capítulo 7: A Distribuição Normal 7.1. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Se X é variável aleatória com parâmetros µ = 10 e σ 2 = 36, calcule: (a) P(X > 5) (b) P(4 < X < 16) (c) P(X < 8) (d) P(X < 20) (e) P(X > 16) 7.2. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Suponha que X seja uma variável aleatória normal com média 5. Se P(X > 9) = 0.2, aproximadamente quanto vale Var(X)? 7.3. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Seja X variável aleatória normal de média 12 e variância 4. Encontre o valor de c tal que P(X > c) = ([Ross, 2010] - Capítulo 5) A largura da fenda de uma peça forjada de duralumínio é (em polegadas) normalmente distribuída com µ = 0, 900 e σ = 0, 003. Os limites de especificação dessa fenda foram dados como 0, 900 ± 0, 005 polegadas. (a) Qual porcentagem das peças forjadas são defeituosas, isto é, estão fora da especificação? (b) Qual o valor máximo permitido para σ que garante não mais que 1 peça defeituosa em cada 100 observadas quando a largura da fenda for normalmente distribuída com µ = 0, 900 e σ? 7.5. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Se um indivíduo é selecionado de forma aleatória para fazer um teste de QI a sua nota pode ser considerada uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15. Qual a probabilidade da nota dessa pessoa ficar (a) abaixo de 125? (b) entre 90 e 110? 7.6. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Suponha que o tempo gasto no trajeto da sua casa até universidade seja uma variável aleatória normal com média 40 minutos e desvio padrão de 7 minutos. Suponha também que todos os dias da semana sua aula começa às 9:00h. (a) Se você sair de casa às 08:10h, qual a probabilidade de se atrasar? (b) Se durante um mês você sair de casa todos os dias às 08:10h, qual a probabilidade de se atrasar mais de duas vezes? (considere um mês com 20 dias úteis) (c) Se você quer ter 95% de certeza que não vai se atrasar, qual o horário mais tarde que você pode sair de casa? 7.7. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) A vida de um certo tipo de pneus automotivos é normalmente distribuída com média de milhas e desvio padrão milhas. (a) Qual a probabilidade desse pneu durar mais de milhas? (b) Qual a probabilidade desse pneu durar entre e milhas?

18 (c) Dado que um certo pneu já rodou milhas, qual a probabilidade condicional dele rodar por mais milhas? 7.8. ([Ross, 2010] - Capítulo 5) A quantidade de chuva anual em uma certa cidade é aproximadamente normal com média 40,2 polegadas e desvio padrão de 8,4 polegadas. (a) Qual a probabilidade de no próximo ano chover mais de 44 polegadas? (b) Qual a probabilidade de em exatos 3 dos próximos 7 anos chover mais de 44 polegadas? 7.9. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.2 pag.75)) Suponha que os tempos de vida de 2 marcas de aparelhos elétricos sejam variáveis aleatórias T 1 e T 2, onde T 1 N(42, 36) e T 2 N(45, 9). Se o aparelho deve ser usado por um período de 45 horas, qual marca deve ser preferida? E se for por um período de 49 horas? ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.3 pag.75)) Numa distribuição normal, 31% dos elementos são menores que 45 e 8% são maiores que 64. Calcular os parâmetros que definem a distribuição ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.9 pag.76)) A distribuição dos pesos de coelhos criados em uma granja pode ser representada por uma distribuição normal com média de 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg. Um abatedouro comprará coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso da seguinte forma: 20% dos leves como pequenos, os 55% seguintes como médios, os 15% seguintes como grandes e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação? ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4) Sendo X N(µ, σ 2 ), µ > 0, avalie as probabilidades abaixo em função de Φ(z) ou numericamente, se possível: (a) P( X < µ) (b) P( X µ > 0) (c) P(X µ < σ) (d) P(σ < X µ < 2σ) ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4) Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal com parâmetros µ = 1 e σ 2 = Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, perguntase: (a) A probabilidade de todas as três terem pelo menos 980ml? (b) A probabilidade de não mais de uma ficar com volume inferior a 980ml? ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4) Seja X N(µ, σ 2 ) o desempenho de um certo equipamento. Ele será considerado fora de controle se afastar de µ por mais de 2σ unidades. Todo dia, o equipamento é avaliado e, caso esteja fora de controle, será desligado e enviado para manutenção. Admita independência entre as avaliações diárias. Determine a probabilidade de: (a) No primeiro dia o equipamento ser desligado. (b) A primeira manutenção ser no décimo dia. (c) Você reconhece a variável que conta os dias até a manutenção? ([Ross, 2010] - Capítulo 5) Mostre que Γ(1/2) = π. (Dica: Γ(1/2) = 0 e x x 1/2 dx. Faça a substituição y = 2x e então reconheça a semelhança com a expressão da densidade normal.)

19 Capítulo 8: Momentos e sua Função Geradora 8.1. ([Magalhães, 2011] - Seção 5.2) Para X U(a, b), obtenha E[X k ], k N e calcule sua variância ([Meyer, 2011] - ex.4 pág.261) Suponha X o resultado de uma moeda equilibrada. (a) Determine a função geradora de momentos de X. (b) Empregando a função encontrada no item anterior, calcule E[X] e V ar(x) Seja X uma variável aleatória tal que sua função densidade de probabilidade é dada por: f X (x) = 3e 3(x 1), x > 1. Determine a função geradora de momentos de X, isto é, M X (t). Em seguida calcule E(X) a partir de M X ([Meyer, 2011] - ex.6 pág.261) Suponha X uma v.a. com f.d.p. dada por f X (x) = 1 exp{ x }, x R. 2 (a) Determine a função geradora de momentos de X. (b) Empregando a função encontrada no item anterior, calcule E[X] e V ar(x) ([Magalhães, 2011] - Seção 5.3) Considere que a variável X segue o modelo Laplace (ou Exponencial Duplo), isto é, sua densidade é dada por f X (x) = λ exp{ λ x µ }, x R, 2 com λ > 0 e < µ <. Determine a média e a variância de X diretamente e através de sua função geradora de momentos ([Meyer, 2011] - ex.8 pág.261) Suponha que a função geradora de momentos de uma v.a. X seja da forma M X (t) = (0, 4e t + 0, 6) 8. (a) Qual a função geradora de momentos de Y = 3X + 2? (b) Calcule E[X]. (c) Você pode verificar sua resposta de (b) por algum outro método? Tente reconhecer M X (t) Para as v.a. dos exercícios 8.4. e 8.6., use a função geradora de momentos encontrada para calcular os coeficientes de assimetria das variáveis Mostre, a partir da função geradora de momentos, que se X U(a, b) e Y = cx + d então Y também tem distribuição uniforme. Em qual intervalo?

20 8.9. ([Meyer, 2011] - ex.11 pág.261) Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade se X Gama(α = n/2, λ = 1/2). Neste caso usamos a notação X χ 2 (n). Seja X χ 2 (n), usando a função geradora de momentos de X, mostre que E[X] = n e V ar(x) = 2n Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Log-Normal com parâmetros µ e σ 2 se ln(x) tem distribuição N(µ, σ 2 ). Ou seja, se X = e Y com Y N(µ, σ 2 ). Neste caso usamos a notação X Log-Normal(µ, σ 2 ). Seja X Log-Normal(µ, σ 2 ). A partir da função geradora de momentos da distribuição Normal mostre que E(X) = e µ+σ2 /2 e Var(X) = e 2µ+2σ2 e 2µ+σ2. OBS: Não é para encontrar a função geradora de momentos de X Log-Normal(µ, σ 2 ), pois esta inclusive não existe ([Meyer, 2011] - ex.18 pág.262) Se uma v.a. X tiver função geradora de momentos M X (t) = 3/(3 t), qual o desvio padrão de X? Se a função geradora de momentos de alguma variável aleatória existe e é dada pela expressão M X (t) = e 3(et 1), para t R, então determine P(X 1) Em cada item a seguir identifique o modelo probabilístico da variável aleatória X cuja função geradora de momento é M X. (a) e et e 1 3 (b) 3 4t, t < 3 4 (c) 2et 3 e, t < ln(3) t (d) 1 ( 8 e t 1 ) 3 25 (e) 3, t < 5 (f) et(2t 3) (5 t) ([DeGroot e Schervish, 2012] - ex.1 pág.358) Suponha X uma v.a. tal que P (X 0) = 1 e P (X 10) = 1/5. Prove que E[X] ([DeGroot e Schervish, 2012] - ex.2 pág.358) Suponha X uma v.a. tal que E[X] = 10, P (X 7) = 0, 2 e P (X 13) = 0, 3. Prove que V ar(x) 9/ Um posto distribui senhas de atendimento no início do dia. Diariamente são distribuídas 150 senhas e há indivíduos que não recebem senha, estes devem voltar outro dia para tentar uma nova senha. Considere saber apenas que por dia, em média, 120 indivíduos buscam uma senha nesse posto. (a) Encontre uma cota superior para a probabilidade de mais de 50 indivíduos ficarem sem senha em um determinado dia. (b) Encontre uma cota superior para a probabilidade de mais de 100 indivíduos ficarem sem senha em um determinado dia. (c) Quantas senhas deveriam ser distribuídas para garantirmos, com a pouca informação que temos, que em menos de 40% dos dias vai haver mais de 80 pessoas sem senha? Suponha que o diâmetro de um certo tipo de parafuso produzido por uma fábrica seja uma variável aleatória de média 5mm e desvio padrão de 1,5mm. Segundo as especificações técnicas, o diâmetro desse tipo de parafuso tem que estar entre 3mm e 7mm, caso contrário ele é descartado pela fábrica. Apenas com essas informações, encontre uma cota inferior para a probabilidade de um parafuso estar dentro das especificações técnicas.

21 Referências Bibliográficas [Bussab e Morettin, 2002] Bussab, W. e Morettin, P. (2002). Estatística Básica. Editora Saraiva, 5 edição. [DeGroot e Schervish, 2012] DeGroot, M. e Schervish, M. (2012). Probability and Statistics. Pearson, 4 edição. [Farias e Laurencel, 2008] Farias, A. e Laurencel, L. (2008). Variáveis aleatórias discretas. [Farias e Laurencel, 2009] Farias, A. e Laurencel, L. (2009). Variáveis aleatórias contínuas. [James, 2004] James, B. R. (2004). Probabilidade: um curso em nível intermediários. IMPA, 3 a edição. [Magalhães, 2011] Magalhães, M. N. (2011). Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Edusp, 3 a edição. [Magalhães e de Lima, 2002] Magalhães, M. N. e de Lima, A. C. P. (2002). Noções de Probabilidade e Estatística. Edusp, 5 a edição. [Meyer, 2011] Meyer, P. L. (2011). Probabilidade: aplicações à estatística. LTC. [Ross, 2010] Ross, S. (2010). A first course in probability. Prentice Hall, 8 a edição.

22 Gabarito Capítulo (a) Im(X) = {1, 2, 3,...} e X é discreta (b) Im(Y ) = {0, 1, 2, 3,...} e Y é discreta (c) Im(Z) = (0, ) e Z não é discreta (d) Im(W ) = {0, 1} e W é discreta (a) Ω = {(w 1, w 2, w 3 ) w i = H, K, para i = 1, 2, 3} (b) 1/8 (c) Im(X) = { 3, 1, 1, 3} e X é discreta (a) Im(X) = { 3, 2, 1}, X é discreta, X não é contínua (b) (c) (d) Im(X) = {0, 1/3, 2/3, 1}, X é discreta, X não é contínua (b) X é contínua (c) Im(X) = (0, 1) (d) P(X > 0, 3) = P(X 0, 3) = 0, 91, P(X = 0, 3) = 0, P(0, 3 X 0, 8) = 0, (b) X é discreta (c) Im(X) = {1/2, 1, 3/2} (d) P(X > 1) = 1/3, P(X 1) = 2/3, P(X = 1) = 1/3, P(1 X 2) = 2/ a = 2/3 e b = 1/ (b) Im(Y ) = [0, 2] (c) 1.8. (a) X é v.a. discreta (b) P(X 0) = P(X = 0) = 1/2 (c) P(X 1) = 1 e P(X > 1) = 1/ (a) c = 1 e 1 + e 2 (b) X é contínua e f X (x) = 0, se x < 1; (1/c)e (x 1), se 1 x < 2; (2/c)e 2(x 1), se x 2 (c) P(X 3 2 X < 4) = 0, Capítulo Im(X) = { 2, 1, 0, 1, 2, 4} e p X ( 2) = 28/91, p X ( 116/91) =, p X (0) = 1/91, p X (1) = 32/91, p X (2) = 8/91, p X (4) = 6/ (a) Im(X) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; p X (x) = (2x 1)/36, x Im(X) (b) 2.4. c = 1/ F G (g) = 0 se g < 2; 0, 3 se 2 g < 2, 5; 0, 5 se 2, 5 g < 3; 0, 8 se 3 g < 3, 50, 9 se 3, 5 g < 4; 1 se g (a) - (b) E(X) = (c) Y = 4 X e Esp(Y ) = 4 81 = (d) - (e) - (f) Var(X) = Var(Y ) = E(X) = (a) E(X) = (b) E(X 2 ) = 0.5 (c) - (d) Var(X) = 31/ (a) 0,5918 (b) não (c) -0, (b) E(X) = 39, 28 e E(Y ) = 37 (c) Var(X) = 82, 2 e Var(Y ) = 84, Com apenas um número: ganho esperado = -0,7 reais e variância do ganho = 899,91. Com 100 números: ganho esperado = -70 reais e variância do ganho = , (a) 14 (b) Falsa Capítulo (a) X Bin(8; 0, 4) e P (X 3) = 0, 51 (b) X hiper(10; 4; 8) e P (X > 3) = 0, 34 (c) X BinNeg(3; 0, 4) e P (X = 8) = 0, 104 (d) X Geom(0, 4) e P (X > 8) = 0, 016 (e) X P oisson(0, 32) e P (X = 3) = 0, (a) 145 (b) 0, (a) - (b) 12,5% de desconto em média (c) 0,868 (d) 0, (a) 1/ (b) 1/ (c) 1/ (d) 1/ ,9799; -15,6787; -133,2698; -799, (a) Y Bin(n, 1 p) (b) Y é a forma alternativa da geométrica com o mesmo parâmetro p.

23 3.7. (a) 0,1316 (b) 0, (a) 0,205 (b) (a) 0,8647 (b) 0, , (a) 0,8647 (b) 1 (c) B(n = 5, p = 0, 8647) , (a) exata: 1 (1 1/365 2 ) ; aproximada: 1 e 0,6 0, 4512 (b) exata: 1 (1 1/365) ; aproximada: 1 e 219, (a) 0, (b) 0, (c) 38 e (a) X P oi(λ = 2) (b) X Geom(p = 3/5) (c) X B(n = 10, p = 1/4) (d) X BinNeg(r = 2, p = 2/3). Capítulo (a) 3/4 (b)f (x) = 0, se x < 1; ( x 3 + 3x + 2)/4, se 1 x < 1; 1, se x > 1 (c) 11/ (a)3/2 (b)1,11 (c)c > (b) f(x) = x, se 0 < x 1/2; 3x 2, se 1/2 x < 1; 0, caso contrário (b) 0,24 e 0,81 (c) E(X) = 0, 74, E(2X + 1) = 2, 48 e E(2/X) = 1, 625 (d) V ar(x) = 0, 052, V ar(1 3X) = 0, 468 e V ar(x 2 ) = (a) 3/8 (b) 1/2 (c) 1/2 (d) b = 1, 6 (e) E(X) = 2, 5 e Var(X) = 3, (a) 0, 04 (b) 0, 625 (c) E(X) = 1, 5 e Var(X) = 0, 125 (d) Med(X) = 1, (a) 0,25 (b) 0,84 (c) 7,45 cm (a) 0,375 (b) 245kg E(X) = 5/6 e V ar(x) = 0, (a) 0,5 (b) F (x) = 0, se ; ( 10/x) + 1, se x > 10 (c) 2/ galões (a) 4 (b) 0 (c) (a) F (x) = 0, se x < 0; x (1/2)x 2, se 0 x < 1; 1 x + (1/2)x 2, se 1 x < 2; 1 se x 2 (b) 5/8 (c) 1/9 (d) E(X) = (a) 1/2 (b) 0 (c) 2/3 (d) E(X) = 3 e Var(X) = 1/3 (e) E(3X 2) = 7 e Var(3X 2) = 3 (f) E(X 3 + 1) = 31 e Var(X 3 + 1) 261, (a) a = (1/5) e b = 2 ou a = ( 1/5) e b = 2. Capítulo / (a) 2/3 (b) 1/ ,6 pontos (a) α = 2 (b) α = (a) e (b) e 1/ (c) 2 ln(10) 4.6 horas, isto é, 4 horas e 36 minutos P(rádio funcionar por mais 8 anos) = e 1. Se a distribuição não fosse exponencial, não dá pra fazer as contas (a) e 25/6 (b) 1 e 5/ (a) (b) (c) (d) (a) 60 (b) Beta(4, 3) (c) (a) 3/8 (b) 2 3 2Γ(2/3) (c) 945 2Γ(1/2) (d) (1/2)Γ(1/2) (e) 224/(189Γ(1/2)) (f) (1/16)(Γ(1/2)) (a) (b + a)/2 (b) ln(1/2)/λ (c) 2 1/α b (a) X U[ 1, 1] (b) X Exp(λ = 1/3) (c) X Gama(α = 3, λ = 2) (d) X Beta(α = 1/3, β = 2) (e) X P areto(α = 2, b = 4) (f) X Gama(α = 1/2, λ = 1) (g) X W eilbull(α = 2, β = 2).

24 Capítulo f(y) = e ( ey )+y, < y < f(y) = 1/y, se 1 < y < e; 0, caso contrário α = 1/(b a) e β = a/(b a) ou α = 1/(b a) e β = b/(b a) f(y) = 3 ln 2 (y)/(2y), se 1/e < y < e; 0, caso contrário f(y) = 1/(2 1 y),se 0 < y < 1; 0, caso contrário 6.8. f(y) = 2/y 3, se y > 1; 0, caso contrário f(y) = 1/ y, se 0 < y < 1/4; 0, caso contrário f(y) = 1, se 0 < y < 1/4; (4y + 1)/2, se 1/4 < y < 3/4; 0, caso contrário f(y) = 4/3, se 0 < y < 3/4; 0, caso contrário. Ou seja, Y U(0, 3/4) f(y) = 1/4, se 3 < y < 1 ;(y + 1)/4, se 1 < y < 1; 0, caso contrário f(y) = 2ye y2, se y > 0; 0, caso contrário. Ou seja, Y W eibull(α = 2, β = 1) f(y) = 2e 2y, se, y > 0; 0, caso contrário. Ou seja, Y Exp(λ = 2) Capítulo (a) 0,7977 (b) 0,6827 (c) 0,3695 (d) 0,9522 (e) 0, , c = (a) 9,5% (b) σ = 0, (a) 0,0478 (b) 0, (a) (b) (c) Você deve sair de casa no máximo 8,485 minutos depois das 8:00h (a) 0,0668 (b) 0,44 (c) 0, (a) 0,3255 (b) (a) 0, 5 Φ( 2µ/σ) (b) 1 (c) Φ( 1) = 0, 1587 (d) 2[Φ(2) Φ(1)] = 0, (a) 0,9331 (b) 0, (a) 0,0456 (b) 0,03 (c) Geométrica com p = 0, Capítulo E(X k ) = (b k+1 a k+1 )/(k + 1)(b 1) e Var(X) = (b a) 2 / M X (t) = (1 + e t )/2, E(X) = 1/2 e Var(X) = 1/ M X (t) = 3e t /(3 t) e E(X) = 4/ (a) M X (t) = (1 t 2 ) 1 (b) E(X) = 0 e Var(X) = M X (t) = eµt 1 ( t λ )2 E[X] = µ V ar(x) = 2/λ (a) M Y (t) = e 2t (0, 4e 3t + 0, 6) 8 (b) E(X) = 3, 2 (c) Sim, X B(n = 8, p = 0, 4) E(X) = np e 0, / e (a) X P oisson(λ = 1) (b) X exp(λ = 3/4) (c) X geo(p = 2/3) (d) X B(N = 3, p = 1/2) (e) X Gama(α = 2/3, λ = 5) (f) X N(µ = 3, σ 2 = 4) (a) 0,6 (b) 0,48 (c) 220 senhas P(estar dentro das especificações técnicas) 0, 4375.