ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM A análise combinatória é um ramo da matemática que tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possui aplicação direta no calculo das probabilidades, sendo instrumento de vital importância para as ciências aplicadas, como a medicina, a engenharia e a estatística entre outras. Exemplos: a) Em quantas ordem quatro pessoas podem senta num sofá de 4 lugares? Vamos imagina da seguinte maneira: A primeira pessoa tem 4 opções para senta-se, pois são 4 lugares, a segunda tem 3 opções para senta-se, pois um já esta ocupada, a terceira tem 2 opções para sentase e a quarta pessoa só tem uma opção para senta-se. Conclui-se que o calculo fica: 4 3 2 1 = 24 Logo são 24 possibilidades Outra maneira de resolver é construindo a árvore de possibilidades. b) De quantos modos 3 pessoas podem sentar em 5 cadeiras? Seguindo o mesmo raciocínio da questão anterior a primeira pessoa tem 5 opções para senta-se a segunda tem 4 opções para senta-se e a terceira tem 3 opções para senta-se. Então o calculo fica assim:
5 4 3 = 60 Logo são 60 modos deferentes que três pessoas podem senta-se em 5 cadeira. c) Quantos números de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal de numeração? Seja AB um número composto de dois algarismos, em que A representam as dezenas e B representa as unidades. No sistema de numeração temos 10 algarismos que são (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), nestas condições não podemos começar com zero unidade. Então temos 9 opções para o A e 10 opções para o B, logo o calculo fica assim: 9 10 = 90 Logo podemos formar 90 números de 2 algarismos que são eles (10, 11, 12,..., 97, 98, 99). d) Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados? 12 8 = 96 Podemos formar 96 casais e) (Unicamp-SP) Sabendo que números de telefone não começam com o zero e nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos
Seja ABCDEFG um número composto de 7 algarismo. Nesta situação só temos restrições no primeiro número representado pela letra A, pois nem pode ser zero e nem o numero 1, então fica só 8 opções para o primeiro número que são eles (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) e os outros B, C, D, E, F e G são 10 opções, que são (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), Logo o calculo fica assim: 8 10 10 10 10 10 10 = 8 10 6 = 8000000 Então pode ser formado 8 milhões, números deferentes. Agora que você já esta esperto neste assunto resolva alguns exercícios Exercícios 1) Quantos números de 3 algarismo distintos podemos formar? Considerando o conjunto dos algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) 2) Fazer mais 2. PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutação simples de n elementos distintos é qualquer grupo ordenado desses n elementos. Permutando os três elementos de A=( a, b, c), por exemplos: (a, b, c); (a, c, b); (b, a, c); (b, c, a); (c, a, b); (c, b, a) Obtemos o numero de permutação igual a 6. Note que para a primeira posição temos há três possibilidades (qualquer das letras), segunda posição sobram duas letras (2 possibilidade) e para a terceira posição só uma letra ainda não usada. Outro exemplo é de quantas maneiras podem ser organizados quatros pessoas em uma fila.
Sendo (p 1, p 2, p 3, p 4 ) as pessoas, vamos começa com p 1; (p 1, p 2, p 3, p 4 ) ; (p 1, p 2, p 4, p 3 ); (p 1, p 3, p 2, p 4 ); (p 1, p 3, p 4, p 2 ); (p 1, p 4, p 2, p 3 ); (p 1, p 4, p 3, p 2 ), observe que colocando a primeira pessoa no inicio da fila temos 6 maneiras diferentes para compor a fila e colocando a segunda pessoas no começo da fila temos mais 6 maneiras e assim com as outras duas, acompanhe a demonstração. Começando com p 2 (p 2, p 3, p 4, p 1 ) ; (p 2, p 3, p 1, p 4 ); (p 2, p 4, p 3, p 1 ); (p 2, p 4, p 1, p 4 ); (p 2, p 1, p 4, p 3 ); (p 2, p 1, p 3, p 4 ) Começando com p 3 (p 3, p 1, p 2, p 4 ) ; (p 3, p 1, p 4, p 2 ); (p 3, p 2, p 1, p 4 ); (p 3, p 2, p 4, p 1 ); (p 3, p 4, p 1, p 2 ); (p 3, p 4, p 2, p 1 ) Começando com p 4 (p 4, p 1, p 2, p 3 ) ; (p 4, p 1, p 3, p 2 ); (p 4, p 2, p 1, p 3 ); (p 4, p 2, p 3, p 1 ); (p 4, p 3, p 1, p 2 ); (p 4, p 3, p 2, p 1 ), Somando todas as maneiras diferentes das pessoas, temos 24 maneiras diferentes de organizar a fila. Que é o número de permutação. Então para calcular o número de permutações simples, usamos o fatorial. Veja como resolver estes dois exemplos anteriores, o primeiro exemplo tem um conjunto de 3 elementos, logo é: 3! = 3 2 1 = 6 e o segundo tem um conjunto de 4 elementos que é: 4! = 4 3 2 1 = 24. Portanto, o número de permutação simples de n elementos distintos é igual a n fatorial. n! = n (n 1) (n 2) (n 3)... 2 1 Exemplos: 1) Considerar a palavra TALENTO e determinar: a) O número total de anagramas b) O número de anagramas que começam com a letra T c) O número de anagramas que começa com a letra T e termina com a letra O d) O número de anagramas que começam com vogal.
a) Como a palavra tem 7 letra o número total de anagrama é: 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 b) Para Calcular o número de anagrama que começam com a letra T, fixamos a letra T e permutamos as demais. 1 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 c) Neste Caso vamos fixar a letra T e a letra O e permutamos as demais. 1 5! 1 = 5 4 3 2 1 = 120 d) Seguindo a regra dos itens anteriores temos três vogais A, E e O, logo temos: Para a primeira vogal 1 6!, para a segunda 1 6! e para a terceira 1 6!, logo o calculo é: 3 1 6! = 3 6 5 4 3 2 1 = 2160 anagramas 2) Em uma estante temos 12 livros, dos quais 3 são de historia da matemática. De quantas formas podemos organizá-los, de modo que fiquem sempre juntos? Temos três livros que não pode ficar separados, logos estes três livros se torna um único elemento do conjunto, mas entre eles podem ser permutados, então: 3! = 6 Como os três livros da historia da matemática é um único elemento, então temos um conjunto com 10 elementos 10! Portanto, o número total de forma possível de organizar estes livros é: 3! 10! = 6 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21772800 Observe este exemplo: De quantos modos 3 pessoas podem sentar em 5 cadeiras? Este exemplos não dar para resolver usando o fatorial observe que a primeira pessoa tem 5 opções para senta-se a segunda tem 4 opções para senta-se e a terceira tem 3 opções para senta-se, mas não tem a quarta pessoa e nem a quinta pessoa. Estes problemas são resolvidos pelo Principio fundamental da contagem e por Arranjos Simples.
3. ARRANJO SIMPLES Chama se arranjos simples todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo p n. cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela ordem ou natureza de seus elementos. Veja como resolver o problema citado acima: Temos um conjuntos de 3 elementos e outro de 5 elementos, representando a quantidade de modos diferentes pela letra Q, temos: Q = ( ) = = 5 4 3 = 60 Logo são 60 modos deferentes que três pessoas podem senta-se em 5 cadeira. A notação para o número de arranjos simples de n elementos tomado de p a p é dada por A n, p e equação para encontra o números de arranjos simples é: A n, p = ( ), sendo p Observação: No caso especial em que p = n, teremos uma Permutação Simples, pois se p = n, temos: A n, n = ( ) = = Exemplos: a) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9? A 5, 3 = ( ) = = = 60 Portanto, podemos formar 60 números. b) Uma senha de um computador é formada por duas letras distintas do alfabeto (com 26 letras disponíveis), seguida de quatro algarismo distintos ( com 10
disponíveis), Quantas opções diferentes podemos digitar para encontra a senha correta? Neste caso podemos observar que as senhas podem ser formadas com as mesmas letras e os mesmos algarismos, com ordens diferentes, por exemplos AB1234 e BA1234. Então, cada senha é formada pelo produto dos arranjos das letras e o arranjo dos algarismos. A 26, 2 A 10, 4 = ( ) ( ) = = 26 25 10 9 8 7 = 3276000 Podem ser digitadas 3276000 senhas diferentes. = 4. COMBINAÇÃO SIMPLES a) Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles devem representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? A combinação simples se diferencia do arranjo simples, por que um grupo com quatro elementos, mesmo mudando as posições dos elementos o grupo permanece o mesmo, por exemplo, um grupo de 4 pessoas mesmo que troque as posições, eles permanece sendo as mesmas pessoas. Para um melhor entendimento vamos exemplificar com um número menor de pessoas.
b) Supondo que a Escola Tenha 3 professores e que dois deles devem representar a escola no congresso, sendo p 1, p 2 e p 3 os professores temos: (p 1, p 2 ), (p 1, p 3 ), (p 2, p 3 ), observe que podemos formar só três grupos com duas pessoas. Então, estas combinações podem ser resolvidas com o quociente do arranjo simples do conjunto de n elementos, pelo fatorial p dos grupos a ser formados. Resolvendo este ultimo exemplos temos: = = ( ) = = = = 3 Logo podemos formar três grupos de 2 pessoas. Agora que você já sabe como resolver estas combinações vamos encontrar uma equação para facilitar o calculo da combinação simples, depois resolveremos o exemplo do item a. = ( ), temos aqui uma divisão de fração, Logo = ( ) = ( ), sendo Então esta equação calcula o número de combinações simples. Para simplificar a expressão, vamos substituir, por, dessa forma a equação é = ( ) Agora vamos resolvera o item a que diz assim: Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles devem representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis?
= ( ) = = =, dividindo 9 por três, 8 por 4 e 6 por dois temos = = = 126 É possíveis formar 126 grupos. Referencia SILVIA, Claudia Xavier; BARRETO FILHO, Benigno. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 2005. SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática. São Paulo: FTD, 2010.