3 Métodos umécos d Aáls d Atas 3.. Métodos umécos Poblmas d spalhamto ltomagétco absoção dvdo a copos dlétcos, ão homogêos, sstvos, d fomas abtáas, têm sdo svamt tatados a ltatua po causa da sua psça a maoa das stuaçõs pátcas, cludo mcoodas paa tapa m câc, acoplamto d mísss com abtuas pchdas com dlétcos aáls d atas d comucação a psça d ão homogdads létcas magétcas. Quado o tamaho do obto dlétco ão é m gad, m pquo, compaado ao compmto d oda da xctação, métodos asstótcos ão podm s aplcados soluçõs goosas das quaçõs d Maxwll são cssáas. Assm, sss casos, é patcamt mpossívl a aplcação d qualqu tatamto aalítco. Isto oco dvdo pcpalmt, às gomtas às codçõs d cotoo às quas os poblmas stão submtdos. Dsta maa, obsva-s a gad mpotâca dos métodos umécos xpmtas. Dvdo ao alto custo das soluçõs xpmtas, os métodos umécos são os mas utlzados, cotado-s m uma posção d dstaqu uto às dvsas áas d psqusa. Métodos umécos tão, podm s dsctos como "métodos umécos" paa solução, com a utlzação d computados, d ctos tpos d quaçõs qu modlam matmatcamt poblmas da ossa vda al. o tato, val lmba qu ssas quaçõs uca modlam "xatamt" o poblma al m s, afal, smula computacoalmt um poblma al é bastat complcado. Apas modlos smplfcados são tatados, mas é smp possívl obt, atavés dsss modlos, uma boa apoxmação paa o poblma al. A csct volução da tcologa computacoal possbltou a aplcação d métodos umécos m dvsos amos da físca da ghaa.
Métodos umécos d Aáls d Atas 9 m poblmas d adação spalhamto, od as quaçõs d Maxwll são aalsadas, os métodos umécos podm s bascamt dvddos m duas classs: métodos d solução d quaçõs tgas métodos d solução d quaçõs dfcas. Dt as váas apoxmaçõs d quaçõs tgas, fomulaçõs d supfíc são as mas atatvas paa codutos pftos, mpdâca ou stutuas d matas m camadas, quato as fomulaçõs d volum são patculamt mas adquadas paa modla spalhados ão homogêos. a solução dstas quaçõs tgas, os mas cohcdos métodos são o Método dos Momtos [9] o Método dos lmtos d Cotoo []-[]. Ambos têm sdo aplcados m uma vadad d poblmas d duas tês dmsõs, são também chamados d téccas xatas, po causa d sua gaata d covgêca m dsctzaçõs dsas. ttato, ls possum a dsvatagm d sm dfícs d mplmta paa obtos complxos, também sultam m matzs chas, cuo tatamto qu uma quatdad om d mmóa. Isto é patculamt vdad paa aplcaçõs tdmsoas, po causa dsto, apoxmaçõs d quaçõs dfcas toam-s mas populas. sts métodos po sua vz, podm s sub dvddos m Método d lmtos Ftos [3] Método d Dfças Ftas [4]. Ao cotáo da apoxmação das quaçõs tgas, sts métodos d quaçõs dfcas lvam a fomulaçõs bm smpls são, potato atatvos paa smula stutuas complxas. ttato, ls ão copoam a codção d adação d ommfld, fazdo com qu o domío d dsctzação sa stddo paa log do spalhado, od a codção d ommfld pod s mposta. sta é mao dsvatagm dos métodos d quaçõs dfcas, sfoços cts têm sdo alzados o studo d codçõs d fotas absovts, d maa a duz a gão d dsctzação foa do spalhado. Iflzmt, a pcsão dsta codção dpd da composção da foma do spalhado, o qu pod mplca m sultados mpcsos. Claamt, qualqu método híbdo qu possua as caactístcas mas fcts d ambos métodos d quação-dfcal métodos d quaçãotgal, é computacoalmt mas vataoso. Algus dos métodos híbdos dsvolvdos mas utlzados são: Método Híbdo Momto / FD-TD [5] o Método Híbdo dos lmtos Ftos / Itgal d Fota (F-BI) [7].
Métodos umécos d Aáls d Atas 3 O pcípo básco dsts métodos é utlza um método d solução d quação dfcal a fm d tata a gão ão homogêa fta, quato o outo método, cua solução é dada po uma quação-tgal, é utlzado a gão lmtada homogêa. Abaxo são dsctos os métodos d tss paa o pst tabalho, ou sa, o Método dos Momtos, o Método dos lmtos Ftos o Método Híbdo dos lmtos Ftos / Itgal d Fota (F-BI). 3... Método dos Momtos O obtvo da técca é dtma uma cta fução sposta g, tdo sdo spcfcado um opado tgo-dfcal F uma fução d xctação h, como pod s obsvado a quação (3.): F ( g) h (3.) O método tão, xpad a fução sposta dscohcda g, m uma combação la d tmos: g ( z' ) + a g ( z' ) + + a g ( z' ) a g ( z' ) g( z' ) a Λ (3.) Cada cofct a é uma costat a s dtmada cada g (z') é uma fução cohcda, galmt domada d fução d bas ou fução d xpasão. O domío das fuçõs g (z') é o msmo qu aqul paa g (z'). ubsttudo a quação (3.) m (3.), tm-s: As fuçõs d bas a F( g ) h (3.3) g são scolhdas d maa qu F g ) a quação (3.3) possa s cotado covtmt. Dsta foma, só o qu sta é a dtmação dos cofcts a. A xpasão alzada m (3.3) lva a uma úca quação paa cógtas, d maa qu la sozha ão é capaz d dtma as cógtas a. Isto, poém, pod s faclmt solucoado dfdo-s fuçõs d tst um poduto scala, ftuado-s o poduto scala d cada uma das fuçõs d tst po ambos os mmbos da quação (3.3). ( a wm, F( g ) wm, h m,..., (3.4)
Métodos umécos d Aáls d Atas 3 od w são as fuçõs d tst, w F( g ) são os podutos m m, scalas. a foma matcal, a quação (3.4) pod s xpssa po: od [ ] [ ][ a ] [ h ] F (3.5) m ( g ) w, F( g ) ( g ) w, F( g ) w, F Λ F m w, F Λ (3.5 a) Μ Μ m [ a ] a a Μ a (3.5 b) [ h ] w, h w, h Μ w, h (3.5 c) Os cofcts podm tão s cotados po: [ a ] [ F ] [ h ] (3.6) m A scolha das fuçõs d tst são mpotats pos os lmtos d { w m} dvm s lamt dpdts paa qu as quaçõs m (3.4) sam também lamt dpdts. Além dsso, é mas vataoso scolh fuçõs d tst qu mmzm os cálculos computacoas cssáos ao s ftua os podutos scalas. Isto é mpotat também paa as fuçõs d bas po causa dsso, mutas vzs tpos smlas d fuçõs d bas fuçõs d tst são utlzadas. Quado as duas fuçõs são guas, a técca é cohcda como Método d Galk [7]. Apsa d toda sua facldad, algumas dsvatags sugm quado o método é mpgado. m poblmas d adação/spalhamto, od a fução d G é utlzada, há o poblma dsta s spcífca paa cada tpo d gomta. Outa gad dsvatagm dz spto à smplcdad dos modlos d xctação psts. Além dsso, dvsas complxdads sugm com a possbldad do substato s asotópco ou ão-homogêo. m
Métodos umécos d Aáls d Atas 3 3... Método dos lmtos Ftos Com o tuto d mlho psta poblmas possudo domíos físcos cotdo uma gomta tcada, d foma a smplfca as aplcaçõs das codçõs d cotoo assocadas, lmado assm algumas das dfculdads do método das dfças ftas, fo cado o método dos lmtos ftos. A técca s basa a solução d quaçõs dfcas pacas. Po xmplo, uma quação dfcal pacal volv uma fução f (x) dfda paa todo x o domío qu dz spto à dtmada codção d cotoo. O popósto do método é dtma uma apoxmação da fução f(x). O método ada tm como uma das pcpas caactístcas a dsctzação do domío, dvddo-o m sub-gõs ou células. um caso bdmsoal, stas podam s apoxmadas po tâgulos, quadlátos ou tâgulos. Já paa um caso tdmsoal, os lmtos ftos podm s dsd ttados, a psmas tagulas ou tolos tagulas, como lustado a fgua 3.: Fgua 3. Ilustação dos váos lmtos utlzados m volums tdmsoas. m cada célula a fução é apoxmada po uma foma caactístca. Isto é, f(x) pod s apoxmada, po xmplo, po uma fução la m cada lmto. Os domados lmtos ftos são pquas poçõs do domío físco do poblma, od a vaação das cógtas do poblma o to d tas lmtos é apoxmada atavés da aplcação das chamadas fuçõs d tpolação. stablc-s tão, um somatóo d Rsíduos Podados, a fm d popocoa uma dstbução do o volvdo m tal apoxmação ao logo d todos os lmtos ftos qu compõm o domío físco do poblma.
Métodos umécos d Aáls d Atas 33 As fomulaçõs dos lmtos ftos são omalmt stablcdas atavés do método d Galk ou d método vaacoal. A pma técca é mas flxívl, poém, quado fo possívl é vataoso utlza o método vaacoal, spcalmt quado s qu dtma um paâmto global. O obtvo d qualqu fomulação d lmtos ftos é obt a solução da quação d oda vtoal (3.7) m um volum qualqu, suto a um couto d codçõs d cotoo m uma supfíc qu globa st volum, como xmplfcado pla fgua 3.: t t k ε + k J + M (3.7) od: ε pmssvdad latva do mo. k úmo d oda o spaço lv. mpdâca d oda o spaço lv. pmabldad latva do mo. t t ( J, M ) fots tas, létca magétca spctvamt. campo létco total. Aplcado o método d Galk, a fm d dtma o pso sdual R, dv-s ftua o poduto scala d ambos os mmbos d (3.7) po fuçõs d pso vtoas W, tgado-s o volum. Atavés do Toma toal d G após algumas mapulaçõs vtoas, o sultado é uma quação tgo-dfcal (3.8), como a mostada abaxo: R ( ) ( W ) d k ε d + t M t [ W ( ) ] d + d + k J d (3. 8) t t a quação (3. 8), as fots tas ( J, M ), são xpssas po t ( f ) : f t M t + k J t d (3. 9)
Métodos umécos d Aáls d Atas 34 O obtvo é tão mmza o síduo R, ou sa, faz R, d maa qu a dfça t a solução dscta do método F a aldad físca sa míma. ss pocdmto ga quaçõs, od é o úmo d fuçõs d bas assocadas ao campo létco o volum m qustão. a d Dlétco (,) k d Pat sstva ou mpdâca a + d Fgua 3. stutua ão-homogêa fchada po uma malha, codutoa ltcamt pfta. A solução sgu atavés da dsctzação do domío m lmtos ftos, posto xpasão do campo létco volumétco t, do campo létco tagcal, do campo magétco H, m tmos das fuçõs d bas: t W (3.. a) s (3.. b) H H H Q (3.. c) od: úmo d cógtas do campo létco volumétco úmo d cógtas do campo létco supfcal H úmo d cógtas do campo magétco supfcal + + H úmo d cógtas total sta xpasão dos campos é alzada m tmos d fuçõs vtoas cotíuas tagcalmt, lmado assm a possbldad d poblmas spúos a solução uméca, além d lda com as dscotudads das popdads do matal.
Métodos umécos d Aáls d Atas 35 Além dsso, ao s utlza o método d Galk, faz-s as fuçõs d bas guas as fuçõs d pso, d foma qu: t W (3.. a) s W (3.. b) H H H W (3.. c) substtudo m (3.9) tm-s: H k W H W W d k d f ε W t d (3.) A quação (3.) pod s xpssa matcalmt como: [ ] { } [ B] { } + [ C] { H} [ D] A (3.3) + od { } [,..., ] T, { H } [ H H,..., ] T,, o sobscto T, dota a tasposta do vto. O úmo d astas d lmtos qu s cotam a supfíc d é dado po os lmtos d [A], [B], [C] [D] são dados po: A B ( W ) ( W ) d (3.4 a) [ k ε W ]d (3.4 b) ( W ) W C k d (3.4 c) D k M t t W J d H (3.4 d) o método, a aplcação das codçõs d cotoo pocssa-s d maa smpls, tm-s a possbldad da pstação d poblmas com domíos possudo uma gomta tcada. As dsvatags dst método cosstm a dfculdad d modla mos ftos a gad tada d dados cssáa paa a dsctzação d todo o domío físco do poblma. st fato toa-s ada mas lvat m poblmas tdmsoas.
Métodos umécos d Aáls d Atas 36 Além dsso, m algumas stuaçõs o método apsta sultados mpcsos, mboa xsta uma cta covgêca com o aumto do gau d famto utlzado a dsctzação. O fato do método dos lmtos ftos apsta sultados mpcsos oco, pcpalmt, paa os casos od as cógtas apstam dscotudads, sguladads ou uma lvada taxa d vaação. O método dos lmtos ftos fo calmt utlzado m aplcaçõs lacoadas à Aoáutca, ghaa stutual Mcâca dos óldos, mas atualmt apsta-s altamt dfuddo os dvsos amos da ghaa, os poblmas qu possam s xpssos a foma d quaçõs dfcas pacas. 3..3. Método Híbdo lmtos Ftos Itgal d Fota (F-BI) mboa o método dos momtos cotu sdo a apoxmação mas pcsa fct paa copos d tamaho d sub compmtos d oda d gomtas smpls, métodos d soluçõs d quaçõs pacas dfcas (PD), vsõs híbdas mostaam um mlho sultado as smulaçõs d laga scala sm stçõs à gomta à composção d matal da stutua. Uma das pmas mplmtaçõs do F-BI paa adação spalhamto d atas / abtua tagulas, fo dada po J olaks [8], [9], [] sdo dpos stdda paa aáls d atas m platafomas plaas clídcas. sta técca tão, é uma das famtas computacoas mas podosas m uso atualmt psta uma hbdzação do tadcoal método dos momtos com o método dos lmtos ftos. O gad tss po ss método povém do fato d qu quaçõstgas d volum têm dfculdads m modla stutuas d mtal dlétcas, lvado ao uso computacoal tsvo s compaado ao método dos lmtos ftos. o método F-BI, as tgas d fota (ou quaçõs-tgas) são utlzadas paa satsfaz as sguts cssdads:. Lmta ou tma o domío computacoal o qual o método dos lmtos ftos é usado.. Rlacoa os campos létco magétco a fota.
Métodos umécos d Aáls d Atas 37 Assm, a técca F-BI também s utlza do pcípo da quvalêca paa subdvd o poblma ogal m duas gõs, as quas são acopladas atavés d codçõs d cotudad dos campos. Os campos m cada gão são fomulados va apoxmaçõs vaacoas ou va quação-tgal, lvado a um couto d quaçõs qu são solvdas plo método dos lmtos ftos. Paa sso, a stutua a s aalsada dv s volvda po uma supfíc fctíca: m su to, o método dos lmtos ftos é mpgado a fomulação do campo; á omt, os campos são pstados pla adação d fots as as cots létcas magétcas quvalts. Cosdado a aáls d uma ata tpo fda m uma cavdad, dvd-s o poblma cal m dos: uma qustão a s solvda tata-s d uma cavdad, potato, um poblma volumétco; a outa qustão a s aalsada, dz spto à abtua sdo tão um poblma supfcal. Como caactístca do método F, a técca pod s aplcada m qualqu tpo d supfíc, sa la ão homogêa ou composta po dvsos matas. O método F-BI fo toduzdo os aos 7, como uma são atual do método dos lmtos ftos paa a modlagm d poblmas sm fotas. ttato, dvdo às gads cssdads computacoas, o método ão fo bm apovtado até a década d 8. Como dmostado o tm 3..., o poblma to pod s solvdo fazdo-s a quação (3.8) gual a zo, como a quação (3.5) mostada abaxo: ( ) ( W ) d k ε d + t M t [ W ( ˆ ) ] d + d + k J d (3.5) Já a xctação a pod s xpssa cosdado-s os campos scat cdt H spalhado H spaadamt. Assm, o campo magétco total o pod s scto plo somatóo (3.6): scat H H + H (3.6) scat Cosdado qu o campo H é cohcdo, qu o campo H pod s cotado plo pcípo da quvalêca, uma quação tgal d campo magétco (MFI) [9], [], pod s obtda:
Métodos umécos d Aáls d Atas 38 J [ ()] ( ) H G (, ' ) J ( ' ) k Y G d' + (, ' ) M ( ' ) d' (3.7) Dsta maa, os campos o to da fota fctíca cotam-s a quação (3.5) quato qu a quação (3.7) os campos os a fota podm s dtmados. Paa hav a hbdzação, sts campos pcsam tão sta lgados sto é alzado atavés das codçõs d cotoo a supfíc, qu gaatm a cotudad tagcal do campo: t ˆ H H (3.8 a) t ˆ (3.8 b) Combado as quaçõs (3.5), (3.7), (3.8 a) (3.8 b), obtêm-s as quaçõs F BI: t W d k ε t d k H t d f t (3.9 a) k Y Q t ( H ) d Q G ˆ ˆ' Q G H ˆ ˆ' d' d f t d' d (3.9 b) od a fot d xctação a f é dada po: f t [ H ] d Q (3.) É mpotat ota qu a codção d cotudad d campo magétco fo mposta m (3.9), poém a codção d cotudad d campo létco ão. Isto pod s alzado d duas maas: com a utlzação das msmas fuçõs d bas paa t ; ou atavés da lação auxla:
Métodos umécos d Aáls d Atas 39 t [ Q ( )] d (3.) xpaddo agoa os campos d acodo com as fuçõs d bas dadas pla quação (3.), substtudo m (3.9), têm-s as sguts quaçõs: Tst to do campo létco volumétco: H k W H W W d k d f ε W Tst o do campo magétco supfcal: ( Q ) H Q d + k Y Q G ˆ ˆ' t d' d f d,,..., Q G Q d d ˆ ˆ' ' +, +,..., (3.) O sstma la pstado pla quação (3.) é tão solucoado atavés d métodos dtos ou tatvos a fm d dtma os campos létco magétco dscohcdos. st couto d quaçõs é aqul com o mo úmo d cógtas d mas fácl fomulação a s mplmtado. ttato, ssa apoxmação lmta a flxbldad do método, á qu a dsctzação utlzada paa os campos o to da cavdad dv s a msma paa os campos o o. A fgua 3.3 mosta o pfl d uma típca matz F-BI: a pat ga cospod às tadas da matz qu são dfts d zo, quato qu os spaços bacos dotam os zos, potato cospodm as poçõs da matz qu ão pcsam s calculadas ou amazadas:
Métodos umécos d Aáls d Atas 4 Fgua 3.3 xmplos d sstmas d matzs gadas plo método F-BI. 3..3.. Caso spcal Cavdad Tmada po um Plao d Ta Uma das aplcaçõs d mao sucsso do método F-BI é aqula qu volv uma ata stuada uma cavdad tmada po um plao d ta mtálco fto. Isto poqu a poção da fomulação latva a tgal d fota, qu é a mas custosa, é mmzada, quato qu a flxbldad da gomta cotada o método dos lmtos ftos pod s matda. A fgua 3.4 lusta st caso: Abtua Plao d Ta Cavdad Fgua 3.4 Ilustação d uma cavdad tmada po um plao d ta. Assm, quado cocd com a abtua o plao d ta, a quaçãotgal pod s smplfcada substacalmt. A cotudad do campo magétco atavés da tfac é alzada quacoado-s os campos magétcos to o atavés da fota do volum,, sto é: substtudo m (3.9 a): t H H ( M ) (3.3)
Métodos umécos d Aáls d Atas 4 t W d k ε t d k H t ( M ) d + f (3.4) A solução sgu atavés da xpasão do campo létco volumétco, do campo létco tagcal, do campo magétco m tmos das fuçõs d bas dadas pla quação (3.). abdo qu M pla quação (3. b) chga-s à: H ( M ) H ( M ) (3.5) Dsta foma, a quação (3.4) pod s scta po: k W H W d k ε W t ( M ) d + f d (3.6) Rogazado a quação (3.6) obtmos aqula po od camhamos a solução fal: k W M H W d k ε W t ( M ) d + f d (3.7) a foma matcal dv s scta como: od A M M M t [ A ]{ } k [ B ]{ } k [ C ]{ } { f } ( W ) ( W )dv (3.9 a) (3.8) B ε W W dv (3.9 b) C M H ( M )d (3.9 c)