9 Geometria hiperbólica no software NonEuclid Introdução Karolina Barone Ribeiro da Silva Universidade Estadual do Centro - Oeste UNICENTRO As Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008, p. 55) propõem para o ensino fundamental e médio o conteúdo estruturante Geometrias, que se desdobra em geometria plana, espacial, analítica e noções básicas de geometrias não euclidianas. Dentre as últimas, está a geometria hiperbólica que, segundo as Diretrizes, deve ser abordada no ensino médio, partindo do conceito de pseudo-esfera, pontos ideais, triângulo hiperbólico e a soma de seus ângulos internos (PARANÁ, 2008, p. 57). Neste artigo propõe-se o estudo de alguns dos tópicos recomendados pelas Diretrizes por meio de um software livre chamado NonEuclid, no qual se encontra um dos modelos para a geometria hiperbólica, o disco de Poincaré. O disco de Poincaré O disco de Poincaré (Figura 1) foi idealizado pelo matemático francês Henri Poincaré (1854 1912), com base na geometria euclidiana e é constituído pelos pontos do interior de um círculo euclidiano, que é o plano nesse modelo (plano hiperbólico). Note que os pontos da circunferência C (horizonte), relacionada ao círculo, não pertencem ao modelo criado por Poincaré. Nesse modelo, os pontos são os pontos euclidianos do plano hiperbólico. Resta, então, definir quais são suas retas. As retas no disco de Poincaré são representadas pelos diâmetros do plano hiperbólico e por arcos abertos de circunferências ortogonais 1 a C. Tais retas são chamadas de retas hiperbólicas ou retas-h. Os pontos de interseção das retas-h com o horizonte são pontos que não pertencem ao plano hiperbólico, denominados pontos ideais ou pontos finais da reta-h. Figura 1 Disco de Poincaré Quanto aos ângulos, no disco de Poincaré, eles são medidos como na geometria euclidiana. Se duas retas-h interceptam-se num ponto A, a medida do ângulo formado entre elas é, por definição, a medida do menor ângulo formado pelas semirretas euclidianas tangentes aos arcos (retas-h) em A (Figura 2). 1 Duas circunferências secantes são ortogonais se as respectivas tangentes nos pontos de interseção são perpendiculares.
10 Figura 2 Ângulos no disco de Poincaré Atividades 2 no software NonEuclid (versão 2007.04) As atividades a seguir são simples e têm como objetivo introduzir o leitor em um mundo não euclidiano, possibilitando comparações entre o que conhece da geometria euclidiana e o que está sendo aprendido na geometria hiperbólica. O software pode ser baixado em http://cs.unm.edu/~joel/noneuclid/noneuclid.html. Atividade 1 Retas e ângulos a) Construa algumas retas-h que se interceptem. Para isso, inicie um novo documento, clicando em File e em seguida em New. É possível construir retas-h clicando em Construction e, em seguida, em Draw Line. Alguns exemplos de retas-h encontram-se na figura 3. b) Determine a medida do ângulo formado por duas das retas construídas na atividade anterior. Clique em Measurements e, em seguida, em Measure Angle. Siga as instruções que aparecem no canto superior esquerdo da tela. Na figura 4 há um exemplo da mediação de um ângulo construído em (a). Para movimentar pontos na sua construção, clique em Edit e depois em Move Point. Movimente alguns pontos do ângulo e verifique a mudança em sua medida. 2 Estas e outras atividades podem ser encontradas em Silva (2011).
11 Figura 3 Retas-h Figura 4 Medida do ângulo BÂF Atividade 2 Triângulos hiperbólicos a) Construa vários triângulos e verifique qual é a soma das medidas de seus ângulos internos.
12 Após construir os triângulos, você pode obter a soma pedida, clicando em Measurements e em Measure Triangle. O objetivo desta atividade é verificar que a soma dos ângulos é sempre menor que 180 3, algo surpreendente quando comparamos este resultado com o conhecido da geometria euclidiana. b) Construa um triângulo retângulo e verifique se a propriedade geral dos triângulos retângulos (conhecida como teorema de Pitágoras) é valida. Para construir retas perpendiculares, clique em Construction, em seguida em Draw Perpendicular e siga as instruções do canto superior esquerdo da tela. No exemplo a seguir, temos que verificar se CB 2 = AB 2 + AC 2. Mas CB 2 = 12,6025; AB 2 = 1,308736 e AC 2 = 9, isto é, AB 2 + AC 2 = 10,308736 CB 2, ou seja, a propriedade geral dos triângulos retângulos não é válida na geometria hiperbólica. Figura 5 Propriedade geral dos triângulos retângulos Considerações finais Espera-se que as atividades apresentadas tenham estimulado o leitor a se aprofundar no tema e a se perguntar, por exemplo, sobre propriedades de quadriláteros hiperbólicos e retas-h paralelas. 3 A demonstração desta propriedade pode ser encontrada em Barbosa (2009, p. 69).
13 Referências bibliográficas BARBOSA, J. L. M. Geometria hiperbólica. 5ª impressão. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. (Publicações Matemáticas) PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: Secretaria de Estado da Educação do Paraná, 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/file/diretrizes/dce_mat.pdf>. Acesso em: 17 abr. 2010. SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1. ed. Curitiba: CRV, 2011.