UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CÍNTIA MORGANA DOICO

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CÍNTIA MORGANA DOICO DINÂMICA DE UM PULVERIZADOR TORRE COM SUSPENSÃO VEICULAR: UM ENFOQUE DO MÉTODO DA MÉDIA Ijuí 2011

1 CÍNTIA MORGANA DOICO DINÂMICA DE UM PULVERIZADOR TORRE COM SUSPENSÃO VEICULAR: UM ENFOQUE DO MÉTODO DA MÉDIA Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática. Orientador: Prof. Dr. Jorge Luis Palacios Felix Ijuí 2011

2 CÍNTIA MORGANA DOICO DINÂMICA DE UM PULVERIZADOR TORRE COM SUSPENSÃO VEICULAR: UM ENFOQUE DO MÉTODO DA MÉDIA Dissertação do Programa de Pós Graduação em Modelagem Matemática para a obtenção do título de Especialista em Modelagem Matemática, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul. Banca Examinadora: Prof. Dr. Jorge Luis Palacios Felix UNIPAMPA (orientador) Prof. Dr. José Manoel Balthazar UNESP Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold - UNIJUÍ Ijuí, 08 de agosto de 2011

3 AGRADECIMENTOS Primeiramente agradeço a Deus por esta conquista, por me dar saúde e sabedoria para eu vencer mais esta batalha. Aos meus pais, José Jorge Doico e Marlei Zanon Doico, onde palavras são poucas pra definir o amor que sinto por vocês, pela eterna gratidão por serem pessoas tão presentes em minha vida, basta um encontro de olhares, para entender o recado a mim transmitido. Amo vocês! Ao Renato, pela compreensão, pelo amor, estímulo e apoio. Você é muito importante em minha vida! Minha irmã Joice, que apesar da distância, não mediu esforços para fazer uma ligação pra saber como estão os estudos, sempre me estimulando e nela tenho a certeza de apoio e carinho. Ao Professor Dr. Jorge Felix, pela orientação e apoio no desenvolvimento desta pesquisa e pela atenção que sempre demonstrou nos momentos a mim. A querida Geni, pela generosidade e simpatia de pessoa que és, meu muito obrigada. Também aos professores do Mestrado em Modelagem Matemática pelos conhecimentos transmitidos. Aos meus amigos e colegas do peito, Odair e Eduardo, pelas caronas até Ijuí, pela descontração, pelas cantorias onde você anda... -, e pelos estudos realizados semanalmente. Enfim, obrigada pelo apoio e amizade. Ao amigo e colega Cássio, ahh se o msn falasse as horas de estudos e discussões...agradeço demais por toda colaboração e disponibilidade, pelos conhecimentos compartilhados e pelas inúmeras dúvidas respondidas. À Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ e Mestrado em Modelagem Matemática pela oportunidade concedida. A CAPES pelo suporte financeiro ao estudo. Aos demais familiares, colegas e amigos, que me deram força e entenderam meus momentos de ausência e ansiedade.

4 RESUMO No presente trabalho estuda-se o comportamento dinâmico de um pulverizador agrícola do tipo torre acoplado a um sistema veicular, baseado no princípio de funcionamento de um pêndulo invertido o qual trafega por terrenos ondulados. O modelo matemático do sistema consiste de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem não-lineares sob a excitação externa periódica pela qual são transformadas em um sistema de equações de primeira ordem em função das amplitudes e fases das respostas dinâmicas do deslocamento vertical e angular da suspensão veicular e do deslocamento angular da torre, chamadas de equações da média. Através destas equações da média foram analisadas as influências das condições iniciais e da amplitude de excitação através das simulações numéricas com o auxílio do software Matlab, em ode 23. Os resultados obtidos utilizando o método de perturbação, conhecido como método da média, foram satisfatórios, pois encontrou-se comportamentos característicos de sistemas não lineares. Palavras Chave: Pulverizador torre. Método da Média. Pêndulo Invertido. Suspensão Veicular.

5 ABSTRACT In this paper we study the dynamic behavior of a tower farm sprayer attached to a vehicle system based on the principle of operation of an inverted pendulum which travels through undulating terrain. The mathematical model of the system consists of ordinary differential equations of second order nonlinear under periodic external excitation for which they are transformed into a system of first order equations in terms of amplitudes and phases of the dynamic responses of vertical displacement and angle of the vehicle suspension and the angular displacement of the tower, called the mean equations. With these equations the mean were analyzed the influence of initial conditions and the amplitude of excitation through the numerical simulations with the help of Matlab, ode 23. The results obtained using the perturbation method, known as average method, were satisfactory, since it is characteristic behaviors of nonlinear systems. Keywords: Tower spray. Averaging Method. Inverted Pendulum. Vehicle Suspension.

6 SUMÁRIO LISTA DE TABELAS ----------------------------------------------------------------------------------- 8 LISTA DE FIGURAS ------------------------------------------------------------------------------------ 9 LISTA DE SÍMBOLOS ------------------------------------------------------------------------------- 11 1 INTRODUÇÃO --------------------------------------------------------------------------------------- 13 1.1 JUSTIFICATIVA E IMPORTÂNCIA DA PESQUISA ------------------------------------ 15 1.2 OBJETIVOS -------------------------------------------------------------------------------------- 15 1.2.1 Objetivo Geral ----------------------------------------------------------------------------- 15 1.2.2 Objetivos Específicos ---------------------------------------------------------------------- 15 1.2.3 Organização do Trabalho ---------------------------------------------------------------- 16 2 FUNDAMENTOS BÁSICOS ---------------------------------------------------------------------- 17 2.1 SISTEMAS NÃO-LINEARES ----------------------------------------------------------------- 17 2.2 PÊNDULO NÃO-LINEAR --------------------------------------------------------------------- 18 2.3 SUSPENSÃO VEICULAR --------------------------------------------------------------------- 21 2.3.1 Suspensão independente ------------------------------------------------------------------ 24 2.3.2 Amortecedor -------------------------------------------------------------------------------- 25 2.3.3 Barra estabilizadora ---------------------------------------------------------------------- 27 2.4 HISTÓRIA DA MAQUINIZAÇÃO AGRÍCOLA ------------------------------------------ 27 3 DESCRIÇÃO DO PULVERIZADOR DE TIPO TORRE ----------------------------------- 31 4 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO DO MÉTODO DA MÉDIA ---------------------------------- 33 5 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA ---------------------------------------- 37 5.1 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO SISTEMA ORIGINAL ---------------------------- 39 5.2 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO APROXIMADAS --------------------------------------- 41 6 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS -------------------------------------------------------------------- 53 6.1 INFLUÊNCIAS DAS CONDIÇÕES INICIAIS --------------------------------------------- 54 6.2 INFLUÊNCIA DA AMPLITUDE DE EXCITAÇÃO -------------------------------------- 60 7 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ---------------------------------------------- 66

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ------------------------------------------------------------- 68 ANEXOS ------------------------------------------------------------------------------------------------- 71 7

8 LISTA DE TABELAS TABELA I VALORES DOS PARÂMETROS FIXOS UTILIZADOS PARA AS ANÁLISES E SIMULAÇÕES. ---------------------------------------------------------------------- 53

9 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Sistema dinâmico de um pêndulo simples ---------------------------------------------- 19 Figura 2.2: Um desenho esquemático do pêndulo invertido em um carrinho, a haste é considerada sem massa. --------------------------------------------------------------------------------- 20 Figura 2.3: Primeiro automóvel de Obéissante (Obediente) de Amedee Bollee. --------------- 22 Figura 2.4: Componentes da suspensão automotiva dianteira de um FORD-T. ---------------- 23 Figura 2.5: Suspensão traseira do HONDA CR-V que é do tipo independente. ---------------- 24 Figura 2.6: Trator Lamborghini Racing Modelo 190. ---------------------------------------------- 28 Figura 3.1. Pulverizador de pomar tipo torre fabricado por Máquinas Agrícolas Jacto S.A. (Sartori Junior, 2008). ----------------------------------------------------------------------------------- 31 Figura 5.1- Modelo físico do pêndulo invertido com suspensão veicular. (Sartori Junior, 2008). ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 38 Figura 6.1: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 m). ------------------------ 55 Figura 6.2: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 rad.). ----------------------- 55 Figura 6.3: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 rad.). ---------------------- 56 Figura 6.4: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 m). ------------------------- 57 Figura 6.5: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 rad.). ----------------------- 57 Figura 6.6: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 rad.). ----------------------- 58 Figura 6.7: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 m). ------------------------- 59 Figura 6.8: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 rad.). ----------------------- 59

10 Figura 6.9: Evolução no domínio tempo de amplitude (A= 0,15 rad.). ----------------------- 60 Figura 6.10 Evolução no domínio tempo de amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de (À Direita). =0,15 m. ----------------------------- 61 Figura 6.11 Evolução no domínio tempo de amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de (À Direita). =0,01 m. ----------------------------- 62 Figura 6.12 Evolução no domínio tempo da amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de (À Direita). =5 m. --------------------------------- 62 Figura 6.13 Evolução no domínio tempo de amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de. A = 0,15 rad. ---------------------------------------- 63 Figura 6.14. Evolução no domínio tempo de amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio do tempo de. A = 0,01 rad. ------------------------------------ 63 Figura 6.15. Evolução no domínio tempo de amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de. A = 5 rad. -------------------------------------------- 64 Figura 6.16 Evolução no domínio tempo da amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de (À Direita). A = 0,15 rad. -------------------------- 64 Figura 6.17 Evolução no domínio tempo da amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de (À Direita). A = 0,01 rad. ------------------------- 65 Figura 6.18 Evolução no domínio tempo da amplitude (À Esquerda); Evolução no domínio tempo de (À Direita). A = 5 rad. ------------------------------ 65

11 LISTA DE SÍMBOLOS A : amplitude de excitação : distância da linha central até o centro dos pneus : distância da linha central até o centro do pneu esquerdo : distância da linha central até o centro do pneu direito : amortecimento dos pneus : amortecimento do pneu esquerdo : amortecimento do pneu direito : amortecimento da junta torsional : centro de gravidade : momento de inércia da carreta : momento de inércia da torre : rigidez dos pneus : rigidez do pneu esquerdo : rigidez do pneu direito : rigidez da junta torsional : distância do Centro de Gravidade (CG) da carreta até a junção no ponto P : distância da junção no ponto P até o Centro de Gravidade (CG) da torre : massa do chassi : massa do tanque : massa da carreta (concentrada no centro de gravidade) : massa da torre (concentrada no centro de gravidade) : deslocamento angular do centro de gravidade da carreta : velocidade angular do centro de gravidade da carreta

12 : aceleração angular do centro de gravidade da carreta : deslocamento angular do centro de gravidade da torre : velocidade angular do centro de gravidade da torre : aceleração angular do centro de gravidade da torre : deslocamento horizontal do centro de gravidade da carreta : velocidade horizontal do centro de gravidade da carreta : aceleração horizontal do centro de gravidade da carreta : deslocamento horizontal do centro de gravidade da torre : velocidade horizontal do centro de gravidade da torre : aceleração horizontal do centro de gravidade da torre у : deslocamento vertical do centro de gravidade da carreta : velocidade vertical do centro de gravidade da carreta у : aceleração vertical do centro de gravidade da carreta у у : deslocamento vertical do centro de gravidade da torre у : velocidade vertical do centro de gravidade da torre у : aceleração vertical do centro de gravidade da torre : deslocamento vertical do pneu esquerdo : velocidade vertical do pneu esquerdo : deslocamento vertical do pneu direito : velocidade vertical do pneu direito t : tempo de acomodação : frequência de excitação : amplitude de oscilação de : fase de oscilação de : amplitude de oscilação de : fase de oscilação de : amplitude de oscilação de : fase de oscilação de ρ : ângulo de fase

13 1 INTRODUÇÃO De anos em anos a área agrícola tem ocupado um lugar cada vez maior na economia brasileira. Para chegar-se num patamar de produtos cada vez mais qualificados, necessitam-se crescentes inovações tecnológicas. Dentro deste contexto, o pomar frutífero tem exercido um papel de destaque. Considerando que porções diárias de frutas são essenciais para uma boa alimentação humana, existe um enorme interesse em conhecimentos que possam aperfeiçoar o uso de recursos para produções rentáveis e de qualidade. Com a finalidade de proteger pomares e obter uma maior produção e rentabilidade dos lucros, várias técnicas acerca da pulverização de pomares estão sendo desenvolvida, cada uma com suas particularidades, porém sempre visando uma maior eficácia no momento da aplicação. Através de uma área maior de alcance dos ventiladores com uma distribuição uniforme dos defensivos químicos e um baixo custo financeiro, utilizando menos insumos e reduzindo as perdas causadas pelas pragas, colaborando para um menor impacto ambiental com a redução da contaminação do ar e do solo. O objetivo da tecnologia de aplicação utilizada na proteção das plantas com químicos assim como agentes biológicos é colocar uma distribuição uniforme de uma quantidade desejada do ingrediente ativo na área objetivo e com as menores perdas possíveis. Isto alcançará os melhores efeitos biológicos com o mínimo de agentes de controle e água adicionalmente, tendo o menor impacto ambiental, Svensson, S.A. 2001. Grandes empresas da área agrícola investem muito em grandes inovações tecnológicas visando justamente estes aspectos financeiros e ambientais. Baseado nisso, uma empresa brasileira de máquinas agrícolas desenvolveu um pulverizador de pomares do tipo torre, inspirado no princípio de funcionamento de um pêndulo invertido. O equipamento possui as seguintes características: oito ventiladores posicionados em uma torre com seis metros de altura fixada em um reboque que, acoplado a um trator, transita por terrenos irregulares (cada ventilador possui um bocal direcionador, que em sua borda de saída de ar são fixados ramais de pulverização); uma unidade de bombeamento; um tanque reservatório e estruturas que sustentam os ventiladores, de modo que esses possam ser posicionados adequadamente em relação à copa das árvores. Para obter um posicionamento adequado do trator em relação às plantas, é importante analisar e simular valores dos parâmetros, sendo possível obter os melhores valores para manter estável a estrutura que sustenta os ventiladores.

14 O grande desafio, por sua vez, é cumprir a crescente exigência do mercado agrícola para que os períodos de pulverização realizem-se em tempos cada vez menores. Para que isso seja possível deve-se ter um aumento significativo na velocidade dos equipamentos acoplados aos tratores, o que resultaria em grandes oscilações da torre de pulverização, devido à sua altura e ao fato de que os terrenos agrícolas pelos quais as máquinas trafegam, possuem inúmeras irregularidades, como por exemplo: buracos, valas, pedras, etc. Para que o pulverizador agrícola despeje o defensivo químico nas árvores, é feita a utilização de jatos de ar, benéfico para a agitação da folhagem, favorecendo a penetração das gotas nas copas das árvores. Sartori, S.J., 2008 diz que: a região mais próxima ao pulverizado está sujeita as maiores variações de velocidade do ar, razão pelo qual se torna importante manter estável a distância da saída dos bocais às copas das plantas. Desta forma, percebe-se que pulverizar pomares com um pulverizador do tipo torre, exige bastante cuidado, uma vez que as plantas de tamanhos diferentes estão dispostas em três fileiras de cada lado do equipamento. Mesmo tendo uma correta seleção de todos os parâmetros de pulverização e do pulverizador calibrado, o tratorista precisa transitar por entre as árvores, com a necessidade de buscar uma distância adequada dos bocais da pulverização das copas das árvores. Sartori (2008), a partir de estudos realizados, afirma que: evidenciam-se a importância em buscar um arranjo adequado do fluxo de ar de assistência, da velocidade do ar de assistência, da vazão de químico, da velocidade do pulverizador e manter o mais estável possível esses parâmetros para alcançar uma boa qualidade de aplicação. As estruturas da pulverização permitem um posicionamento adequado dos ventiladores às copas das árvores, sendo possíveis três movimentos: horizontais, no sentido de aproximação das plantas; verticais, para o ajuste da altura dos bocais em relação às árvores e, angulares em torno dos eixos de fixação, com possíveis inclinações dos fluxos de ar de assistência, os quais justificam a necessidade de estudos em sistemas dinâmicos vibratórios, que tratam de um aumento repentino na amplitude da vibração do sistema dinâmico, conhecido como fenômeno do salto. Esse comportamento dá-se devida a troca de influência entre o sistema dinâmico e a fonte de excitação, sendo conhecidos como modelos não-ideais. Portanto, este trabalho analisa um sistema não linear, cujo suporte está sujeito a uma excitação vertical. O estudo é feito usando um método de perturbação conhecido como Método da Média, com solução essencialmente analítica, cujo intuito é a redução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, em uma equação diferencial de primeira ordem, que não dependam do tempo, e analisar analiticamente as oscilações do sistema,

15 especialmente a torre do pulverizador, através de simulações numéricas realizadas no software Matlab, em ode 23. 1.1 JUSTIFICATIVA E IMPORTÂNCIA DA PESQUISA A produção de frutas precisa ser qualificada e sua colheita realizada em períodos de tempos cada vez menores. A necessidade e a exigência de excelência dos consumidores levam a pesquisa a contribuir para o melhor entendimento da dinâmica do pulverizador de pomares. Assim, a proposta dessa dissertação é contribuir para o avanço científico do Método da Média para a Modelagem Matemática, uma vez realizadas as simulações numéricas do modelo proposto por Sartori (2008), utilizam-se parâmetros e valores a fim de validar o método, através de simulações numéricas, realizadas no programa Matlab. 1.2 OBJETIVOS Neste item descrevem-se os objetivos que nortearão a presente pesquisa. 1.2.1 Objetivo Geral O objeto de estudo deste trabalho é pesquisar, desenvolver e validar o Método da Média (Averaging Method) como ferramenta de Modelagem Matemática e a realização de simulações numéricas para a análise de estabilidade dinâmica de um pulverizador agrícola tipo torre, modelado por um pêndulo invertido acoplado a um sistema de suspensão móvel. 1.2.2 Objetivos Específicos Na busca de alcançar o objetivo geral da pesquisa, têm-se os seguintes objetivos específicos: Analisar as equações de movimento do sistema pêndulo invertido acoplado a uma suspensão veicular. Aplicar o método assintótico conhecido como método da média para análise da estabilidade dinâmica do sistema proposto. Obter a solução analítica através de técnicas de perturbações, método da média.

16 Utilizar o integrador numérico ode23 do software matemático Matlab, para sistemas não lineares por meio de ensaios numéricos,para a análise da estabilidade do sistema. 1.2.3 Organização do Trabalho O presente texto está organizado em sete capítulos, dispostos da seguinte maneira: o capítulo 1 aborda uma introdução ao trabalho de pesquisa, contendo a importância do trabalho, justificativa e objetivos; o capítulo 2 apresenta os fundamentos básicos de sistemas não-lineares, pêndulo não linear, suspensão- veicular e história da maquinação agrícola, itens relacionados com o sistema de pulverização, modelo não linear, devido as suas oscilações, baseado no princípio de um pêndulo invertido, no qual a torre é o foco principal de estabilidade; o capítulo 3 descreve o funcionamento real do pulverizador do tipo torre; o 4, apresenta a definição do método da média, com todo seu desenvolvimento, demonstrando a redução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para um equação diferencial ordinária de primeira ordem, em função da amplitude (α) e fase (β); o capítulo 5 apresenta as equações de movimento original e o método da média aplicado a um sistema não linear para obter as soluções aproximadas, destacando o desempenho deste método nas soluções de sistemas diferenciais não lineares e não ideais; o 6 apresenta os resultados numéricos, usando integração direta de Runge-Kutta do MATLAB, das equações aproximadas obtidas do método da média. Por último são apresentadas as conclusões dos resultados obtidos.

17 2 FUNDAMENTOS BÁSICOS Neste Capitulo, são descritas alguns conceitos relevantes para compreensão de sistemas dinâmicos não lineares. 2.1 SISTEMAS NÃO-LINEARES Um sistema designa-se por não linear sempre que na sua constituição intervenha pelo menos um componente ou um sub-sistema não linear. Os sistemas lineares possuem uma propriedade comum - satisfazem o princípio da sobreposição, que é obtido através da combinação entre o princípio da aditividade e o princípio da proporcionalidade entre excitação e resposta - ao contrário do que acontece com os sistemas não lineares. Muitos problemas físicos enfrentados pelos engenheiros, físicos e matemáticos exibem certas características essenciais que impedem a obtenção de soluções analíticas dos sistemas estudados. Algumas dessas características são a não linearidade e coeficientes variáveis (Nayfeh, 1993). Sendo assim, a análise das equações que modelam o sistema não é simples, tornando muito difícil a obtenção de suas soluções analíticas. Para tanto, essas soluções somente podem ser encontradas se utilizadas aproximações e soluções numéricas. A necessidade de se trabalhar com sistemas não lineares vem quando o sistema real apresenta características, como saturações e bifurcações, não possíveis de serem obtidas através de sistemas lineares. Em situações, como sistemas robóticos ou estruturas flexíveis, não é adequado considerar sistemas lineares ou mesmo linearizá-los visto a extensão das não linearidades presentes. O comportamento de sistemas não lineares é imprevisível. Uma vez que são conhecidos os parâmetros para o estudo de determinada equação do movimento, resta fazer o estudo e simulações desses parâmetros para ter um melhor controle do sistema, ficando nítido que a dinâmica dos sistemas não lineares é mais complexa do que a dos lineares, e a existência de fenômenos que só ocorrem em sistemas não lineares, como nos exemplos a seguir:

18 Bifurcações; Caos; Ciclos limite ou oscilações; Dependência crítica dos parâmetros; Dependência da amplitude e excitação; Existência de excitação harmônica; Não unicidade da solução; Pontos de equilíbrio múltiplos; Tempo de escape finito; Para a ocorrência de caos em um sistema dinâmico não linear, basta fazer pequenas variações nas condições iniciais. Pode acontecer que as soluções sejam extremamente sensíveis a variações das condições iniciais, acontecendo variações incontroláveis no sistema, nominadas como caos. Em qualquer outro sistema dinâmico não linear, podem ocorrer oscilações denominadas por ciclo limite, onde determinados sistemas entram em oscilações com a amplitude e a frequência constantes, nas quais o sistema não esteja sujeito a qualquer perturbação externa. 2.2 PÊNDULO NÃO LINEAR Na mecânica, um pêndulo simples é um instrumento ou uma montagem que consiste num objeto que oscila em torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos alternados em torno da posição central, chamada posição de equilíbrio. O pêndulo é muito utilizado em estudos da força peso do movimento oscilatório. A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza chamada período - intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico). Derivada dessa grandeza, existe a frequência (f), numericamente igual ao inverso do período (f = 1 / T), e que portanto se caracteriza pelo número de vezes (ciclos) que o objeto percorre a trajetória pendular num intervalo de tempo específico. A unidade da frequência no sistema internacional é o hertz, equivalente a um ciclo por segundo(1/s).

19 A equação diferencial ordinária que governa o movimento do pêndulo é a chamada equação de Mathieu, que é l + gsin = 0 (2.1) Divide-se a equação (2.1) pela variável l, tem-se: + sin = 0 (2.2) Onde g é a aceleração da gravidade e l é o comprimento da haste. Figura 2.1: Sistema dinâmico de um pêndulo simples O pêndulo invertido é um sistema inerentemente instável e bastante complexo para se analisar por meio de seu modelo matemático completo. Vários pesquisadores abordaram este sistema de maneiras diferentes. Sobhani mostrou que esse mecanismo é muito bom para exemplificar sistemas intrinsecamente instáveis. A primeira abordagem para estabilização destes sistemas foi descrita por Roberge em sua tese The Mechanical Seal. Existem várias aplicações práticas que utilizam os conceitos envolvidos nos estudos de pêndulos. Uma analogia simples é a brincadeira de equilibrar um lápis ou um cabo de vassoura na ponta dos dedos. Para a obtenção de uma condição relativamente estável, só é possível, se ficar

20 constantemente movendo a mão de forma a manter o eixo do cabo da vassoura nas proximidades da sua posição vertical. Um pêndulo invertido tem sua massa acima do seu ponto pivô. Muitas vezes, é implementado com o ponto de apoio montado sobre um carro que pode se mover horizontalmente e pode ser chamado de um carro e um poste. Considerando que um pêndulo normal é estável quando pendurado para baixo, um pêndulo invertido é inerentemente instável, e deve ser ativamente equilibrada, a fim de permanecer em pé, quer pela aplicação de um torque no ponto pivô ou movendo o ponto de articulação horizontal como parte de um feedback do sistema. Figura 2.2: Um desenho esquemático do pêndulo invertido em um carrinho. A haste é considerada sem massa. O pêndulo invertido é um problema clássico na dinâmica e teoria de controle e é amplamente utilizado como referência para testes de algoritmos de controle (controladores proporcionais integral derivativo (PID), redes neurais, controle fuzzy, etc.). Variações sobre este problema incluem vários links, permitindo o movimento do carro para ser comandado, mantendo o pêndulo, e equilibrar o sistema carro-pêndulo em uma gangorra. O pêndulo invertido está relacionado com foguetes ou mísseis de orientação, onde o centro de gravidade está localizado atrás do centro de resistência causando instabilidade aerodinâmica. No que se refere à estabilização do pêndulo invertido, sem qualquer mecanismo de feedback ou controle, está oscilando o apóio rapidamente para cima e para baixo. Se a oscilação é suficientemente forte (em termos de aceleração e amplitude), o pêndulo invertido

21 pode se recuperar de perturbações. Se o ponto de condução se move em movimento harmônico simples, pêndulo do movimento é descrito pela equação de Mathieu. O controle de sistemas não lineares pode se tornar uma tarefa praticamente intratável, a depender da complexidade do sistema a ser controlado. O modelo não linear do pêndulo invertido é um exemplo de sistema não linear relativamente complexo, e a implementação de um controlador para este sistema requer uma série de considerações e simplificações. Existem na literatura diversos métodos/algoritmos de controle para esse tipo de sistema, em sua grande maioria baseados em simplificações e linearizações do modelo não linear. O pêndulo invertido que está em estudo no sistema, está acoplado a uma estrutura que se movimenta, fazendo com que o pêndulo se torne livre para se movimentar em torno do ponto fixo. Quando o trator trafega, ele exerce uma força variável no deslocamento do mesmo. A haste naturalmente tende a cair, pois sua posição vertical é uma condição de equilíbrio instável. 2.3 SUSPENSÃO VEICULAR A palavra suspensão é usada para descrever o conjunto dos componentes que conectam as rodas com o chassi do veículo. Um sistema de suspensão tem a função de absorver as irregularidades da superfície de ruas, estradas e terrenos agrícolas, garantir certo grau de suavidade e conforto de dirigibilidade aos passageiros ou produtos que estão sendo transportados, como exemplo um pulverizador, além de evitar a exposição dos componentes mecânicos a desgastes excessivos. O sistema de suspensão deve também garantir que os pneus estejam em contato constante com o solo para se atingir uma boa estabilidade e o correto funcionamento do sistema de direção, ressaltando mais uma vez que os parâmetros de geometria são os responsáveis pela atitude geométrica ideal da suspensão e garantem o seu correto funcionamento. A história oficial das suspensões veiculares começa no início do século VIII, com uma primária tentativa de suspensão com correntes de ferro, numa carruagem real puxada a burros. Kenneth (2006) narra que um cesto de vime era preso às quatro pontas de uma plataforma com rodas através das correntes. Os viajantes tinham que ser imunes a enjôos neste tipo de estrutura, pois ela balançava ininterruptamente, subindo e descendo, produzindo um ruído terrível.

22 No entanto, este sistema seria o princípio básico de todas as suspensões por quase dez séculos. Segundo Kenneth (2006) no século XV o coche, originado nos reinos da Bavária e Hungria, teve seu uso popularizado. As correntes foram substituídas por quatro tiras de couro e mais tarde foram colocadas abaixo da carroceria das carruagens. Finalmente no século XVII, a mola de metal surgiu, mas as tiras de couro agora eram fixadas às pontas das molas de lâmina em forma de. C. e as outras pontas eram fixadas ao chassi da carruagem. Por atrito entre as lâminas, estas molas reduziam o balanço, mas o resultado tinha que ser robusto, pois muitas carruagens pesavam mais que dez toneladas. Um século depois, com o desenvolvimento de novas tecnologias e o aperfeiçoamento das técnicas de forjamento e têmpera em aços, foi possível desenvolver veículos mais leves e resistentes. Em 1804, Obadiah Elliot construiu o primeiro veículo de tração animal realmente leve, rápido e seguro. Eram as carrocerias de oito molas, com duas molas de lâmina opostas em cada uma das quatro rodas. Isto eliminou os chassis pesados. Deste modo, as carrocerias podiam ser fixadas aos eixos por meio das molas. Figura 2.3: Primeiro automóvel de Obéissante (Obediente) de AmedeeBollee. Desde 1873, Obéissante (Obediente) de AmedeeBollee (figura 2.3) era suspensas nas quatro rodas independentes, molas duplas elípticas na frente e planas na traseira. Alguns anos mais tarde, mais precisamente em 1897, o Daimler de duplo cilindro foi construído com uma suspensão de molas helicoidais e assim continuou.

23 Figura 2.4: Componentes da suspensãoautomotiva dianteira de um Ford-T. A suspensão, portanto, é um sistema presente em veículos que é responsável por absover as irregularidades do terreno e manter todas as rodas no chão. O sistema de suspensão absorve, por meio dos seus componentes, todas as irregularidades do solo e também é responsável pela estabilidade do automóvel. Sem as molas e os amortecedores que permitem a movimentação controlada do sistema, o desconforto seria muito grande para o veículo e usuário principalmente em pisos irregulares. Isso sem falar na vida útil do veículo, que diminuiria muito com os fortes impactos sofridos. No automóvel podem vir a causar trincas na sua estrutura, que praticamente comprometeria todo o veículo. Outro problema seria aqueles incômodos ruídos no painel do automóvel, que com a vibração e os impactos sofridos, aumentariam. Molas e amortecedores trabalham em conjunto. A mola absorve os impactos sofridos pelas rodas e os amortecedores seguram a sua distensão brusca, evitando oscilações no veículo. Nos veículos leves, a maioria das suspensões utilizam a mola helicoidal, formada por uma barra de aço enrolado em forma de espiral. Existem também outros tipos de molas, como as barras de torção (utilizado nos veículos VW como o Fusca, a Brasília, etc) e as semielípticas (utilizadas em veículos de carga). A mola helicoidal pode trabalhar tanto na dianteira como na traseira do veículo. Seu posicionamento na suspensão depende da sua construção e estrutura. Entre os tipos de suspensões mais utilizadas no Brasil estão as do tipo Mc Phearson e as de duplo triângulos, ambos suspensões independentes.

24 No problema em estudo, a torre de pulverização está acoplada a uma suspensão móvel, e dependendo das condições do solo por onde o trator trafega, pode existir uma grande oscilação da torre, portanto, o controle dessas vibrações é essencial, e para a existência do controle dessas vibrações, se deve escolher os elementos da suspensão, cuja função é não deixar que a estrutura sofra com os movimentos violentos, causados pela superfície. Como o principal objetivo é o estudo da estabilidade da torre, é muito importante que a suspensão do trator esteja em boas condições de uso para realização de pulverização, pois qualquer impacto que a suspensão consiga absorver, um melhor desempenho dos pomares existirá devido a boa aplicabilidade dos defensivos químicos. 2.3.1 Suspensão independente Suspensão independente é aquela que cada um dos lados estão ligados às rodas de forma independente, ou seja, se uma roda passar por um desnivelamento, somente ela será deslocada, não modificando o posicionamento da roda oposta. Uma suspensão rígida, também chamada de ponte ou eixo rígido, as rodas estão ligadas diretamente por meio de um eixo. Se uma das rodas se deslocar devido a um desnivelamento, a roda oposta também irá se deslocar. A suspensão independente é mais frágil que a rígida e exige cuidados especiais dependendo do veículo ao qual será utilizada. Figura 2.5: Suspensão traseira do Honda CR-Vque é do tipo independente. Os pinos esféricos ou pivôs da suspensão são pinos articulados que prendem o cubo da roda à suspensão. Os pivôs de suspensão fazem a ligação entre as partes suspensas

25 (chassi,carroceria) e as partes não suspensas (telescópico, manga de eixo, cubo de roda). Eles recebem grandes cargas e esforços durante a aceleração, frenagem e curvas. Possuem uma coifa de proteção que impede que poeiras ou qualquer tipo de material estranho penetre no alojamento da esfera de articulação, evitando o desgaste prematuro do componente e a sua quebra. A quebra de um pivô consiste no desligamento do cubo de roda à suspensão. Com o veículo em movimento, poderá causar sérios acidentes. Normalmente, com a quebra do pivô a roda cai. O braço de suspensão ou a bandeja permite a articulação das rodas na suspensão. Em veículos que utilizam bandejas na suspensão, o seu papel é idêntico aos braços, somente o seu formato é que muda, pois, normalmente tem aspecto triangular. As bandejas ou os braços de suspensão articulam-se em juntas de metal-borracha chamadas de silent-block, também conhecidas como buchas de bandeja. As mesmas devem ser substituídas quando apresentarem desgaste, pois, além de provocar folgas na suspensão, ainda provocam ruídos indesejáveis. É aí que entra a função dos amortecedores. Eles limitam as oscilações, frenando a abertura e fechamento da suspensão, tornado a dirigibilidade muito mais segura e estável. Com o tempo, é normal que estas buchas se danifiquem. Caso isso ocorra, as mesmas devem ser substituídas por novas junto com suas braçadeiras. Através das novas tecnologias que chegam a cada instante, é possível uma melhor qualidade nos resultados almejados. Uma vez que para a área agrícola, a utilização de suspensões independentes, se torna uma ótima alternativa, principalmente ao fato dos terrenos serem irregulares, onde diminuí significativamente as oscilações dos equipamentos agícolas. 2.3.2 Amortecedor Amortecedor é uma peça do veículo automotivo destinada ao controle das oscilações da mola e manter a roda em contato contínuo com o chão. No passado, quando a indústria automobilística dava os primeiros passos, os eixos eram fixados diretamente à estrutura do veículo fazendo com que o carro não fosse muito confortável pelas condições das estradas que na época não eram as melhores. A introdução de molas separou o eixo da carroceria, permitindo que o movimento das rodas fosse independente melhorando o conforto ao dirigir. Com o desenvolvimento de carros mais velozes, as molas começaram a causar problemas, pois ao passar por um buraco na pista, a mola era comprimida e a energia

26 acumulada produzia vários movimentos de extensão e compressão fazendo o veículo oscilar e comprometendo a estabilidade e tornando dirigir algo difícil e perigoso. Para resolver este problema foi criado o amortecedor.o primeiro tipo produzido foi o de fricção que controlava o movimento da mola com a ação mecânica de um cinto. Com o passar do tempo foram criados amortecedores baseados em princípios hidráulicos que controlavam as molas somente no movimento de extensão. Nesse processo evolutivo foi criado o amortecedor tubular de ação direta que é utilizado atualmente. Hoje, os amortecedores são partes fundamentais das suspensões dos veículos propiciando conforto e segurança tanto nas suspensões tradicionais quanto nas suspensões McPherson (estruturais). O amortecedor é composto, em média, de 50 itens, entre eles um fluído denominado óleo hidráulico de características especiais para suportar as mais baixas e mais altas temperaturas. Tem como os principais componentes: tubo de pressão, tubo reservatório, fixações e suportes, haste, pistão, válvula do pistão, e vávula da base. Os amortecedores podem ser de três tipos: o convencional, o pressurizado e o eletrônico. O amortecedor convencional ou amortecedor hidráulico é constituído por um conjunto de pistão e válvulas, fixado a uma haste que se move dentro de um tubo com óleo específico para altas temperaturas e pressões. As válvulas regulam a passagem do óleo, controlando a velocidade da haste. O amortecedor funciona por princípios hidráulicos. Tanto o tubo de pressão quanto o tubo reservatório estão com óleo restando uma pequena parte sem óleo que é preenchida com ar ou com gás nitrogênio quando o amortecedor é pressurizado. O que gera o amortecimento é a dificuldade de passagem do óleo através dos furos do pistão, onde se encontram válvulas responsáveis por controlar o movimento e pela própria válvula da base que controla a passagem de óleo do tubo de pressão para o tubo reservatório. Note que não há necessidade de passar óleo lubrificante ou completar com graxa sintética, o óleo do sistema já faz o papel de lubrificar. Os amortecedores destinam-se a absorver ou amortecer as vibrações para que as molas não oscilem continuamente para cima e para baixo. O segredo de uma boa suspensão reside na supressão da ressonância (acumulação de oscilações) nos vários componentes do sistema de suspensão, o qual inclui não só as molas, mas também os pneus e assentos.

27 2.3.3 Barra estabilizadora As barras estabilizadoras são parte integrante do sistema de suspensão de um carro. Às vezes também são chamadas de barras anti-balanço. O seu propósito é tentar manter o chassi do carro sem "girar" numa curva fechada. A barra estabilizadora evita a inclinação da carroceria em demasia durante as curvas a fim de não se perder estabilidade. O estabilizador constitui-se de uma barra de aço curvada em forma de "U" e é instalada transversalmente no veículo em suspensões independentes. 2.4 HISTÓRIA DA MAQUINIZAÇÃO AGRÍCOLA A seguir um resumo da história de trator agrícola. A Lamborghini é um fabricante conceituadíssimo de automóveis desportivos de luxo e de alto desempenho para competição, mas antes de se tornar em uma grande empresa, Ferruccio Lamborghini não começou a carreira como construtor de super carros, seu primeiro sucesso veio em forma de tratores e máquinas agrícolas. Com a primavera dando as caras no hemisfério norte, os fazendeiros de todos os cantos tiram seus John Deere e Internationals do celeiro para começar a plantação. Por isso imagina-se que seria uma boa hora para dar uma olhada na história dos tratores feitos pelos fabricantes de automóveis. No começo do século XX, carros e tratores não poderiam estar mais distantes em design. Quando os carros já estavam decidindo qual tipo de motor usariam vapor, elétrico ou combustão interna os tratores ainda eram movidos a vapor desde o final do século XIX. Estes até pareciam mais como locomotivas a vapor sobre rodas, eles eram enormes, caros e quentes. Eram máquinas perigosas que precisavam do trabalho de muitos homens para abastecer e operar, e não eram exatamente potentes.

28 Figura 2.6: Trator Lamborghini RACING Modelo 190. Como os fabricantes de automóveis estavam de olho no mercado agrícola, começouse a optar pelo motor de combustão interna. Haviam muitas terras a serem colonizadas e muito dinheiro para ganhar com essas máquinas. Os motores a gasolina desenvolvidos para os carros poderiam ser reajustados para trabalhos mais pesados e vendidos a fazendeiros e assim foi feito. Aqui estão alguns exemplos de tratores feitos pelos fabricantes de carros e eventualmente, fabricantes de tratores que passaram a fazer carros. Um dos primeiros fabricantes de tratores a gasolina foi a Ford, que iniciou a produção dos tratores modelo F em 1912, usando o nome Fordson e adotando os métodos de produção em massa que já eram aplicados aos automóveis da marca. Foi o primeiro trator leve produzido em grande escala. Desde 2000 o nome Ford não é mais vinculado a tratores. Ferdinand Porschefoi foi um homem com muitos interesses e talentos. Enquanto estava envolvido no desenvolvimento do Fusca, ele também mantinha seu projeto de um trator popular ou o Volkstrator. Muitos protótipos foram produzidos em 1934 com um motor diesel refrigerado a ar. Entre 1956 e 1963, quando a licença expirou, mais de 125 mil tratores Porsche haviam sido produzidos, todos compactos, de projeto simples que estavam pelos mais variados terrenos da Europa. Em 1922 o Congresso aprovou a Capper-Volstead Act, permitindo aos fazendeiros e rancheiros a legalização de trabalharem em grupos para benefício mútuo, e servindo para a criação da cooperativa Farm Bureau, que agiu em benefício dos fazendeiros para aprimorar e estudar os métodos de trabalho no campo. Quando a mecanização do campo começou, decidiram desenvolver um trator para beneficiar os cooperados. Em 1935 a Farm Bureau firmou um acordo com a Parret Tractor Company para produzir uma máquina que suprisse a

29 necessidade dos fazendeiros cooperados. O primeiro modelo tinha potência subdimensionada, então instalaram um motor e caixa Chrysler. Ao longo das várias gerações o trator passou a usar a marca CO-OP e regularmente tinha o motor Chrysler de quatro litros e seis cilindros. Da revista Mundo Agrícola Nº 162 de Junho de 1965: Em 1959, em São Paulo, foi realizado o I Simpósio sobre a Fabricação do Trator e Implemento Agrícola no Brasil, sob o patrocínio da Secretaria da Agricultura do Estado e colaboração do Sindicato da Indústria de Tratores, Caminhões, Automóveis e Veículos Similares do Estado de São Paulo, Sociedade Paulista de Agronomia, Sindicato da Indústria de Máquinas do Estado de São Paulo, Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, etc. Nesse certame foram, definitivamente, estabelecidas as bases para a implantação da indústria do trator no Brasil. Esse instrumento legal estipulava que a produção nacional de tratores agrícolas deveria iniciar-se no decorrer do ano de 1960, com uma nacionalização mínima de 70% do peso total, incluindo motor com pelo menos 60% de seu peso, ou alternativamente, a caixa de mudanças com 70% de seu peso, prosseguindo o processo de nacionalização até atingir 95% do peso do trator em 30 de junho de 1963. O decreto previa, ainda, a importação, sem cobertura cambial, de máquinas e equipamentos, sem similar nacional, para instalação da indústria. Outro item do decreto em tela vedava a importação, a partir de 1º de Julho de 1960, de tratores completos e montados, com benefícios cambiais e fiscais. Dá-se início então as primeiras tentativas de se fabricar um trator nacional. Começase a correria com diversas marcas que já "montavam" seus tratores aqui, sendo elas: Valmet, Massey-Ferguson, Ford, Deutz (Demisa), Fendt e CBT (Oliver inicialmente). Foi somente após a II Guerra Mundial que, no Brasil, houve um sensível progresso no setor da mecanização agrícola, com o restabelecimento do comércio de trocas entre o nosso país com as demais nações da América e da Europa. Acredita-se que, anteriormente ao conflito mundial, contava o Brasil com cerca de 3.380 tratores, sendo a área total cultivada, naquela época, de perto de 14 milhões de hectares de terra. A nossa população era então da ordem de pouco mais de 40 milhões de habitantes. Depois do término da guerra de 1939-1945, o aumento do número de tratores tornouse acentuado, chegando à importação, em 1951, a atingir o número de 11.142 máquinas agrícolas, o que representava cerca de 60% dos tratores existentes. A importação de tratores no período pós-guerra foi um tanto desordenada, tendo o nosso país recebido um número bastante considerável de máquinas sem nenhuma tradição no mercado internacional e

30 provindas da indústria americana e européia que se transformavam de produtoras de equipamentos bélicos às produtoras de máquinas agrícolas e para outros fins. Foram inúmeros os tratores que, após poucas horas de uso, foram paralisados ou mesmo encostados por não se adaptarem às nossas condições ou pela precariedade de sua construção. (Somente essa parte já explica boa parte da história dos tratores antigos no Brasil...) A partir de toda a evolução dos tratores, hoje só é possível a realização de tal estudo, devida as novas tecnologias que foram surgindo no decorrer do tempo, com aperfeiçoamentos, e embasamentos teóricos difundidos através da maquinização agrícola tão utilizada no Brasil. Devido a toda essa história relatada acima, empresas foram criadas e se instalaram no Brasil. Já hoje, a empresa de máquinas agrícolas Jacto S.A., está constantemente buscando melhorias para seus implementos, proporcionando aos pesquisadores informações relevantes sobre as máquinas, fazendo que a modernidade tenha um crescimento significativo em sua produção.

31 3 DESCRIÇÃO DO PULVERIZADOR DE TIPO TORRE Com o intuito de sempre obter pomares saudáveis, as Máquinas Agrícolas Jacto S.A., sempre estão em busca de soluções adequadas para a pulverização de pomares, para tanto, foi desenvolvido o equipamento agrícola de pulverização de pomares que é ilustrado na figura 3.1 a seguir. Figura 3.1. Pulverizador de pomar tipo torre fabricado por Máquinas Agrícolas Jacto S.A. (Sartori Junior, 2008). A figura 3.1 é descrita a seguir: 1 - Oito ventiladores, direcionados para o lado direito e para o lado esquerdo do equipamento; 2 - Bocal direcionador; 3 - Na borda do bocal direcionador de saída de ar são fixados ramais de pulverização; 4 - Unidade de bombeamento, que alimenta os ramais de pulverização; 5 - Tanque reservatório dos defensivos químicos; Seis, sete, 8,9 e 10 são estruturas suportes onde os ventiladores são montados. O pulverizador em estudo é composto por ventiladores que são acoplados a aparelhos direcionadores do ar, ou seja, bocal direcionador, onde estes são posicionados para que quando existe o fluxo de ar, as direções destes, consigam atingir as plantações de modo que não se percam os defensivos químicos durante o percurso.

32 As estruturas suportes permitem um posicionamento adequado dos ventiladores às copas das árvores, tendo possibilidades de ter movimentos horizontais, no sentido de aproximação das plantas; além de movimentos verticais para o ajuste da altura dos bocais em relação às árvores e ainda mais, os movimentos angulares em torno dos eixos de fixação, com possíveis inclinações dos fluxos de ar de assistência. Nos ramais de pulverização, por onde são expelidos os defensivos químicos alimentados por uma unidade de bombeamento que succiona a solução de defensivos a partir do tanque reservatório. O pulverizador agrícola tipo torre, sofre oscilações em sua estrutura, devido à velocidade que o tratorista trafegar e pelas irregularidades nos terrenos. Graças à exigência de mercado, a tendência é que cada vez mais se aumenta as velocidades, uma vez que as pulverizações seriam feitas em intervalos de tempo cada vez mais curto, mas não perdendo a qualidade da aplicação dos defensivos. Atualmente, a velocidade dos tratores utilizados para a pulverização, é de aproximadamente 2 a 6 km/h, e estudam-se as possibilidades de chegarem 10 a 12km/h e também, de 20 a 25 km/h. A altura da torre chega a 6 metros, pois é utilizada em pomares que possuem grandes copas, como maçã e de cítricos. Devida a tamanha altura, as oscilações da torre do pulverizador não poderiam deixar de ocorrer, uma vez que o terreno por onde o trator trafega é irregular.