Laboratório de
De que modo o comprimento de um pêndulo afeta o seu período? Como se comporta a força de atrito entre duas superfícies relativamente à força normal exercida por uma superfície sobre a outra?
Tais questões podem ser estudadas e mais bem respondidas, através de métodos gráficos, evidenciando dessa forma, a dependência de uma grandeza em relação à outra.
Tipos de Gráficos
Exemplo de gráfico de linhas (linear) Nesse gráfico, os pontos correspondem às medidas experimentais e a linha representa o comportamento médio.
Confecção de Gráficos Quando são realizados experimentos, os dados são adquiridos, geralmente, de dois modos: 1º : Quando se quer examinar a dependência de uma grandeza em relação à outra (ex. gráfico anterior) sem repetições. Nesse caso, mede-se a velocidade do corpo em instantes consecutivos de tempo e analisa-se como a velocidade depende do tempo. Costuma-se denominar de variável independente aquela que se varia, nesse caso, o tempo. A grandeza na qual se quer estudar a dependência, nesse caso a velocidade, é denominada de variável dependente.
2º: O mesmo experimento é repetido muitas vezes nas mesmas condições. Nesse caso, querem-se estudar as variações de medidas devido às incertezas experimentais. Dependendo dos instrumentos utilizados, a medida simples de um único período resulta, geralmente, em incertezas experimentais elevadas que podem ser minimizadas através da repetição do experimento. Assim, a medida final seria a média aritmética de todas as medidas efetuadas.
Costuma-se organizar os dados em Tabelas Tempo (s) Velocidades (cm/s) - - - - - - - - - - - - Essas tabelas podem-se tornar demasiadamente longas e de difícil leitura. A representação desses dados em forma gráfica mostra, de forma mais clara, as propriedades das grandezas medidas.
Exemplo 1 PRÁTICA 1 Moviment Retilíneo Uniforme Neste experimento um carrinho irá deslizar em um trilho de ar com atrito desprezível. Este carrinho está ligado a um corpo de massa variável suspensa por um fio leve que passa por uma roldana, onde os efeitos do movimento, atrito do eixo de rotação da roldana e o atrito do ar durante a queda, por exemplo, são considerados extremamente pequenos.
Um MRU ocorre quando a velocidade de um corpo é constante, ou seja, invariável com o tempo. Isso ocorre quando não há forças atuando sobre o corpo no sentido de alterar o módulo ou a direção do vetor velocidade. É possível identificar a posição de um móvel através da equação: Se a posição inicial, xo, for dada no instante t0 = 0, e a posição final, x, no instante t, a partir da equação (1), tem-se
Objetivos: Estudo do movimento retilíneo em condições onde a velocidade é constante. Obter o valor experimental da velocidade de Obter o valor experimental da velocidade de corpos de diferentes massas do movimento em um trilho de ar.
Material utilizado: 01 trilho de 120 cm de comprimento; Unidade geradora de fluxo de ar; Carrinhos para trilho; 02 sensores de movimento (S 1 e S 2 ); Pesos com massas de aproximadamente 19g; 01 Eletroímã; Controlador digital para sensores de movimento e eletroímã; Cabos de conexão.
Colocar 1 peso de massa aprox. de 19g no suporte, pesar os dois juntos, anotar o valor e prender no suporte (linha + roldana). Ao prender o suporte na linha deixe um tamanho que após o carrinho deslizar até o final do trilho o peso fique uma distância aproximada de 20 cm (0,2 m) distante do chão; Ligar o gerador de fluxo de ar. Acionar o botão start no controlador digital para que o eletroímã seja desativado e imediatamente o carrinho passe pelos sensores de movimento e seja contabilizado o intervalo de tempo da passagem do carrinho.
Anotar na Tabela 1 o tempo indicado no cronômetro como mostrado no controlador digital. Alterar a posição do sensor S 2 avançando 10 cm e repetir os dois últimos procedimentos apresentados acima.
Tabela 1 Dados obtidos e cálculo da velocidade a partir do tempo médio para uma massa (xx g). Massa Medida x 0 (m) x(m) x(m) t1(s) t2(s) t3(s) t m (s) V m (m/s) 1 2 3 4 5
Procedimento experimental: Montagem do experimento; Manter o trilho levemente inclinado, cerca de 1 cm; O sensor S 1 ficará na posição inicial e o sensor S 2 na 1 2 posição final; Observar a distância entre S 1 e S 1, pois está representará o deslocamento escalar ( x) do carrinho. Ligar o controlador digital e escolher a opção (F2) e ativar o Eletroímã para que o carrinho fique preso.
Regras gerais para confecção de gráficos Todo gráfico é composto dos seguintes itens: 1. Título e legenda do gráfico; 2. Eixos das variáveis com os nomes das variáveis, escalas e unidades; 3. Dados experimentais e incertezas; 4. Funções teóricas ou curvas médias (esse último item é opcional e, dependendo das circunstâncias, pode ser omitido);
Título e legenda do gráfico Todo gráfico dever ter um título. Geralmente, o título do gráfico é colocado na parte superior do gráfico, em destaque. Títulos do tipo gráfico de velocidade vs. tempo" são redundantes e não fornecem informação necessária para o entendimento do mesmo
Eixos, escalas e unidades Os eixos de um gráfico devem ser explicitamente desenhados. Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável representada, a escala de leitura e a unidade correspondente. A escolha da escala utilizada deve ser tal que represente bem o intervalo medido para a variável correspondente.
A regra prática para definir a escala a ser utilizada consiste em dividir a faixa de variação da variável a ser graficada pelo número de divisões principais disponíveis. Toma-se, então, um arredondamento para um valor superior e de fácil leitura. Esses valores são, em geral, 1, 2, 5 ou múltiplos/sub-múltiplos de 10 desses valores (10; 20; 500; 0,5; etc.).
As escalas de um gráfico não precisam começar na origem (0, 0). Elas devem abranger a faixa de variação que você quer representar. É conveniente que os limites da escala correspondam a um número inteiro de divisões principais. As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o número de dígitos utilizados na divisão principal.
IMPORTANTE! Ao usar papel gráfico comum: Não use a escala marcada no papel pelo fabricante (você é quem define a escala); Evite usar os eixos nas margens do papel (desenhe os seus próprios eixos); Nunca coloque nos eixos os valores medidos para cada variável (é um erro grosseiro e muito comum); Escreva o nome (ou símbolo) da variável correspondente ao eixo e a unidade para leitura dos valores entre parêntesis (s, kg, 10 5 N/m 2, etc.).
Algumas formas INCORRETAS de desenhar eixo em um gráfico.
Dados, funções teóricas e curvas médias. Assinale no gráfico a posição dos pontos experimentais: use marcas bem visíveis (em geral círculos cheios). NUNCA indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo. Coloque as barras de incerteza nos pontos, se for o caso. Se as incertezas são menores que o tamanho dos pontos, indique isso na legenda. NUNCA LIGUE OS PONTOS
Cálculo do valor de incerteza ou desvio padrão. O desvio padrão é uma medida de dispersão usada com a média σ; Mede a variabilidade dos valores à volta da média; O valor mínimo do desvio padrão é 0 indicando que não há variabilidade, ou seja, que todos os valores são iguais à média; A fórmula de cálculo do desvio padrão para os valores x 1, x 2, x 3,, x n de uma amostra é a seguinte: Onde X é a média da amostra
Exemplo: Consideremos os seguintes dados: Nome Idade Nome Idade Paula 22 Gonçalo 22 Manuel 24 Pedro 20 Carla 26 Cristina 24 Maria 23 Sofia 28 João 21 Susana 30 A média das idades é: (22+24+26+23+21+22+20+24+28+30) /10 = 24 anos.
O desvio padrão é:
Gráficos de linhas São normalmente utilizados para representar a dependência de uma grandeza em relação à outra. Dentre os vários se destacam três tipos comumente utilizados:
Papel em escala milimetrada-nesse caso, ambas coordenadas são igualmente espaçadas em centímetros.
Escalas lineares São os mais simples de serem realizados e são aqueles nos quais ambos os eixos (x e y) são lineares, ou seja, a escala representada no eixo é diretamente proporcional à distância do ponto em relação à origem do eixo. são desenhados normalmente em papéis milimetrados
Traçando curvas médias Existem técnicas matemáticas e testes sofisticados para determinar o comportamento de dados e permitir extrapolações e interpolações. Pode-se desenhar curvas médias sobre conjunto de dados utilizando-se a curva francesa.
Um inconveniente do uso geral de curvas francesas é o fato de, apesar das curvas médias serem bastante satisfatórias, é difícil obter informações numéricas de forma direta.
Quando o gráfico pode ser representado por uma reta, onde a curva média é uma reta, várias informações podem ser obtidas sobre os dados gráficos. Note que a reta média não necessariamente deve passar por todos os pontos experimentais (veja ponto com t = 5,6 s) e, não necessariamente, deve passar pelo primeiro e último pontos do gráfico
Em muitos casos, apesar das incertezas experimentais serem suficientemente grandes, os pontos não ficam aleatoriamente distribuídos em torno da reta.
Nesse caso, a equação de uma reta pode ser escrita como: Onde y é a variável dependente e x é a variável independente. a e b são constantes, respectivamente denominadas coeficientes angular e linear. Para obter os coeficientes a e b é necessário escolher dois pontos da reta média desenhada no gráfico. ESCOLHA PONTOS BASTANTE DISTANTES!!!!
De preferência, escolha um ponto anterior ao intervalo dos dados e um ponto após o intervalo das medidas efetuadas. Vamos denominar esses pontos como sendo (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ). Utilizando a equação de reta acima, podemos escrever que: Temos, nesse caso, duas equações e duas incógnitas (a e b). Podemos resolver o sistema acima de tal modo que:
Avaliação das incertezas nos coeficientes angular e linear; medidas experimentais são sempre acompanhadas de suas respectivas incertezas, avaliadas pelos experimentadores. Essas incertezas são representadas graficamente através de barras de erro em cada ponto experimental. Imagine agora dois conjuntos de pontos. (x, y+σ) e (x, y-σ) traça-se duas retas, uma que melhor se adapte ao conjunto (x, y+σ) e outra que melhor se adapte ao conjunto (x, y-σ).
Tomam-se os pontos nessas retas correspondentes ao menor e maior valor da variável x no conjunto de dados experimentais. Reta máxima: maior inclinação; Reta mínima: menor inclinação.
Para cada uma dessas retas calcula-se os coeficientes angulares e lineares, denominados, respectivamente: a max, b max, a min, b min. As incertezas nos coeficientes da reta média podem ser obtidas através das expressões: