11º REVISA CAESP EXATAS Nome: N o Turma: 9º ano A Prof.(ª): Debora Daiana Klering Wiest Data de Entrega: 10/09/018 Matemática/Álgebra GABARITO 01 Os alunos do 9º ano de uma escola foram divididos em 5 grupos para estudar o movimento de uma flecha após seu lançamento. Cada grupo encontrou uma função para descrever o percurso feito pela flecha, relacionando a altura (h) alcançada por ela com o instante (t) do movimento, como mostra a tabela a seguir: Grupo Função encontrada 1 h(t) = (t + 1) (t 1) (t + 1) h(t) = (t² + 1) (t ) 3 h(t) = ( t) (t 5) 4 h(t) = ( 8) (t + 6) 5 h(t) = t (t 9) (t 7) Sabendo que a função que descreve o percurso da flecha é quadrática, qual o único grupo que encontrou uma possível função? Desenvolvendo as funções encontradas por cada grupo, temos: Grupo 1: h(t) = (t + 1) (t 1) (t + 1) = t³ + t² t 1 Grupo : h(t) = (t² + 1) (t ) = t³ t² + t Grupo 3: h(t) = ( t) (t 5) = t² + 5t Grupo 4: h(t) = ( 0038) (t + 6) = 8t 48 Grupo 5: h(t) = t (t 9) (t 7) = t³ 16t² + 63t Note que a única função quadrática é a encontrada pelo grupo 3. 0 Um jogador de basquete arremessa uma bola em direção à cesta. A trajetória realizada por ela pode ser descrita pela função h(t) = t² + 10t +, na qual h(t) representa a altura, em metros, atingida pela bola no instante t, em segundos. Quais são as alturas em que a bola se encontra nos instantes 0 segundo e 3 segundos? No instante t = 0, temos que a altura atingida pela bola é de: h(0) = 0² + 10 0 + h(t) = No instante t = 3, temos que a altura atingida pela bola é de: h(3) = 3² + 10 3 + h(t)= 18 + 30 + h(t) = 14 Portanto, no instante t = 0, a bola atingirá metros de altura e, no instante t = 3, atingirá 14 metros de altura.
03 Uma função quadrática passa pelos pontos ( 1, 0), (, 0) e (0, ): A lei de formação da função que representa esse gráfico é: a) y = x² + x b) y = x² x c) y = x² + x d) y = x² x e) y = x² x Alternativa correta: B Note que todas as funções das alternativas passam pelo ponto (0, ), pois, substituindo x por 0, em todas obtemos y =. Como a função passa pelo ponto ( 1, 0), podemos verificar quais das funções das alternativas passam por esse ponto: a) y = x² + x y = ( 1)² + ( 1) y = 1 1 y = b) y = x² x y = ( 1)² ( 1) y = 1 + 1 y = 0 c) y = x² + x y = ( 1)² + ( 1) y = 1 1 y = 4 d) y = x² x y = ( 1)² ( 1) y = 1 + y = 1 e) y = x² x y = ( 1)² ( 1) y = 1 + y = 1 Note que apenas a função da alternativa b passa por esse ponto. Vamos verificar se essa função também passa pelos pontos (, 0): Para x =, temos: y = x² x y = ()² () => y = 4 = 0 Portanto, a resposta correta é a alternativa b. 04 Jorge construiu um gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano, mas esqueceu-se de indicar os pontos correspondentes às raízes dessa função, como mostra a imagem a seguir: Observando o gráfico dessa função, quais são as suas raízes? Observando o gráfico, podemos verificar que o vértice está no ponto ( 1, ), o que indica que a escala é de uma unidade. Assim, essa função possui uma raiz negativa que se encontra a 3 unidades de distância da origem, ou seja, no ponto ( 3, 0), enquanto a raiz positiva se encontra a apenas uma unidade da origem, ou seja, no ponto (1, 0).
05 Uma empresa lançou um aplicativo que simula lançamentos de objetos. A trajetória de um dos objetos lançados, em metros, está representada no gráfico a seguir: Observando o gráfico, qual a altura máxima atingida pelo objeto lançado? Observando o gráfico, é possível perceber que, no eixo das ordenadas, a marcação dos 6 metros está três marcações acima da origem. Com isso podemos concluir que cada marcação corresponde a metros. A marcação no eixo das ordenadas correspondente ao ponto de máximo dessa função está a 4,5 marcações da origem, o que corresponde a 4,5 = 9 metros. 06 Uma pessoa que está jogando basquete dá um salto para lançar a bola, e o lançamento ocorre a 3 metros do solo. A trajetória pode ser representada por uma parábola; a metros de distância de onde ocorreu o lançamento a bola está a 3 metros de altura, e a 3 metros de distância ela atinge o solo. Considerando as informações apresentadas no gráfico e no enunciado, qual a altura máxima, em metros, atingida pela bola? Do gráfico, temos que a parábola passa pelos pontos (0, 3), (, 3) e (3, 0). Com esses três pontos, é possível definir a lei de formação da parábola como f(x) = x + x + 3. As raízes dessa função são os pontos tais que f(x) = 0, ou seja, ( 1, 0) e (3, 0). Considerando a propriedade de simetria da parábola, o xv é o ponto médio das raízes. Assim, temos: 1 3 xv 1 A altura máxima corresponderá a yv: yv = f(1) yv = 1 + 1 + 3 yv = 1 + + 3 yv = 4 Então, a altura atingida pela água será de, aproximadamente, 4 m.
07 Dadas as funções quadráticas f(x) = x² 7x + 1 e g(x) = x² + 10x + 16, qual é o valor numérico que representa a soma dos zeros das funções f(x) e g(x)? x² 7x 1 0 7 1 4 ( 7) ( 7)² 4 1 1 7 1Z x 1 ] 7 1 x x 3 x² 10x 16 0 10 6 10 10² 4 1 16 10 36 Z x x 1 1 ] 10 6 x x 8 O valor numérico da soma dos zeros das funções é 3 (4 + 3 8 ). 08 Dada a função quadrática y = x² 6x + 5, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta. I. Os zeros da função quadrática são 1 e 5. II. A parábola intercepta o eixo y no par ordenado (0, 5). III. A parábola intercepta o eixo y no ramo decrescente. a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I, II e III. e) Nenhuma das afirmações. Alternativa correta: C Resolução: I. Incorreta. Os zeros da função são: x² 6x 5 0 6 4 5 ( 6) ( 6)² 4 1 5 6 16 Z x x 1 ] 6 4 x x 1 II. Correta. Como o coeficiente c é 5, a parábola intercepta o eixo y no par ordenado (0, 5). III. Correta. Como o coeficiente b é 6, a parábola intercepta o eixo y no ramo decrescente.
09 O gráfico da função quadrática definida por f(x) = x² + 10x 1 tem vértice V(m, n). Qual é o valor numérico da expressão m² n²? 10 xv xv 5 ( 1) x² + 10x 1 10² 4 ( 1) ( 1) 100 84 yv yv yv yv 4 4a 4 ( 1) 4 V(5, 4), logo: m² n² = 5² 4² = 5 16 = 9 10 O jogo de golfe é praticado em todo mundo, e seu objetivo é dar uma tacada em uma bola para que ela entre em um buraco posicionado no chão. Em uma dessas jogadas, a trajetória descrita pela bola após a tacada pode ser descrita pela função h(x) = 5x² + 0x, na qual h(x) é a altura, em metros, e x é o tempo, em segundos. Qual é a altura máxima que a bola pode atingir nessa tacada? 0² 4 ( 5) 0 400 yv yv yv yv 0 4a 4 ( 5) 0