Eames Nacionais eame nacional do ensino secundário Decreto Lei n. 7/00, de 6 de março Prova Escrita de Matemática A. Ano de Escolaridade Prova 6/.ª Fase Duração da Prova: 0 minutos. Tolerância: 0 minutos 0 Grupo I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de resposta: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações.. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A ƒ W e B ƒ W). Cotações Sabe se que: A e B são acontecimentos independentes; P (A) 7 0 ; P (A B). Qual é o valor de P(B)? (A) (B) 9 (C) 9 0 (D) 0. Para assistirem a um espetáculo, o João, a Margarida e cinco amigos sentam se, ao acaso, numa fila com sete lugares. Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro? (A) *! 7! (B)! 7! (C) 7 (D) 7
. a Fase 0. Numa caia com compartimentos, pretende se arrumar 0 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roo. Em cada compartimento pode ser arrumado apenas um copo. De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 0 copos nessa caia? (A) A 7 *! (B) A 7 * C (C) C 7 * A (D) C 7 * A. Seja f uma função de domínio R, definida por f () e. Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite afirmar que a equação f () tem, pelo menos, uma solução? (A) d 0, c (B) d, c (C) d, c (D) d, c. Na figura, está representada, num referencial o. n. y, parte do gráfico de uma função g, de domínio a, +?, com a <. Para esse valor de a, a função f, contínua em R, é definida por: f () {log a b g () se < a se a y g Qual é o valor de a? (A) 8 (C) 9 (B) (D) 8 a Figura 6. Na figura, está representada, num referencial o. n. y, parte do gráfico de uma função f, de domínio R. y - - - - - - - f Figura Sejam f' e f'', de domínio R, a primeira derivada e a segunda derivada de f, respetivamente. Qual dos valores seguintes pode ser positivo? (A) f'() (B) f'( ) (C) f''( ) (D) f''()
Eames Nacionais 7. Na figura, estão representadas, no plano compleo, as imagens geométricas de cinco números compleos: w, z, z, z e z. Qual é o número compleo que pode ser igual a w i? w Im (z) z (A) z (B) z z z (C) z (D) z z Re (z) Figura 8. Na figura, está representada, a sombreado, no plano compleo, parte de uma coroa circular. Sabe se que: é a origem do referencial; o ponto Q é a imagem geométrica do compleo + i ; a reta PQ é paralela ao eio real; as circunferências têm centro na origem; os raios das circunferências são iguais a e a 6. Considere como arg (z) a determinação que pertence ao intervalo [ p, p[. P R Im (z) Q Re (z) Qual das condições seguintes pode definir, em C, conjunto dos números compleos, a região a sombreado, incluindo a fronteira? Figura (A) z 6 p arg (z + i) p (C) z 6 p arg (z + i) p (B) 9 z 6 p arg (z + i) p (D) 9 z 6 p arg (z + i) p Grupo II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Em C, conjunto dos números compleos, considere z ( + i) e z + 8i. + i.. Resolva a equação z + z z, sem recorrer à calculadora. Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica... Seja w um número compleo não nulo. Mostre que, se w e são raízes de índice n de um mesmo número compleo z, então w z ou z.
. a Fase 0. Numa escola, realizou se um estudo sobre os hábitos alimentares dos alunos. No âmbito desse estudo, analisou se o peso de todos os alunos. Sabe se que: % dos alunos são raparigas; 0% das raparigas têm ecesso de peso; 0% dos rapazes não têm ecesso de peso... Escolhe se, ao acaso, um aluno dessa escola. Determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem ecesso de peso. Apresente o resultado na forma de fração irredutível... Considere agora que a escola onde o estudo foi realizado tem 00 alunos. 0 Pretende se escolher, ao acaso, três alunos para representarem a escola num concurso. Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz. Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.. Num saco estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente:,, 0, e. Etraem se, ao acaso e em simultâneo, quatro bolas do saco. Seja X a variável aleatória Produto dos números inscritos nas bolas etraídas. A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte. i 0 P(X i ) Elabore uma composição na qual: eplique os valores da variável X ; justifique cada uma das probabilidades.. Considere a função f, de domínio R, e a função g, de domínio 0, +?, definidas por: f () e e + e e g () In () +... Mostre que In ( + ") é o único zero da função f, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos... Considere, num referencial o. n. y, os gráficos das funções f e g e o triângulo [AB]. Sabe se que: é a origem do referencial; A e B são pontos do gráfico de f ; a abcissa do ponto A é o zero da função f ; o ponto B é o ponto de interseção do gráfico da função f com o gráfico da função g.
Eames Nacionais Determine a área do triângulo [AB], recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificados, incluindo o referencial; assinalar os pontos A e B ; indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas; apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.. Considere a função f, de domínio R, definida por: f () { In ( + ) In() + se > 0 e se 0 Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos... Estude a função f quanto à eistência de assíntotas não verticais do seu gráfico... Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa. 6. Na figura, está representado um trapézio retângulo [ABCD]. D C A B Figura Sabe se que: BC ; CD ; a é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC ; a å d p, p c. Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. 6.. Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de a, por: P (a) + cos a sin a 6.. Para um certo número real q, tem se que tg q "8, com p < q < p. Determine o valor eato de P'(q). Comece por mostrar que P'(a) cos a sin a. FIM
Sugestão de resolução Grupo I. Se A e B são acontecimentos independentes, então P (A B) P (A) * P (B) Se P (A) 7 0, então P (A) 7 0 0 ; P (A B) Substituindo estes valores na epressão P (A B) P (A) + P (B) P (A B), temos: 0 + P (B) P (A) * P (B) 0 P (B) 0 * P (B) Resposta: (B) 9 0 7 0 * P (B) P (B) 9 0 * 0 7 P (B) 9. Número de casos possíveis: P 7 7! Número de casos favoráveis ao acontecimento contrário:! *! * 6 Número de posições que o par formado pelo João e pela Margarida pode ocupar (no início da fila, no fim, ou entre os cinco amigos). Probabilidade pedida:! *! * 6 P 7! 7 7 Resposta: (D) Número de maneiras de ordenar os cinco amigos. Pode ficar João Margarida ou Margarida João. C 7 * A Número de maneiras de, nos restantes cinco compartimentos, arrumar os três copos de cores diferentes. Número de maneiras de, nos compartimentos disponíveis, escolher sete lugares para os copos brancos Resposta: (C). f () e e + + 0 e + 0 Seja h a função definida em R por h () e +. h é contínua em R. Logo, h é contínua em qualquer intervalo de números reais. h (0) e 0 + 0 0, ; h a b e + ) 0,08 ; h a b e + ) 0,0 CPEN_MA Porto Editora h é contínua em c, d e h a b * h a b < 0. Logo, pelo Teorema de Bolzano, h admite pelo menos um zero no intervalo d, c, ou seja, a equação f () Resposta: (B) admite pelo menos uma solução nesse intervalo.
Sugestão de resolução. Se f é contínua em R então f é contínua no ponto a. Logo, lim f () lim " a " a +f () f (a). lim " a f () lim " a +f () lim clog " a a bd log a a b a a 8 Resposta: (A) CPEN_MA Porto Editora 6. Por análise do gráfico da função f verifica se que pertence a um intervalo onde a concavidade pode ser voltada para cima. Logo, f '' ( ) pode ser um número real positivo. Resposta: (C) 7. Seja w r cis q. z w i r cis q cis p r cis aq p b w Im (z) - p z módulo de w é a terça parte do módulo de w e se q é um argumento de w, i q p é um argumento de w i. Re (z) Entre os números compleos cujas imagens se apresentam, apenas z pode ser igual a w i. Resposta: (A) 8. A região sombreada pode ser definida pela seguinte condição em C : z 6 p arg (z ( + i)) p z 6 p arg (z + i) p Resposta: (C). z ( + i) ; z + 8i + i Grupo II.. z ( + i) ( + i) * ( + i) ( i + i ) * ( + i) ( i ) * ( + i) z + 8i + i ( i) * ( + i) 6 + i + 8i i 6 + i + + i ( + 8i) ( i) ( + i) ( i) i + 6i 8i i i + 6i + 8 + 0 + i 6 + i z + z z z + i 6 + i z 8 z " 8 z " 8 cis 0 z " 8 cis 0 + kp, k å {0,, } z cis kp z cis 0 z cis p z cis p, k å {0,, }.. Se w e w são raízes de índice n do mesmo número compleo z, então w n a n w b z. w n a n w b w n w n 0 0 (w n ) w n w n w n Dado que w n z, temos z z.
. a Fase 0. Sejam os acontecimentos: F : aluno escolhido é rapariga G : aluno escolhido tem ecesso de peso É dado que: P (F) 0, ; P (G F) 0, ; P (G F ) 0,.. Pretende se determinar P (F G) P (F G). P (G) P (F) 0, 0, 0, G P (G F ) 0, 0,6 P (F G) P (F) * P (G F ) 0, * 0,6 0,7 0, F G P (G) P (F G) + P (F G) P (F) * P (G F) + P (F) * P (G F ) 0, * 0, + 0, * 0,6 0, Logo, P (F G) P (F G) P (G) 0,7 0, 8 9. 0, F 0,6 0, G G.. Número de alunos: 00 Número de raparigas: 0, * 00 0 Número de rapazes: 00 0 90 Número de casos possíveis: 00 C Número de casos favoráveis: 0 C * 90 C 0 C * 90 Probabilidade pedida: P 0 C * 90 00 C ) 0,. Ao serem etraídas quatro das cinco bolas que estão no saco apenas se pode verificar uma das seguintes situações: uma das quatro bolas etraídas tem o número 0 e, neste caso, o produto dos números inscritos nas bolas etraídas é igual a 0 ; as quatro bolas têm, respetivamente, os números,, e pelo que o produto dos números inscritos nas bolas etraídas é igual a ; Logo, a variável aleatória X apenas pode tomar os valores 0 ou. Nesta eperiência aleatória o número de casos possíveis é igual a C (número de maneiras de nas cinco bolas escolher quatro). Para o cálculo da probabilidade de X tomar o valor 0, o número de casos favoráveis é igual a C (número de maneiras de escolher três bolas entre as quatro que têm números diferentes de zero). Logo, P (X 0) C C. CPEN_MA Porto Editora número de casos favoráveis para que a variável X tome o valor é igual a C (número de maneiras de escolher quatro bolas entre as quatro que têm números diferentes de zero). Portanto, P (X ) C C.
Sugestão de resolução. f () e e + e ; g () In () +.. f () 0 e e + e 0 e * e e 0 e e 0 e e 0 (e ) * e 0 e "( ) * ( ) CPEN_MA Porto Editora e " e " å In ( + ") In ( + ") e " e + " e > 0, A å R.. Recorrendo à calculadora gráfica determinaram se as coordenadas do ponto B, interseção dos gráficos de f e g. Com aproimação às centésimas as coordenadas de B são (, ;,8). A abcissa do ponto A é o zero de f. Logo, a abcissa de A é In ( + ") ),7. Tomando para base do triângulo [AB] o lado [A] tem se A ),7 e, neste caso, a altura do triângulo é a ordenada do ponto B, ou seja, aproimadamente igual a,8. Portanto, área do triângulo [AB] é, com aproimação às décimas, igual a,7 *,8 ),. y,8 g A B, f. f () { In ( + ) In () + se > 0 e se 0 ; D f R.. Quando " -? : Seja y m + b uma equação da assintota do gráfico de f quando "?, caso eista. m lim "? f () lim "? e lim "? e e +? +? Como m R, o gráfico de f não tem assintota quando "?. Quando " +? : Seja y m + b uma equação da assintota do gráfico de f quando " +?, caso eista. m lim " +? f () lim " +? In( + ) In () + lim (In ( + ) In () + ) " +? lim cin a + bd + lim " +? cin a + bd + In ( + 0) + 0 + " +? b lim f () m lim In ( + ) In () + " +? " +? lim " +? (In ( + ) In ()) lim " +? + c In a bd lim " +? In a + b Fazendo y, se " +? então y " 0 e lim " +? In a + b In (y + ) lim. y " 0 y A reta de equação y + é assintota do gráfico de f quando " +?.
. a Fase 0.. Seja y m + b uma equação da reta t, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Ponto de tangência: (, e ) (f ( ) * e + e ) Declive da reta t : Para < 0 temos: f '() ( e )' ' e + (e )' e + ( e ) e ( ) m f '( ) e + ( + ) e Substituindo o valor de m e as coordenadas do ponto de tangência na equação y m + b, vem: e e * ( ) + b b e y e + e é uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. 6. 6.. Consideremos, no trapézio [ABCD], o ponto E, pertencente ao lado [AB], tal que DE é perpendicular a AB. Temos então que o triângulo [AED] é retângulo em E, DE BC e EB DC. AE DE tg aa p b AE sin aa p b cos aa p b a- p D C AE sin a p ab cos a p ab AE cos a sin a A E B DE DA cos aa p b DA cos ap ab DA sin a DA sin a perímetro do trapézio [ABCD] é dado por: AB + BC + CD + DA AE + + + + DA + DA + AE Portanto, P (a) + sin a + cos a cos a P (a) + sin a sin a. 6.. P '(a) a + cos a sin a b' ( cos a)' sin a ( cos a) (sin a)' 0 + sin a sin a sin a ( cos a) cos a sin a cos a + cos a sin a sin a (sin a + cos a) cos a sin a p tg q "8 e < q < p. cos a sin a Dado que + tg q cos q, temos: + ( "8) cos q 9 cos q cos q 9 Atendendo a que p < q < p vem cos q. Por outro lado, sin q cos q 9 8 9. CPEN_MA Porto Editora Com P '(a) cos a sin a a cos q b, vem P '(q) sin q 8 9 8 9.