C17 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 12ª Classe 2.º CICLO DO ENSINO SECUNDÁRIO GERAL ÁREA DE CIÊNCIAS FÍSICAS E BIOLÓGICAS
Ficha Técnica Título Programa de Matemática - 12ª Classe (Área de Ciências Físicas e Biológias) Editora Editora Moderna, S.A. Pré-impressão, Impressão e Acabamento GestGráfica, S.A. Ano / Edição / Tiragem 2014 / 2.ª Edição / 2.000 Ex. E-mail: geral@editoramoderna.com 2014 EDITORA MODERNA Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o consentimento escrito da editora, abrangendo esta proibição o texto, as ilustrações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.
ÍNDICE Introdução Geral à Disciplina no Ciclo --------------------------------------- 4 Objectivos Gerais do 2º Ciclo do Ensino Secundário de Matemática -------- 5 Objectivos Gerais da 12ª Classe ------------------------------------------------ 6 Esquema Programático (12ª Classe) ------------------------------------------- 8 Temas / Conteúdos ------------------------------------------------------------- 9 Avaliação ----------------------------------------------------------------------- 28 Bibliografia --------------------------------------------------------------------- 29 3
12ª CLASSE INTRODUÇÃO GERAL À disciplina no ciclo A disciplina de Matemática contribui para a realização dos objectivos gerais da formação da jovem geração, através de meios específicos da ciência matemática. Sendo assim, a Lei de Bases do Sistema da Educação define o Sistema Educativo como um conjunto de estruturas e modalidades, através do qual se realiza a educação tendente à formação harmoniosa e integral da personalidade, com vista à consolidação de uma sociedade progressiva e democrática. Este programa apresenta-se por temas proporcionando ao professor uma visão global seguida com a planificação, isto é, para cada subtema, pré-requisitos, objectivos, conteúdos, meios, sugestões metodológicas, tempo e instrumentos de avaliação. Das sugestões dadas, o professor escolherá as que lhe pareçam mais oportunas e adequadas. Neste programa, desenvolveu-se um só subtema básico na planificação para cada tema, dando, desta maneira, ao professor, uma ideia de como desenvolver a planificação da sua aula. 4
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Objectivos Gerais DO 2º CICLO DO ENSINO SECUNDÁRIO de matemática O ensino da Matemática no 2º ciclo, deverá desenvolver nos alunos, os seguintes objectivos: Consolidar e alargar os conhecimentos e capacidades adquiridas no Ensino Primário e no 1º Ciclo do Ensino Secundário. Contribuir para a criação de condições científicas e intelectuais, necessárias para o Ensino Superior. Introduzir intensamente nos alunos os métodos para o raciocínio no trabalho científico. Apreciar o contributo da Matemática na evolução científica. Usar correctamente o vocabulário específico e a simbologia matemática. Aperfeiçoar as capacidades de definir, demonstrar, reconhecer e sistematizar problemas matemáticos. Estudar sensivelmente as dificuldades de julgar, com base nas capacidades adquiridas. Criar bases para o hábito da pesquisa científica. 5
12ª CLASSE Objectivos Gerais da 12ª classe Compreender a representação gráfica das funções racionais e compreender as equações de assimptotas; Reconhecer o gráfico da hipérbole e ser capaz de representá-lo a partir dos elementos da sua equação; Compreender as equações irracionais e a sua representação gráfica; Compreender a igualdade de duas funções num intervalo; Aplicar as operações com funções; Compreender a função composta de duas funções; Conhecer as propriedades das funções exponenciais e ser capaz de aplicálas; Conhecer as funções logarítmicas, as suas propriedades e representá-las graficamente; Relacionar o conceito de ângulo ao sistema circular de medida de ângulo; Conhecer as razões e fórmulas trigonométricas; Analisar os gráficos das funções trigonométricas; Compreender as equações e inequações trigonométricas; Compreender os problemas que envolvam o cálculo de um elemento de um triângulo; Compreender as expressões trigonométricas, interpretando-as no círculo trigonométrico; Compreender o conceito de limite de uma função e saber aplicá-lo ao seu cálculo; Conhecer as propriedades dos limites de funções e interpretá-las graficamente; Dominar o cálculo de limite e ser capaz de fazer o levantamento das indeterminações; Criar habilidades de cálculo de limites de expressões exponenciais, logarítmicas e trigonométricas; 6
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Conhecer uma função contínua e as suas propriedades; Conhecer o teorema de Bolzano Cauchy e aplicá-lo no cálculo de assimptotas; Compreender o conceito derivado de uma função, as suas regras e a sua interpretação geométrica; Conhecer num gráfico de uma função os seus extremos; Conhecer e determinar os pontos de inflexão; Aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de exercícios sobre os valores extremos e análise de curvas; Conhecer o conceito de integral definido e indefinido, as suas propriedades e generalizar esses conhecimentos no cálculo de áreas. 7
12ª CLASSE ESQUEMA PROGRAMÁTICO (12ª CLASSE) Área de Ciências Físicas e Biológicas 30 Semanas por Ano Escolar 4 Aulas por Semana Total 120 aulas por Ano Dosificação 1º TRIMESTRE Tema 1 - Funções... 25 aulas Tema 2 - Funções II: Funções exponênciais e Funções logarítmicas...15 aulas 2º TRIMESTRE Tema 2 - Funções II: Funções exponênciais e Funções logarítmicas... 3 aulas Tema 3 - Funções trignométricas, equações trignométricas... 18 aulas Tema 4 - Limite de funções e continuidade de funções... 5 aulas Tema 5 - Derivadas... 4 aulas 3º TRIMESTRE Tema 5 - Derivadas... 23 aulas Tema 6 - Funções e integrais... 17 aulas 8
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 1 - Funções TEMAS / CONTEÚDOS 1.1. Funções racionais. 1.1.1. Definição de função racional. 1.1.2. Assimptotas de uma função racional. 1.1.3. Funções racionais que têm por assimptota uma recta oblíqua. 1.1.4. Funções racionais em que o numerador e o denominador têm factores comuns. Simplificação de fracções racionais. 1.1.5. Equações fraccionárias. 1.1.6. Inequações fraccionárias. 1.1.7. Hipérbole. 1.2. Funções irracionais. 1.2.1. Funções irracionais. 1.2.2. Gráficos de funções irracionais. 1.2.3. Equações irracionais. 1.3. Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções. 1.3.1. Igualdade de duas funções definidas num intervalo. 1.3.2. Soma, diferença, produto e quociente de duas funções. 1.3.3. Funções compostas de duas funções. 1.3.4 Função inversa de uma função injectiva. 1.3.5. Restrição de uma função a um intervalo Tempo... 25 aulas Sugestões metodológicas: Antes de introduzir as funções racionais e irracionais, deve-se rever os conhecimentos sobre o estudo das funções: domínio, contradomínio, pontos notáveis, monotonia, extremos (relativos e absolutos). O aluno dever saber transformar expressões como em ou em, pois isto facilita-lhe achar a equação de assimptota e permite-lhe estudar o comportamento no infinito sem necessidade de recorrer ao gráfico. As expressões racionais são abordadas em apoio das operações com funções. 9
12ª CLASSE A resolução de equações e inequações fraccionárias deve apenas aparecer num contexto de resolução de problemas, por exemplo, ligados ao estudo de gráficos ou de modelação matemática. As operações com funções devem ser sempre acompanhadas com os gráficos para uma boa interpretação das soluções. A composta de duas funções será feita com ajuda dos diagramas sagitais. As propriedades das funções compostas devem ser ilustradas com os exemplos simples. Sugerimos que, antes de calcular a função inversa de uma função, o aluno verifique se a função dada é injectiva. 10
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 1 - Funções I Subtema: Equações e inequações fraccionárias Objectivo(s) geral(ais): Ser capaz de resolver as equações e inequações fraccionárias num contexto de resolução de problemas ligados ao estudo de gráficos. Pré-requisitos: Conhece a resolução de equações e inequações. Conhece a traçagem de gráficos de solução das equações e inequações. Conhece o sinal de uma função. Objectivos Específicos -- Resolver equações e inequações fraccionárias -- Determinar os zeros de uma função racional. -- Traçar o gráfico da solução. Conteúdos Equações e inequações fraccionárias. Meios: Quadros, giz, régua e caderno. Sugestões metodológicas: A resolução de equações e inequações fraccionárias apenas deve aparecer num contexto de resolução de problemas ligado ao estudo de gráficos ou de modelação matemática. Para ter confiança da solução obtida, é sempre bom que se verifique a mesma por meio de gráfico. Tempo... 4 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios e problemas relacionados com os subtemas. 11
12ª CLASSE Tema 2 - Funções II: funções exponênciais e funções logarítmicas. 2.1. Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas. 2.1.1. Introdução às funções exponenciais. 2.1.2. Propriedades das funções exponenciais. 2.1.3. Transformações no gráfico das funções exponenciais. 2.1.4. Equações exponenciais. 2.1.5. As funções exponenciais na modelação matemática. 2.2. Funções logarítmicas. 2.2.1. Propriedades das funções logarítmicas. 2.2.2. Transformações no gráfico das funções logarítmicas. 2.2.3. Propriedades logarítmicas. 2.2.4. Equações exponenciais e logarítmicas. Tempo... 18 aulas Sugestões metodológicas: A noção de função logarítmica pode ser introduzida na equação a x = b. Como qualquer função exponencial, é injectiva e, como tal, admite uma função inversa. É esta função inversa que se chama função logarítmica. É importante que as propriedades dos logaritmos se dêem na primeira unidade temática, depois da definição do logaritmo de um número. Para isso, sugere-se a seguinte ordem para o desenvolvimento dos conteúdos: Ampliação do conceito de potência de base real, propriedades das potências, equações exponenciais; Definição de logaritmo; Propriedades dos logaritmos. Aplicação na solução de equações; Função exponencial e função logarítmica. 12
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 2 - Funções II Subtema: Funções exponenciais Objectivo(s) geral(ais): Reconhecer os gráficos de uma função exponencial; Conhecer as propriedades de uma função exponencial. Pré-requisitos: Conhece a traçagem de gráficos da função polinomial. Conhece as funções potenciais. Conhece as funções algébricas. Objectivos Específicos -- Reconhecer a representação gráfica de uma função. -- Definir uma função exponencial. -- Conhecer as propriedades das funções exponenciais. Conteúdos Introdução às funções exponenciais. Propriedades das funções exponenciais. Transformações das funções exponenciais. Meios: Quadro, giz, régua e caderno. Sugestões metodológicas: Para introduzir este conteúdo, o professor fará observar os gráficos de crescimento da população mundial durante as últimas décadas. Esta introdução despertará o interesse deste tema. Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Representação gráfica das funções exponenciais. 13
12ª CLASSE Tema 3 - Funções trignométricas. Equações trignométricas. 3.1. Revisão de algumas noções trigonométricas já estudadas. 3.2. Funções trigonométricas. Equações trigonométricas. 3.2.1. O período das funções trigonométricas. 3.2.2. A função y = senx. Equações do tipo sen (kx) = sen. 3.2.3. A função: y = cos x. Equações do tipo cos (kx) = cos. 3.2.4. A função: y = tgx. Equações do tipo tg (kx) = tg. 3.2.5. As funções trigonométricas e os modelos matemáticos. 3.3. Transformações de expressões trigonométricas. 3.3.1. Fórmulas de soma e da diferença de dois ângulos. 3.3.1.1. Co-seno da soma e da diferença de dois ângulos. 3.3.1.2. Seno da soma e da diferença de dois ângulos. 3.3.1.3. Tangente da soma e da diferença de dois ângulos. 3.3.2. Ângulos duplos. 3.3.3. Fórmulas de produto de soma. Tempo... 18 aulas Sugestões metodológicas: Deve aproveitar-se os pré-requisitos dos alunos sobre as funções para a profundar os conhecimentos e aplicá-los no cálculo de triângulos. Deve também fazer-se uma revisão sobre os ângulos, as fórmulas trigonométricas, a representação gráfica das funções trigonométricas e as equações simples do tipo senx = a. Antes de estudar o período das funções trigonométricas, sugere-se explicar os fenómenos periódicos, partindo dos exemplos da vida corrente: o electrocardiograma, o fluxo e refluxo das águas do mar, a roda de um carro quando está a andar com uma velocidade constante. As equações do tipo sen (kx) = sen introduzir-se-ão partindo dos gráficos. É imprescindível que os alunos conheçam as relações importantes entre as funções trigonométricas, pelo que devem memorizar as fórmulas fundamentais 14
PROGRAMA DE MATEMÁTICA sen 2 x + cos 2 x = 1; tgx.. cotgx = 1. Além disso, devem desenvolver capacidades em demonstrar e deduzir outras relações entre as imagens das funções trigonométricas, como. 15
12ª CLASSE Tema 3 - Funções trigonométricas Equações trigonométricas. Subtema: Fórmulas de duplicação Objectivo(s) geral(ais): Aplicar as fórmulas de duplicação na resolução das equações. Pré-requisitos: Conhece as fórmulas trigonométricas da soma e diferença de dois ângulos. Objectivos Específicos -- Calcular as razões trigonométricas principais de ângulo 2. -- Resolver as equações utilizando as transformações Conteúdos Fórmulas de duplicação: sen 2 = I cos 2 = tg 2 = Meios: Quadro, giz e caderno. Sugestões metodológicas: As fórmulas de duplicação são uma aplicação imediata das fórmulas de soma e diferença de dois ângulos; assim sendo, o professor pode utilizar estes prérequisitos para ajudar os seus alunos a entender este conteúdo. Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios relacionados com o estudo deste subtema. 16
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 4 - Limites de funções e continuidadede funções. 4.1. Limites de funções. 4.1.1. Noção de limite de uma função. 4.1.2. Propriedades dos limites. 4.1.3. Limites laterais. 4.1.4. Definição de limite segundo Heine. 4.1.5. Limites e infinitos. 4.1.6. Cálculo de limites. 4.1.7. Indeterminações. 4.1.8. Limites de expressões com exponenciais e logaritmo. 4.2. Continuidade de uma função. 4.2.1. Continuidade de uma função num ponto. 4.2.2. Continuidade lateral. 4.2.3. Continuidade de uma função num intervalo. 4.2.4. Propriedades das funções contínuas Tempo... 15 aulas Sugestões metodológicas: O conceito de limite é um conceito importante da Matemática. Uma das mais importantes aplicações dos limites é o estudo da continuidade de funções. Na vida e no comportamento humano, a continuidade é uma constante. O conceito de limite de uma função dever ser estudado de modo intuitivo, aproveitando os pré-requisitos dos limites de sucessões. Deve-se estudar a definição de uma função num ponto, segundo Cauchy. Depois de estudar o conceito de limite, sugere-se que se estude as propriedades de limites de funções para facilitar o cálculo das funções. Deve-se analisar funções que não têm limite para determinados valores de x (por exemplo, no ponto ). Sugere-se que se dê uma indicação sobre os limites laterais, utilizando um exemplo adequado. Sugere-se também que o professor explique a definição de limite segundo Heine. 17
12ª CLASSE Apenas devem levantar as indeterminações em casos simples. Os alunos devem experimentar numérica e graficamente a relação entre os limites no infinito da equação exponencial, das potências e dos logaritmos. O estudo de limite das funções trigonométricas será logo a seguir. A partir da análise das linhas e curvas, introduzir-se-á intuitivamente a continuidade de uma função. Estudar-se-á, em primeiro lugar, a continuidade de uma função num ponto e, em segundo lugar, a continuidade de uma função num intervalo e, logo depois, as propriedades das funções contínuas. 18
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 4 - Limites de funções e continuidade de funções. Subtema: Cálculo de limites. Objectivo(s) geral(ais): Calcular o limite da soma e da diferença de funções. Pré-requisitos: Conhece : - As propriedades dos limites; - Limites laterais; - Limites e infinitos. Objectivos Específicos -- Calcular limite da soma e da diferença de funções. Conteúdos Cálculo do limite. Meios: Quadro, giz e caderno. Sugestões metodológicas: Antes de passar ao cálculo de limites, é necessário fazer uma breve revisão sobre os pré-requisitos de limites. Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios orais e escritos relacionados com o subtema. 19
12ª CLASSE 20 Tema 5 - Derivadas. 5.1. Introdução ao conceito de derivada. 5.1.1. Definição de derivada de uma função num ponto. 5.1.2. Significado da derivada de uma função num ponto. 5.1.3. Derivadas laterais. 5.1.4. Função derivável. 5.1.5. Derivabilidade e continuidade. 5.1.6. Função derivada. 5.1.7. Derivada de uma função constante. 5.1.8. Derivada de uma função afim. 5.1.9. Derivada do produto de uma constante por uma função. 5.1.10. Derivada da soma e da diferença de duas funções. 5.1.11. Derivada de uma potência. 5.1.12. Derivada de funções polinomiais. 5.1.13. Derivada de um produto de funções. 5.1.14. Derivada de um quociente de funções. 5.1.15. Derivada de funções compostas. 5.1.16. Derivada de funções exponenciais e logarítmicas. 5.1.17. Função segunda derivada. 5.1.18. Derivada de funções trigonométricas 5.1.19. Estudo intuitivo do 5.1.20. Derivada da função real de: variável real y = f(x) = senx y = f(x) = cosx 5.2. Aplicações das derivadas. 5.2.1. Funções estritamente crescente e funções estritamente decrescentes. 5.2.2. Extremos de uma função. 5.2.3. Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função. 5.2.4. Máximos e mínimos absolutos e primeira derivada da função. 5.2.5. Extremos relativos e primeira derivada de uma função. 5.2.6. Concavidade e segunda derivada de uma função. 5.2.7. Teste da segunda derivada. 5.2.8. Estudo de funções. 5.2.9. Problema de optimização. Tempo... 27 aulas
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Sugestões metodológicas: O professor, antes de introduzir o conceito de derivada, deve fazer uma revisão de certas noções estudadas nas classes anteriores, tais como: tangente a uma circunferência, quociente incremental da função num ponto. Sugere-se que os alunos calculem as derivadas de algumas funções racionais (num dado ponto) a partir da definição. O professor deve informar os seus alunos que os termos derivada e quociente diferencial de uma função num ponto, utilizam-se como sinónimo e são empregues nas seguintes notações: ;. Se não existir confusão, então escreve-se brevemente. O teorema sobre a derivabilidade e continuidade deve-se enunciar e fazer-se ver com contra exemplos que o recíproco deste teorema não é verdadeiro. Os alunos devem aprender o enunciado deste teorema, mas não é necessário que reproduzam a demonstração. As regras para a derivação de soma e produto devem ser demonstradas. A regra para a derivação de funções potenciais de expoente natural demonstrase por indução completa; para expoentes inteiros negativos, utiliza-se a regra para a derivação de um quociente. É necessária uma revisão das funções racionais antes de estudar a derivada das funções racionais. Os alunos devem aprender o conceito de zero de uma função racional e serem capazes de analisar o comportamento de uma função racional no infinito e na vizinhança de um ponto. Depois, estuda-se a derivada das funções logarítmicas e das funções trigonométricas. Deve-se fazer uma breve revisão sobre os conceitos função monótona num intervalo, função contínua e extremos de uma função antes de estudar os intervalos da monotonia e a primeira derivada de uma função. Os alunos devem familiarizar-se com o conteúdo do teorema de valor médio do cálculo diferencial e aprender o teorema de Rolle, como um caso particular. Devem também compreender que a primeira derivada de uma função pode também ajudar a encontrar os extremos. 21
12ª CLASSE Mediante exemplos adequados, devem aprender que é possível que se apresentem extremos locais em pontos nos quais a função é diferenciável. Também mediante a segunda derivada pode determinar-se a concavidade e o ponto de inflexão do gráfico de uma função. Uma vez criadas as condições para analisar o comportamento local de funções, proceder-se-á com o estudo de funções. Para a discussão de curvas, os alunos devem habituar-se a analisar só o necessário para esboçar o gráfico da função. Os exercícios que se resolvem na aula devem ser cuidadosamente seleccionados, sem complicações de cálculos desnecessários. Devem-se realizar alguns exercícios de aplicação na técnica, na economia e na ciência militar. 22
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 5 - Derivadas. Subtema: Introdução ao conceito da derivada. Definição de derivada de uma função num ponto. Significado de derivada de uma função num ponto. Objectivo(s) geral(ais): Compreender o conceito de derivada de uma função. Saber o significado de derivada de uma função num ponto. Pré-requisitos: Conhecer: - Recta tangente; -Tangente de uma circunferência; - Declive de uma recta; - Taxa de derivação média. Objectivos Específicos --Conhecer o conceito de derivada. -- Definir a derivada de uma função num ponto. -- Conhecer o significado da derivada de uma função num ponto. Conteúdos Introdução ao conceito de derivada, Definição de derivada de uma função num ponto. Significado da derivada de uma função num ponto Meios: Quadro, giz, caderno e régua. Sugestões metodológicas: Antes de introduzir o conceito de derivada, sugere-se que o professor faça uma breve revisão sobre os pré-requisitos (ver coluna pré-requisitos). A definição de derivada será introduzida partindo de exemplos concretos como velocidades e acelerações de um automóvel. Os alunos poderão realizar trabalhos individuais ou em grupo, de história do cálculo diferencial, referindo o trabalho de alguns matemáticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastácio da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc.. Deve ser compreendido que a derivada de uma função num ponto xo é o limite do quociente incremental de h quando h 0. Desta forma, os alunos estão em condições de interpretar a derivada num ponto como o declive de uma recta tangente à curva nesse ponto. 23
12ª CLASSE Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios de derivadas a partir da definição de derivada. 24
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 6 - Funções e integrais. 6.1. Noção de integral 6.1.1. Área de figuras irregulares. Integral como limite de uma soma. 6.1.2. Área sob o gráfico de uma função. 6.2. Primitivas de uma função. 6.2.1. Definição de integral indefinido. Regras de primitivação. 6.2.2. Áreas de figuras planas. 6.2.3. Cálculo de áreas. 6.2.4. Área sob a curva. 6.2.5. Definição de integral definido. Propriedades do integral definido. 6.2.6. Teorema fundamental do cálculo integral. 6.2.7. Fórmula de Barrow ou fórmula de Newton-Leibniz. 6.2.8. Aplicações dos integrais. Tempo... 17 aulas Sugestões metodológicas: Este tema vai iniciar-se com o estudo de primitivas de uma função. O objectivo da primitivação é de averiguar se dada uma função existe outra que, por derivação, lhe tenha dado origem. O professor pode decidir livremente se introduz primeiro o conceito de integral definido ou de integral indefinido. Para introduzir o conceito de integral indefinido, deve-se partir da primitiva de uma função. A importância geométrica da constante de integração deve explicar-se mediante a representação gráfica que se obtém de um integral definido de uma função f definida num intervalo I que é um feixo de curvas que tem o mesmo declive num mesmo ponto de Intervalo I. Elaborar-se-á o papel da constante de integração como parâmetro de feixo de curvas. Os alunos devem dominar as regras de cálculo dos integrais f (f (x) ). com k R. Essas regras devem ser demonstradas. Depois, far-se-á a exercitação correspondente que permite desenvolver habilidades no uso das regras que se utilizam para integrar funções racionais com denominador que é um monómio. 25
12ª CLASSE Para introduzir o conceito integral definido, tem que partir imprescindivelmente de problema de cálculo da área e definir depois o integral definido como limite de uma soma de produtos, para o qual devem-se ilustrar objectivamente as explicações que dizem respeito ao assunto. Primeiramente definem-se os conceitos partição de um intervalo e soma de partições, depois introduzem-se os conceitos sucessão de partições e sucessão de partições principal. Finalmente, dá-se a conhecer aos alunos o seguinte teorema: Teorema: Se F é uma função contínua qualquer ao intervalo [a,b], então a sucessão de partições converge a um único valor qualquer que seja a escolha dos pontos intermédios e da sucessão de partições principal. Seguidamente, o número mencionado no teorema denomina-se integral definido da função F no intervalo [a,b], logo depois, estudam-se algumas propriedades do integral definido. 26
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 6 - Áreas de figuras planas. Subtema: Áreas de figuras planas. Objectivo(s) geral(ais): Calcular as áreas de figuras planas sob curva. Pré-requisitos: Conhece o cálculo de figuras planas. Objectivos Específicos --Calcular áreas de figuras planas. -- Calcular as áreas sob a curva. Conteúdos Cálculo de áreas. Cálculo de áreas sob curva. Meios: Quadro, giz, caderno e régua. Sugestões metodológicas: Sugere-se fazer uma breve revisão de cálculo de áreas de algumas figuras geométricas planas. Depois determinar as áreas de figuras dividindo-as em figuras geométricas, cuja área é de cálculo fácil. O cálculo da área sob a curva far-se-á do mesmo modo que o cálculo de áreas de figuras planas, dividindo o intervalo [a,b] em n intervalos com a mesma amplitude,, e concluir que,. Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Exercícios escritos. 27
12ª CLASSE Avaliação No ensino, a avaliação assume carácter eminentemente formativo, devendo favorecer a progressão pessoal e a autonomia como parte integrante do processo ensino-aprendizagem, permitindo ao aluno implicar-se no próprio processo e ao professor controlar melhor a sua prática lectiva. A avaliação do processo do aluno deverá ser sistemática e contínua, quer em relação aos processos utilizados, quer em relação aos resultados obtidos. A avaliação a realizar ao longo de cada ano não deve ser prescritiva nem assumir um carácter definitivo que descrimine desde logo o aluno, impedindo de alcançar sucesso no imediato e, porventura, no seu futuro escolar. Cabe ao professor gerir de acordo com as experiências de aprendizagem desenvolvidas, os parâmetros enunciados. Uma avaliação que complete todos os domínios de aprendizagem e respeite o ritmo do aluno, implica uma escolha adequada de formas e instrumentos de avaliação. Assim, podem constituir formas de avaliação: trabalhos individuais ou de grupo, discussões e debates, exposições, entrevistas, trabalhos de casa, assim como o caderno diário. Para avaliar a capacidade de resolução de problemas, o professor recolherá informações sobre os progressos verificados nas diferentes fases a considerar durante o processo. Poderá ser pedido aos alunos que entreguem pequenos relatórios onde descrevem, não só a sua resolução do problema, como igualmente a descrição de todo o processo percorrido (1ª abordagem, seguida de dificuldades, avanços, recuos, razões justificativas das opções tomadas...). A avaliação da capacidade de comunicação em Matemática faz-se observando o modo como o aluno descreve processos, enuncia propriedades, expressa conceitos, formula problemas, compreende e avalia ideias expressas em Matemática, devendo o professor estar particularmente atento ao desenvolvimento da clareza, precisão e adequação da linguagem utilizada. Devem ser pedidas ao longo do ano frequentemente argumentações/descrições escritas e orais, relativas a processos matemáticos seguidos pelos alunos. Os trabalhos desenvolvidos em grupo deverão ser igualmente considerados para a avaliação. Esta poderá ter em conta, quer produções realizadas em grupos, quer trabalhos complementares individuais. 28
PROGRAMA DE MATEMÁTICA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA NEVES, Maria Augusta Ferreira; Funções 3, Matemática 12º Ano, Parte 2. Portugal 1999, Porto Editora. NEVES, Maria Augusta Ferreira; Trigonometria, Matemática 12º ano, Parte 3. Porto Editora 1999. GOMES, Deolinda Duarte; RUFINO, Maria Helena; GRAÇA, Maria Teresa; Matemática 12º Ano, Volume 1. Plátano Editora 1995. JORGE, Ana Maria Brito; ALVES, Conceição Barroso; FONSECA, Graziela; BARBEDO, Judite; Infinito, Matemática 12º Ano, Parte 1. INIDE, Ministério da Educação; Programa de Matemática, 3º ano. PUNIV, 1996. 29