Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2015 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 16 (UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo: Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto A R$ 35,00 R$ 0,50 B R$ 20,00 R$ 0,80 C 0 R$ 1,20 A partir de quantos minutos mensais de uso o plano A é mais vantajoso que os planos B e C: a) 50 minutos b) 49 minutos c) 51 minutos d) 52 minutos e) 48 minutos Seja t, em minutos, o tempo de uso mensal. O custo total, pelo plano A, é 35 + 0,5t. O custo total, pelo plano B, é 20 + 0,8t. O custo total, pelo plano C, é 1,2t. 35 + 0,5t < 20 + 0,8t t > 50 35 + 0,5t < 1,2t t > 50 O plano A é mais vantajoso com um tempo de uso mensal maior que 50 minutos. Observe que para 50 minutos e 1 segundo, o plano A já é mais vantajoso. Resposta: C 1
QUESTÃO 17 (ENEM) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no te lhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído. 8m pm 4m 2m 10m (mm) 300 200 100 reservatório 2m x 4m x pm Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir: a) 4m b) 5m c) 6m d) 7m e) 8m A superfície plana a ser considerada é a superfície retangular de dimensões 8 m e 10 m observando-se que a quantidade de água que nela incide independe da forma do telhado. Assim, temos que a área da superfície retangular é 80 m 2. Do enunciado, 80 m 2 equivalem a um acúmulo de 80. 100 litros de água (8 000 litros), ou seja, 8 m 3, a cada 100 mm de chuva. Do gráfico, a quantidade anual de chuva, em milímetros, é 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 700. Então: mm quantidade de água (m 3 ) 100 8 700 x portanto x = 56 Assim, em m 3, o volume do reservatório é tal que p. 2. 4 = 56 p = 7 2
QUESTÃO 18 (FUVEST ADAPTADA) A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Podemos afirmar que o maior desses números é: a) 31 b) 35 c) 37 d) 41 e) 43 Sendo a e b, com a > b, os números pedidos, temos: a = b + 10 (I) ab 40 = 39b + 22 (II) Substituindo (I) em (II), vem: (b + 10). b 40 = 39b + 22 b 2 29b 62 = 0 Logo, b = 31 ou b = 2 (não convém). Como a = b + 10, a = 41 Assim, o maior desses números é 41. QUESTÃO 19 (PUC) Uma loja colocou o seguinte anúncio na vitrine: O preço de qualquer camisa colorida é o dobro do preço de qualquer camisa branca. Lineu foi a essa loja e comprou 4 camisas coloridas e algumas brancas. Quando foi efetuar o pagamento, notou um acréscimo de 50% no valor da compra e, então, viu que, na nota fiscal, as camisas estavam com suas quantidades tro ca das. Nessas condições, quantas camisas brancas foram compradas por Lineu? a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18 Se b for o preço de uma camisa branca, 2b o de uma camisa colorida e x o número de camisas brancas que Lineu comprou, então: 4. b + x. 2b = 1,5. (4. 2b + x. b) 4 + 2x = 1,5(8 + x) 0,5x = 12 4 0,5x = 8 x = 16 3
QUESTÃO 20 (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. a) 204 b) 206 c) 208 d) 210 e) 212 Sendo 1 ou 2 o algarismo das centenas, temos dois casos em que o sete aparece mais do que uma vez (no 177 e no 277) e, no 2. 6. 5 outros casos o algarismo sete, se aparecer, aparece uma só vez. Assim, temos: 2. 6. 5 + 2 = 2. (6. 5 + 1) = 62 números, pois apenas o 7 pode aparecer mais de uma vez. Para 3, 4, 5, 6 ou 7 como algarismo das centenas, resulta 5. 6. 5 = 150 valores. O total de números, de acordo com o enunciado, é 62 + 150 = 212. Resposta: E QUESTÃO 21 (FUVEST ADAPTADA) Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; e Luís e Sílvio, 106 mil reais. Quantos reais Carlos, Luís e Sílvio tinham, respectivamente, no início da aplicação? a) 10 mil, 40 mil, 50 mil b) 10 mil, 30 mil, 60 mil c) 20 mil, 10 mil, 70 mil d) 20 mil, 30 mil, 50 mil e) 20 mil, 40 mil, 40 mil Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, após esse ano, por x, y e z, nessa ordem, temos: x + y = 59 x + z = 93 y + z = 106 + 2x + 2y + 2z = 258 x + y + z = 129 x + y + z = 129 e y + z = 106 x = 23 x + y + z = 129 e x + z = 93 y = 36 x + y + z = 129 e x + y = 59 z = 70 4
Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, inicialmente, por c, e s, nessa ordem, temos: c. 1,15 = x c. 1,15 = 23 \ c = 20. 1,2 = y. 1,2 = 36 \ = 30 De c + + s = 100, c = 20 e = 30, temos s = 50. Desta forma, Carlos, Luís e Sílvio tinham inicialmente, nessa ordem, 20 mil, 30 mil e 50 mil reais. QUESTÃO 22 (FUVEST) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes res tantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? a) R$ 136,00 b) R$ 138,00 c) R$ 140,00 d) R$ 142,00 e) R$ 144,00 Se x é o número inicial de estudantes, então devemos ter, de acordo com o enunciado, que 135x = (135 + 27). (x 7) x = 42. A despesa, portanto, é, em reais, de 135. 42 = 5 670. Descontando a colaboração de R$ 630,00, do diretor obtemos o valor de R$ 5 040,00 a ser pago por 42 7 = 35 estu - dantes. Assim caberá a cada um a importância de 5 040 = 144 reais. 35 Resposta: E 5
QUESTÃO 23 (FUVEST) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. A D G h B E F C b Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula: bh 2bh bh bh bh a) b) c) d) e) h + b h + b h + 2b 2h + b 2 (h + b) Do enunciado, temos a figura: A h - x D 2x G h x x B Da semelhança dos triângulos ADG e ABC, temos: 2x = h x b h E b 2x F C Logo: 2hx = bh bx 2hx + bx = bh x (2h + b) = bh \ x = bh 2h + b 6
QUESTÃO 24 (UNICAMP ADAPTADA) Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30, conforme mostra a figura. No ponto A, está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. B C sombra 1,80m 5m 30 Calculando o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima, obteremos: a) 2,20 m b) 2,25 m c) 2,75 m d) 3,25 m e) 3,50 m Do enunciado, temos a figura: A B E C x 60 1,80m 5m D 4 30 60 Sendo x o comprimento da sombra, da semelhança dos triângulos CDE e CAB, temos: x 1,80 = x = 2,25 x + 4 5 Resposta: B A 7
QUESTÃO 25 O quociente entre os valores reais de t, para que a metade da expressão t 2 + 2t + 1 e a terça parte da expressão t 2 + 3t + 6 sejam iguais, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 1 Escrevendo em linguagem matemática os termos metade e terça parte citados no problema, teremos: t 2 + 2t + 1 2 = Reduzindo a expressão ao mesmo denominador, encontraremos: m.m.c (2,3) = 6 3 (t 2 + 2t + 1) 6 = 3t 2 + 6t + 3 = 2t 2 + 6t + 12, logo: 3t 2 + 6t + 3 2t 2 6t 12 = 0 t 2 9 = 0 t 2 = 9 t 2 = ± 9 t = ± 3 O quociente entre 3 e 3 ou entre 3 e 3 é igual a 1. Resposta: A QUESTÃO 26 A média bimestral de matemática de Zezinho é numericamente igual a média geométrica entre o resultado da expressão: 8 + 16 ( 2) 2 + 8 e a idade de Luizinho, que tem 4 anos. Esse aproveitamento x está expresso no intervalo: a) 5 < x < 8 b) 3 x < 8 c) 4 x 8 d) 2 x 7 e) 1 < x < 8 Aplicando as propriedades das potências de expoente fracionário na expressão, tere - mos: 8 = 3 8 = 2 16 = 4 16 = 2 t 2 + 3t + 6 3 1 3 1 4 4 3 1 3 1 4 4 2(t 2 + 3t + 6) 6 4 3 3 8 = 8 3 4 = 8 8 3 = 8. 2 = 16 ou 8 = 8 3 4 = 3 (2 3 ) 4 = 3 1 3 1 4 4 3 2 12 = 2 4 = 16 Logo, a expressão dada é tal que: 8 + 16 ( 2) 2 + 8 = 2 + 2 ( 2) 2 + 16 = 8
= 2 + 2 4 + 16 = 2 + 2 4 + 16 = 16 Assim, a média geométrica entre este resultado (16) e a idade de Luizinho é x = 16. 4 = 64 = 8 Resposta: C QUESTÃO 27 (ENEM) Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado. Produto Tipo A Tipo B Arroz 2,00 1,70 Feijão 4,50 4,10 Soja 3,80 3,50 Milho 6,00 5,30 Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, a) A, A, A, A. b) A, B, A, B. c) A, B, B, A. d) B, A, A, B. e) B, B, B, B. Como apenas 90% dos produtos adquiridos dos tipo B são aproveitados os preços dos produtos do tipo B não são por 1 kg, mas por 900 g. Comparando os preços de 900 g de cada produto do tipo A com os preços de 1 kg dos respectivos produtos do tipo B, teremos: Arroz: 90% de 2,00 = 1,80 > 1,70 Feijão: 90% de 4,50 = 4,05 < 4,10 Soja: 90% de 3,80 = 3,42 < 3,50 Milho: 90% de 6,00 = 5,40 > 5,30 Pode-se concluir que os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente; B, A, A e B. 9
QUESTÃO 28 (OBMEP) Dois triângulos equiláteros de perímetro 36 cm cada, são sobrepostos de modo que a região comum dos triângulos seja um hexágono com pares de lados paralelos, conforme a figura abaixo. Qual é o perímetro desse hexágono? a) 12 cm b) 16 cm c) 18 m d) 24 cm e) 36 cm Primeiro, observe que, como o hexágono tem lados opostos paralelos, os seis triân - gulos menores da figura do problema também são equiláteros, devido ao paralelismo, que mantém os ângulos entre retas iguais a 60 (já que, inicialmente, as retas formavam ângulos de 60, devido aos dois triângulos equiláteros). Logo, podemos escrever as medidas dos lados como na figura: a a f f f a b e e b b e d c c c d d A soma dos perímetros dos dois triângulos equiláteros é igual a 3(a + b + c + d + e + f), e como cada triângulo equilátero tem perímetro 36 cm, temos 3(a + b + c + d + e + f) = 72, isto é, a + b + c + d + f = 24. Como esse também é o perímetro do hexágono, temos que o perímetro procurado é 24 cm. 10
QUESTÃO 29 (OBMEP) A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é a área do polígono ABCG? a) 36 cm 2 b) 37 cm 2 c) 38 cm 2 d) 39 cm 2 e) 40 cm 2 D G C F 2 E H 6 3 A B 8 A área pedida é igual à área do polígono ABCDEF menos a soma das áreas dos AF x EF 3 x 2 triângulos retângulos AEF e DEG. A área do triângulo AEF é = = 3 cm 2. 2 2 Vamos agora calcular a área do triângulo DEG. Para calcular DE, prolongamos EF até o ponto H, obtendo assim os retângulos ABHF e CDEH. Como os lados opostos de um retângulo são iguais, segue que DE = CH = CB BH = 6 AF = 6 3 = 3. Como os lados AF e DE são paralelos, então E^AF = G^ED. Além disso AF = ED, logo os triângulos AEF e DEG são congruentes (caso ALA) e portanto, têm a mesma área. A área do retângulo ABHF é AB x AF = 8 x 3 = 24 cm 2, e a do retângulo CDEH é DE x CD = = 3 x (AB EF) = 3x (8 2) = 18 cm 2. Portanto, a área procurada é 24 + 18 2 x 3 = 36 cm 2. 11
Alternativamente, a área do trapézio ABCG cuja altura é BC = 6 e cujas bases são AB = 8 e CG = CD GD = 6 2 = 4 pode ser calculada diretamente. Portanto, a área é 8 + 4 x 6 = 36 cm 2. 2 Resposta: A QUESTÃO 30 (OBMEP) Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas estão dentro de uma caixa fechada. Eles já sabem que este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem as seguintes afirmações: Regina: Na caixa há mais de 100 bolas e menos de 120 bolas. Paulo: Na caixa há mais de 105 bolas e menos de 130 bolas. Iracema: Na caixa há mais de 120 bolas e menos de 140 bolas. Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta. Quantos são os possíveis valores para o número de bolas dentro da caixa? a) 1 b) 5 c) 11 d) 13 e) 16 Acompanhe a solução com a ajuda da figura a seguir, que ilustra as afirmativas de Regina, Paulo e Iracema. Regina Iracema 100 101 106 119 120 121 129 139 140 Paulo (i) Se Regina está certa, então Paulo e Iracema estão errados. Os números que satisfazem a afirmação de Regina, mas não satisfazem a afirmação de Paulo são 101, 102, 103, 104 e 105; note que estes números também não satisfazem a afirmação de Iracema. Neste caso, temos 5 possibilidades para o número de bolas na caixa. (ii) Se Paulo está certo, então Regina e Iracema estão erradas. O único número que satisfaz as opções de Paulo e não satisfaz as de Regina e Iracema é 120. Neste caso, temos apenas uma possibilidade para o número de bolas na caixa. (iii) Se Iracema, está certa, então Paulo e Regina estão errados. Os números que satisfazem a afirmação de Iracema, mas não satisfazem a afirmação de Paulo são 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139; note que estes números também não satisfazem a afirmação de Regina. Neste caso, temos 10 possibilidades para o número de bolas na caixa. Finalmente, o número total de possibilidades é a soma do número de possibilidades nos casos (i), (ii) e (iii), que é 5 + 1 + 10 = 16. Resposta: E 12