Processos Estocásticos e Técnicas de Simulação de Monte Carlo

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1 Processos Estocásticos e Técnicas de Simulação de Monte Carlo [email protected] Opções Reais Teoria e Prática de Análise de Investimentos sob Incerteza Agosto 009 1

2 Processo Estocástico: Definição Processo seguido por uma variável aleatória que assume diferentes valores ao longo do tempo Discreto: mudanças em pontos fixos no tempo Contínuo: mudanças em qualquer ponto do tempo Lei de Probabilidade para a evolução de x no tempo t, ou x t Em Finanças, os modelos que descrevem a evolução dos preços dos ativos são especificados por processos estocásticos em tempo contínuo cálculo estocástico

3 Estacionariedade A estacionariedade garante que o processo, após um período de ajuste inicial, atinja um equilíbrio dinâmico (flutuando em torno de seu valor médio) Um processo não estacionário jamais atinge o equilíbrio Exemplos: Preço da CSNA3 atual e em 3 anos? Temperatura média verão no RJ atual e em 3 anos? 3

4 Estacionariedade cont.a Estacionariedade Estrita/Forte todos os momentos incondicionais são constantes ao longo do tempo Estacionariedade de Segunda Ordem/Fraca variância incondicional é constante ao longo do tempo média incondicional é constante ao longo do tempo reversão à média Não estacionariedade: choques tem efeito permanente série não apresenta reversão à média variância tende a infinito 4

5 Estacionariedade cont.b Exemplos: passeio aleatório (processo não estacionário ~ momentos da distribuição são funções do tempo) x = 1 + ε ~ N(0, ) t x t t ε t σ processo autoregressivo AR(1) (processo estacionário com média de longo prazo δ /( 1 ρ) x δ ρ + ε t = + x t 1 t ε t ~ N(0,1) 1< ρ < 1 5

6 Processo de Markov Tipo particular de processo estocástico onde somente o valor presente da variável aleatória é relevante para prever o futuro Implica que a distribuição de probabilidade do preço em qualquer momento futuro não é dependente do caminho seguido pela variável no passado. Esta propriedade é consistente com a forma fraca de eficiência dos mercados não é possível obter retornos economicamente significativos com base nas informações de retornos passados, portanto o mercado não tem memória (a análise gráfica não resultaria em ganhos) 6

7 Eficiência de Mercado Eficiência do mercado: se os preços não se modificam quando uma nova informação é revelada, então o mercado é eficiente em relação a esta informação Existem três formas de se analisar a Eficiência do Mercado: Fraca, Semi-Forte e Forte. A forma Fraca afirma que em mercados eficientes não é possível obter retornos economicamente significativos com base nas informações de retornos passados. A Semi-Forte defende que todas as informações públicas sobre uma empresa são refletidas rapidamente em seu preço de mercado, não havendo reação tardia ou exagerada à algum evento que impacte os ativos. Já na forma Forte de eficiência, se acredita que todas as informações públicas e confidenciais se reflitam instantaneamente nos preços de mercado, impossibilitando a obtenção de retornos anormais com base nestas. Vale ressaltar, que a forma Semi-Forte engloba a forma Fraca de eficiência, e a forma Forte engloba as formas Semi-Forte e Fraca. 7

8 Processo de Wiener Tipo particular de processo de Markov, também conhecido como movimento browniano Foi utilizado originalmente na Física para descrever o movimento browniano de partículas em suspensão Processo estocástico de tempo contínuo que apresenta as seguintes propriedades: Processo de Markov Possui incrementos independentes Distribuição de probabilidade é normal com variância que cresce linearmente com o tempo. 8

9 Processo de Wiener Define-se uma variável z(t) cujo valor muda ao longo do tempo ao sofrer choques aleatórios normalmente distribuídos z é a diferença entre z(t) e z(t-1) durante um pequeno intervalo de tempo t onde os valores de z para quaisquer dois curtos intervalos de tempo são independentes. z = ε t ε ~ N (0,1) t N + = ε t t= 1 ( ) ( ) z s T z s t t [ ε ε ] [ z] = [ ] Ε t ; s = 0; t s E σ 0 z = t.1 + t = n t = T No limite t 0 dz = ε t dt dz é Building Block de diversos processos estocásticos 9

10 Processo de Wiener Generalizado Um processo de Wiener generalizado para uma variável x pode ser definido em termos de dz : dx = adt + bdz Onde a e b são constantes, a corresponde ao drift e b corresponde à variabilidade do processo. Também conhecido como Browniano com drift ou Movimento aritmético browniano E [ x ] = a t σ [ x ] = b t Para um pequeno intervalo de tempo T temos: x = a t + bε t t 10

11 Movimento Aritmético Browniano Exemplo: dx= 0.dt + 1dz Onde a e b são parâmetros anuais e x(1950)=0 Para um intervalo de tempo de 1 mês temos: 0. 1 x= + ε 1 1 t x = x ε discretização de Euler t+ 1 t t 11

12 Movimento Aritmético Browniano Previsão em t = 1974: x = 1974 T x T Para um intervalo de confiança de 66% (1 desvio padrão) x = 1974 T x T ± T 1

13 Processo de Ito Um processo de Wiener generalizado onde os parâmetros a e b são funções do valor da variável subjacente e do tempo: dx= a( x, t) dt + b( x, t) dz E [ x ] = a ( x, t ) t σ [ x ] = b ( x, t ) t Para um pequeno intervalo de tempo T temos: x= a( x, t) t + b( x, t) ε t t 13

14 Movimento Geométrico Browniano Quando a(x,t) = ax e b(x,t) = bx temos: dx dx= axdt + bxdz ou = adt + bdz x x/x segue distribuição normal, e x segue distribuição lognormal Pode-se mostrar que: E[ x ] = x e t 0 at at t 0 ( t ) σ [ x ] = x e e σ 1 14

15 Movimento Geométrico Browniano Exemplo: dx 0.09dt 0.dz x = + Onde a e b são parâmetros anuais e x(1950)=100 Para um intervalo de tempo de 1 mês temos: x = + ε x 1 1 t x = x + x x ε t+ 1 t t t t x = x x ε t+ 1 t t t 15

16 Movimento Geométrico Browniano dx adt bdz x = + No limite contínuo T 0 ( 0.5 ) x = x e t t 1 ( 0.5 ) x = x e t t 1 a b T + bdz a b T + bε T Discretização de Euler converge para T 0 ( 1 ) x = x + a T + x bε T t t 1 t 1 t t 16

17 Movimento Geométrico Browniano Previsão em t = 1974: x = T x T Para um intervalo de confiança de 66% (1 desvio padrão) x = T x1974 T ± T 17

18 Movimento de Reversão à Média Ornstein-Uhlenbeck: dx= η x x dt + bxdz ( ) Estacionário para a média x.ideal para algumas variáveis econômicas (commodities, juros, etc) Pode-se mostrar que: ( ) E[ x ] = x + x x e σ t 0 σ η ηt ηt ( ) [ xt x] = x0 1 e 18

19 Movimento de Reversão à Média Ornstein-Uhlenbeck: dx= η x x dt + bxdz ( ) ( ) E[ x ] = x + x x e σ t 0 σ η ηt ηt ( ) [ xt x] = x0 1 e σ t E[ xt ] = x σ [ xt ] = η η=0 MGB η reverte mais rapidamente η= E[ x ] = x σ [ x ] = 0 t t 19

20 Lema de Ito Seja F(x,t) e dx = a( x, t) dt + b( x, t) dz Regra de Taylor usual em cálculo F F 1 F 1 F df = dx + dt + dx + dt + tos x t! x! t Porém a) 3/ ( dx) = a( x, t) ( dt) + a( x, t) b( x, t) ( dt) + b( x, t) ( dt) = b( x, t) ( dt) dz α = dt; dt = 0 α > 1 b) dxdt = a ( x, t ) dt + b ( x, t ) ε dt 3 / = 0 0

21 1 Lema de Ito Portanto segundo o Lema de Ito dz x F t x b dt t x b x F x F t x a t F df dt t x b x F dz x F t x b dt x F t x a dt t F df tos dt t F dx x F dx x F dt t F df = = = = = ), ( ), ( 1 ), ( ), ( 1 ), ( ), (! 1! 1

22 Lema de Ito - Generalizando Seja F(x1,x,...,xm,t) e i= 1,,m e Expandindo pela Regra de Taylor Substiuindo dx i i i i dz t x b dt t x a dx ), ( ), ( + = [ ] dt dz dz ij j i ρ = Ε. + + = i j j i j i i i i dx dx x x F dx x F dt t F df 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i j i j i j i j i i i i i i dz x F b dt x x F b b x F b x F a t F df = , ρ

23 Exemplos Seja x definido por um Movimento geométrico browniano e F(x) = ln(x). Qual processo estocástico segue df? dx x = α dt + σdz dx = αxdt + σxdz = ; = df dx 1 x d dx F 1 x df df df F 1 F = dx + dx x! x = dx + dx x x 1 = α σ dt + σdz = = αdt + σdz 1 ~ N α σ 1 σ dt = T ; σ T 3

24 Exemplos Seja o processo de Schwartz (97) para o preço da commodity Seja X = ln(s). Qual o processo estocástico de dx? ( ln ( )) ds = κ µ S Sdt + σ Sdz d X d X = ; = d S S d S S 1 1 X 1 X dx = ds + ds = S S dx = ds + ds = ( κ ( µ ln( S) )) dt + σ Sdz σ dt = S S 1 = κ ( µ ln( )) σ + σ 1 α = µ σ κ dx = X dt + σ dz dx S dt dz ( κ ( α )) 4

25 Exercícios Lista 1 Processos Estocásticos 5

26 Fórmula de Black&Scholes/Merton 6

27 Equação de Black&Scholes/Merton 1. Seja o preço S do ativo dado pelo MGB seguinte ds S = µ dt + σdz. Suponha a seguinte carteira -1 opção de compra (lançando/vender/short uma call) + n ações (compra/long n ações) Π = +ns f 7

28 Equação de Black&Scholes/Merton 3. A variação no valor da carteira em um instante dt é: dπ = + nds 4. Pelo Lema de Ito f(s,t) df df = f S ds + 1 f S ds + f t dt 5. Substituindo 4 em 3 dπ = dπ = nds nds f S f S ds ds 1 f S 1 σ S ds S f dt t f f dt t dt 8

29 9 Equação de Black&Scholes/Merton 6. Escolhendo n = o retorno da carteira acima é determinístico 7. A carteira sem risco acima deve ser remunerada à taxa livre de risco S f dt t f S f S d dt t f dt S f S ds S f ds S f d Π = Π = 1 1 σ σ [ ] dt t f S f S dt f S S f r dt f ns r dt r d = = + = Π = Π 1 σ

30 Equação de Black&Scholes/Merton 8. Agrupando a equação acima (EDP) Equação diferencial de Black-Scholes. Não apresenta o parâmetro µ (retorno esperado da variação % de S Portanto é independente das preferências ao risco 1 σ f f f S dt + rs dt + dt = S S t rfdt Não depende do parâmetro µ (retorno esperado do ativo e portanto de preferências em relação ao risco). A carteira formada pela estratégia de delta hedge é sem risco em um intervalo de tempo pequeno. Depois é reajustada constantemente. 30

31 Equação de Black&Scholes/Merton Condições de contorno Call Européia f (S, t =T) = máximo (S X ; 0) f (S = 0, t) = 0 Condições de contorno Put Européia f (S, t =T) = máximo (X - S ; 0) f (S = 0, t) = X Opção Americana condição de contorno de exercício antecipado: free boundary problem (gatilho ótimo da opção) f S + 1 ( Call) = * 1 ( Put S = S ) value-matching condition e smooth pasting condition 31

32 Equação de Black&Scholes/Merton Fórmula de Black-Scholes ( ) ( t ) r( T t ) ( ) ( ) ( ) C = S. N d X. e N d r T 1 P = X. e N d S. N d ( T t ) 1 S σ ln + r ( T t ) X + d1 = d = d 1 σ T t σ ( ) 3

33 Opções Exóticas Equação de B&S 1 σ Opções Exóticas f f f S S t S + rs + = rf Teremos uma EDP similar a B&S com exceção das condições de contorno Solução Analítica Inexistente!! (, ) σ (, ) ds = a S t dt + S t dz dz dz = ρ dt i j i i i i i i i j ij 1 df = b F + a F + F σ σ ρ dt + b F dz i ii i i ij i j ij i i i i i i j i 1 b F + ( a λ ) F + F σ σ ρ + F = rf i ii i i i ij i j ij t i i i j 33

34 Solução Numérica de Opções 1. Árvores (Lattice). Métodos de Resolução da EDP diferenças finitas, elementos finitos 3. Métodos de Simulação de Monte Carlo 34

35 1. Modelo Binomial Artigo: Cox,Ross e Rubinstein (79) Solução Numérica para MGB Modelo binomial (árvore binomial) é utilizado para o apreçamento de opções (européias ou americanas) 35

36 S Método Binomial u = e σ t S 0 p S 0 u 1 d = u * ( r r) t e d p = u d q = 1 p q S 0 d t = 0 t = 1 t 36

37 S 0 S p S 0 u Método Binomial p q S 0 u S 0 u d u = e σ t 1 d = u * ( r r) t e d p = u d q = 1 p q S 0 d p q S 0 d t = 0 t = 1 t = t 37

38 S Método Binomial u = e σ t d = 1 u S 0 * ( r r) t e d p = u d q = 1 p Backward Induction t = 0 t = 1 t = t = T t 38

39 DerivaGem (Livro do Hull) Add in Excel 39

40 Árvore Binomial (Lattice) 40

41 Árvore Binomial (Lattice) 41

42 . Diferenças Finitas CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Seja o caso especial de uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem em duas dimensões: f f f f f = 0 a b c d e gf h x x y y x y onde a, b, c, d, e, g e h podem ser funções das variáveis independentes x ou y e da variável dependente f. Esta equação é dita: parabólica caso b 4ac = 0 elíptica caso b 4ac < 0 hiperbólica caso b 4ac > 0 EDP de B&S 4

43 Diferenças Finitas O Método das Diferenças Finitas (MDF) é aproximado no sentido em que as derivadas em cada ponto são aproximadas por diferenças sobre um intervalo pequeno. Assumimos que f é função das variáveis independentes x e y e subdividindo um plano x-y em intervalos retangulares iguais de tamanho y = jk i, j + 1 o x = h, x = i x o y = k, y = j y o O valor de f no ponto P é: k 0 i -1, j h P i, j i, j - 1 i + 1, j x = ih f(p) = f(i x, j y) = f ij 43

44 Diferenças Finitas Seja a EDP de B$S 1 σ f f f S S t S + rs + = rf Seja S = i S e t = j T; i=0,...,m, j=0,...,n As derivadas parciais podem ser discretizadas: f = S f f i+ 1, j+ 1 i 1, j+ 1 S f f f f + i+ 1, j+ 1 i, j+ 1 i, j+ 1 i 1, j+ 1 f S S fi+ 1, j+ 1 fi, j+ 1 fi 1, j+ 1 = = S S S f fi, j+ 1 fi, j = t t substituindo Temos a EDP discretizada 1 f i+ 1, j+ 1 fi, j+ 1 + fi 1, j+ 1 fi+ 1, j+ 1 fi 1, j+ 1 fi, j+ 1 fi, j σ ( i S ) + r ( i S ) + = rf S S t i, j 44

45 Diferenças Finitas Método explicito Assume que as derivadas em t são as mesmas de t+1 = e = S S S S f f f f i, j i, j+ 1 i, j i, j+ 1 EDP discretizada pode ser resolvida pelas condições de contorno. Resolve Opção Americana e Européia f = p f + p f + p f p + 0 i, j i + 1, j + 1 i, j + 1 i 1, j T 1 σ 1 + r T T T 1 1 σ 1 + r T T 1 1 σ 1 + r T = i + 0 p = i + ri p = i ri i, N M, j 0, j ( ) f = m ax i S X, 0 f = M S X f = 0 Escolho S e T para p s ser sempre positivo para todo i e j (Convergência) 45

46 Simulação de MC Trivial para opções europeías E max ( S X;0) e PAYOFF rt Tempo (meses) 46

47 Simulação de MC 0,030 0,05 Distribution for Preço/AA10 Mean=49, ,160 0,140 Distribution for PAYOFF/AB10 0 Mean=5, ,10 0,00 0,100 0,015 0,080 0,010 0,060 0,040 0,005 0,00 0, % 90% 5% 30, ,984 0, ,1% 39,9% 5% 0 3,984 47

48 Simulação de MC Opções Americanas Simulação de MC com algoritmos de otimização ou de estimação da free boundary Grant, Vora and Weeks (1996) Simulation and the Early- Exercise Option Problem. The Journal of Financial Engineering, Vol 5, No 3, Grant, Vora and Weeks (1997). Path-Dependent Options: Extending the Monte Carlo Simulation Approach Management Science, Vol 43 No 11, November Schwartz and Longstaff (001). Valuing American Options by Simulation: A Simple Least Square Approach. The Review of Financial Studies Vol. 14, No. 1,

49 Estimação de Parâmetros 49

50 Avaliação Neutra ao Risco A EDP de B&S apresenta uma propriedade fundamental: Não depende dos parâmetros de preferência de risco dos investidores Isso permite usarmos um argumento engenhoso (mas artificial): se preferências de risco não afetam a solução, qualquer preferência de risco pode ser utilizada para a precificação da opção, em particular a avaliação de neutralidade ao risco. Avaliação Risco Neutro o O retorno esperado do ativo é a taxa livre de risco o Calcula-se o valor esperado do Payoff do derivativo o Desconta-se pela taxa livre de risco ds S ds S * = αdt + σ dz = rdt + σ dz 50

51 Parâmetros Ajustados ao Risco De forma geral temos: d S S * ( α λ ) d t σ d z = + 13 α * Carteira de não arbitragem de B&S d S S = r d t + σ d z * Portanto os parâmetros do processo estocástico a ser simulado correspondem aos parâmetros ajustados ao risco (medida neutra ao risco) e não parâmetros reais (medida real) 51

52 Harry M. Markowitz Merton H. Miller William F. Sharpe 1/3 of the prize 1/3 of the prize 1/3 of the prize USA USA USA University of New York, NY, USA University of Chicago Stanford University b. 197 b. 193 d. 000 b Procedimentos de Estimação 1 CAPM - A remuneração de qualquer investimento deve ser proporcional ao seu risco (sistemático) Sharpe (1964), Lintner (1965) e Mossin (1966): CAPM: Capital Asset Price Model a partir dos princípios de diversificação de carteiras de Markowitz (195) Nobel Prize 1990

53 Procedimentos de Estimação 1 De forma geral temos: d S S * ( α λ ) d t σ d z = + 13 α * d S S Carteira de B&S e mercado completo = r d t + σ d z * CAPM ( ) ρ = rf + λ = rf + β rm rf = α + δ λ = α + δ rf { α λ = rf δ α* Portanto os parâmetros do processo estocástico a ser simulado correspondem aos parâmetros ajustados ao risco (medida neutra ao risco) e não parâmetros reais (medida real) 53

54 Procedimentos de Estimação Caso Geral: Utilizando a equação de apreçamento do derivativo de forma a minimizar os desvios (erros) em relação aos prêmios observados no decorrer de um período amostral e = f ( S, t) fˆ ( S, t) Engenharia Reversa Volatilidade implícita t Estimando a volatilidade dos dados históricos (EWMA, ARCH, GARCH) Option Price Observa-se o prêmio negociado e estima-se a volatilidade implícita % 3.1% 4.1% 5.1% 6.1% Volatility 54

55 EWMA Alisamento Exponencial Retorno r t = t 1 t 1 Variância ponderado igualmente S t S S σ t 1 T t = 1 ( r r ) = t T Variância ponderada exponencialmente Pesos maiores para observações recentes T ( ) t = t rt r j i t = 1 σ α ; α > α ; j<i T t = 1 α t = 1 A variância em t=n pode ser estimada em relação a variância estimada em t=n- 1 e a última observação em t=n-1 ( )( r r ) σ = λσ + 1 λ ; 0 < λ < 1 n n 1 n 1 Substituindo a equação recursiva para σ n

56 EWMA Alisamento Exponencial Variância ponderada exponencialmente ( )( r r ) ( )( r r ) σ n = λ λσ n + 1 λ n + 1 λ n 1 ; 0 < λ < 1 ( ) ( ) ( r r ) ( r r ) σ = 1 λ + λ + λ σ ; 0 < λ < 1 n n 1 n n Substituindo a equação recursiva para σ n ( ) ( ) ( r r ) ( r r ) ( r r ) σ = 1 λ + λ + λ + λ σ ; 0 < λ < 1 3 n n 1 n n 3 n 3 Continuando T t 1 ( ) ( ) T n rn t r n T t = 1 σ = 1 λ λ + λ σ ; 0 < λ < 1 Para T grande T t 1 ( 1 ) ( ) σ n = λ λ rn t r ; 0 < λ < 1 t = α t 56 56

57 EWMA Alisamento Exponencial Ponderado igualmente σ Ponderado Exponencialmente 1 1 T T t = t 1 = 1t 1 t T t = 1 T t = 1 ( r r ) ; σ ( r r )( r r ) T T 1 1 t = t 1 = 1t 1 t t= 1 t= 1 t ( ) ( ) t 1 r r ; ( 1 ) ( r r )( r r ) σ λ λ σ λ λ Quanto menor λ, maior peso dado às observações recentes Usualmente 0.9 < λ < 1 RiskMetrics λ = 0.94 (dados diários) 99.9% das informações estão contidas nos ln(0.001)/ln(λ) últimos dias Para λ = % das informações estão contidas nos últimos 11 dias!!! Equação recursiva: ( 1 )( r r ) σ = λ σ + λ t t 1 t 1 0 < λ <

58 Variância Condicional ARCH (T): V L é a variância de longo prazo σ γ T L α t t t = 1 ( ) = V + r r T γ + α = t = 1 t 1 GARCH (1,1): ( ) σ = γ V + α r r + β σ γ + α + β = 1 n L n 1 n 1 Equivalente a um processo de reversão a média: ( 1 )( L ) { dv = α β V V dt + ξ dz 1443 γ α 58 58

59 Oficina de Simulação Passeio Aleatório Geométrico Browniano Reversão à Média Processo de Saltos Volatilidade Estocástica 59

60 Exercícios Lista Opções Exóticas (Prova) Lista 3 Exemplos Opções Reais 60

61 Estudos de Caso Mercado Imobiliário Telecomunicações Escala ótima de Campos de E&P Concessões Florestais 61

62 Real Options Theory Meets Practice Real Option International Conference Paris June 005 Opções Seqüenciais e a Incorporação Imobiliária Katia Rocha (IPEA/PUC Rio) Luciana Salles (IND PUC-Rio) Francisco Alcaraz (IND PUC-Rio, TUCS) José Alberto Sardinha (INF PUC-Rio) José Paulo Teixeira (IND PUC-Rio) 6

63 Panorama do Setor Novo marco regulatório 004 Lei amplia garantias a compradores e financiadores de imóveis Resoluções do Conselho Monetário Nacional que intensificaram o direcionamento de recursos cerca de 30 bilhões de reais no prazo de 50 meses O segmento imobiliário chega a 006 com o volume recorde de 19 bilhões de reais para o crédito imobiliário O novo arcabouço institucional, aliado aos indicadores conjunturais favoráveis da economia brasileira e à crescente melhoria no acesso ao crédito, sinaliza em direção a um substancial incremento da demanda e aquecimento do mercado imobiliário no Brasil (World Bank 005) 63

64 Comparação Internacional Países %Crédito Imobiliário /PIB Países %Crédito Imobiliário /PIB Denmark 89.70% Estonia 16.60% UK 7.50% Chile 15.00% US 64.50% Italy 14.50% Ireland 5.70% Latvia 11.50% Sweden 5.70% Hungary 9.60% Portugal 5.50% Czech Republic 7.60% Germany 5.40% Lithuania 7.00% Spain 45.90% Slovakia 6.10% Finland 37.80% Poland 5.50% France 6.0% Brazil 3.50% Greece 0.60% Slovenia 1.50% Austria 0.30% Fonte: Banco Mundial (005) Evidência do déficit Imobiliário Brasileiro 64

65 Composição dos empréstimos imobiliários do SFH em 004 # Q tdes % Tamanho Médio (R$) Total (R$ Milhões) Incorporadores % Consórcios e Coperativas % SBPE % FGTS % FAT 600 1% PSH % Total % Fonte: Banco Mundial (005) Instituições públicas equivalem a ~ 80% do montante total de crédito (em n 0 de empréstimos) O setor vêm atraindo cada vez mais o interesse do setor bancário visando à diversificação de seus ativos e a obtenção de taxas de retorno mais atrativas SBPE - Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo: Entidade que congrega as instituições financeiras fontes de captação de recursos para financiar a compra da casa própria. É composto pela Caixa Econômica Federal (CEF), pelas Caixas Econômicas Estaduais, Sociedades de Crédito Imobiliário e Associações de Poupança e Empréstimo. FGTS - Fundo de Garantia por Tempo de Serviço: Conta de poupança aberta pelo empregador em nome do empregado. Todo mês, o empregador deposita nela 8% do salário de seu funcionário. Essa conta rende 3% ao ano, mais a variação mensal da TR. O saldo poderá ser resgatado pelo empregado se for demitido ou quiser financiar a casa própria pelo SFH. FAT Financiamento à pessoa física, vinculado ao Programa de Geração de Emprego e Renda na Indústria da Construção Civil, com recursos do FAT Fundo de Amparo ao Trabalhador, destinado à construção de imóvel residencial. PSH - Programa de Subsídio à Habitação de Interesse Social - é uma linha de crédito direcionada à produção de empreendimentos habitacionais. Seu objetivo principal é o de subsidiar a produção de empreendimentos habitacionais para populações de baixa renda, nas formas de conjunto ou de unidades isoladas. O valor do financiamento fornecido é creditado em conta da CEF, que o concede sob aporte financeiro do Setor Público, o Estado, Município e órgãos de administração direta ou indireta. 65

66 Mercado de Incorporação Características: Pouco giro, Baixa liquidez Lento payback; Grande aporte de capital afundado (irreversível) Não são incorporados de forma instantânea (Time to build) 66

67 Mercado de Incorporação Incertezas Demanda: Velocidade de vendas ocorrendo por vezes vacâncias prolongadas Preço e custo por metro quadrado Incertezas quanto à regulação/legislação e ao poder público (habite-se) 67

68 Opções Reais no Setor Opção de adquirir informações como o sucesso/fracasso do primeiro lançamento influencia a performance da próxima fase da incorporação Opção de adiamento da segunda fase caso o mercado não receba bem o lançamento Opção de expansão construção da segunda fase Opção de abandono da segunda fase Opção de densidade ótima A escolha de densidade ótima em muitos casos não se configura como uma opção, visto que na maioria das regiões economicamente desenvolvidas a legislação existente limita o gabarito máximo permitido. Na maioria das vezes são utilizados os gabaritos máximos devido ao alto valor do metro quadrado e a economias de escala. 68

69 Literatura Titman (1985) Analisa terrenos sub-utilizados e de alto preço, na Zona Oeste de LA concluindo que, em presença de incertezas e possibilidade de adiamento, o potencial futuro do terreno é mais valioso que sua utilização imediata. Williams (1991) Discute o momento ótimo de desenvolvimento e abandono de uma propriedade incluindo a escolha da densidade ótima do empreendimento quando existe incerteza futura em ambos: preços e custos por metro quadrado. Quigg (1993) Prova empiricamente o valor da opção através de transações no mercado americano. Capozza e Sick (1994) Aplicam OR para avaliar terrenos agrícolas uma vez que o valor deste embute a opção de conversão do uso agrícola em urbano. Capozza e Li (1994) Focam em como a intensidade de capital e densidade iteragem com o momento ótimo e valor de empreendimentos residenciais e comerciais. Grenadier (1995) Determina o mix intertemporal de lojas em shopping centers onde a opção de modificar o mix tem um custo identificado como preço de exercício. Grenadier (1996) Introduz conceitos de option games para explicar o comportamento do mercado imobiliário, relacionando o momento ótimo de desenvolvimento com o crescimento ou estagnação da atividade econômica 69

70 Modelo Resumido Estratégia Simultânea Sucesso Lançamento Simultâneo Fracasso Estratégia Sequencial Primeiro Lançamento Sucesso Fracasso Adquire Informação Adquire Informação Segundo Lançamento Opção de Adiamento Opção de Abandono Mercado Favorável Mercado Desfavorável Segundo Lançamento Opção de Abandono 70

71 Modelo Resumido VP dos fluxos de caixa esperados S: ativo subjacente Função de diversas variáveis Preço por metro quadrado P (MGB) Velocidades de vendas y w (demanda) ~Triang Características θ do empreendimento grau de financiamento próprio tabela de vendas tempo de obras. Custo do Projeto X (preço de exercício) 71

72 Modelo Resumido Opção sequencial implica em calcular a Opção de Investimento Americana (Call 5 anos) Receita S (P, θ, y1 w, y w, y3 w ) ~ P Preço é MGB S é MGB (Itô) Método Numérico Obtém-se probabilidade de exercício do investimento prob de investir na segunda fase dado as informações obtidas na primeira fase (first-hitting time) 7

73 Qual a melhor estratégia? Estratégia Simultânea (Preços de exercícios iguais X1) w w VPL1 = E S 1( P 0, y ) X 1 + E S ( P 0, y ) X 1 Estratégia Sequencial (X > X1) N w 1 VPL = E S 1( P 0, y ) X 1 + F S ( P 0, y ), X,T ) N w=1 ( w ) Primeiro investimento proporciona informações Custo da Informação é o próprio investimento Prêmio da opção. Segunda fase é opcional Depende da velocidade de vendas da primeira fase e da evolução do preço/m Diferença VPL VPL 1 = direito de exclusividade 1 N ( w ) w VPL > VPL1 F S ( P 0, y ),X,T ) > E S ( P 0, y ) X 1 N w=1 73

74 Resultado 1 Estratégia VPL (R$ Milhões) direito exclusividade Seqüencial Simultâneo Custo/ m - Segundo Lançamento Simultâneo (Custo/m=800) Sequencial Até um custo por metro quadrado igual a R$ 95 a estratégia de investimento seqüencial é superior à simultânea. O prêmio da opção é o montante máximo a pagar pelos direitos de exclusividade 74

75 Resultado Prêmio 0 Lançamento 1 Prêmio (R$ Milhões) Receita crítica para lançamento imediato R* = 19,45M Receita (R$Milhões) Lançamento Seqüencial Lançamento Simultâneo O valor do segundo lançamento (prêmio da opção pelo adiamento) no instante inicial da incorporação. O prêmio é sempre igual ou superior ao valor do investimento imediato, resultado clássico da teoria das opções. 75

76 Resultado 3 Prob. de Exercício 5 Receita (R$ Milhões) v 1 v Gatilho Ótimo Região de Exercício Região de Espera Tempo até a Expiração (anos) O gráfico ilustra dois sorteios de velocidades de venda (sucesso e fracasso) v1 = [30%;30%;30%] e v = [0%;0%;5%] do Projeto 1 Prob exercício Projeto v1= 31% Prob exercício Projeto v = 1% Prob exercício incondicional = 6% 76

77 Resultado 4 Gerenciamento de Risco Primeira Fase Segunda Fase Total Média,78 Pr(L1 0) = 10,59% Média,78 Pr(L 0) = 10,59% Média 5,56 Pr(VPL 0) = 10,59% Simultâneo Values in Millions Values in Millions Values in Millions Média,78 Pr(L1 0) = 10,59% Média 3,37 Pr(L 0) = 0% Média 6,15 Pr(VPL 0) = 3,59% Sequencial Values in Millions Values in Millions Values in Millions 77

78 Conclusões Opções Reais fornece fundamentos e diretrizes a respeito de qual estratégia adotar Estima valor máximo a ser pago pelo terreno Estima probabilidade de implementação do projeto Lançamento seqüencial potencializa em 10% o valor do projeto, Exposição ao risco diminuiu a metade se comparado com a metodologia tradicional de fluxo de caixa descontado 78

79 Parâmetros do Modelo 79

80 Velocidade de Vendas Lançamento amento Entre Lançamento amento e Obras Após s Obras Lançamento Triang(0; 30; 100) Mean = Entre Lançamento e Obras Triang(0; 1.667; ) Mean = Após Obras Triang(0; ; ) Mean = Distribuições que totalizam no máximo 100% ao final no lançamento (y1 w ): y1 w ~Triang[0; ;100]% = 43% entre o lançamentoe obras (y w ): y w ~Triang[0; (100 y1)/; (100 y1)] % = 6% apósa obra (y3 w ): y3 w ~Triang[0, (100 y1 v); (100 y1 v)] = 0% vacância = 11% 80

81 Descrição do Projeto EVENTOS Jun-05 => Aquisição do Terreno Feb-06 => Lançamento Aug-06 => Início da Construção 4 => Prazo da Obra Jul-08 => Término da Construção Aug-08 => Chaves CONSTRUÇÃO Área Equiv. de Construção 0,736 Custo/m² 800 Custo Raso 16,588,748 BDI TOTAL / EVENTUAIS 15% Custo Total 19,077,061 VENDA Área Privativa Total 16,173 Área Privativa do Incorporador 11,31 Nº total de unidades 4 Nº de unidades do Incorporador 157 Área média da unidade 7 Preço médio / m²,500 VGV total 40,43,000 VGV do Incorporador 8,30,400 Gestão como receita % Corretagem % 3.50% Publicidade % 4.50% Pis / Cofins % 3.65% Gestão como despesa %.00% % do VGV do sócio 81

82 Descrição do Projeto 1 - Lançamento % No parcelas Sinal 10% 1 Mensais Poupança 30% 9 Intermediária 1 0% 1 Chaves 10% 1 Intermediária 0% 1 Mensais Financiamento 50% 60 Semestrais Anuais. Tabela de venda Intermediária % No parcelas Sinal 15% 1 Mensais Poupança 5% 15 Intermediária 1 0% 1 Chaves 10% 1 Intermediária 0% 1 Mensais Financiamento 50% 60 Semestrais Anuais 3. Tabela de Venda das Chaves % No parcelas Sinal 0% 1 Mensais 60% 60 Intermediária 0% Semestrais Anuais 8

83 Real Options Theory Meets Practice Real Option International Conference Rio de Janeiro June 008 Opções de Acesso e a Tarifa de Interconexão (TU-RL) Katia Rocha (IPEA/PUC Rio) Gabriel Bragança (IPEA) Rafael Moreira (Anatel) 83

84 Contexto Regulatório Novo arcabouço regulatório do setor de telecomunicações no Brasil Circunstância: Fim dos contratos de Concessão em 005 com possibilidade de prorrogação da Concessão por mais 0 anos através de um novo contrato, sujeito a revisões periódicas. (Contrato de Concessão, Cap.3 cláusulas 3.1 e 3.) Motivo: Necessidade de aperfeiçoamento do atual modelo para aumentar a competição mantendo os investimentos. (Exposição de Motivos Decreto 4.733/03) 84

85 Competição Local Participação no total de acessos fixos instalados no Brasil Operadoras Incumbentes locais (Concessionárias) 91,6% 88,9% 85,7% 85,0% 84,9% Demais 8,4% 11,1% 14,3% 15,0% * 15,1% * * Dados obtidos através da diferença entre a estimativa do total e os dados das incumbentes Fonte: Relatórios Teleco - Telefonia Fixa no Brasil

86 Competição Longa Distância Participação no mercado de longa-distância nacional (% Receita Bruta Total) OPERADORA Telemar 1% 11% 14% 18% 0% Brasil Telecom 9% 10% 1% 11% 1% Telefonica 1% 1% 14% 19% % Embratel* 59% 59% 49% 41% 37% Outras* 8% 8% 11% 10% 9% TOTAL 100% 100% 100% 100% 100% * Estimada pelo Teleco. Outras inclui Intelig, CTBC, Sercomtel, GVT e Vésper. Fonte: Relatórios Teleco - Telefonia Fixa no Brasil 005 Participação no mercado longa-distância internacional (% Receita Bruta) OPERADORA Incumbentes Locais 33% 33% 40% 49% 54% Embratel 59% 59% 49% 41% 37% Outras 8% 8% 11% 10% 9% TOTAL 100% 100% 100% 100% 100% 86

87 Motivação Que mudanças são essas? Separação contábil Novas regras para Tarifas de Interconexão Novas regras para o Fator X das tarifas de público Desegregação de redes (unbundling) Revenda de serviços de telecomunicações Portablilidade Numérica Emissão de fatura única e detalhada Índice Setorial de Telecomunicações (IST) Orientação a custos de Longo Prazo Incrementais 87

88 LRIC Motivação LRIC i = componente operacional i + CEL i X WACC i o CEL (Capital Empregado Líquido) = Capital de Giro + Ativo Permanente descontado da depreciação e amortização Argumentos do Governo LRIC Fundamentada em valores correntes e empresa eficiente de referência Evita os efeitos indesejados dos métodos baseados em custos praticados no passado. Evita os repasses de custos exógenos às tarifas de público. Amparo legal e contratual. Comprovadas experiências internacionais 88

89 LRIC Motivação Teoria Preços associados ao LRIC emitem os sinais apropriados (Kahn 99) Os preços de acesso advindos da metodologia LRIC parecem vantajosos para as firmas entrantes e para o usuário final. (VOGELSANG 00) Apreça itens específicos da rede (VOGELSANG 00) Desestimula duplicação ineficiente (Armstrong 00 e Vogelsang 00) da rede. Reduz a assimetria de informações. O problema é determinar a margem sobre o LRIC: Custo de oportunidade (Armstrong 00) Incerteza e valor das Opções Reais (Salinger 98 Hausman 98 Pindyck 04,05 - Alleman) 89

90 Opções Reais Ao determinar que preços fossem iguais aos custos, ainda que seguindo uma abordagem forward-looking, estaria o regulador fornecendo os corretos incentivos para que haja investimento ou, dito de outra forma, eficiência dinâmica? 90

91 Objetivo Determinar o mark-up sobre o WACC para o preço de acesso (TU-RL) considerando a opção de acesso disponibilizada ao entrante pela incumbente quando da decisão de investir em infra-estrutura de rede em um cenário de custos afundados, irreversíveis e elevados níveis de incerteza de demanda (choques tecnológicos) Salinger (1998), Alleman e Noam (1999), Hausman (1999), Hausman e Myers (00), Pindyck (004 e 005) estudo para unbundling FCC (US) e citado pela OFCOM (UK) mark-up aparece como ajuste no WACC Apontam para o desestímulo ao investimento caso não seja considerada o valor das opções na determinação de tarifas ou preços baseados em custos 91

92 A Opção de Acesso No caso particular do sistema de telefonia fixa Livre- acesso: Incumbente fixa local é obrigada a disponibilizar a sua infra-estrutura de redes ao entrante. Mas TOR diz que em ambiente de custos afundados e grande incerteza de demanda incumbente racional não investe a partir de preço = custo Ao investir em um terminal de rede fixa, a operadora de STFC está de fato fornecendo uma opção de acesso a rede. Opção de acesso deve ser remunerada de acordo 9

93 Modelo Resumido Receita (V) esperada dos FCF de um terminal Médio em Serviço (TMS) segue um MGB compensado com jumps Merton (1976) não sistemáticos e diversificáveis (choques tecnológicos do setor) Volatilidade de V função de 3 processos estocásticos estimadas como em Brandão, Dyer e Hahn (005): Pulsos Faturados por Terminal Médio em Serviço (F-F) Minutos anuais VC1 Local por Terminal Médio em Serviço (F-M) Choques Tecnológicos (jumps negativos) Determinação da Opção de Investimento (CALL perpétua) assumindo CCA 93

94 Estimativas Receita Líquida i Assinatura ii R$ 35 / mês Local F-F (x) 114 Pulsos Faturados Mensais/TMS Tarifa média R$ 0.11/Pulso Local F-M (y) Tráfego VC1/TMS (419 min/ano) Tarifa VC1 R$ 0.47/min - Custos (53% Rec Liq) iii = EBITDA Depreciação iv % = FCF Valor Presente VP 14% aa 1381 TIR 14.13% CAPEX (k) v 1374 Fonte: Balanços Anuais das Operadoras de STFC de 000 até 005 i Todos os componentes da receita líquida decaem a uma taxa de % aa. ii Assinatura básica corresponde a 55% residencial, 35% não residencial e 10% tronco. iii Os custos operacionais são estimados em 53% da receita líquida. iv Considera-se depreciação linear de 10 anos sobre o Capex. v O CAPEX equivale ao custo do TMS e, portanto, ao preço de exercício da opção. 94

95 Resultados Mark-up máximo menor que 1% Cenário Conservador Choque s Tecnológicos WACC Ajustado (ρ *) Sem Choques 14.15% Choque Fraco 14.% Choque Forte 14.38% Cenário Volátil Choque s Tecnológicos WACC Ajustado (ρ *) Sem Choques 14.44% Choque Fraco 14.58% Choque Forte 14.89% 95

96 Conclusões Opção Real ajuda a determinar o preço de acesso (TU- RL) no novo arcabouço regulatorio do STFC Robustez do mark-up em relação a alterações nos três parâmetros básicos do modelo, quais sejam: volatilidade do tráfego (tanto fixo-fixo quanto fixo-móvel), freqüência e magnitude dos choques tecnológicos. Faixa de mark-up entre 0,15% no cenário conservador sem choques tecnológicos e 0,89% no cenário volátil com choque forte STFC, com base nas premissas adotadas, o mark-up para o WACC aplicado a TU-RL foi estimado em um valor inferior a 1%. 96

97 Modelo 97

98 Variáveis Estocásticas 1 Pulsos por Terminal Médio em Serviço Pulsos Faturados: x (Local F-F) Assinatura ~ diferença (c te ) Jan- 00 Jul- 00 Jan- 01 Jul- 01 Jan- 0 Jul- 0 Jan- 03 Jul- 03 Jan- 04 Jul- 04 Jan- 05 Jul- 05 Jan- 06 Jul- 06 Pulsos Registrados Pulsos Faturados 98

99 Variáveis Estocásticas Tráfego VC1 (F-M) Local (minutos anuais por Terminal Médio em Serviço Maior volatilidade esperada em relação ao tráfego F-F VC1 Brasil anual VC1 Telemar mensal (anualizado) Jun- 05 Jul- 05 Aug- 05 Sep- 05 Oct- 05 Nov- 05 Dec- 05 Jan- 06 Feb- 06 Mar- 06 Apr- 06 May

100 Modelo P* : TU-RL corrigida pela opção de acesso f P o preço LRIC sem correção. * P = P + f P consiste ~ no custo k do investimento através de pagamentos anualizados e constantes pela vida útil T ρ (WACC) T ρ.(1 + ρ) P = k T (1 + ρ) 1 Opção f (calculado no momento ótimo) é custo ρ* (WACC ajustado) * * T T ρ.(1 + ρ ) ρ.(1 + ρ) k k f * T = T + (1 + ρ ) 1 (1 + ρ) 1 ( ) tenho de calcular f 100

101 Modelo x: pulsos faturados por terminal médio em serviço y: tráfego VC1 (y) por terminal dz1.dz = ϕ dt : dx dy = α xdt + σ xdz = α 1 ydt + σ ydz x y V: VP dos FCF gerados pelo terminal V = T t= 1 (. t. t )( 1 τ ) t ( 1+ ρ ) rec liq c oper depr + depr rec. liq = a + p. x + p. y t t 1 t t Receita líquida: a t assinatura básica, p 1 :tarifa média por pulso (x t ) e p a tarifa média de VC 1 (y t ). Tarifas p 1 e p ctes em termos reais 101

102 Modelo V (VP FCF) segue um movimento geométrico browniano compensado com jumps (Merton (1976) dv V ( ) = α λφ dt + σ dz + dq r equivale a taxa livre de risco, α a taxa esperada de retorno do projeto, λ o parâmetro do processo de saltos modelado como uma distribuição de Poisson, φ (<0) a magnitude percentual do salto e dq a distribuição de Poisson sendo dq.dz = 0 Assumindo CCA dv V = r δ λφ dt + σ dz + dq ( ) 10

103 Modelo 1 Dinâmica de f (opção perpétua de compra) segue EDP ( ) ( ) ( ) V f ( V ) + r Vf ( V ) r + f ( V ) + f 1+ V = 0 σ VV δ λφ V λ λ φ Sujeita as seguintes condições de contorno f (0) = 0 o Usual barreira em zero * * f ( V ) = V k o Value-matching condition f V = * V ( ) 1 o Smooth-pasting condition 103

104 Modelo Solução f ( V ) = AV β o o o β é a raiz positiva da seguinte equação não linear 1 β σ β ( β 1) + ( r δ λφ ) β ( r + λ ) + λ ( 1+ φ ) = 0 Momento ótimo de exercício V* é dado por: β V* = k β 1 Constante A determinada a seguir: V A = * k ( * V ) β 104

105 Parâmetros Preço de Exercício = CAPEX R$1374 (k) Tx sem risco 10% real (Cupom de IPCA BMF 10 anos ~ 9%) WACC (STFC) 14% (TD Ipea 1160) Tx de crescimento α = - % aa. Custo de oportunidade: diferença entre a taxa de retorno esperada e os ganhos de capital, δ = ρ - α, 16%. 105

106 Parâmetros Volatilidade tráfego (F-F): 10% aa Volatilidade tráfego VC1 (F-M): Cenários: Conservador 10%, Volátil 0% Volatilidade Projeto (V) Conservador :.7% a.a. Volátil :4.6% a.a. Brandão, Dyer e Hahn (005 a, b) que modifica Copeland e Antikarov (003) comentada por Smith (005): distribuição VP condicional Choques tecnológicos Freqüência (λ) de 0. (um choque tecnológico a cada cinco anos) Dois cenários de impacto: o Choque Fraco gerando decréscimo de 10% no valor do projeto o Choque Forte gerando decréscimo de 0% no valor do projeto. 106

107 Resultados Mark-up máximo menor que 1% Cenário Conservador Choque s Tecnológicos WACC Ajustado (ρ *) Sem Choques 14.15% Choque Fraco 14.% Choque Forte 14.38% Cenário Volátil Choque s Tecnológicos WACC Ajustado (ρ *) Sem Choques 14.44% Choque Fraco 14.58% Choque Forte 14.89% 107

108 Resultados Custo de Capital x Volatilidade choque forte 16.0% 15.8% 15.6% 15.4% 15.% 15.0% 14.8% 14.6% 14.4% 14.% 14.0% 1.00%.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% 7.00% 8.00% Volatilidade 1 choque/5 anos 1 choque/10 anos sem choque 108

109 Resultados Custo de Capital x Magnitude dos Choques 1choque/5 anos 15.6% 15.4% 15.% 15.0% 14.8% 14.6% 14.4% 14.% 14.0% 0% -5% -10% -15% -0% -5% -30% -35% Choques Tecnológicos Cenário Volátil Cenário Conservador 109

110 Real Options Theory Meets Practice Real Option International Conference Montreal June 004 The Optimal Investment Scale and Timing A Real Option Approach to Oilfield Development Marco Antônio Guimarães Dias (Petrobras/PUC Rio) Katia Rocha (IPEA/PUC Rio) José Paulo Teixeira (PUC Rio) 110

111 Problem Overview I Typical Concession An Exploration and Production (E&P) firm is faced with an investment opportunity to develop a delineated oil field The investment opportunity expires in years The oilfield can be developed at any moment up to the expiration time 111

112 Problem Overview II Developing the oilfield: 3 mutually exclusive alternatives Each one represents a capital intensity and production scale Optimal choice of the capital intensity and production scale is important: According to the capital intensity employed, oil can be extracted faster or slower; with high or low operational costs Higher capital intensity Higher value for the developed reserve 11

113 Problem Overview III Oil Price is uncertain (stochastic process) The E&P firm has to analyze: How much worth this investment opportunity? What is is the optimal timing to to develop the oilfield? In In case of of development, what is is the optimal production scale? 113

114 References Our model is based on Dixit (1993). Choosing Among Alternative Discrete Investment Projects Under Uncertainty, Economic Letters 41, Except by: Finite time to maturity (Dixit works with a perpetual call) Existence of Exercise Zones for each Alternative Existence of Waiting Zones between Alternatives Exercise Zones change according to the set of parameters and specially oil price volatility. Different result than Dixit (1993): There are always Waiting Zones between the medium and large scale (if oil price vol. and convenience yield 0) Oil Prices follow Geometric and Mean Reversion 114

115 The Model The Investment Opportunity American call option on 3 different Development Alternatives (scale of production) Time to expiration: years Underlying Asset: Oil Price Option Payoff: V D k Value of Developed Reserve: V Investment Cost (exercise price): D k 3 Exercise Prices D k = D 1, D and D 3 115

116 The Model Value of Developed Reserve: Proportional Model Hypothesis V~P : Gruy, Grab, and Wood ( Word Oil, CXCIV 198): (1/3 rule): Developed reserve is a function of the current oil price : V~P/3 Used also in Paddock, Siegel and Smith (1988) and Dixit and Pindyck (1994, chapter 1) 116

117 The Model Value of Developed Reserve: Proportional Model Hypothesis V~q k : q: The economic quality of reserves. Dias (1998) The higher the capital intensity for the oil field development the higher the economic value of the developed reserve. 117

118 The Model Value of the Developed Reserve V: V = P.. q k.. B P: current oil price ($/bbl) q k : economic quality of reserves followed by alternative k B: reserve size estimator (MMbbl). 118

119 The Model Modeling the Oil Price (P): Geometric Brownian Motion dp P = ( r δ ) dt + σ dz r: free-risk interest rate δ: convenience yield for the oil commodity dz: Wiener increment: 119

120 The Model Applying the Contingent Claims Valuation, Investment Opportunity F(P,t) follows the Black-Scholes equation: 1 σ P F PP + ( r δ ) PF P + F t = rf But with different boundary conditions: F ( 0, t ) = 0 * F ( P k ( t ), t ) = NPV ( P k ( t ) *, k, t) F(P, T ) = max P (T ) k * [ NPV (P, k, T ), 0 ] * * [ F ( P ( t ), t )] [ VPL ( P ( t ), k )] P = k k = * * k ( t ) P k ( t ) t q k. B 10

121 Parameters for Base Case Small scale production: Medium scale production: 1000 MM Large scale production: Reserve Size Estimator: Risk free interest rate: Convenience yield: Volatility: Current Oil Price: q1 = 0.08, D1 = US$ 400 MM q = 0.16, D = US$ q3 = 0., D3 = US$ 1700 MM B = 400 MM bbl r = 8% p.a. δ = 8% p.a. σ = 5% p.a. P 0 = US$ 0 / bbl 11

122 Result 1: Flexibility Gain The Number of Development Alternatives Increase the Option Value 1

123 Result 1: # Alternatives # Alternatives Option Value (US$MM) Alternative 1 40 (NPV A1 = 40) Alternatives 1 and (NPV A = 80) Alternatives 1, and (NPV A3 = 60) 13

124 Result : Investment Opportunity 14

125 Result : Option Value A 3 A 1 A 15

126 Result 3: Exercise Zones The Exercise Zones (optimal thresholds) are areas and the optimal scale of production is calculated 16

127 Result 3: Exercise Zones A 3 A A 1 17

128 Result 3: Optimal Scale of Production (k = 3, large scale) A 3 A A 1 18

129 Result 3: Optimal Scale of Production (k = 1, small scale) A 3 A A 1 19

130 Result 3: Optimal Scale of Production ( do not exercise ) A 3 A A

131 Result 4: Volatility Effect An increase in oil price volatility reduces the Exercise Zones The option to delay increases 131

132 Result 4: Volatility Effect 13

133 Result 5: The Waiting Zones Unlike Dixit (1993) we get a Waiting Zone between the medium (A) and the large scale (A3) 133

134 Result 5: The Waiting Zones New waiting zone Waiting zone 134

135 Result 6: Optional Wells Effect The Development Alternative (usually the small scale one) can be set to contain additional features (at an additional costs) such as the flexibility of optional wells If market condition at the future turns out to be attractive the optional wells are developed. Conclusion: The Exercise Zone of the Alternative set with optional wells increases, as well as the Option Value 135

136 Result 6: Optional Wells Effect No Optional Well Two Optional Wells on #A1 Option Value US$ MM Option Value US$ MM 136

137 Result 6: Optional Wells Effect No Optional Well Two Optional Wells on #A Option Value US$ MM Option Value US$ 365 MM 137