P (V )= nrt = constante.

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1 Termodinâmica - FMT 59 Noturno, segundo semestre de 009 Exercícios em classe 8/09/008 As substâncias que tem o comportamento termodinâmico mais simpes são os gases. Já vimos que, não só para um gás, mas para qualquer fluido homogêneo, um estado de equilíbrio termodinâmico fica inteiramente determinado por qualquer par de variáveis P, ou T. Isto significa que a terceira dessas variáveis éuma função das outras duas, ou seja, que existe uma relação funcional do tipo f(p,, T) =0, que se chama equação de estado do fluido. A equação de estado assume um forma especialmente simples para um gás ideal, também chamado gás perfeito. Como o próprio nome está dizendo, trata-se de uma idealização do comportamento de um gás real, no limite de rarefação extrema. Quanto mais distante estiver a temperatura do gás da sua temperatura de liquefação, e quanto menor a pressão, mais ele se aproxima do comportamento de um gás ideal. Na prática, trata-se de uma excelente aproximação na maioria dos casos. Para um gás ideal, a equação de estado, relacionando P, e T édada por P = nrt, () onde n éonúmero de moles de gás e R éuma constante chamada constante universal dos gases. Essa equação também é conhecida como lei dos gases perfeitos. Embora nenhum gás obedeça exatamente a essa equação de estado, ela éuma boa aproximação para a maioria dos gases, tanto melhor quanto mais rarefeito estiver o gás, e mais longe estiver do seu ponto de liquefação. Esboçar, em um diagrama P-, transformações quase-estáticas quando P ou são constantes é trivial. Mas e quando a temperatura T é constante? Neste caso P e variam o tempo todo, e precisamos da equação de estado (relacionando P, e T) para descobrirmos a cara da função que relaciona P e nesse caso (e portanto a cara de uma isoterma em um diagrama P-. Se T éconstante, P = C (C = constante=nrt), e temos: P ( )= C, ou seja, a função P() se comporta como.. Faça um esboço do gráfico da função f(x) =/x, para x ]0, 8]. Extraído do livro texto, curso de Física Básica, vol., Moysés Nusseinsveig, cap. 9.

2 ,5 f(x)=/x 0, x. Esboce, em um diagrama P-, o gráfico de três diferentes isotermas. Isoterma significa à mesma temperatura. Portanto vamos fixar uma certa temperatura na lei dos gases ideais, obtendo a função P ( )= nrt = constante. Agora vamos esboçar essa função para diferentes temperaturas em unidade de nr. O resultado pode ser visto na figura T=300nR T=450nR T=600nR 3000 P ,5 3. A partir da equação de estado de um gás ideal, descubra qual deve seracurva que representa uma expansão isobárica em um diagrama T-. A partir da expressão (), se fixamos o valor de P, obtemos uma relação entre e T (a P constante). Ou seja, obtemos a função T ( ): T ( )=const.. Esta éa equação de uma reta, com coeficiente angular igual a const. e que passa pela origem. ale lembrar que a lei dos gases perfeitos éuma boa aproximação apenas longe do ponto de liquefação dos gases. Esta condição pode ser obtida no regime de rarefação extrema do gás, i. e., o gás ocupa um volume grande e é submetido a uma pressão pequena. O esboço dessa função pode ser visto abaixo

3 500,8 P=0,nR 500,6 T 500,4 500, Trabalho em uma expansão isobárica (P = constante): imos em aula que, como a pressão P éconstante, em uma expansão isobárica quase-estática, o trabalho realizado pelo gás (e que corresponde à área sob a curva em um gráfico P-) pode ser facilmente calculado: W = f P ( ) d = P f d = P ( f ). () Trabalho em uma expansão isocórica ( = constante): Calcular o trabalho em uma expansão isocórica quase-estática também é imediato: como não há variação de volume, não há realização de trabalho! Note que tanto no caso isobárico, quanto no caso isocórico, em nenhum momento precisamos utilizar a equação de estado do gás ideal. Portanto os cálculos acima continuam válidos mesmo no caso onde o comportamento do gás se distancia do de um gás ideal. Trabalho em uma expansão isotérmica (T = constante): Em uma expansão isotérmica quase-estática, no entanto, a pressão e o volume variam continuamente, de modo que para calcular o trabalho realizado pelo gás precisamos conhecer a forma como P varia com (ou seja, a função P() ) ao longo da transformação. E isso só épossível se conhecermos a equação de estado do gás. E não vamos escapar de resolver uma integral... No caso do gás ideal essa equação é P = nrt. Conhecendo a equação de estado de um gás ideal, podemos agora calcular o trabalho realizado por um gás ideal em uma expansão isotérmica: W = f P ( ) d = f C d = C f d = C ln f. (3) ComoC=nRT, o trabalho W realizado durante uma expansão isotérmica édado por W = nrt ln f. 4. 0, mol (n =0, mol) de um gás ideal, com c v = 3 R, descreve o ciclo representado na figura abaixo, no plano (P,T). 3

4 P(atm) A C B T(K) (a) Represente este ciclo no plano (P,), indicando P (em atm) e (em l) associados aos pontos A,B e C. O processo AB érealizado à temperatura constante, portanto sua representação no diagrama P- éuma hiperbole analoga ao resultado da 0 questão. O processo BC érepresentado por um segmento de reta descrito pela função P (T )=const. T, por comparação com a lei dos gases ideais (), concluímos que esse processo éfeito à volume constante. Finalmente o processo CA éfeito a pressão constante, de maneira que sua representação no diagrama P- não se altera. Observe que não foi explicitado o valor da pressão constante em todo processo CA. amos obtê-la a partir da lei dos gases ideais P = nrt no ponto C, = nr C (600 K). Contudo, não sabemos qual o volume C. Porém sabemos que o volume do ponto C ( C )éigualaovolume do ponto B ( B ) tal que C = B nrt C = nrt B P B, 600 K = 300 K atm =atm, Admitindo que R 0, 08 atm l/mol K, obtemos os volumes A e B = C atravé sde B = C = nrt C =, 4 atm, A = nrt A P A =, atm. Portanto o diagrama P- desse ciclo é 4

5 P(atm) A C Isoterma,,4 B (l) (b) Calcule W, Q e ΔU para os processos AB, BC, CA e para o ciclo completo. No processo isotérmico AB (T = 300 K) a pressão varia apenas com o volume tal que P = P ( ). Assim o cálculo do trabalho nesse processo éanalogo ao visto na equação (3), isto é, W AB = B A nrt d = nrt ln ( B PA ) = nrt ln. A P B Admitindo que atm. l 00 J equer 0, 08 atm l/mol K teremos W AB, 66 atm. l = 66, 00 J, esse resultado éequivalente à área abaixo da curva AB (no diagrama P-). Ainda no processo AB, como a temperatura não varia, nada podemos afirmar sobre o valor de Q AB. Posteriormente, vamos obter seu valor sabendo que a variação da energia interna num ciclo fechado ézero. No processo isocórico BC (volume constante), temos que E o calor trocado durante esse processo é W BC =0J. Q BC = nc ΔT = 3 nr(600 K 300 K), Q BC 360 J. No processo isobárico CA o trabalho éanalogo ao cálculo do trabalho visto na equação () W CA = A C d = ( A C ), W CA 40 J, o modulo desse resultado é equivalente a área abaixo da curva CA (o sinal negativo se deve a compressão do gás). 5

6 Ainda tratando do processo CA, sabemos que a pressão éconstante durante o processo. Portanto, o calor trocado é Q CA = nc P ΔT. Como c P =5R/, portanto Q CA = 5 nr(300 K 600 K), Q CA 600 J. Finalmente sabemos que a variação da energia interna no ciclo ABCA ézero, tal que ΔU =ΔU AB +ΔU BC +ΔU CA =0, ΔU = Q AB W AB + Q BC W BC + Q CA W CA =0, ΔU = Q AB 66 J J 0 J +( 600 J) ( 40 J) =0. Assim obtemos o valor de Q AB Q AB 66 J. 6