POLYANNA POSSANI DA COSTA UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS PLANAS: DIEDRO DE FRENET

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1 POLYANNA POSSANI DA COSTA UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS PLANAS: DIEDRO DE FRENET SINOP 009

2 POLYANNA POSSANI DA COSTA UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS PLANAS: DIEDRO DE FRENET Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Departamento de Matemática UNEMAT, Campus Universitário de Sinop como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciada em Matemática. Orientadora: Ms. Chiara Maria Seidel Luciano Dias Co - orientador: Ms. Rogério dos Reis Gonçalves SINOP 009

3 POLYANNA POSSANI DA COSTA UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS PLANAS: DIEDRO DE FRENET Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Departamento de Matemática UNEMAT, Campus Universitário de Sinop como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciada em Matemática. Banca Examinadora: Ms. Chiara Maria Seidel Luciano Dias Professora Orientadora UNEMAT- Campus Universitário de Sinop Ms. Rogério dos Reis Gonçalves Professor Co-orientador UNEMAT- Campus Universitário de Sinop Ms. Rodrigo Bruno Zanin Professor Avaliador UNEMAT- Campus Universitário de Sinop Ms. Vera Lúcia Vieira de Camargo Professora Avaliadora UNEMAT- Campus Universitário de Sinop SINOP de de 009.

4 3 Aos meus pais e minha irmã, pelo incentivo nas horas difíceis, o carinho e as palavras de apoio em todas as horas; Ao meu namorado, pela compreensão e companheirismo, durante todos esses anos de graduação. Polyanna

5 4 AGRADECIMENTOS Primeiramente agradeço a Deus, por ter me dado forças e sabedoria para eu me dedicar em meus estudos e poder desenvolver e concluir este trabalho. A todos os meus professores, que estiveram ao meu lado durante os quatro anos de graduação compartilhando seus conhecimentos comigo, em especial ao professor Rogério dos Reis Gonçalves meu co-orientador que acreditou em mim e me auxiliou todo o tempo e a professora Chiara Maria Seidel Luciano Dias pela paciência, dedicação em me orientar, por ter sanado minhas dúvidas no desenvolvimento desta Monografia e que além de professora e orientadora, é uma amiga. E aos dois pela sugestão do tema, me dando a oportunidade de conhecer um pouco deste assunto. Ao professor Ricardo Robinson Campomanes Santana, pela oportunidade de ser sua aluna de iniciação científica, me proporcionando novos conhecimentos e trabalhos que somaram e enriqueceram muito. Aos meus amigos Irineu, Djeison, Silmara e Silvana pelos grupos de estudos realizados todos esses anos e pelo companheirismo. Em especial ao Irineu, pelas palavras de incentivo e de força e ao Djeison pela ajuda e sugestões quando precisei. À banca examinadora do Projeto de Pesquisa e da Monografia, pela participação neste importante e único momento de minha vida. POLYANNA

6 5 Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisição, não é a presença, mas o ato de atingir a meta. C. F. Gauss

7 6 RESUMO COSTA, Polyanna Possani da. Um estudo sobre a Teoria Local de Curvas Planas: Diedro de Frenet.Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) Faculdade de Ciências Exatas. Universidade do Estado de Mato Grosso / Campus Universitário de Sinop. Sinop, 009. Na presente pesquisa, estudamos alguns conceitos importantes na introdução à Geometria Diferencial, a saber, os conceitos básicos que tratam da teoria local das curvas planas. Em particular, estudamos a construção de um referencial móvel adaptado a cada curva, chamado Diedro de Frenet. Por meio das Equações de Frenet, estudamos o conceito de curvatura, bem como as principais propriedades que caracterizam as Curvas Planas Parametrizadas Diferenciáveis. Inicialmente, fazemos uma abordagem histórica do estudo das curvas, bem como do surgimento e história da pesquisa em Geometria Diferencial no Brasil. Em seguida, apresentamos conceitos de Geometria Analítica, Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral, considerados preliminares para tal abordagem. Por fim, apresentamos definições importantes para entendermos a estrutura de um referencial móvel adaptado a curva até a dedução das Equações de Frenet e o enunciamos do Teorema Local das Curvas Planas. Com isso, encerramos com uma aplicação baseada na caracterização de uma curva cujo o traço pertence a uma circunferência. Palavras-chave: Geometria Diferencial. Curvas Planas Parametrizadas Diferenciáveis. Diedro de Frenet. Curvatura. Equações de Frenet.

8 7 ABSTRACT COSTA, Polyanna Possani da. A study about the Local Theory of Flat Curves: Diedro de Frenet. Course Conclusion Paper. (Graduation in Mathematic Faculty of Exact Science. University of Mato Grosso State / Campus Sinop. Sinop, 009. In the present research, we studied some important concepts in the introductions to Differential Geometry, such as the basic concepts that deal with the local theory of flat curves. We particularly studied the construction of a moving referential, adapted to each curve, called Diedro de Frenet. Through Frenet Equations we studied the concept of curvature, as well as the main properties that characterize the Distinguishable Parametric Flat Curves. Initially, we make a historical approach of the study of curve, as well as the beginning and the history of research in Differential Geometry in Brazil. Next, we present the concepts of Linear Algebra and Differential and Pertaining Calculus, considered preliminary for this approach. Finally we presented important definitions to understand the structure of a moving referential adapted to a curve, to the deduction of Frenet Equations and we enounced the Local Theorem of Flat Curves. Therewith, we conclude with an application based in the characterization of a curve which trace belongs to a circumference. Key words: Differential Geometry. Distinguishable Parametric Flat Curves. Diedro de Frenet. Curvature. Frenet Equations.

9 8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 09. ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL. O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA EM GEOMETRIA DIFERENCIAL NO BRASIL 4. PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 8 3. O DIEDRO DE FRENET 3 3. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 3 3. CURVAS PLANAS DIFERENCIÁVEIS COMPRIMENTO DE ARCO CAMPO DE VETORES AO LONGO DE UMA CURVA 8 4. CURVATURA E EQUAÇÕES DE FRENET CARACTERIZAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA POR MEIO DA CURVATURA E TORÇÃO CONCLUSÃO 38 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 39

10 9 INTRODUÇÃO Pode-se referir a Geometria Diferencial como sendo uma junção da Geometria Analítica com o Cálculo Diferencial e Integral, além de estudar propriedades de curvas e superfícies também sob o ponto de vista da Topologia. Geometria Diferencial é a área da matemática que estuda as curvas e superfícies usando técnicas do cálculo diferencial e integral; esse é um vasto campo com importantes aplicações em diversas outras áreas da Matemática e também da Física, particularmente em Mecânica e especialmente em Teoria da Relatividade. (FASSARELLA, 007, p., grifo do autor). Apesar de a Geometria Diferencial ter como base estas duas disciplinas que estão presentes nos cursos de Licenciatura Plena em Matemática, esta é uma área que não é estudada em todas as Universidades do Brasil em Licenciatura de Matemática, e em especial na Unemat. Foi justamente por a Geometria Diferencial não estar presente no curso de Licenciatura Plena em Matemática da Unemat, que surgiu o interesse de se desenvolver uma pesquisa que envolvesse conteúdos introdutórios desta disciplina, tendo em vista que por conhecer o Cálculo Diferencial e Integral e a Geometria Analítica, seria possível proporcionar relações entre tais áreas. Entende-se que a Geometria Diferencial é uma área muito ampla, que envolve conteúdos que também não estão presentes em nossa Licenciatura, sendo necessário conhecer e abranger outras disciplinas para o seu aprofundamento, e com isso deixa-se bem claro que a intenção desde o início é de forma introdutória conhecer alguns conceitos básicos estudados na Geometria Diferencial. Assim, busca-se basicamente estudar as propriedades de uma curva plana através de um referencial adaptado à própria, em que, em caso particular das curvas tratadas neste trabalho é chamado de Diedro de Frenet. Para tal abordagem, inicia-se a pesquisa apresentando os aspectos históricos da Geometria Diferencial, no qual é tratada desde os primórdios da Geometria, suas aplicações, evoluções, contribuições e nomes de grandes matemáticos para tal desenvolvimento até chegar-se à Geometria Diferencial, e a partir daí, apresenta-se ainda um pouco da história da pesquisa em Geometria Diferencial no Brasil. Ramo da Matemática que estuda as propriedades de figuras geométricas que não mudam quando a forma da figura é submetida a sucessivas deformações.

11 0 Em seguida, apresentam-se algumas idéias e conceitos que são utilizados como base, para então, se estudar e entender o assunto principal do trabalho. Tais conceitos são tratados em Geometria Analítica, Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral, sendo apresentados alguns exemplos para melhor contextualização do assunto. No último capítulo, aborda-se então, as principais propriedades das Curvas Planas Parametrizadas Diferenciáveis para então apresentarmos as Equações de Frenet. Com isso, surge um dos mais importantes conceitos para a Teoria Local das Curvas: a curvatura. Ao final, munidos destes conceitos pode-se apresentar uma aplicação da caracterização de uma curva por meio de sua curvatura e torção. Neste caso, é apresentada uma caracterização para que o traço de uma curva esteja contido em uma circunferência.

12 . ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL Neste capitulo, busca-se apresentar um resumo histórico do surgimento da Geometria Diferencial e do desenvolvimento da pesquisa da mesma no Brasil, desta forma para tal, foi consultada uma fonte de referências bastante ampla, sendo CARMO (008), CARMO (999), COUTINHO (00), FASSARELLA (007), GORODSKI (00), GORODSKI (007), ODON (006), O SHEA (009), SÁNCHEZ (007), SPIEGEL (004). A Geometria é considerada a atividade matemática mais antiga já conhecida devido às necessidades de resolver problemas da agrimensura. Fortemente utilizada na construção de pirâmides e templos, a Geometria estava presente na vida de civilizações como os babilônios, hindus, chineses, japoneses e egípcios. É notável que a Geometria era utilizada de forma empírica, ou seja, era algo que se fundamentava apenas na experiência. No entanto, ao longo dos anos a visão de que se tinha em relação à Geometria foi sofrendo modificações e transformou-se completamente com os gregos. Um dos mais importantes precursores desta transformação foi Talles de Mileto (64/65 a.c.-556/558 a.c.), que determinou o comprimento da superfície da terra utilizando propriedades de figuras geométricas, sendo considerado o pai da geometria grega. Mas quem fez contribuições não somente para a matemática de sua época, mas também forneceu um modelo rigoroso para o desenvolvimento das idéias matemáticas utilizadas até os dias atuais foi Euclides (360 a.c.-95 a.c.) com sua obra Os Elementos, composto por 3 livros, a qual é considerada um dos tratados mais importantes já escritos em toda a história ocidental. Nesta célebre obra são apresentados inicialmente definições e axiomas e com isso, proposições são provadas a partir dessas premissas e de outras proposições através de dedução lógica. Os cinco Postulados de Euclides são: I. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro distinto. II. A partir de qualquer ponto de uma linha reta pode-se prolongá-la indefinidamente. III. Pode-se traçar um círculo com centro e raio arbitrário. IV. Todos os ângulos retos são iguais. V. Se uma reta secante a duas outras, forma ângulos de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado.

13 A partir do V postulado de Euclides questionamentos começaram a surgir sobre sua afirmação como postulado, isto fez com que diversos matemáticos tentassem deduzi-lo a partir dos quatro anteriores. Tais tentativas duraram até o século XVIII, aproximadamente dois mil anos mais tarde. Historicamente, o século XVIII ficou marcado pelo desenvolvimento do Iluminismo e por volta de 800 suas idéias já eram bem conhecidas. A confiança intelectual da razão humana e da ciência estavam fortemente estabelecidas. Segundo O shea (009, p.87) À medida que o século XVIII chegava ao final, o pensamento iluminista, a rápida mudança econômica e uma população cada vez mais instruída passaram a contestar todas as idéias aceitas. No final do século XVIII, aos anos Johann Friedrich Gauss ( ), começou a sua crítica a respeito dos Elementos de Euclides. Foi o primeiro matemático na história a entender e aceitar a idéia de que existiria uma geometria em que o V postulado de Euclides seria desnecessário. Como nos diz Odon (006, p.) No início do século XIX, entre 83 e 86, como professor na Universidade de Göttingen, Gauss desenvolveu o que hoje é denominado geometria hiperbólica. Em 84, Gauss escreveu uma carta a um amigo que estudava matemática, supondo que a soma de três ângulos é menor que 80, e ainda, que a forma desenvolvida por ela era bem satisfatória, o que levaria a uma geometria bem diferente e especial, mas Gauss não publicou sua descoberta e pediu para que seu amigo não a revelasse. Mas outros matemáticos da época, como Lobachevsky (79-856) e Bolyai ( ), persistiram no desenvolvimento de geometrias não-euclidianas e publicaram suas obras. Em 86 Nikolai I. Lobachevsky marcava o nascimento oficial da geometria nãoeuclidiana. Como escreve Odon (006, p.)... tornou-se o primeiro matemático a publicar uma geometria não-euclidiana baseada na quebra do quinto postulado, intitulada por ele de "geometria imaginária". Nikolai I. Lobachevsky [...] publica em 89 o primeiro trabalho (Sobre os princípios da geometria, em russo) construindo uma geometria baseada em um postulado em conflito direto com o Postulado V: Por um ponto fora de uma reta, é possível traçar-se mais de uma reta paralela à reta dada. [...]. Termina assim uma época na história da matemática que fora inaugurada dois mil anos antes, originando-se uma transformação profunda não apenas do pensamento matemático, mas também de pensamento teórico em geral que

14 3 influenciará nossa concepção do universo e do mundo físico. (GORODSKI, 007, p.3, grifo do autor). Outro matemático que persistiu na geometria não-euclidiana foi János Bolyai (80-860), que em 83 publicou seu trabalho sobre a geometria hiperbólica. Assim, Gauss, Lobachevsky e Bolyai descobrem um espaço a partir do conflito com o V postulado de Euclides, chamado espaço hiperbólico. E ainda, partindo da quebra do V postulado de Euclides, Bernard Riemann (86-866) descreveu outro tipo de espaço não-euclidiano, o espaço elíptico. Como toda teoria que afeta discussões firmemente estabelecidas, a nova geometria não foi muito bem recebida. Passando então a geometria não-euclidiana algumas décadas sem ser completamente integrada à matemática. Ainda segundo Gorodski (007, p.5) Apesar disso as geometrias não-euclidianas permaneceram um tanto marginais por várias décadas antes de serem completamente integradas. Paralelamente às idéias da geometria não-euclidiana, começa surgir a história da geometria diferencial, que tem início com o estudo das curvas e retas tangentes, as quais já eram discutidas por Euclides, Arquimedes (87 a.c.- a.c.) e Apolônio (6 a.c.-90 a.c.). O estudo teórico de curvas e superfícies começou há mais de mil anos quando matemáticos e filósofos gregos exploraram as propriedades de seções cônicas, helicoidais, espirais e superfícies de revolução geradas por essas curvas. Apesar de as aplicações não estarem em suas mentes, muitas conseqüências práticas surgiram. Entre elas, a representação, em termos de elipses, das órbitas dos planetas em torno do Sol, o emprego das propriedades do foco de parabolóides e o uso das propriedades especiais de helicoidais para construir o modelo da dupla hélice do DNA. (SPIEGEL, 004, p.73). No século XVII, Pierre de Fermat (60 665) e René Descartes ( ) criam a geometria analítica, enquanto Gottfried Von Leibniz (646 76) e Isaac Newton (643-77) descobrem o algoritmo do Cálculo infinitesimal na busca de uma representação da velocidade instantânea de um objeto cujo movimento não era constante. Ainda no séc. XVII são desenvolvidos os fundamentos da teoria das curvas e superfícies no espaço tridimensional. Curvas espaciais são estudadas, e desde então grandes contribuições foram feitas por matemáticos para a geometria diferencial, dentre eles Leonhard

15 4 Euler ( ), Charles Dupin ( ), Augustin Louis Cauchy ( ), Gauss e Riemann. Em particular Euler publica em 760 o livro Theoria Motors Corporum Solidorus sem Rigidorum (Teoria do Movimento dos Corpos Sólidos e Rígido no qual aborda o conceito de linhas com curvatura, iniciando asssim o estudo da Geometria Diferencial. A Geometria Diferencial se divide em dois aspectos, em que um é chamado de geometria diferencial clássica, que teve início com os primórdios do Cálculo e estuda as propriedades locais das curvas e superfícies, sendo o cálculo diferencial o método mais apropriado para tal estudo, sendo as curvas e superfícies consideradas na geometria diferencial definidas por funções que possam ser derivadas inúmeras vezes. Já o outro aspecto, chamamos de geometria diferencial global, que estuda a influência das propriedades locais sobre o comportamento da curva ou superfície como um todo. Essencialmente, a Geometria Diferencial estuda as propriedades geométricas das curvas e superfícies mediante conceitos analíticos tais como o de métrica, curvatura e torção. Um dos belos resultados dessa teoria é o chamado Teorema Fundamental das Curvas, que caracteriza completamente uma curva pelas funções 3 curvatura e torção: para curvas três vezes continuamente diferenciáveis em IR, a curvatura e a torção são propriedades características no seguinte sentido: duas curvas parametrizadas pelo comprimento de arco que possuem as mesmas funções 3 curvatura e torção diferem por uma isometria de IR. (FASSARELLA, 007, p., itálico do autor). Além disso, os estudos desta área de pesquisa culminaram no conceito de variedade diferenciável introduzido por Riemann. Tal objeto matemático generaliza a idéia de superfície, pois não necessita em sua definição de um espaço circundante. A noção de curvatura Riemanniana que generaliza a idéia de curvatura gaussiana, não apenas unificou as geometrias Euclidianas e não-euclidianas, como representou uma vasta generalização destas duas.. O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA EM GEOMETRIA DIFERENCIAL NO BRASIL

16 5 Conforme Carmo (999), a Geometria Diferencial no Brasil, no qual aqui significará uma estrutura que se pode falar em curvatura, para delimitar o assunto, divide-se basicamente em três períodos, sendo chamados pelo autor de Pré-história da Geometria que vai de 800 a 957, o Início da História que vai de 957 a 970 e o período de consolidação da Pesquisa que vai de 970 a 983. No período da Pré-história, muito pouco é apresentado em Geometria Diferencial, destacando-se na Matemática entre vários nomes os mais conhecidos, Joaquim Gomes de Souza (89-863), Otto de Alencar (874-9), Amoroso Costa (885-98), Lélio Gama (89-98) e Teodoro Ramos ( ), do que foi desenvolvido na matemática brasileira neste período, Carmo menciona apenas os dois seguintes trabalhos em Geometria Diferencial:. de Alencar, Otto, A superfície de Riemann de geratriz circular, Revista da Escola politécnica, 3 (898), Gama, Lélio, Estudo sobre as linhas geodésicas, ª parte da Tese de Concurso à cadeira de Astronomia e Geodesia da Escola politécnica, 99. Depois do trabalho de Lélio Gama, houve um longo intervalo na Geometria Diferencial brasileira, pois eram grandes as dificuldades encontradas por quem optasse em fazer pesquisas em Matemática naquela época, tais como falta de revistas, e do próprio estímulo social, sendo difícil de acompanhar o que se passava no exterior. O segundo período da Geometria Diferencial brasileira apenas em 957 com um trabalho de Alexandre M. Rodrigues, publicado em 958. Neste mesmo ano houve um movimento de ampliação da pesquisa em matemática no Brasil após o Colóquio Brasileiro de Matemática, que teve grande influência no futuro da matemática brasileira. Desde então trabalhos em Geometria Diferencial por matemáticos brasileiros foram desenvolvidos. Sendo algum deles:. Rodrigues, A. A. Martins, Characteristic classes of complex homogeneous spaces. Bol. Soc. São Paulo 0 (955), 67-86, published in do Carmo, Manfredo P., The cohomology ring of certain kählerian manifolds. An. Acad. Brasil. Ci. 35 (963), Colares, A. G., On a prehilbert manifold of curves and minimal surfaces. Ph. D. thesis, Boston University, Boston, USA (967). 4. do Carmo, Manfredo P.; Wallach, Nolan R., Minimal immersions of sphere bundles over spheres. An. Acad. Brasil. Ci. 4 (970), No período compreendido entre 957 e 970, todos os trabalhos matemáticos brasileiros em Geometria Diferencial eram feitos no exterior, sem exceção alguma. Todavia,

17 6 para que os matemáticos brasileiros tivessem uma pesquisa autônoma era necessário que seus trabalhos fossem feitos no Brasil. Assim em 970 inicia-se o período de Consolidação da Pesquisa com a criação de Programas de Doutorado em Geometria Diferencial. Em 970, o IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) inaugurou um Programa de Doutorado que entre outras áreas, incluía a Geometria Diferencial. É interessante ressaltar que hoje a ilustre matemática Keti Tenenblat, foi a primeira aluna de Manfredo Perdigão do Carmo neste Programa de Doutorado. Em 973, o matemático brasileiro Plínio Simões criou um Programa de Doutorado em Geometria Diferencial na USP, e em 976 a Universidade de Campinas UNICAMP inicia também um Programa de Doutorado em Geometria Diferencial. Deste modo, ao final do período de 970 a 983 já estava funcionando no Brasil Programas de Doutorado em Geometria Diferencial no IMPA, na USP e na UNICAMP em que as teses desenvolvidas eram publicadas em periódicos científicos de repercussão, com o objetivo de estimular e formar matemáticos de boa qualidade no Brasil. As Escolas de Geometria Diferencial, também tiveram importante participação na consolidação da pesquisa na área. A primeira escola teve início no IMPA em 974, a segunda no ano de 976 já fazendo parte de um encontro internacional, e a partir daí a Escola de Geometria Diferencial foi e até hoje é realizada a cada dois anos com o objetivo de reunir não só pesquisadores, mas também alunos de final de graduação, mestres e doutores, para divulgar estudos recentes em Geometria Diferencial e promover estudos de tópicos atuais através de conferências, mini cursos e palestras. Desse período de Consolidação da Pesquisa, segue alguns dos trabalhos desenvolvidos por matemáticos brasileiros em Geometria Diferencial.. Tenenblat, Kéti, On isometric immersions of Riemannian manifolds. Bol. Soc. Brasil. Mat. (97), no., do Carmo, Manfredo P.; Lawson, B., Spherical images of convex surfaces. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (97), Barbosa, J. L., On minimal immersions of (973), 0-4. S in m S. Bull. Amer. Math. Soc Barbosa, J. L.; Carmo, Manfredo P., Stable minimal surfaces. Bull. Amer. Math. Soc. 80 (974), Barbosa, J. L., Remarks on stability of minimal hypersurfaces. Na. Acad. Brasil. Ci. 50 (978), no. 3, Chen, Chi Cheng, Complete minimal surfaces with total curvature π. Bol. Soc. Brasil. Mat. 0 (979), no, 7-76.

18 7 7. Noronha, Maria Helena, Variedades com operador de curvatura puro. Doctor thesis, UNICAMP (983), Campinas. Vale mencionar que os trabalhos desenvolvidos por matemáticos brasileiros em Geometria Diferencial aqui citados, são alguns dos muitos realizados entre 800 a 983, para verificar todos, ver CARMO, (999, p. -7).

19 8. PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Tendo em vista que para ser realizado o estudo proposto sejam necessários conhecimentos básicos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, tais como combinação linear, base, produto vetorial, entre outras noções importantes para a apresentação das Equações de Frenet, neste capítulo serão apresentados alguns conceitos básicos destas disciplinas. As definições e resultados apresentados foram baseados nas referências [], [5] e []. Definição : Um conjunto não vazio V é um espaço vetorial sobre (um corpo) K se em seus elementos denominados de vetores, estiverem definidas as seguintes duas operações: (A) A cada par u, v de vetores de V corresponde um vetor (A) u e v, de modo que: u + v = v + u, u,v V (propriedade comutativa). (A) ( u v) + w = u + ( v + w) +, u,v,w V (propriedade associativa). u + v V, chamado de soma de (A3) Exista em V um vetor, denominado de vetor nulo e denotado por 0, tal que v + 0 = v, v V. (A4) A cada vetor v V exista um vetor em V, denotado por v, tal que v + ( v) = 0. (M) A cada par α Κ e v V, corresponde um vetor α v V, denominado de produto por escalar de α por v de modo que: (M) ( αβ ) v = α( β v ), α, β Κ e v V (propriedade associativa). (M) v = v, v V (onde é o elemento identidade de Κ ). Além disso, vamos impor que as operações dadas em (A) e (M) se distribuam, isto é, que valham as seguintes propriedades: (D) ( u + v) = α u + α v α, α Κ e u,v V. (D) ( + β ) v = α v + β v α, α, β Κ e v V Em particular, para nosso estudo trabalharemos com os espaços euclidianos 3 IR. Em geral, ao considerarmos o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais ( munido das duas seguintes operações, temos uma estrutura de IR- espaço vetorial. IR e n IR ),

20 9 Se X ( x x,..., ) = e, x n = ( y y ) define-se X + Y = ( x + y x + y,..., + ) Y,...,, λ IR, definimos λ X = ( λx λx,..., λ ). y n, x n, x n y n e para quaisquer Muitas vezes, é possível encontrar subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais em V, sendo estes chamados de subespaços vetoriais de V. Definição : Seja V um espaço vetorial sobre um corpo Κ. Um subconjunto W de V é um subespaço vetorial de V, se a restrição das operações de V a W torna esse conjunto um Κ - espaço vetorial, sendo elas: i) 0 W ; ii) Se v,v W então v + v W ; e iii) Se λ Κ e v W então λ v W. Como exemplos de subespaços de vetor nulo { 0 }, as retas que passam pela origem, e o próprio 3 subespaços triviais ({ 0 } e ) em 3 IR é também um subespaço vetorial. IR podemos destacar: Espaço constituído pelo IR. Já, em 3 IR, além dos IR e das retas que passam pela origem, cada plano pela origem Uma das características de um espaço vetorial é a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados, como nos mostra a seguinte definição. Definição 3: Sejam V um espaço vetorial real, Então o vetor v, v,..., v v = a v + av a r v r é um elemento de V ao qual chamamos combinação linear de r V e a,..., ar v,...,vr. números reais. Se v v,..., v, r são vetores em um espaço vetorial V, então geralmente alguns vetores de V podem ser combinações lineares de v v,..., v, r enquanto outros vetores não. No entanto, vale ressaltar que ao construirmos um conjunto W em V que consiste de todos os vetores que são combinações lineares de v v,..., v seja, o conjunto W é um subespaço de V., r, estaremos construindo um subespaço para V, ou

21 0 Neste caso dizemos que os vetores v v,..., v { v, v,..., v r } é gerador de W e podemos escrever W [ v, v,..., v r ] Em geral, um conjunto de vetores S { v v,..., } v V é combinação linear dos elementos de S., r geram W ou que o conjunto =. =, v r é conjunto gerador de V se todo Para sabermos se um vetor é combinação linear de outros definimos dependência e independência linear. Definição 4: Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo Κ e v,...,vn V. Dizemos que o conjunto {,..., } v v n é linearmente independente (LI), ou que os vetores,..., vn equação a v anvn = 0 Implica que a = a =... = a 0. No caso em que exista algum 0 n = v são LI, se a a i dizemos que { v,..., } v n é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v são LD.,..., vn Agora, se pudermos encontrar um conjunto finito de vetores que gere o espaço vetorial V e tal que todos os elementos sejam realmente necessários para gerar V, teremos o alicerce de nosso espaço, denominando um conjunto de vetores desse tipo de base. Definição 5: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo Κ. Dizemos que um subconjunto Β de V é uma base de V se: i) Β for um conjunto gerador de V; e ii) Β for linearmente independente. vetorial nulo. Observamos que por convenção torna-se o conjunto vazio como base do espaço Definição 6: Seja V um espaço vetorial sobre Κ. Se V admite uma base finita, então chamamos de dimensão de V ao número de elementos de tal base. Caso contrário dizemos que a dimensão de V é infinita. E denotamos a dimensão de V sobre Κ por dim k V. Definição 7: Seja V um Κ -espaço vetorial, onde Κ = IR ou. Um produto interno sobre V é uma função, :V V Κ que satisfaz as seguintes quatro propriedades:

22 (P) (P) (P3) (P4) u + v, w = u,w + v, w, u,v,w V, λ u, v = λ u, v, λ Κ, u,v V. u, v = v, u, u,v V. u, u > 0, se u 0. Definição 8: Seja V um espaço vetorial sobre Κ com produto interno, e sejam u,v V. Dizemos que u e v são ortogonais se u,v = 0. Um subconjunto Α de V é chamado de ortogonal se os seus elementos são ortogonais dois a dois e dizemos que Α é um conjunto ortonormal se for um conjunto ortogonal e se u =, u Α. Denotamos u v para indicar que os vetores u e v são ortogonais. Seja V um espaço vetorial sobre Κ com produto interno,. Considere { v,,v } V Α = um conjunto linearmente independente. Vamos construir um outro n Α que seja ortogonal e tal que os subespaços gerados por Α e por conjunto = { w,,w } V n Α sejam os mesmos. Esta construção é feita indutivamente como segue w = v. v,w w. = v w w Observe que 0 w (pois {, } v v é LI) e que w w. De fato, w v,w = v w, w,w w = v,w = v,w w,w = 0. w Definidos w,, wk, < k < n, podemos definir w k + como sendo w = v v,w w,w k+ k+ k k+ k+ k w wk v w = k vk+,w j = v k+ w j. j= w j

23 Não é difícil ver que o conjunto { w,, } definido acima é ortogonal e em particular, w n linearmente independente. Observe que, para cada i,,n,w W = [ v,, v ] =. Como dim k W = n, segue que Α = { w,, } é uma base de W, o que mostra a igualdade dos w n subespaços gerados por Α e por Α. i n Teorema : Todo espaço vetorial não nulo de dimensão finita possui base ortonormal. Definição 9: Dados dois vetores W e ( x, y z ) W =,, o produto vetorial de sendo o vetor de componentes W W de componentes ( x, y z ) W = e, W e W, denotado por W W, é definido como W ( y z y z, x z + x z x y x y ) =., O produto vetorial satisfaz as seguintes propriedades: a) W W = W W sen θ, onde θ é o ângulo entre W e W ; b) < W W, W >=< W W, W >= 0 ; c) W W =0, se e só se, W e W são linearmente dependentes; d) W W = - ( W ) ; W e) W ( W + W3 ) = W W + W W3 ; λ ; f) ( W ) W = λ( W ) W, onde W, W e W 3 são vetores e λ é um g) W ( W W3 ) =< W, W3 > W < W, W > W3 número real. De modo geral, o produto vetorial não é associativo, isto é, W ( W W3 ) ( W W ) W3. E assim, finaliza-se a introdução de alguns dos conceitos de Álgebra Linear e Geometria Analítica, essenciais para obtenção dos seguintes resultados.

24 3 3. O DIEDRO DE FRENET Como já se pode observar no capítulo, o estudo de curvas contribuiu de forma muito relevante para o desenvolvimento da Geometria Diferencial. Historicamente, o estudo teórico de curvas e superfícies teve início há mais de dois mil anos, quando geômetras gregos exploraram algumas propriedades particulares de seções cônicas e superfícies de revolução geradas por essas curvas. Com o conceito de curvatura, observou-se que era possível estudar o comportamento de uma curva em cada ponto p. Em particular, em uma vizinhança de p era possível observar a variação dos campos de vetores definidos ao longo da curva. No entanto isso só foi possível graças ao Cálculo Diferencial que oferecia instrumentos para formalizar a chamada Teoria Local das Curvas. Séculos mais tarde, associado ao Cálculo Diferencial e Integral, o conceito de curvas e superfícies recebeu um novo tratamento: enquanto a geometria se interessava em propriedades de figuras na sua totalidade, a inserção do Cálculo fez com que o estudo se concentrasse na análise das propriedades de curvas e superfícies na vizinhança de um ponto pertencente a estas curvas e superfícies. Neste capítulo, será introduzido o conceito de Curva Plana Diferenciável e abordada a construção de um referencial móvel para Curvas Planas Regulares Diferenciáveis, que possibilita estudar as propriedades de uma curva através de um referencial adaptado à própria, ao invés de utilizar um referencial fixo, ou seja, associam-se campos ao longo da curva e estuda-se a variação destes campos ao longo da mesma. Tal referencial é usualmente chamado de Diedro de Frenet. Desta forma, para tal abordagem as principais referências consultadas e utilizadas neste capítulo são [], [3], [8], [9], [0] e []. 3. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS Antes de se tratar das curvas diferenciáveis, é importante aqui ressaltar e relembrar algumas definições consideradas preliminares.

25 4 Definição 9: Uma função f é diferenciável em a se f (a) existir. É diferenciável em um intervalo aberto ( a, b) [ou ( a, ) ou (,a) ou (, ) ] se for diferenciável em cada número do intervalo. Para um melhor entendimento, pode-se observar três possibilidades de quando uma função deixa de ser diferenciável. a) Se o gráfico de uma função tiver uma quina, o gráfico de f não terá uma tangente neste ponto, então f não será diferenciável. b) Se f for descontínua em a, então f não será diferenciável em a. c) Se uma curva tem uma reta tangente vertical em x = a. (Figura ) Figura : Funções não diferenciáveis. Se uma partícula move-se ao longo de uma curva C, não há como descrever C por uma equação do tipo y = f (x), pois C falha no Teste da Reta Vertical. Mas, neste caso as coordenadas x e y da partícula estão em função do tempo t e, assim, pode-se escrever x = f (t) e y = g(t). Esse par de equações é, muitas vezes, uma maneira conveniente de descrever uma curva e faz surgir a definição a seguir. Definição 0: Suponha que x e y sejam ambas dadas como funções de uma terceira variável t (denominada parâmetro) pelas equações paramétricas. x = f (t) e y = g( t ) Uma função é contínua em um número a se lim f ( x) = f ( a) f (a) quando x aproxima-se de a. x a, ou seja, f é contínua em a se f (x) tender a

26 5 Cada valor de t determina um ponto x = f (t) e y = g(t) e quando t varia, os pontos ( x, y ) = ( f ( t ),g( t )) traçam a curva C, que chamamos curva paramétrica. O parâmetro t não representa o tempo necessariamente e, de fato, pode-se usar outra letra em vez de t para o parâmetro. Porém, em muitas aplicações das curvas paramétricas, t denota tempo e, portanto, pode-se interpretar ( x, y) = ( f ( t), g( t)) como a posição de uma partícula no tempo t. 3. CURVAS PLANAS DIFERENCIÁVEIS Pode-se definir uma curva parametrizada diferenciável, porém é interessante deixar bem claro ao leitor a diferença dos conceitos de uma curva e uma curva parametrizada. Curva é um conjunto de pontos e curva parametrizada é uma função, de forma mais sistematizada, pode-se dizer que uma curva é localmente a imagem de uma curva parametrizada. As parametrizações, em geral, servem para introduzir uma estrutura diferencial sobre a curva, permitindo a definição de conceitos e o desenvolvimento de cálculos analíticos, como velocidade, comprimento de arco, curvatura, torção e integrais curvilíneas. Definição : Uma curva parametrizada diferençável do plano é uma aplicação diferenciável α de Classe C, de um intervalo aberto I IR em IR. A variável t I é dita parâmetro da curva e o subconjunto de curva. IR dos pontos (t), α t I é chamado traço da Para visualizar as idéias, tome a título de exemplos as aplicações: Exemplo : Seja α ( t ) = ( x0 + at, y0+ bt), t IR, onde a + b 0, é uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é uma linha reta passando pelo ponto x, ) paralela ao vetor de coordenadas ( a, b). Figura ( y 0 0

27 6 Figura : curva parametrizada diferenciável α ( t ) = ( x0 + at, y0+ bt), Exemplo : A curva parametrizada diferenciável [ cos t( cos( t ) ),sent( cos( t ) ) ] α ( t ) =, t IR tem o seguinte traço: Figura 3 Figura 3: curva parametrizada diferenciável [ cost( cos( t) ), sent( cos( ) ) ] α ( t) = t 3.3 COMPRIMENTO DE ARCO Muitas vezes, definida uma curva, ela pode apresentar várias parametrizações. No entanto, de todas estas parametrizações, existe uma que a expressa de forma mais simples em função do comprimento de arco. Definição : Uma curva parametrizada diferenciável γ ( t) 0. γ : I IR é dita regular se t I,

28 7 Definição 3: Dizemos que uma função F n m : A IR IR é diferenciável de classe k C, k ( C ) se as derivadas parciais de F até ordem k (resp. de todas as orden existem e são contínuas. Seja γ : I IR uma curva regular e fixemos t 0 e t do intervalo I. Subdividindo o intervalo [ t, t 0 ] pelos pontos t 0 = a0< a<... < an = t e ligando retilineamente os pontos γ a ), γ ( a ),..., γ ( ), obtemos uma linha poligonal chamada poligonal inscrita à curva entre ( 0 an ( γ ( t 0 ) e γ t ). Figura 4 Figura 4: Curva regular γ : I IR, subdividida no intervalo [, t 0 ] t. Esta poligonal tem um comprimento determinado. Consideremos agora todas as poligonais inscritas à curva entre γ t ) e γ t ). Como γ é uma curva regular (na realidade é ( 0 ( suficiente que a derivada de ª ordem da função γ exista e seja contínua), existe o limite superior do conjunto dos comprimentos dessas linhas poligonais, e é igual γ (t) dt que é chamado comprimento de arco da curva γ de t 0 a t. t A aplicação s ( t) = γ ( t) dt é denominada função comprimento de arco da curva γ a partir de t 0. Esta função é diferenciável de classe t 0 t t0 C, pois γ é uma curva regular. Definição 4: Uma curva regular γ : I IR é dita parametrizada pelo comprimento de arco, se para cada t0,t I, t0 t o comprimento do arco da curva γ de t a 0 t é igual a t. Isto é, t 0 t γ ( t )dt = t t. 0 t0

29 8 Proposição : Uma curva regular γ : I IR está parametrizada pelo comprimento de arco, se e só se, t I, γ ( t ) =. 3.4 CAMPOS DE VETORES AO LONGO DE UMA CURVA Dada uma curva plana diferenciável regular, parametrizada por comprimento de arco, γ : I IR, s γ ( s I, dada por γ ( s ) = ( x( s ), y( s )), defina t ( s ) = ( x ( s ), y ( s )), para todo. Observa-se que deste modo, esta sendo definido um campo de vetores tangente ao longo da curva. Além disso, como γ é parametrizada por comprimento de arco, tem-se t ( =, ou seja, t é um campo tangente unitário. A partir deste campo é interessante definir um campo de vetores que seja ortogonal a ele. Sendo assim, defini-se o campo normal unitário como n ( s ) = ( y ( s ),x ( s )). Quanto à definição de tais campos (tangente e normal) pode-se ressaltar que a opção por um campo de vetores unitário se dá pelo motivo de que seu objetivo é unicamente apontar, ou melhor, especificar uma direção e sentido. Mas ainda, vetores unitários são de modo geral úteis para expressar outros vetores em função destes, por meio de equações vetoriais. Com isso, para todo s I, tem-se um referencial ortonormal 3 t ( s ),n( s ), o qual é conhecido como referencial de Frenet da curva γ em s. No caso particular das curvas planas tal referencial é conhecido como Diedro de Frenet. Figura 5 Figura 5: Diedro de Frenet 3 Referencial ortonormal: Uma base formada por vetores unitários, e dois a dois ortogonais.

30 9 Algumas propriedades geométricas interessantes são obtidas por meio da variação destes campos ao longo da curva. Esta variação a qual se refere, é representada pela derivada destes campos e o mais interessante é que estas derivadas são descritas em função do próprio referencial t, n. Estas relações são expressas pelas chamadas Equações de Frenet que serão apresentadas no próximo capítulo.

31 30 4. CURVATURA E EQUAÇÕES DE FRENET Com o referencial móvel adaptado à curva já definido no capítulo anterior, pode-se agora, estudar sua variação ao longo da curva. Assim, neste capítulo serão definidos os conceitos para tal estudo. As principais referências utilizadas foram [], [3], [6] e []. A noção intuitiva de curvatura é a de uma medida que indique o quanto uma curva deixa de ser uma reta. Nesse sentido, quanto mais fechada a curva, maior será a curvatura e quando a curva for uma reta, sua curvatura será nula. Figura 6 Figura 6: Curvatura de uma curva Para aqui definir a curvatura, considera-se que os campos de vetores definidos no capítulo anterior são diferenciáveis a idéia agora é estudar as variações de t e n ao longo de d t γ, isto é, ds d n e. Por conta de não carregar a notação no texto, optou-se por representar ds d t ds d n e por t ( e n (, respectivamente. ds Decompondo t ( e n ( no referencial t ( s ),n( s ), visto que esse referencial é uma base para o Espaço Vetorial IR, obtem-se: Onde definimos: t ( = w n ( = w (. t ( + w (. t ( + w (. n( (. n(, ( ) = t t, w, = t n, w, = n t, w, = n n. w, d Observemos que t (, t ( =, pois t =, e consequentemente t (, t ( = 0. ds

32 3 Por outro lado, resulta da regra do produto (de derivação) que: d ds t (, t ( = t, t + t, t 0 = t, t + t, t = t, t = - t, t = t, t = 0 = 0. w De modo análogo, também conclui-se que w = 0. Além disso, n (, t ( = 0 s I e assim, d ds n(, t ( = 0 n, t = - t, n, ou seja, ( = w (, s I. w Observe que ( ) pode ser escrito numa forma matricial, como segue: t ( W = n ( W ( W ( W t ( 0 W = n ( W ( 0 t ( = W ( n( n ( = W ( t( ( t( ( n( ( t( n( Definição 3: A curvatura (com sinal) de γ em s é dada por: w( s ) k( s ) = γ ( s ) Geometricamente, a curvatura k( indica a taxa de variação instantânea da direção do vetor tangente no ponto γ (. Definição 4: Em particular, se γ é parametrizada por comprimento de arco, então temos: t ( = k(. n( n ( = k(. t ( Que são definidas como Equações de Frenet.

33 3 Observe que da primeira equação resulta que: t ( = k( n( α ( = k( α ( s ) = k( A fim de empregar, bem como visualizar os resultados obtidos até este ponto desse capítulo, segue o seguinte exemplo. Exemplo 3: Considere a curva s s α ( s ) = ( a + b cos, c + b sen ), s IR, b > 0, b b Cujo traço é uma circunferência de centro ( a, c) e raio b. Figura 7 Neste caso: s s t( = ( sen,cos ), b b s s n( = ( cos, sen ). Segue-se que b b k =< t (, n( >= b (. Figura 7: curva s s α ( s ) = ( a + b cos, c + b sen ) b b A parir de agora, na busca de apresentar uma aplicação para as Equações de Frenet e sendo isto possível devido todos os conceitos importantes para tal já terem sidos apresentados, a seguir será iniciada a caracterização de uma curva por meio de sua curvatura e torção, apresentando uma caracterização para que o traço de uma curva esteja contido em uma circunferência.

34 33 4. CARACTERIZAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA POR MEIO DA CURVATURA E TORÇÃO Como aplicação das equações de Frenet, será apresentada como uma circunferência pode ser caracterizada por meio destas equações. Para caracterizar uma circunferência, é necessário de alguns conceitos que são tratados em curvas espaciais e por isso, estes serão aqui definidos. 3 Definição: Seja α : I R uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco tal que k ( > 0. O vetor binormal a α em s é b ( = t( n(. O referencial ortonormal t(, n(, b( é o triedro de frenet da curva α em s. Definição: Cada par de vetores do triedro de frenet determina um plano. O plano de 3 R que contém α ( e é normal ao vetor t( é o plano normal à curva α em s. O plano que contém α ( e é normal a b ( é denominado plano osculador e o plano que contém α ( e é normal a n( é o plano retificante da curva α em s. Figura 8. Figura 8: Plano Gerador do triedro de Frenet Definição: O número real τ ( definido por b ( = τ ( n(, é denominado torção da curva em s. Em particular, as Equações de Frenet para o Triedro são:

35 34 t ( = k( n( n ( = k( t( τ ( b( b ( = τ ( n( ( ) Teorema Fundamental das Curvas a) Dadas duas funções diferenciáveis k ( > 0 e τ (, s I IR α ( parametrizada pelo comprimento de arco, tal que ( torção de α em s. b) A curva α ( é única se fixarmos α ( s = p IR α α ( s 0 ) = v, ( s0 ) = k( s0 ) v, onde 0 ) 0 v e v são ortornomais de 3, existe uma curva regular k é a curvatura e ( 3 IR. τ é a c) Se duas curvas α (s ) e β (s ) têm a mesma curvatura e torção (a menos de sinal) então α e β são congruentes. A grosso modo, esta afirmação (Teorema Fundamental das Curva, mostra que o comportamento local de uma curva pode ser descrito completamente por k e τ. 3 Lema: Seja α : I R uma curva regular de curvatura não nula. Se α é uma curva plana, então o plano osculador de α independe do parâmetro e é o plano que contém o traço de α. Demonstração: Podemos supor α ( parametrizada pelo comprimento de arco. Como α é uma curva plana, existe um plano de 3 R que contém α (I). Seja v um vetor não nulo ortogonal a este plano. Provaremos que v é paralelo a b (, s I. Fixando s 0 I, temos que < ( α( s0 ), v >= 0 Ao derivarmos ( 3 ), obtemos: α ( ) ( α ( v) ( α( s0 ) v) = 0 3, s I. v α v + α( v [ α ( s ) v + α( s ) ] 0 ( 0 0 = α ( v = 0 < t (, v >= 0 s I.

36 35 Derivando ( 3 ) pela segunda vez, resulta que α ( v + α ( v = 0 < α (, v >= 0 Como α ( s ) = t (, podemos escrever < t (, v >= 0, ou seja k ( < n(, v >= 0. Por hipótese, k ( 0 e assim < n (, v >= 0. Deste modo, mostramos que v é ortogonal a t( e n(. Logo, v deve ser paralelo a b( independe do parâmetro e é o plano que contém α (I). s I e concluímos que o plano osculador de α Deste lema, temos como conseqüência a seguinte proposição. Proposição: Seja curva plana, se e somente se, τ 0. 3 α : I R uma curva regular de curvatura não nula. Então α é uma Demonstração: ( ) Consideremos α parametrizada pelo comprimento de arco. Se α é uma curva plana, então pelo lema anterior b( é constante, portanto b ( = 0 s I. Donde concluímos que τ ( =< b (, n( >= 0, s I. ( ) Reciprocamente se τ = 0, s I, então b ( = 0, ou seja, b ( é constante s I. Ao fixarmos s 0 I e denotarmos b ( por b, definimos a seguinte função f =< α ( α( s ), b > ( 0 Queremos mostrar que f ( = 0 s I, pois assim concluiremos que α é plana. De fato, inicialmente temos que f ( é constante, pois f = ) ( α ( α( s )) b + ( α( ( s ) b ( 0 α 0 f α α α ) = ( ( ( s )) b + ( ( ( s ) b ( 0 α 0 f = α ( b α ( s ) b + α( b ( s ) b ( 0 α 0 f ( = α ( b f ( =< t(, b >= 0. Portanto f ( é constante. Como f ( s 0 ) = 0, resulta que f ( = 0, s I, como queríamos.

37 36 3 Proposição: Seja α : I R uma curva regular. Então o traço de α está contido em uma circunferência de raio a > 0, se e somente se, τ 0 e Demonstração: ( ) k. a Podemos considerar α ( parametrizada pelo comprimento de arco. Suponhamos que α está contido em uma circunferência de raio a e centro c. Assim, α ( s ) c = a e pela proposição anterior, já temos que 0 τ s I. Além disso, < α ( c, b >= 0, s I. Agora, derivando a expressão α ( s ) c = a, obtemos: d ds α < α ( c, α( c >= 0 α ( ( c) ( ( c) + ( ( c) ( ( c) = 0 ( ( ( c) + ( ( c) ( ) = 0 α α α α α s α Derivando mais uma vez, temos que: ou de modo equivalente, Disso segue que: α ( ( ( c) = 0 < α (, α( c >= 0 ( α ( c) + α ( α ( ) 0 α ( s = < α (, α( c > + = 0 < α (, α( c >=, α ( α( c = α ( a = α k( = a ( ) Consideremos a aplicação diferenciável f ( = α ( + a n( 3 f : I R definida por: Observemos que f ( = α ( + a n ( Queremos provar que f ( é constante. Da equação ( ), resulta que ( k( t( τ ( b( )) f ( = α ( + a s

38 37 Como τ = 0 e k( =, s I, segue que a Ou seja, f é constante e suponha f ( = α ( + a t ( s ) a f ( = α ( t( f ( = 0, f ( = c. Assim, pela definição de f, obtemos α ( s ) + a n( = c α ( c = a n( α ( c = a n( α ( s ) c = a Ou seja, o traço de α está contido em uma circunferência de centro c.

39 38 5. CONCLUSÃO Mesmo abordando a disciplina que envolve o tema proposto de forma introdutória, este trabalho está rico em conhecimentos, pois buscamos e o embasamos com conceitos importantíssimos já vistos na graduação e a partir destes estruturamos um trabalho de forma detalhada em outros conceitos, possibilitando assim, qualquer acadêmico de matemática que nunca estudou a disciplina de Geometria Diferencial conhecer e entender sua idéia, pois além de conceitos matemáticos, apresentamos ainda um resumo histórico contando desde seu surgimento, as dificuldades encontradas e alguns dos matemáticos envolvidos para que a mesma se desenvolvesse. Por fim, concluímos que a partir de um referencial móvel adaptado a uma curva parametrizada diferenciável é possível estudar suas propriedades geométricas. Em particular, as Equações de Frenet nos permitem determinar a curvatura e a torção em todo ponto de uma curva regular. Mais que isso, dadas as funções curvatura e torção é possível caracterizar a curva relacionada a estas funções. Em nosso caso especificamente, obtemos a caracterização da circunferência de raio a e centro c em função da curvatura e torção.

40 39 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] BOLDRINI, J.L. et al. Álgebra Linear: 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 980. [] CARMO, Manfredo Perdigão do. Differential Geometry of Curves and surface: Prentice-Hall, New Jersey, 976. [3]. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies: 3. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 008. [4]. Pesquisa em Geometria Diferencial no Brasil. Matemática Universitária, Rio de Janeiro, n. 6/7, p. -7, jun/dez [5] COELHO, Flávio Ulhoa; LOURENÇO, Mary Lilian. Um Curso de Álgebra Linear: São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 00. [6] COIMBRA, José de Ribamar Viana. Uma Introdução à Geometria Diferencial f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 008. Disponível em: Acesso em: 6 jul [7] COUTINHO, Lázaro. Convite às geometrias não-euclidiana:. ed. Rio de janeiro: Interciência, 00. [8] FASSARELLA, Lúcio. Curvas no Espaço Euclidiano: [S.I] Disponível em: Acesso em: 05 fev [9] GORODSKI, Cláudio. Alguns aspectos do desenvolvimento da geometria: [São Paulo], 00. Disponível em: Acesso em: 3 mar. 008.