Métodos de Pontos Interiores Aplicados ao Problema de Pré-Despacho com Simulação de Manobras Programadas

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1 Métodos de Pontos Interiores Aplicados ao Problema de Pré-Despacho com Simulação de Manobras Programadas Silvia Maria Simões de Carvalho FEEC - UNICAMP Av. James Maxwell 30 Cidade Universitária Campinas-SP Brasil silvia@densis.fee.unicamp.br Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira IMECC - UNICAMP Rua Sérgio Buarque de Holanda, Campinas, SP, Brasil aurelio@ime.unicamp.br Christiano Lyra FEEC - UNICAMP Av. James Maxwell 30 Cidade Universitária Campinas-SP Brasil christi@densis.fee.unicamp.br Resumo Neste trabalho os métodos de pontos interiores primal-dual são utilizados para minimizar os custos e perdas na geração e transmissão do pré-despacho de fluxo de potência com corrente contínua (DC) em um sistema hidroelétrico com manobras previamente programadas. É realizado também o estudo da estrutura matricial desse problema e a alteração que ela impõe ao sistema. É também proposto uma nova forma de simulação de manobras, através da redução dos limites dos fluxos nas linhas. A nova alternativa é comparada com a versão que considera manobras de forma explícita. Palavras-chave. Pontos Interiores, Pré-Despacho, Sistemas Hidroelétricos. Área principal - EE - Energia Elétrica Abstract In this work, the prima-dual interior point methods are used to minimize the DC predispatch generation and transmission costs and loss on hydroeletric DC power systems with previously scheduled maneuvering. A matrix structure study is also performed considering the changes that occurs in the system. It will also be performed a simulation of maneuvers through transmission lines bound reduction. The new alternative is compared with the explicit version. Keywords. Interior Point Methods, Predispatch, Hydroelectric Systems. Main area - EE - Electrical Energy 45

2 1 Introdução O objetivo deste trabalho consiste em minimizar as perdas na geração e transmissão do prédespacho de sistemas de potência com manobras programadas nas linhas de transmissão, utilizando o método de pontos interiores. Adota-se um modelo de fluxo de carga DC (corrente contínua). Considerando a complexidade do sistema elétrico brasileiro, o aumento da demanda de energia e a busca de menores custos torna necessário a aplicação de métodos que minimizem as perdas em todas as etapas de geração e transmissão, incluindo o pré-despacho do sistema. No pré-despacho de sistemas hidroelétricos, as usinas têm uma meta a cumprir em um determinado dia, estabelecida pelo planejamento de longo-prazo. Por outro lado, com a variação da demanda em função do horário é necessário a realização de manobras programadas nas linhas de transmissão para manter o sistema estável, alterando assim a configuração da rede ao longo do dia. Neste trabalho, as manobras serão um dado de entrada. No caso brasileiro elas são determinadas pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS). É importante salientar que existem outros tipos de manobras, tais como desligamento de geradores e alteração tap de transformadores que não serão consideradas neste trabalho. Além disso, utilizando a velocidade e robustez dos métodos de pontos interiores [Momoh et al., 1999, Quintana et al., 000], deseja-se obter implementações mais eficientes para o pré-despacho através da exploração da estrutura matricial do sistema resultante. Será realizada também uma simulação de retirada de linhas através de modificações de fluxos e sua comparação com a versão que considera manobras de forma explícita. O Problema de Pré-Despacho O pré-despacho é um problema operacional de curto-prazo que considera horizontes de planejamento de uma semana, ou até de um dia. O que se procura é atender a demanda e satisfazer as metas energéticas definidas no planejamento de longo-prazo. As perdas de energia na transmissão caracterizam um critério de desempenho [Carvalho et al., 1988] ser minimizado. As restrições de fluxo de energia na rede podem ser divididas em blocos que se repetem a cada intervalo de tempo, representando o sistema elétrico nestes intervalos, assim temos uma formulação independente das leis de Kirchhoff, onde os fluxos de potência são representados permitindo a consideração direta dos limites de transmissão como restrições. Assim, um problema de pré-despacho sem manobras pode ser modelado da seguinte forma [Oliveira et al., 005]: min α t [(f k ) T R k f k ] + β t [(p k ) T Q k p k + c T p k ] s.a Af k Ep k = d k Xf k = 0 f min f k f max p min p k p max t p k = q k = 1,...,t k = 1,...,t k = 1,...,t k = 1,...,t (1) 46

3 onde f representa o fluxo de potência ativa; p representa a geração de potência ativa; Q representa a componente quadrática do custo de geração; R representa a matriz diagonal de resistência das linhas; d representa a demanda de potência ativa; X representa a matriz de reatância das linhas; E representa a matriz de ordem m g com cada coluna contendo exatamente um elemento igual a 1 e os demais elementos nulos; A representa a matriz de incidência da rede de transmissão; c representa a componente linear do custo de geração; f max,f min,p max e p min são os limites de fluxo e geração de potência ativa; α e β são ponderações dos objetivos a minimizar. onde q representa a meta de geração de energia estabelecida pelo planejamento a longoprazo. Ao considerarmos manobras de linhas, as matrizes A, X e E variam de acordo com os intervalos de tempo k (A k X k e E k ) pois a rede não é mais constante ao longo desses t-intervalos. Acrescentando variáveis de folga e tornando os limites inferiores nulos através de mudanças de variáveis, obtemos a seguinte formulação do problema de pré-despacho com manobras programadas na forma padrão: min α t [( f k ) T R f k + c T f f k ] + β t [( p k ) T Q( p k ) T + c T p pk ] s.a B k f k Êk p k = d k, k = 1,...,t f k + s k f = f max, k = 1,...,t p k + s p = p max, t p k = q, ( f k,s k f, p k,s k p ) 0 k = 1,...,t () onde B k = [ A k X k ] 47

4 e a matriz Êk é obtida de E k acrescida de um bloco de zeros. O dual deste problema pode ser escrito como: max t [( d k ) T y k f ( f max ) T w k f ( p max ) T w k p α ( f k ) T R f k β ( pk ) T Q p k ] + ( q) T y a s.a B T y k f w k f R f k + z k f = c f ÊT y k f w k p + y a Q p k + z = k p c p (z k f,w k f,z k p,wk p ) 0, yk f, y a livre. k = 1,...,t k = 1,...,t (3) Aplicando o método de Newton às condições de otimalidade dos problemas primal e dual, obtém-se o seguinte sistema linear: B k d f k Êk d p k = r 1 d f k + ds k f = r f d p k + ds k p = r p (B k ) T dy k f dw k f Rd f k + dz k f = r y (Êk ) T dy k f dw k p + dy a Qd p k + dz k p = r g F k dz k f + Z k fd f k = r zf S k fdw k f + W fds k f = r wf P k dz k p + Zk p d pk = r zp (4) S k p dwk p + W k p dsk p = r wp t d p k = r m. fazendo diversas eliminações de variáveis temos: onde t t [(D k p ) 1 S k p ]dy a = r m + (D k p ) 1 [r b + (Êk ) T (M k ) 1 r] (5) S k p = (Dk p ) 1(Êk ) T (M k ) 1Êk (D k p ) 1. A solução direta do sistema linear (5) exige muito esforço computacional, pois os blocos M k = B k (D k f) 1 (B k ) T + D k têm a dimensão do número de linhas e dy a tem dimensão do número de geradores. Uma resolução mais eficiente, inspirada em [Oliveira et al., 005], será desenvolvida para o problema com manobras. 3 Manobras Programadas As manobras são realizadas na tentativa de adaptar rede de transmissão à variação da carga (variação da demanda de energia) ao longo do dia. Na maior parte dos intervalos de tempo não são realizadas manobras no sistema brasileiro (ONS), fazendo com que a rede de transmissão raramente se altere de um intervalo para outro (normalmente são realizadas de quatro a seis manobras por dia). As demandas de carga são divididas em demanda leve, média e pesada. 48

5 3.1 Estudo da Estrutura Matricial Para o Problema Com Manobras Estamos supondo que no presente sistema ocorram i manobras previamente programadas ao longo de t intervalos de tempo, onde cada intervalo de tempo corresponde ao período de 1 ou 1/ hora. Normalmente ocorrem poucas manobras no sistema brasileiro com valor típico variando de zero a seis. A matriz B, formada pelas linhas justapostas da matriz de incidência e reatância, é modificada cada vez que uma manobra é realizada (uma linha e uma coluna da matriz B são retiradas ou inseridas). No caso de existir mais de uma manobra no mesmo intervalo de tempo, mais linhas e colunas da matriz B são retiradas (ou inseridas). Como a dimensão da matriz B pode se modificar a cada manobra, devemos ajustar o sistema a essas alterações para a realização dos produtos e somatórios com B; as dimensões de algumas matrizes envolvidas no sistema também devem se alterar. O objetivo inicial é resolver o sistema (5), mas para isso percebemos que seria necessário muito esforço computacional, pois na primeira equação temos a matriz M k : M k = B k (D k f) 1 (B k ) T + D k, cuja dimensão corresponde ao número de linhas no instante t, enquanto que o vetor dy a, tem dimensão do número de geradores. Uma resolução mais eficiente segue os seguintes passos [Oliveira et al., 005]: Passo 1) Considere uma matriz B k, constituída da matriz B k e do vetor canônico e j, B k = [B k e j ]; note que esta matriz é quadrada e não-singular. Passo ) À matriz (Dk f) 1 é acrescentada uma linha e uma coluna para ajustar sua dimensão para a multiplicação com as matrizes B k. Passo 3) Já na matriz D k, retira-se a j-ésima linha e j-ésima coluna, com j entre 1, e m, correspondendo a um gerador, ou seja estamos retirando uma barra de geração da matriz. Sua dimensão não é alterada, somente na j-ésima linha e coluna retiradas é introduzido um zero. A matriz M k passa a ser denominada M k e reescrita como M k = B k ( D f) 1 ( B k ) T + D k, tendo dimensão (n + 1) (n + 1), e o vetor do lado direito é atualizado de acordo: r k = r 1 + B k ( D f)r a Ẽk ( D p ) 1 r b. Passo 4) Definimos esse sistema será resolvido em duas etapas [Carvalho, 005]: [ B k ( D f) 1 ( B k ) T + D k ]dŷ k f = r k (6) 1. Resolveremos primeiro o seguinte sistema linear [ B k D k f( B k ) T ]dŷ k f = r k = 1,,...,t assim as inversas de B k e ( B k ) T deverão ser calculadas, mas é importante salientar que estamos supondo que em t intervalos de tempo, ocorrem i-manobras programadas, ou 49

6 seja, as matrizes B k e ( B k ) T variam ao longo do intervalo, em função desse número de manobras. Assim, para resolver (6), temos que dŷ é encontrado sem dificuldades, utilizando por exemplo a fatoração LU de B k, que não varia ao longo das iterações, pois B depende somente dos dados físicos do sistema de transmissão. De forma algébrica, escrevemos: dŷ = [ B k D k f( B k ) T ] 1 r.. A fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury [Duff et al., 1986] é utilizada para resolver o sistema linear (6) que envolve a matriz M k : Logo M k é escrito como: (C + USV T ) 1 = C 1 C 1 U(S 1 + V T C 1 U) 1 V T C 1. [ B k D k f( B k ) T + D k ] 1 = [ B k D k f( B k ) T ] 1 [ B k D k f( B k ) T ] 1Êk Z 1 (Êk ) T [ B k D k f( B k ) T ] 1. Multiplicando a equação de Sherman-Morrison-Woodbury [Duff et al., 1986] já aplicada nesse problema por r k, temos: dŷ k f = dŷ ([B k ] 1 ) T ( f k ) 1 ( B k ) 1Êk Z 1 (Êk ) T dŷ k f. Observe que as matrizes B k = L k U k, podem ser decompostas antes do processo iterativo [Golub and Van Loan, 1996], assim como B, no caso do problema sem manobras [Oliveira et al., 005]. 3. Detalhes de Implementação Para desenvolver os métodos de pontos interiores para um sistema com manobras a rede deve ser adaptada. A cada manobra realizada, deve-se inserir (ou retirar) uma linha e coluna da matriz B. De acordo com [Oliveira and Soares, 003] uma árvore geradora representada pela matriz T é calculada, contendo linhas não manobradas (T não deve ser modificada). Ou seja, só podem ser ligados (desligados) os ramos pertencentes à matriz N, formada pelos ramos adicionais da árvore geradora. Este procedimento facilita a implementação e proporciona uma maior eficiência computacional [Carvalho, 007]. Também são realizados experimentos simulando as manobras através do controle do limite de fluxos das linhas de transmissão. Para simular uma manobra, deixa-se os limites da linha correspondente ao ramo manobrado próximo de zero nas horas em que ele for desligado. Fazendo assim, para a simulação da inserção (retirada) de uma linha de transmissão a rede permanece constante em todo o horizonte de tempo. Portanto, a matriz B não tem sua dimensão modificada como no caso discutido anteriormente. A implementação computacional desenvolvida em [Oliveira et al., 005] é utilizada nessas simulações. Nesses experimentos, definem-se três tipos de manobras: manobras de reparo, que são realizadas a qualquer hora do dia, com data definida para ligar/desligar, as manobras de controle que normalmente são realizadas no período de menor demanda de energia, normalmente nas madrugadas (período de 1 às 6 da manhã) e as manobras mistas, utilizada na maior parte dos testes, que consiste na combinação das duas manobras anteriores. 430

7 4 Resultados Computacionais A redes nas quais os testes foram realizados são os sistemas IEEE30, IEEE118 e o sistema Sul- Sudeste-Centro-Oeste com 1654 barras (SSECO1654). Nos experimentos computacionais foi utilizado o método de pontos interiores primal-dual e realizados testes com um número variável de manobras e com algumas alterações no fluxo máximo de potência ativa. Os experimentos foram realizados em um computador com processador Intel Dual Core, GB de RAM e velocidade.4ghz. Utilizamos o ponto inicial caracterizado a seguir, proposto em [Oliveira et al., 003]: f 0 = fmax, q 0 = qmax y1 0 = y0 = y0 3 = y0 4 = 0, z1 0 = w0 1 = (R + I)e z 0 = w0 = e, z3 0 = w0 3 = e. 4.1 Comparação entre as Manobras Explícitas e Simuladas Tempo (seg) Iterações Manobras Reparo Controle Mista Reparo Controle Mista não converge não converge não converge não converge não converge não converge 6 Tabela 1: Sistema IEEE30 Simulado. Manobras Mistas Tempo(seg) Iterações Tabela : Sistema IEEE30 Manobras Explícitas. 431

8 Tempo (seg) Iterações Manobras Reparo Controle Mista Reparo Controle Mista Tabela 3: Sistema IEEE118 Simulado. Manobras Mistas Tempo(seg) Iterações Tabela 4: Sistema IEEE118 Manobras Explícitas. Manobras Mistas Tempo(seg) Iterações Tabela 5: Sistema SSECO1654 Simulado. 43

9 Manobras Mistas Tempo(seg) Iterações Tabela 6: Sistema SSECO1654 Manobras Explícitas. Para o caso com manobras explícitas (representadas pela alteração nas matrizes), não considerouse separadamente as manobras de reparo e de controle, porque as situações interessantes e mais próximas do problema real ocorrem no caso misto. Na versão com simulação de manobras (por modificação nos fluxos), observa-se que o número de iterações do caso misto é maior para qualquer quantidade de manobras em relação a situação de manobras simples. Já na versão com manobras explícitas, ou seja quando a topologia da rede é modificada, vê-se somente um pequeno aumento no tempo computacional, que é afetado não somente pelo número de manobras, mas também pelos ramos manobrados. A simulação de manobras por modificações nos fluxos se mostra mais eficiente somente para o sistema SSECO1654, para no máximo duas manobras. De uma forma geral, a versão explícita se mostra muito superior à simulada, tanto com respeito ao número de iterações como em relação ao tempo de processamento. 4. Efeito das Manobras na Geração de Energia O gráfico para o sistema IEEE30 sem manobras, fica como mostrado na figura Output [MW] Time Interval Figura 1: Geração Sem Manobras IEEE30. Fazendo-se manobras, como por exemplo, desligando uma ramo às 10 horas e religando-o as 18 horas, obtemos o seguinte resultado: 433

10 Output [MW] Time Interval Figura : Geração com Duas Manobras Representadas de forma Explícita IEEE30. No gráfico apresentado na figura um ramo ficou desligado por um longo período. Este ramo é a única ligação entre um dos geradores e o restante da rede; para amenizar esse efeito, todos os outros geradores foram forçados a produzir mais energia no período em que o ramo ficou desligado, atendendo a demanda do sistema. Não é interessante fazer muitas manobras no sistema, pois isso causa diversas perturbações, por exemplo, na figura 3 foram realizadas 6 manobras. Neste caso, um segundo gerador ficou isolado do resto do sistema no período das 15 às 17 horas Output [MW] Time Interval Figura 3: Geração com Seis Manobras Explícitas IEEE30. 5 Conclusões Este trabalho apresentou uma abordagem por métodos de pontos interiores para resolver o problema de pré-despacho incluindo a realização de manobras nas linhas de transmissão. Do ponto de vista computacional, o esforço para se resolver um problema de uma rede com manobras representadas de forma explícitas ou simuladas através de modificações de fluxos é semelhante, pois a matriz B com manobras terá sua dimensão ligeiramente modificada, mas o número de sistemas lineares para resolver continuará sendo o mesmo. 434

11 Como o número de manobras é pequeno e as manobras são conhecidas a priori, as matrizes B k podem ser decompostas antes da aplicação dos métodos de pontos interiores, da mesma forma que no problema sem manobras. Já na comparação da versão com manobras explícitas com a de simulação por modificações de fluxos, onde tem-se a vantagem da rede ser fixa em todos os intervalos de tempo, verifica-se que na abordagem com manobras explícitas as iterações e o tempo computacional para as simulações são bem maiores. Isso se deve ao fato de que quando se realiza manobras, os geradores tem que se adaptar para atender a demanda e, no caso da simulação, as perturbações são mais drásticas pois os limites das linhas de transmissão desligadas se tornam muito pequenos, causando problemas de convergência para o método. Agradecimentos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP; Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq; Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES. Referências [Carvalho, 005] Carvalho, L. M. R. (005). Métodos de Pontos Interiores Aplicados Pré- Despacho de um Sistema Hidroelétrico Usando o Princípio de Mínimo Esforço Comparação com o Modelo de Fluxo em Redes. PhD thesis, ICMC USP, São Carlos SP. [Carvalho et al., 1988] Carvalho, M. F., Soares, S., and Ohishi, T. (1988). Optimal active power dispatch by network flow approach. IEEE Transactions on Power Systems, 3(3): [Carvalho, 007] Carvalho, S. M. S. (007). Métodos de pontos interiores aplicados ao problema de pré-despacho de um sistema hidroelétrico com manobras programadas. Technical report, IMECC UNICAMP. Dissertação de Mestrado. [Duff et al., 1986] Duff, I. S., Erisman, A. M., and Reid, J. K. (1986). Direct Methods for Sparse Matrices. Clarendon Press, Oxford. [Golub and Van Loan, 1996] Golub, G. H. and Van Loan, C. F. (1996). Matrix Computations Third Edition. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland. [Momoh et al., 1999] Momoh, J. A., El-Hawary, M. E., and Adapa, R. (1999). A review of selected optimal power flow literature to 1993, part II Newton, linear programming and interior point methods. IEEE Transactions on Power Systems, 14(1): [Oliveira and Soares, 003] Oliveira, A. R. L. and Soares, S. (003). Métodos de pontos interiores para problema de fluxo de potência ótimo DC. SBA: Controle & Automação, 14(3): [Oliveira et al., 003] Oliveira, A. R. L., Soares, S., and Nepomuceno, L. (003). Optimal active power dispatch combining network flow and interior point approaches. IEEE Transactions on Power Systems, 18(4):

12 [Oliveira et al., 005] Oliveira, A. R. L., Soares, S., and Nepomuceno, L. (005). Short term hydroelectric scheduling combining network flow and interior point approaches. Electrical Power & Energy Systems, 7(): [Quintana et al., 000] Quintana, V. H., Torres, G. L., and Medina-Palomo, J. (000). Interior point methods and their applications to power systems: A classification of publications and software codes. IEEE Transactions on Power Systems, 15(1):