Métodos de Pontos Interiores Aplicados a Manobras Programadas

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1 Métodos de Pontos Interiores Aplicados a Manobras Programadas S.M.S. Carvalho Federal University of São Carlos Sorocaba, SP, Brasil silviamsc@ufscar.br A.R.L. Oliveira University of Campinas, Campinas, SP, Brazil aurelio@ime.unicamp.br C. Lyra University of Campinas, Campinas, SP Brazil chrlyra@densis.fee.unicamp.br Abstract A operação do sistema elétrico visa assegurar o fornecimento e o suprimento de energia elétrica em condições adequadas com um mínimo custo. No entanto, a necessidade de manutenção e reparos de equipamentos e linhas de transmissão presentes no sistema elétrico são constantes e cada vez mais frequentes, logo para toda e qualquer intervenção são necessários estudos na área de operação, para analisar e viabilizar os serviços requeridos. As manobras em um sistema elétrico são necessárias, pois através delas são realizadas manutenções preventivas ou corretivas na rede, assegurando assim a operacionabilidade do sistema. Neste trabalho os métodos de pontos interiores primal-dual são utilizados para minimizar os custos e perdas na geração e transmissão do pré-despacho de fluxo de potência com corrente contínua (DC) em um sistema hidroelétrico com manobras previamente programadas, ou seja, em casos de manutenções preventivas, em um período de vinte e quatro horas. Do ponto de vista computacional, o esforço para se resolver um problema com e sem manobras é semelhante, os motivos pelos quais isso ocorre também serão discutidos nesse trabalho. Resultados computacionais comprovam esta afirmação. Keywords: Pré-despacho; Métodos de Pontos Interiores; Sistema Hidroelétrico. 1 Introdução Em um sistema elétrico sempre se busca o aperfeiçoamento das condições operativas, no entanto para isso deve-se efetuar serviços de manutenção evitando assim curto-circuito e sobrecarga de energia. É recomendado efetuar desligamentos programados quandose faz necessária a manutenção do sistema. Assim o objetivo consiste em garantir o fornecimento de energia elétrica, com poucas interrupções pelo menor tempo possível, mantendo os níveis de qualidade previstos na legislação do setor elétrico.

2 A ocorrência de interrupções programadas ou emergenciais em uma rede de transmissão de energia elétrica obriga a realização de manobras de isolamento e restabelecimento da rede. As operações que definem uma manobra devem obedecer requisitos elétricos e critérios previamente estabelecidos, normatizados por orgãos governamentais ou pela concessionária de distribuição de energia elétrica. Considerando a complexidade dos sistemas elétricos, o aumento da demanda de energia e a busca de menores custos, torna-se necessário a aplicação de métodos que minimizem os custos na geração e as perdas na transmissão do pré-despacho do sistema. No pré-despacho hidroelétrico, as usinas tem uma meta a cumprir em um determinado dia, estabelecida pelo planejamento de longoprazo. Por outro lado, com avariação dademandaem funçãodohorárioénecessário a realização de manobras programadas nas linhas de transmissão ou nas barras de geração para manter o sistema estável, alterando assim a configuração da rede ao longo do dia. Nesse trabalho o pré-despacho será modelado em um período de vinte e quatro horas, representando o despacho em um único dia, e as manobras serão um dado de entrada, ou seja elas já estarão programadas, assim as manobras aqui consideradas serão preventivas. É importante salientar que existem outros tipos de manobras, tais como desligamento de geradores, alteração tap de transformador e ajuste de FACTS, mas estas não serão consideradas nesse trabalho. Além disso, utilizando a velocidade e robustez dos métodos de pontos interiores [2], [3] e [6], deseja-se obter implementações mais eficientes para o pré-despacho através da exploração da estrutura matricial do sistema resultante. 2 O Problema de Pré-Despacho O pré-despacho é um problema operacional de curto-prazo, nesse caso curto-prazo se refere ao planejamento de uma semana ou até de um dia. O que se procura é atender a demanda e satisfazer as metas energéticas, que já foram definidas no planejamento de longo-prazo. As restrições de fluxo podem ser divididas em blocos que se repetem a cada intervalo de tempo, representando o sistema elétrico nestes intervalos, assim temos uma formulação independente das leis de Kirchhoff, onde os fluxos de potência são representados permitindo a consideração direta dos limites de transmissão como restrições e das perdas de transmissão como um critério de desempenho. Um sistema de pré-despacho com m barras, n linhas e g geradores, onde as manobras são consideradas pode ser modelado da seguinte forma: min α 2 [( fk ) T R k fk +c T f f k ]+ β [( p k ) T Q( p k ) T +c T p pk ] 2 s.a B k fk Ê k p k = dk, k = 1,...,t f k +s k f = fmax, k = 1,...,t p k = p +s p max, k = 1,...,t p k = q, ( fk,s k f, pk,s k p ) 0 k = 1,...,t (1) where:

3 f R n 1 represents the active power flow variables; p R g 1 represents the active power generation variables; Q R g g represents the diagonal matrix of the generation loss quadratic term; R R n n represents the diagonal resistance matrix; d R m 1 represents the active load demand; X R n m+1 n represents the network loop reactance matrix; E represents the matriz of dimension m g with each column containing a single nonzero entry equals to one for each generator; A R m n represents the network incidence matrix; c R g 1 represents the linear term of generation loss coefficient vector; f max,f min,p max and p min R g 1 are bounds for the active power flow and generation variables; α e β are weight constants; q R g 1 represents the generating unit targets. Nesse modelo, as duas componentes da função objetivo são quadráticas com variáveis separáveis. A primeira componente representa o valor das perdas na transmissão. A segunda componente caracteriza o custo de geração das usinas. O dual é escrito como: max [( d k ) T y k f ( f max ) T w k f ( p max ) T w k p α 2 ( f k ) T R f k β 2 ( pk ) T Q p k ]+( q) T y a s.a B kt y k f w k f R k f k +z k f = c f ÊkT y k f w k p +y a Q p k +z = k p c p (z k f,w k f,z k p,wk p ) 0, yk f, y a free. k = 1,...,t (2) As matrizes B e E variam de acordo com os intervalos de tempo (B k e E k ), refletindo as modificações nas redes e barramentos por manobras realizadas ao longo de horizonte de estudo. Os métodos de pontos interiores consistem na aplicação do método de Newton às condições de otimalidade, logo obtém-se o seguinte sistema linear:

4 Bd f k Êd pk = r 1 d f k +ds k f = r f d p k +ds k p = r p B T dy k f dw k f Rd f k +dz k f = r y ÊT dy k f dw k p +dy a Qd p k +dz k p = r g F k dz k f +Z k fd f k = r zf S k fdw k f +W fds k f = r wf P k dz k p +Zk p d pk = r zp (3) S k p dwk p +Wk p dsk p = r wp d p k = r m. fazendo diversas substituições de variáveis tem-se: [(D k p ) 1 (D k p ) 1 Ê T M 1 Ê(D k p ) 1 ]dy a = A resolução de (4) é realizada como em [1], inspirada em [5]. = r m + (D k p ) 1 [r b +Ê T M 1 r], (4) 3 Manobras As manobras podem ocorrer devido a interrupções momentâneas não programadas, ou para atender as necessidades de manutenção da rede e de transferências de cargas, alimentadores e subestaçõ es. O Centro de Operação do Sistema (COS) é o responsável por executar, autorizar e supervisionar as manobras e serviços programados ou emergenciais do sistema elétrico de transmissão, realizar o monitoramento do mesmo, bem como atuar efetivamente no restabelecimento do sistema elétrico em caso de contingências simples e generalizadas. Tais atividades, executadas em tempo real, abrangem o conhecimento da situação e a orientação na execução de manobras necessárias, visando assegurar a integridade de pessoas e instalações, garantindo a confiabilidade do sistema e a continuidade e qualidade do fornecimento. Na maior parte dos intervalos de tempo não são realizadas manobras no sistema elétrico brasileiro, fazendo com que a rede de transmissão raramente se altere de um intervalo para outro, normalmente são realizadas de quatro a seis manobras por dia. As mudanças aqui consideradas serão chamadas de manobras preventivas, ou seja, aquelas alterações que ocorrem na rede para que seja feita manutenções evitando assim interrupções de energia. Três tipos de manobras serão consideradas nesse trabalho: manobras de linhas; manobras de barras e manobras simultâneas de linhas e barras.

5 3.1 Manobras de Barras Uma manobra de barra ocorre quando geradores ou cargas são desligado do sistema. As cargas têm variações nem sempre previsíveis com o tempo, fator que pode dificultar a modelagem do sistema. Diferentemente das manobras de linhas, nas manobras de barras, não se pode optar por ramos pertencentes ou não à árvore geradora, pois obviamente ao desligar uma barra, linhas da árvore geradora e dos arcos adicionais devem ser desligados. Para evitar danos ao sistema, escolheu-se fazer manobras somente nas barras com grau menor que dois (somente um arco da árvore tocando nele). Novamente é fácil alterar a heurística em [4] para obter árvores com essas características. Supõe-se que n-arcos incidem na barra a ser manobrada, logo n-linhas e colunas de B e mais uma linha da matriz de incidência A = [TN] devem ser retirados. O próximo passo será realizar manobras de linhas e de barras no mesmo intervalo de tempo. 3.2 Manobras de Barras e Linhas Realizadas Simultaneamente As manobras de barra e de linha feitas de forma simultâneas caracterizam mudanças mais complexas na rede. Nesses casos, um número maior linhas e colunas da matriz de incidência e suas respectivas reatâncias são retiradas da matriz B, formada pelas matrizes de incidência e reatância do sistema. 4 Sistemas Teste As redes nas quais os testes foram realizados incluem o sistema IEEE30 representando o meio-oeste americano e o sistema brasileiro composto por 1993 barras. Nos experimentos computacionais aqui realizados, foi utilizados o método de pontos interiores primal-dual e feito testes com o número de manobras variando de zero a seis em um dia, o que normalmente ocorre na prática no sistema elétrico brasileiro. Os testes realizados usaram o ponto inicial mostrado na Equação 5: f 0 = fmax 2 ;p0 = pmax 2 ;y0 1 = y0 2 = y0 3 = y0 4 = 0 (5) z1 0 = w0 1 = (R+I)e;z0 2 = w0 2 = e;z0 3 = w0 3 = e. 4.1 Resultados Computacionais para Manobras de Linhas O número de iterações necessárias para a convergência pode variar significativamente dependendo do ramo que está sendo manobrado. Se um ramo com fluxo alto é desligado, o método terá que encontrar um novo caminho para atender a demanda, refletindo no número de iterações e, consequentemente, no tempo computacional. No entanto, outros motivos podem ser responsáveis por esse aumento, pois dependendo do ramo que está sendo manobrado e de sua rede resultante, a adequação ao sistema pode não ser eficiente. Para o caso com manobras de linhas, observa-se somente um pequeno aumento no tempo computacional, como apresentado nas Tabelas 1 e 2, que é afetado não somente pelo número de manobras, mas também pelos ramos manobrados.

6 Num. Manobras Tempo(seg) Iterações 0 0, , , , , , ,192 3 Table 1: Sistema IEEE30. Num. Manobras Tempo(seg) Iterações Table 2: Sistema Brasil com 1993 Barras. 4.2 Resultados Computacionais para Manobras de Barras As manobras de barras não causam grandes modificações nos resultados computacionais pois, ao se retirar uma barra, o sistema é reduzido a um subsistema mais simples. Na próxima seção, será tratado o caso em que manobras de barras e linhas são realizadas simultaneamente, então será possível uma análise mais interessante em relação ao comportamento do sistema. Num. Manobras Tempo(seg) Iterações 0 0, , , , , , ,195 3 Table 3: Sistema IEEE30 com Manobras de Barras. 4.3 Resultados Computacionais para Manobras de Barras e Linhas Simultâneas Nesta seção, será tratado o caso em que manobras de barras e de linhas são realizadas de forma simultânea. Analisamos também as consequências que elas causam ao sistema.

7 Considerou-se estudos de caso para testar a rede de forma mais drástica. Lembrando que as manobras de barra causam menos problemas de convergência para o método, já que reduzem o sistema e a demanda do mesmo, o intuito é somente analisar como o sistema reage com ambas modificações. Assim, as manobras de barras foram realizadas em menor número. É importante deixar claro que dependendo do ramo/barra que está sendo manobrado, a convergência do método pode não ser obtida. Por exemplo, no sistema IEEE30, a manobra de barra envolvendo o gerador oito não pôde ser realizada, pois sua capacidade de geração é alta e o seu desligamento implica que a demanda total do sistema não pode ser atendida. Num. Manobras Tempo(seg) Iterações 0 0, , , , , , ,192 5 Table 4: Sistema IEEE30 com Manobras de Barras e Linhas. Num. Manobras Tempo(seg) Iterações Table 5: Sistema BRASIL1993 com Manobras de Barras e Linhas. A eficiência da metodologia utilizada neste trabalho pôde ser comprovada não só pela convergência, mas até pela não convergência de alguns testes realizados com sistemas infactíveis. Deste modo ficou possível comprovar que a implementação realmente otimiza os problemas abordados. 5 Conclusões Neste artigo, os métodos de pontos interiores são utilizados para resolver um problema de prédespacho em um sistema hidroelétrico. A contribuição dessa pesquisa está em resolver esse problemas com manobras de linhas e barras realizadas de maneira simultânea. Quando essas manobras ocorrem, a topologia da rede é modificada. A metodologia utilizada no desenvolvimento deste trabalho é o método de pontos interiores primal-dual, pois o mesmo apresenta bons resultados para problemas de fluxos de potência ótimo. Do ponto de vista computacional, o esforço para resolver um problema com ou sem modificação na topologia da rede é semelhante. Mesmo com as modificações nas matrizes do problema, o

8 número de sistemas lineares que precisam ser resolvidos continua sendo o mesmo, em comparação com o problema sem manobras. Além disso, o número de iterações necessárias para convergência do método de pontos interiores depende da importância que ramos e barras manobrados têm no sistema. As manobras de linhas apresentaram resultados muito próximos ao caso em que são realizadas manobras de barras e linhas simultâneamente. Neste último o número de iterações é ligeiramente maior, pois os sitema deve realizar um conjunto de manobras mais complexo. Os resultados obtidos mostraram a adequação da metodologia, tanto nos aspectos numéricos como em tempos de convergência: os tempos necessários na obtenção da solução ficaram ficaram abaixo de cinco minutos para os problemas de maior porte para a implementação em Matlab. Porém, esses tempos podem ser drasticamente reduzido para muito poucos segundos em uma linguagem de alto desempenho. References [1] L. M. R. Carvalho. Métodos de Pontos Interiores Aplicados Pré-Despacho de um Sistema Hidroelétrico Usando o Princípio de Mínimo Esforço Comparação com o Modelo de Fluxo em Redes. PhD thesis, ICMC USP, São Carlos SP, Novembro, [2] A. Garzillo, M. Innorta, and R. Ricci. The flexibility of interior point based power flow algorithms facing critical network situations. Electrical Power & Energy Systems, 21: , [3] J.A.Momoh, M.E.El-Hawary, andr.adapa. Areviewofselectedoptimalpowerflowliterature to 1993, part II Newton, linear programming and interior point methods. IEEE Transactions on Power Systems, 14(1): , [4] A. R. L. Oliveira and S. Soares. Métodos de pontos interiores para problema de fluxo de potência ótimo DC. SBA: Controle & Automação, 14(3): , [5] A. R. L. Oliveira, S. Soares, and L. Nepomuceno. Short term hydroelectric scheduling combining network flow and interior point approaches. Electrical Power & Energy Systems, 27(2):91 99, [6] V. H. Quintana, G. L. Torres, and J. M. Palomo. Interior point methods and their applications to power systems: A classification of publications and software codes. IEEE Transactions on Power Systems, 15(1): , 2000.