Métodos de Pontos Interiores Aplicados ao Problema de Pré-Despacho para o Sistema Elétrico Brasileiro.

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1 Métodos de Pontos Interiores Aplicados ao Problema de Pré-Despacho para o Sistema Elétrico Brasileiro. Silvia Maria Simões de Carvalho FEEC - UNICAMP Av. James Maxwell 30 Cidade Universitária Campinas-SP Brasil silvia@densis.fee.unicamp.br Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira IMECC - UNICAMP Rua Sérgio Buarque de Holanda, Campinas, SP, Brasil aurelio@ime.unicamp.br Christiano Lyra FEEC - UNICAMP Av. James Maxwell 30 Cidade Universitária Campinas-SP Brasil christi@densis.fee.unicamp.br Resumo Neste trabalho os métodos de pontos interiores primal-dual são utilizados para minimizar os custos e perdas na geração e transmissão do pré-despacho de fluxo de potência com corrente contínua (DC) em um sistema hidroelétrico com manobras previamente programadas. É realizado também o estudo da estrutura matricial desse problema e a alteração que ela impõe ao sistema. É realizado o pré-despacho para o sistema elétrico brasileiro, e comparado sua eficiência para o problema com e sem manobras programadas. Palavras-chave. Pontos Interiores, Pré-Despacho, Sistemas Hidroelétrico Brasileiro. Area principal - AE - Aplicações a Energia Abstract In this work, the prima-dual interior point methods are used to minimize the DC predispatch generation and transmission costs and loss on hydroeletric DC power systems with previously scheduled maneuvering. A matrix structure study is also performed considering the changes that occurs in the system. It will also be performed a simulation of maneuvers through transmission lines bound reduction. The new alternative is compared with the explicit version. Keywords. Interior Point Methods, Predispatch, Hydroelectric Systems. Main area - AE - Applications to Energy XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 138

2 1 Introdução O objetivo deste trabalho consiste em minimizar as perdas na geração e transmissão do prédespacho de sistemas de potência com manobras programadas nas linhas de transmissão, utilizando o método de pontos interiores. Adota-se um modelo de fluxo de carga DC (corrente contínua). Considerando a complexidade do sistema elétrico brasileiro, o aumento da demanda de energia e a busca de menores custos, torna-se necessário a aplicação de métodos que minimizem as perdas em todas as etapas de geração e transmissão, incluindo o pré-despacho do sistema. No pré-despacho de sistemas hidroelétricos, as usinas tem uma meta a cumprir em um determinado dia, estabelecida pelo planejamento de longo-prazo. Por outro lado, com a variação da demanda em função do horário é necessário a realização de manobras programadas nas linhas de transmissão para manter o sistema estável, alterando assim a configuração da rede ao longo do dia. Neste trabalho, as manobras serão um dado de entrada. No caso brasileiro elas são determinadas pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS). É importante salientar que existem outros tipos de manobras, tais como desligamento de geradores e alteração tap de transformadores que não serão consideradas neste trabalho. Além disso, utilizando a velocidade e robustez dos métodos de pontos interiores [Momoh et al., 1999, Quintana et al., 2000], deseja-se obter implementações mais eficientes para o pré-despacho através da exploração da estrutura matricial do sistema resultante. 2 O Problema de Pré-Despacho O pré-despacho é um problema operacional que considera horizontes de planejamento de uma semana, ou até mesmo de um dia. O que se procura é atender a demanda e satisfazer as metas energéticas previamente definidas. As perdas de energia na transmissão caracterizam um critério de desempenho [Carvalho et al., 1988] a ser minimizado. As restrições de fluxo de energia na rede podem ser divididas em blocos que se repetem a cada intervalo de tempo, representando o sistema elétrico nestes intervalos, assim temos uma formulação independente das leis de Kirchhoff, onde os fluxos de potência são representados permitindo a consideração direta dos limites de transmissão como restrições. Assim, um problema de pré-despacho sem manobras pode ser modelado da seguinte forma [Oliveira et al., 2005]: min α [(f k ) T R k f k ] + β [(p k ) T Q k p k + c T p k ] 2 2 onde s.a Af k Ep k = d k k = 1,..., t Xf k = 0 k = 1,..., t f min f k f max k = 1,..., t p min p k p max k = 1,..., t p k = q (1) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 139

3 f representa o fluxo de potência ativa; p representa a geração de potência ativa; Q representa a componente quadrática do custo de geração; R representa a matriz diagonal de resistência das linhas; d representa a demanda de potência ativa; X representa a matriz de reatância das linhas; E representa a matriz de ordem m g com cada coluna contendo exatamente um elemento igual a 1 e os demais elementos nulos; A representa a matriz de incidência da rede de transmissão; c representa a componente linear do custo de geração; f max, f min, p max e p min são os limites de fluxo e geração de potência ativa; α e β são ponderaçõs dos objetivos a minimizar. onde q representa a meta de geração de energia estabelecida pelo planejamento a longoprazo. Ao considerarmos manobras de linhas, as matrizes A, X e E variam de acordo com os intervalos de tempo k (A k X k e E k ) pois a rede não é mais constante ao longo desses t-intervalos. Acrescentando variáveis de folga e tornando os limites inferiores nulos através de mudanças de variáveis, obtemos a seguinte formulação do problema de pré-despacho com manobras programadas na forma padrão: min α [( 2 f k ) T R f k + c T f f k ] + β [( p k ) T Q( p k ) T + c T p 2 pk ] s.a B k f k Êk p k = d k, k = 1,..., t f k + s k f = f max, k = 1,..., t p k + s p = p max, p k = q, ( f k, s k f, p k, s k p ) 0 k = 1,..., t (2) onde B k = [ A k X k ] XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 140

4 e a matriz Êk é obtida de E k acrescida de um bloco de zeros. O dual deste problema pode ser escrito como: max [( d k ) T y k f ( f max ) T w k f ( p max ) T w k p α 2 ( f k ) T R f k β 2 ( pk ) T Q p k ] + ( q) T y a s.a B T y k f w k f R f k + z k f = c f ÊT y k f w k p + y a Q p k + z = k p c p (z k f, w k f, z k p, wk p ) 0, yk f, y a livre. k = 1,..., t k = 1,..., t (3) Aplicando o método de Newton às condições de otimalidade dos problemas primal e dual, obtém-se o seguinte sistema linear: B k d f k Êk d p k = r 1 d f k + ds k f = r f d p k + ds k p = r p (B k ) T dy k f dw k f Rd f k + dz k f = r y (Êk ) T dy k f dw k p + dy a Qd p k + dz k p = r g F k dz k f + Z k f d f k = r zf S k f dw k f + ds W f k f = r wf P k dz k p + Zk p d p k = r zp S k p dwk p + W k p dsk p = r wp d p k = r m. (4) Este sistema pode ser consideravelmente reduzido através de substituição de variáveis. Considere a eliminação de dz k f, dw k f, dz k p, dsk f e ds obtendo o seguinte sistema de equações: k p onde [(D k p ) 1 S k p ]dy a = r m + (D k p ) 1 [r b + (Êk ) T (M k ) 1 r] (5) S k p = (Dk p ) 1 (Êk ) T (M k ) 1Êk (D k p ) 1. A solução direta do sistema linear (5) exige muito esforço computacional, pois os blocos M k = B k (D k f ) 1 (B k ) T + D k tem a dimensão do número de linhas e dy a tem dimensão do número de geradores. Uma resolução mais eficiente, inspirada em [Oliveira et al., 2005], será desenvolvida para o problema com manobras. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 141

5 3 Manobras Programadas As manobras são realizadas na tentativa de adaptar a rede de transmissão à variação da carga (variação da demanda de energia) ao longo do dia. Na maior parte dos intervalos de tempo não são realizadas manobras no sistema brasileiro (ONS), fazendo com que a rede de transmissão raramente se altere de um intervalo para outro (normalmente são realizadas de quatro a seis manobras por dia. 3.1 Estudo da Estrutura Matricial Para o Problema Com Manobras Estamos supondo que no presente sistema ocorram i manobras previamente programadas ao longo de t intervalos de tempo, onde cada intervalo de tempo corresponde ao período de 1 ou 1/2 hora. Normalmente ocorrem poucas manobras no sistema brasileiro com valor típico variando de zero a seis. A matriz B, formada pelas linhas justapostas da matriz de incidência e reatância, é modificada cada vez que uma manobra é realizada (uma linha e uma coluna da matriz B são retiradas ou inseridas). No caso de existir mais de uma manobra no mesmo intervalo de tempo, mais linhas e colunas da matriz B são retiradas (ou inseridas). Como a dimensão da matriz B pode se modificar a cada manobra, devemos ajustar o sistema a essas alterações para a realização dos produtos e somatórios com B; as dimensões de algumas matrizes envolvidas no sistema também devem se alterar. O objetivo inicial é resolver o sistema (5), mas para isso percebemos que seria necessário muito esforço computacional, pois na primeira equação temos a matriz M k : M k = B k (D k f ) 1 (B k ) T + D k, cuja dimensão corresponde ao número de linhas no instante t, enquanto que o vetor dy a, tem dimensão do número de geradores. Uma resolução mais eficiente segue os seguintes passos [Oliveira et al., 2005]: Passo 1) Considere uma matriz B k, constituída da matriz B k e do vetor canônico e j, B k = [B k e j ]; note que esta matriz é quadrada e não-singular. Passo 2) À matriz (Dk f ) 1 é acrescentada uma linha e uma coluna para ajustar sua dimensão para a multiplicação com as matrizes B k. Passo 3) Já na matriz D k, retira-se a j-ésima linha e j-ésima coluna, com j entre 1, e m, correspondendo a um gerador, ou seja estamos retirando uma barra de geração da matriz. Sua dimensão não é alterada, somente na j-ésima linha e coluna retiradas é introduzido um zero. A matriz M k passa a ser denominada M k e reescrita como M k = B k ( D f ) 1 ( B k ) T + D k, tendo dimensão (n + 1) (n + 1), e o vetor do lado direito é atualizado de acordo: r k = r 1 + B k ( D f )r a Ẽk ( D p ) 1 r b. Passo 4) Definimos [ B k ( D f ) 1 ( B k ) T + D k ]dŷ k f = r k (6) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 142

6 esse sistema será resolvido em duas etapas [Carvalho, 2005]: 1. Resolveremos primeiro o seguinte sistema linear [ B k D k f ( B k ) T ]dŷ k f = r k = 1, 2,..., t assim as inversas de B k e ( B k ) T deverão ser calculadas, mas é importante salientar que estamos supondo que em t intervalos de tempo, ocorrem i-manobras programadas, ou seja, as matrizes B k e ( B k ) T variam ao longo do intervalo, em função desse número de manobras. Assim, para resolver (6), temos que dŷ é encontrado sem dificuldades, utilizando por exemplo a fatoração LU de B k, que não varia ao longo das iterações, pois B depende somente dos dados físicos do sistema de transmissão. De forma algébrica, escrevemos: dŷ = [ B k D k f ( B k ) T ] 1 r. 2. A fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury [Duff et al., 1986] é utilizada para resolver o sistema linear (6) que envolve a matriz M k : (C + USV T ) 1 = C 1 C 1 U(S 1 + V T C 1 U) 1 V T C 1. Logo M k é escrito como: [ B k D k f ( B k ) T + D k ] 1 = [ B k D k f ( B k ) T ] 1 [ B k D k f ( B k ) T ] 1Êk Z 1 (Êk ) T [ B k D k f ( B k ) T ] 1. Multiplicando a equação de Sherman-Morrison-Woodbury [Duff et al., 1986] já aplicada nesse problema por r k, temos: dŷ k f = dŷ ([B k ] 1 ) T ( f k ) 1 ( B k ) 1Êk Z 1 (Êk ) T dŷ k f. Observe que as matrizes B k = L k U k, podem ser decompostas antes do processo iterativo [Golub and Van Loan, 1996], assim como B, no caso do problema sem manobras [Oliveira et al., 2005]. 3.2 Detalhes de Implementação Para desenvolver os métodos de pontos interiores para um sistema com manobras a rede deve ser adaptada. A cada manobra realizada, deve-se inserir (ou retirar) uma linha e coluna da matriz B. De acordo com [Oliveira and Soares, 2003] uma árvore geradora representada pela matriz T é calculada, contendo linhas não manobradas (T não deve ser modificada). Ou seja, só podem ser ligados (desligados) os ramos pertencentes à matriz N, formada pelos ramos adicionais da árvore geradora. Este procedimento facilita a implementação e proporciona uma maior eficiência computacional [Carvalho, 2007]. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 143

7 4 Resultados Computacionais A rede na qual os testes foram realizados é o sistema elétrico brasileiro com 3511 barras. Nos experimentos computacionais foi utilizado o método de pontos interiores primal-dual e realizados testes com um número variável de manobras. Os testes foram realizados em um computador com processador Intel Dual Core, 2GB de RAM e velocidade 2.4GHZ. Utilizamos o ponto inicial caracterizado a seguir, proposto em [Oliveira et al., 2003]: 4.1 Sistema Elétrico Brasileiro f 0 = f max 2, q 0 = qmax 2 y1 0 = y0 2 = y0 3 = y0 4 = 0, z1 0 = w0 1 = (R + I)e z2 0 = w0 2 = e, z3 0 = w0 3 = e. O sistema elétrico brasileiro é único no mundo. Sua flexibilidade permite até que a demanda por energia cresça antes da oferta. Essa flexibilidade decorre de o sistema ser uma única e grande reserva hídrica compartilhada, que funciona como uma imensa bateria, que pode produzir muito mais energia do que o consumo normal. Além disso, tem um dos menores custos operacionais e ambientais do planeta. Figura 1: Sistema Interligado Nacional. A operação do sistema elétrico brasileiro de forma interligada, proporciona uma série de vantagens, tais como: XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 144

8 Ganho em energia firme (energia mínima que permite uma operação contínua das plantas hidrelétricas num período de tempo); Minimização de riscos de interrupção no suprimento de energia, devido ao fato da manutenção de reservas energéticas para suportar períodos de baixa hidrologia; Manutenção de níveis adequados de confiabilidade da rede elétrica; Utilização de energia hidráulica disponível em outros pontos do sistema, de maneira a diminuir os custos operativos e reduzir os preços da energia elétrica para os consumidores Uma adequada reprogramação da geração, ajustando-se a mesma às condições verificadas de demanda e hidrologia. Outros usos dos reservatórios: navegabilidade, controle de cheias, irrigação, etc. Como o planejamento de curto prazo serve a uma diretriz operacional, ele requer uma representação da operação do sistema mais detalhada, na qual as usinas hidrelétricas e termoelétricas são representadas no nível das turbinas/geradores e todas as restrições relevantes do sistema de geração devem ser levadas em conta. Um fator agravante é que a maioria das unidades de geração hidrelétrica está situada longe dos principais centros de consumo, consequentemente, é necessária uma extensa rede de transmissão que possa interligar os mais distantes pontos de geração e consumos de energia. Com isso, ao interligarem usinas situadas em diferentes bacias, as linhas de transmissão permitem compensar a diversidade hidrológica de várias regiões do país. O Operador Nacional do Sistema Elétrico ONS, responsável pela operação do sistema, justifica sua atuação no setor elétrico afirmando que somente a operação interligada e coordenada do sistema obtém o aproveitamento racional dos recursos naturais, segundo Hermes Chipp, diretor geral do ONS, em entrevista a newsletter empresarial da AES Eletropaulo em maio/2007, o ganho em relação à operação descentralizada é de 20%. Assim, um planejamento da operação (pré-despacho) adequado ao sistema de transmissão contribui para aproveitar os diferentes recursos de geração presentes nas distintas partes do sistema, auxiliando na otimização dos recursos hidrelétricos. Neste nível de planejamento, os requisitos de transmissão do sistema (o fluxo de potência máximo) também devem ser considerados. Os dados geo-referenciados desempenham papel fundamental no pré-despacho, pois as restrições operacionais do sistema ligadas à transmissão dependem fortemente de sua localização geográfica. Na Tabela 1, tem-se que o número de iterações para os casos com e sem manobras é o mesmo, no entanto o tempo computacional teve um pequeno acréscimo, conforme o número de manobras é aumentado, ou seja fazer manobras não se torna um problema mais caro, pois os acréscimos computacionais são pequenos. No entanto esses valores podem sofrer alterações dependendo dos ramos manobrados, como por exemplo, os ramos que tenham um fluxo muito alto, nesses casos tanto o tempo como o numero de iterações podem sofrer um aumento demasiado. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 145

9 Num. Manobras Tempo(seg) Iterações , , , , , , ,1 10 Tabela 1: Sistema Elétrico Brasileiro 3511 Barras. Na figura 2, está mostrado o gráfico dos geradores, quando todos os custos são iguais a zero, ou seja a segunda componente da função objetivo é que tem os valores nulos, para isso dois geradores são mais exigidos e em todo o momento geram mais, isso pois suas capacidades de geração são maiores em relação aos outros geradores. Já na figura 3, onde a potência do maior gerador foi reduzida, tem-se que todos passaram a gerar mais, alguns mudando inclusive a curvatura em momentos críticos (horários de pico), note que as figuras 1 e 2 tem escalas diferentes, assim podemos compara-las e verificar as diferenças quando os custos não são mais nulos. Figura 2: Gráfico dos Custos dos Geradores Nulos XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 146

10 Figura 3: Gráfico dos Custos dos Geradores com Potência Modificada 5 Conclusões Este trabalho apresentou uma abordagem por métodos de pontos interiores para resolver o problema de pré-despacho incluindo a realização de manobras nas linhas de transmissão para o sistema elétrico brasileiro com 3511 barras. Do ponto de vista computacional, o esforço para se resolver um problema de uma rede com manobras ou sem é semelhante, pois a matriz B com manobras terá sua dimensão modificada, mas o número de sistemas lineares para resolver continuará sendo o mesmo. Na prática o número de manobras é o mesmo, muda somente o tempo computacional conforme o número de manobras é aumentado, o que é considerado irrelevante comparado as alterações impostas na rede quando as mesmas são realizadas. Como o número de manobras é pequeno e as manobras são conhecidas a priori, as matrizes B k podem ser decompostas antes da aplicação dos métodos de pontos interiores, da mesma forma que no problema sem manobras. Agradecimentos Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq; Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 147

11 Referências [Carvalho, 2005] Carvalho, L. M. R. (2005). Métodos de Pontos Interiores Aplicados Pré- Despacho de um Sistema Hidroelétrico Usando o Princípio de Mínimo Esforço Comparação com o Modelo de Fluxo em Redes. PhD thesis, ICMC USP, São Carlos SP. [Carvalho et al., 1988] Carvalho, M. F., Soares, S., and Ohishi, T. (1988). Optimal active power dispatch by network flow approach. IEEE Transactions on Power Systems, 3(3): [Carvalho, 2007] Carvalho, S. M. S. (2007). Métodos de pontos interiores aplicados ao problema de pré-despacho de um sistema hidroelétrico com manobras programadas. Technical report, IMECC UNICAMP. Dissertação de Mestrado. [Duff et al., 1986] Duff, I. S., Erisman, A. M., and Reid, J. K. (1986). Direct Methods for Sparse Matrices. Clarendon Press, Oxford. [Golub and Van Loan, 1996] Golub, G. H. and Van Loan, C. F. (1996). Matrix Computations Third Edition. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland. [Momoh et al., 1999] Momoh, J. A., El-Hawary, M. E., and Adapa, R. (1999). A review of selected optimal power flow literature to 1993, part II Newton, linear programming and interior point methods. IEEE Transactions on Power Systems, 14(1): [Oliveira and Soares, 2003] Oliveira, A. R. L. and Soares, S. (2003). Métodos de pontos interiores para problema de fluxo de potência ótimo DC. SBA: Controle & Automação, 14(3): [Oliveira et al., 2003] Oliveira, A. R. L., Soares, S., and Nepomuceno, L. (2003). Optimal active power dispatch combining network flow and interior point approaches. IEEE Transactions on Power Systems, 18(4): [Oliveira et al., 2005] Oliveira, A. R. L., Soares, S., and Nepomuceno, L. (2005). Short term hydroelectric scheduling combining network flow and interior point approaches. Electrical Power & Energy Systems, 27(2): [Quintana et al., 2000] Quintana, V. H., Torres, G. L., and Medina-Palomo, J. (2000). Interior point methods and their applications to power systems: A classification of publications and software codes. IEEE Transactions on Power Systems, 15(1): XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 148