DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

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1 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO Optimum esign of reinforce concrete`s columns Francesco Mayer Sias 1, Élcio Cassimiro Alves Recebio em 16 e setembro e 01; recebio para revisão em 0 e outubro e 01; aceito em 18 e outubro e 01; isponível on-line em 5 e novembro e 01. PALAVRAS CHAVE: Otimização e Pilares; Dimensionamento Ótimo; Pilares e Concreto Armao. KEYWORDS: Optimization of columns; Optimum sizing; Columns of Concrete. * Contato com os autores: RESUMO: A área a engenharia responsável pelo imensionamento e estruturas vive em busca a solução que melhor atenerá a vários parâmetros simultâneos como estética, custo, qualiae, peso entre outros. A certeza e que o melhor projeto foi e fato eecutao é etremamente complicaa, pois na prática o que se vê são projetos feitos principalmente baseaos na eperiência o eecutor, sem esgotar toas as hipóteses possíveis. É neste sentio que os processos e otimização se fazem necessários na área e imensionamento e estruturas. É possível obter a partir e um objetivo ao, como o custo, o imensionamento que melhor atenerá este parâmetro. Alguns estuos nesta área eistem, porém aina carece e mais pesquisa científica. Uma área que aina carece e um processo e otimização é o imensionamento e pilares e acoro com a NBR 6118 (ABNT, 01 que atena a uma gama maior e geometrias possíveis. Deve-se também estuar o melhor métoo e otimização para este tipo e problema entro os vários eistentes na atualiae. Assim o presente artigo contempla o embasamento conceitual nos temas e imensionamento e pilares e métoos e otimização bem como o estuo e um caso conhecio na literatura para valiação e escolha e moelos e otimização. A partir este eemplo, foram programaos três moelos e otimização que utilizaram os algoritmos a programação quarática sequencial, o os pontos interiores e os algoritmos genéticos. Feito isto, foram comparaos seus resultaos e verificao o mais apropriao neste caso. ABSTRACT: The area of engineering responsible for the esign of structures is always in search of the best solution that will satisfy multiple simultaneous parameters like aesthetics, cost, quality, weight an others. The certainty that the best esign was actually eecute is etremely complicate, because in practice the esigns are mae primarily base on the eperience of the performer, without ehausting all possible hypotheses. It is in this sense that the optimization processes are necessary in the area of esign of structures. It is possible to obtain from a given goal, as the cost, the esign that will best fin this parameter. Some stuies in this area eist but still nees more scientific researches. One area that still lacks an optimization process is the esign of columns accoring to NBR 6118 (ABNT, 01 that cover a wier range of possible geometries. One shoul also stuy the best optimization metho for this type of problem within the various eisting toay. Thus the present article is the conceptual founation in the areas of esign of columns an optimization methos as well as the stuy of a known case in the literature for valiation an choice of optimization moels. From this eample, three optimization moels that use the algorithms of sequential quaratic programming, interior point an the genetic algorithms were programme. This one, their results were compare an verifie the one that is the most appropriate in this case. 1 fmsias@hotmail.com ( F. M. Sias Engenheiro Civil e Mestre em Engenharia e Estruturas a Universiae Feeral o Espírito Santo. elcio.calves1@gmail.com ( E. C. Alves Professor Dr. o curso e Engenharia Civil a Universiae Feeral o Espírito Santo. ISSN: D.O.I /reec.V9i REEC - Toos os ireitos reservaos.

2 1. INTRODUÇÃO F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 O imensionamento e estruturas em geral, e neste caso as e concreto armao, se á usualmente por meio e processos iterativos one a partir e uma geometria pré-efinia pelo projetista, baseao na sua eperiência, obtém-se um projeto inicial as seções e concreto e aço. Em seguia são feitas as verificações e resistência e comparaas com as solicitações atuantes para eciir se uma nova tentativa poe ser feita com a finaliae e reução os custos o projeto ou se o resultao encontrao já é satisfatório. Este processo é realizao sucessivamente pelo próprio eecutor até que julgue ter encontrao a melhor solução entre as já testaas. Com isto, o tempo e projeto se torna muito longo além e não ser possível a garantia e que o imensionamento ótimo tenha sio realizao uma vez que não foi feita uma análise sistemática o problema. Levano em conta as quantiaes e variáveis relacionaas ao processo e imensionamento, ificilmente a melhor solução para o projeto será encontraa esta forma sem que seja feito um estuo etalhao a situação. Para tanto, everia se obter uma epressão que relacionasse como caa variável e projeto influencia no objetivo que se pretene melhorar no projeto, que normalmente é o custo final este. Analisano esta epressão em função estas variáveis, seria possível comparar os projetos entre si e, então, a partir e estuos caminhar-seia para o projeto mais aequao a caa situação. Neste sentio que entra a pesquisa e técnicas e otimização aliaas à programação computacional para resolver os problemas relacionaos ao imensionamento estrutural. Esta técnica é trabalhaa por meio e uma função objetivo que se pretene encontrar a solução ótima (como o custo, o peso, a área a seção transversal ou qualquer outro parâmetro esejao, poeno as variáveis relacionaas a esta função terem restrições ou não. A otimização poe ser aplicaa em várias situações ou problemas que se eseja melhorar e obter o esempenho máimo. Por isto, estes métoos aplicaos no imensionamento e estruturas também são válios e trazem benefício comprovao na busca e melhores resultaos. A partir e algoritmos eterminísticos ou probabilísticos, escolhios e acoro com as funções que se está trabalhano, poe-se encontrar o ponto ótimo a função. Ou seja, o conjunto e variáveis utilizaas que geram o valor mínimo a função em estuo. Neste caso a função estuaa será o custo a estrutura que está seno projetaa na qual se eseja obter o valor mínimo e as variáveis serão toos os fatores que influenciam no custo esta, como por eemplo, a área e forma, volume e concreto, peso e aço entre outros. Deve-se criar uma função única escreveno como toos estes fatores inferem no resultao buscao para em seguia aplicar as técnicas e otimização. A qualiae o resultao final e otimização estará iretamente relacionaa à fieliae esta função com a situação real, por isto eve se ter em mãos o maior número possível e aos para uma boa calibração o moelo feito. Entretanto esta não é uma tarefa simples, pois o imensionamento irá emanar várias outras funções para se chegar aos valores que a função principal está relacionaa. Sabe-se que para imensionar estruturas e concreto são necessárias inúmeras verificações envolveno uma quantiae significativa e variáveis, o que torna o processo e otimização mais compleo. Dessa forma caa técnica e otimização será melhor para algum tipo e problema que everá levar em consieração a quantiae e o tipo e variável, além os tipos e funções e restrições.. OBJETIVO Este artigo esenvolve um estuo a respeito a otimização o imensionamento e seções transversais e elementos sujeitos à fleocompressão, como é o caso e pilares. Assim, o objetivo esta pesquisa foi esenvolver um estuo comparativo entre iferentes métoos e cálculo utilizano a moelagem e um sistema cuja solução é conhecia, a fim e se verificar qual apresentará a melhor resposta. Os métoos utilizaos foram ois algoritmos eterminísticos (Programação 17

3 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( Quarática Sequencial e Métoo os Pontos Interiores, bem como a análise o problema utilizano um algoritmo probabilístico (Algoritmos Genéticos. Apresenta-se também a eficiência na solução, bem como, a eficácia computacional os métoos para o problema estuao.. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Eistem iferentes técnicas para se encontrar a solução ótima e um eterminao problema, epeneno as variáveis que estão seno estuaas, o tipo e restrições e as características o problema em si. Poe-se estacar basicamente uas vertentes os processos e otimização conhecios atualmente. São eles: os métoos heurísticos e a programação matemática. A utilização a programação matemática é muitas vezes impraticável pelo fato e ser muito ifícil a aplicação as conições necessárias, que utilizam técnicas e erivação, para encontrar a solução ótima, principalmente nas funções não lineares, que são muito presentes no imensionamento estrutural. Dessa forma, Vianna (00 estaca que foram criaos alguns métoos e programação para serem aplicaos na otimização com a finaliae facilitar sua utilização, especificamente nos casos e programação não linear. O autor cita o métoo os critérios e otimização com a finaliae e ser aplicao iniretamente em conjunto com os multiplicaores e Lagrange. Por sua vez, os métoos heurísticos consistem em técnicas probabilísticas e procura a solução ieal com base nos princípios a genética e sobrevivência os inivíuos mais aaptaos à situação esejaa. Dentre estes métoos, vale estacar o métoo os Algoritmos Genéticos que tem sio bastante utilizao em trabalhos acaêmicos recentes sobre otimização aplicaa ao imensionamento e estruturas porque se aapta bem a estes problemas, já que não possui restrições quanto ao tipo e função, se ela é ou não erivável, linear ou não linear, contínua ou não, entre outras características. Meeiros e Kripka (01 trataram as iferenças entre as técnicas eterminísticas, como é o caso a programação matemática, e probabilísticas, nos casos os métoos heurísticos e otimização, e aina realizaram um amplo estuo acerca os trabalhos atuais que utilizam métoos heurísticos na otimização e estruturas. A partir a comparação estes trabalhos que trataram e vários métoos probabilísticos como o Colônia e Formigas, Colônia e Abelhas, Ename e Partículas, Busca Tabu, Busca Harmônica, Análise o Recozimento Simulao e Algoritmos Genéticos, concluíram que os mais consoliaos são os ois últimos, aplicaos em iversos trabalhos acaêmicos. Os pesquisaores alertam aina que a eficiência o métoo é iretamente epenente a calibração feita, portanto eve ser aa especial atenção a esta etapa. Argolo (000, por meio a técnica os Algoritmos Genéticos, analisou o imensionamento ótimo e seções retangulares e concreto armao, solicitaas à fleocompressão reta. Ele comparou os resultaos obtios utilizano este métoo com os métoos traicionais e imensionamento, os ábacos e iteração. A partir a análise feita, concluiu que a utilização os ábacos não é recomenaa quano se eseja obter reução nos custos o projeto. Verificou aina que o métoo os algoritmos genéticos (AG`s é mais eficaz e robusto ao ser comparao com outros métoos e otimização. Seu algoritmo utilizou parâmetros e penalização urante o processo e esenvolvimento. Seu trabalho, no entanto eiou e aborar alguns aspectos específicos e imensionamento e caa elemento separao como pilares, vigas e lajes. Bastos (00 aprofunou o trabalho feito por Argolo (000 ao consierar as solicitações e fleo-compressão oblíquas em seções retangulares e concreto armao, também utilizano o métoo os algoritmos genéticos. Trata também as iferenças, vantagens e esvantagens os algoritmos genéticos comparaos às programações matemáticas clássicas em relação à otimização no

4 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( imensionamento e estruturas. Conclui que os algoritmos genéticos são mais apropriaos por não eigirem que a função seja iferenciável e nem que seja contínua, além e chegar muito mais próimo e um resultao global, situação que os métoos clássicos não poem garantir. Desenvolve aina um programa em linguagem Visual Basic que utiliza os conceitos e Algoritmos Genéticos para imensionar estruturas e concreto submetias à fleo-compressão obliqua. O trabalho também apresenta algumas limitações já que o software esenvolvio não trabalha com parâmetros variáveis e f ck e não trata e efeitos e fluência na otimização limitano para isto o ínice e esbeltez os elementos estuaos. Vianna (00 esenvolveu um programa para otimizar elementos e um eifício tratao no trabalho como um pórtico plano. Para isto, o autor otimizou em separao vigas e pilares, e a partir a nova conição ótima, recalculou esforços e novamente moelou estes elementos até que se encontrasse a solução julgaa ótima. Aina foi estacao que a solução global a estrutura poeria trazer maiores benefícios na otimização esta, porém a alta compleiae e materiais e elementos iferentes fizeram que com a otimização local fosse escolhia. A função objetivo foi a e menor custo os elementos por uniae e comprimento, e a técnica utilizaa foi o métoo e Lagrange, que é um métoo eterminístico. No estuo e pilares o autor limitou seu estuo aos pilares sujeitos apenas à compressão ecêntrica, com linha neutra fora a seção transversal. Ou seja, pilares no omínio 5 a NBR 6118:01. Também não foram trataos os efeitos e ecentriciae eigios pela referia norma. Além isto, os pilares foram consieraos trabalhano apenas a fleão normal (somente em um eio..1. DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO Neste item será aborao e forma sucinta como a NBR 6118 (ABNT, 01 e alguns autores renomaos como Carvalho e Pinheiro (009, Fusco (1995 entre outros, tratam o imensionamento e estruturas e concreto armao, em especial e pilares, no sentio e eplicar conceitos e hipóteses e metoologias utilizaas no imensionamento Hipóteses aceitas no imensionamento Smaniotto (005 eplica que ao imensionar os elementos sujeitos a fleocompressão são aceitas algumas hipóteses básicas trataas pela NBR 6118 (ABNT, 01 para poer valiar toa a metoologia e cálculo que será aboraa em seguia: As seções planas permanecem planas após aplicação as tensões normais até o estao limite último (ELU. Esta hipótese possui a restrição e que a relação entre os pontos one o momento fletor se anula e a altura consieraa útil a seção transversal não poe ser maior que ois. O aço e o concreto eformam-se o mesmo moo, ou seja, sua eformação específica é iêntica. Para tanto se eve amitir que a aerência entre estes materiais seja completa. Bastos (00 aina acrescenta outra hipótese importante citaa na norma. Poe-se assim escrevê-la: As tensões e tração na qual o concreto está submetio poem ser esprezaas já que possuem valores muito pequenos e estano o material sujeito a fissuração, esta resistência será muito prejuicaa..1.. Domínios o E.L.U. A NBR 6118 (ABNT, 01 também efine o estao e ruptura como e ois possíveis tipos. A ruptura convencional por eformação plástica ecessiva (o aço e a ruptura por encurtamento limite o concreto. Estes estaos são tais que a conição eformaa plana o elemento consierao esteja em uma as conições (A, B ou C o gráfico apresentao no escopo a referia norma. Conforme poe-se perceber na Figura 1, o esquema aina subivie os estaos limite últimos em oito omínios reta a, omínios 1,,,, a, 5 e reta b e acoro com seu estao e tensões..1.. Diagramas tensão eformação no E.L.U. Para o estao limite ultimo o concreto,

5 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 recomena-se a utilização o iagrama parábola-retângulo na istribuição e tensões o concreto como mostra a Figura. One f c é o valor e imensionamento a resistência o concreto à compressão, escrita na norma. Já para o estao limite último o aço, a NBR 6118:01 recomena a utilização e um iagrama simplificao tanto para aços com patamar e escoamento ou sem, válio para temperaturas entre -0 a 150 graus Celsius conforme Figura. 0 X FIGURA 1: Domínios e estao limite último e uma seção transversal. FONTE: NBR 6118 (ABNT, 01. X FIGURA : Diagrama tensão-eformação iealizao o concreto. FONTE: NBR 6118 (ABNT, 01.

6 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 1 FIGURA : Diagrama tensão-eformação para aços e armaura passiva. FONTE: NBR 6118 (ABNT, Ecentriciaes No imensionamento e elementos e concreto, a NBR 6118 (ABNT, 01 inica que evem ser consieraas ecentriciaes em toos os casos. Essa ecentriciae poe ser iviia em ois grupos: e primeira e e seguna orem. Este último caso será consierao somente em algumas hipóteses especificaas na referia norma, quano os pilares possuíres esbeltez acima a especificaa. Nas ecentriciaes e primeira orem, estão incluías a ecentriciae inicial e a aciental. Esta primeira ocorre quano eiste realmente uma istância o centro geométrico a seção ao ponto e aplicação a força ou quano se substitui o momento aplicao no pilar por uma força normal, somaa a uma ecentriciae fictícia. O outro tipo e ecentriciae e primeira orem, a aciental, ocorre pelo fato e se consierar a incerteza na posição eata o ponto e aplicação a força e também pela possibiliae e imperfeições globais e locais na eecução os elementos. Já nas ecentriciaes e seguna orem, estão englobaas as ecentriciaes evio aos efeitos e seguna orem e fato e as evio à fluência o concreto. As primeiras ocorrem evio aos esforços provenientes a posição eformaa a estrutura. Para tanto, se consiera um aumento na ecentriciae total, incluino a e seguna orem. A seguna ocorre evio à proprieae o concreto e se eformar ao longo o tempo. A NBR 6118 (ABNT, 01 recomena que seja consierao este tipo e ecentriciae quano a esbeltez os pilares estiver acima e PROCESSOS DE OTIMIZAÇÃO A otimização é um importante processo para eterminar a melhor solução para um problema ao. Este problema é chamao e objetivo e poe representar alguma quantiae, qualiae ou qualquer outro fator que poe ser apresentao como um número. Nos problemas e otimização são utilizaos alguns conceitos importantes e serem estacaos. Bastos (00 efine, entre outros, os conceitos e: variáveis e projeto, restrições, função objetivo, solução ótima e espaço e busca. As variáveis e projeto são toas aquelas características que têm seu valor moificao e acoro com a moelagem o processo e otimização; As restrições são as situações limites na qual o problema estuao não poe infringi-las. Ou seja, os valores a solução evem estar contios num espaço limitao pelas restrições; A função objetivo é o resultao a moelagem o problema. É a função na qual sintetiza toas as variáveis o projeto para chegar num valor para o objetivo o processo; A solução ótima é aquela na qual, entre too o conjunto possível e soluções, possui o melhor valor para a

7 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 função objetivo em estuo. Este poe ser o maior ou menor entre toos, epeneno o tipo e análise que está seno feita; O espaço e busca é o conjunto e toas as soluções viáveis para o problema, elimitaos pelas restrições impostas...1. Tipos e otimização. Chaves (00 escreve alguns tipos e moelos e otimização e os subivie em: Discreta e Contínua A otimização iscreta consiste numa função objetivo em que o número e soluções possíveis é eterminao. Ou seja, eiste um número finito e soluções no espaço e busca. Já a contínua é efinia por possuir um conjunto infinito e soluções, já que a função objetivo será contínua no espaço e busca especificao. Restrita e Não-Restrita Quano as variáveis e projeto possuem algum tipo e restrição, em que um conjunto e valores estas variáveis não poe ser assumio na função ela é chamaa e restrita. Já no caso em que as variáveis poem assumir quaisquer valores num conjunto ineterminao, ou seja, não possuem restrição, este tipo e otimização é chamao e não restrito. Aina quano for restrita, e toas as funções e restrição e também a função objetivo for linear, será feita uma programação linear. No caso em que qualquer uma estas funções for não linear, a programação será também não linear. Local e Global Uma solução é chamaa e local, quano ela é a menor ou maior epeneno a análise que está seno feita entro e uma vizinhança efinia ao reor esta. Esta solução não é necessariamente a menor ou maior entre toas as possíveis. A solução que atene o objetivo para toas as soluções eistentes em too o espaço e busca será chamaa e solução global. A solução global não é fácil e ser encontraa ou garantia. A maioria os algoritmos é capaz apenas e achar a solução local e um problema que será eterminao principalmente pelo ponto e partia ao. Neste caso eve-se fazer um estuo sobre a melhor solução ou ponto e partia para o problema. Probabilístico e Determinístico Processos e otimização em que a solução é encontraa por meio e solução matemática eata, baseao em formulações e métoos matemáticos e trabalho a função objetivo são chamaos e eterminísticos. Estes métoos são inicaos para funções mais simples com poucas variáveis, evio ao fato e se tornarem menos eficientes em termos e esforço computacional e procura a solução global. Os processos e otimização que se baseiam em probabiliaes e eventos e refinamento os possíveis conjuntos e solução são chamaos e estocásticos, ou probabilísticos. Um processo estocástico que tem sio bastante utilizao na atual literatura para o imensionamento e estruturas como em Da Silva (011, Bastos (00, e vários outros citaos em Meeiros e Kripka (01 é o métoo os algoritmos genéticos Algoritmo e Han-Powel (PQS. A Dao um ponto inicial 0 e uma aproimação a Hessiana a função Lagrangiana B 0, fazer k=0. Assim, B 0 é aa pela Equação 1: B 0 = b 0 I Eq. [1] Em que: B 0 = aproimação a Hessiana a função Lagrangiana; b 0 = parâmetro efinio pelo usuário o algoritmo; I = matriz Ientiae; O número e reinícios a matriz B é controlao pelo parâmetro n r efinio pelo usuário. O reinício e B serve para escartar a influência e pontos muito istantes o ponto atual. B Para k = k + 1, montar e resolver o problema e programação quarática efinio pela Equação eterminano os vetores k e λ k :

8 Minimizar: g t (k1 Sujeito a: t 1 t B F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 (k1 (k1 (k1 Ci a i 0 i= t ϵ R n Eq. [] (k1 (k1 Ci a i 0 i= m Em que: k+1 c i = vetor com restrições; k-1t a i = matriz com graiente as restrições; B k-1 = aproimação a Hessiana no ponto k-1. C Verificar os critérios e convergência o algoritmo (Equação : g t (k1 ma(c Em que: i k k toll tol Eq.[] g k 1t k tol1 = variação a função objetivo na ireção k ; ma(c i k tol = verifica eperimentalmente o valor a restrição mais violaa; Verificar também os critérios e paraa tais como: número e avaliações a função objetivo e número e iterações. D Se os critérios e convergência e/ou os e paraa não são atenios faz-se então uma busca linear uniimensional para eterminar o tamanho o passo t k, na ireção k e forma que o novo estimaor a solução k = k 1 + t k k seja um ponto que contribua para o ecréscimo a função objetivo. A busca é feita sobre a função e penaliae (p, construía no intuito e impor um alto custo à violação as restrições. Esta função é efinia pela Equação : p(t = p( + t = f( + r l i 1 i c i ( + l 1r.ma[c (,0] Eq. [] m i i Em que: r i = fatores e penaliaes; i A busca é aproimaa, isto é a solução t* não é o mínimo e p(t, mas atene a certo ecréscimo pré-estipulao em p(t consierao satisfatório. O coeficiente e ecréscimo a função é ao pelo parâmetro γ efinio pelo usuário. E Atualização a matriz B k o subproblema quarático através o métoo BFGS. F Retorno à etapa Métoo os Pontos Interiores. Outro métoo conhecio na literatura é o os pontos interiores. Ele trabalha especificamente com a região viável o problema. Ou seja, aquela na qual está elimitaa pela função objetivo e pelas funções e restrição, poeno estas ser e igualae ou e esigualae. Ele consiste basicamente em eterminar alguns pontos no interior esta região viável e a partir estes continuar a procura pelo ponto ótimo que pertencerá a mesma forma a esta região. Toos os pontos obtios em sequência possuirão sempre valores ecrescentes. Então, mesmo que a convergência para o ponto ótimo não seja garantia, o último ponto encontrao será sempre menor ou igual aos emais, portanto será viável. Rorigues Júnior (005 emonstra em seu trabalho um esquema este métoo que permite chegar às epressões gerais e seu esenvolvimento Algoritmos genéticos. Bastos (00 escreve que os Algoritmos Genéticos foram criaos baseaos na ieia e evolução as espécies seguno os princípios arwinianos one somente os inivíuos mais aptos sobrevivem no processo e reproução. Para isto o algoritmo trabalha com uma população e elementos, realizano operações e mutação, e cruzamento entre eles e e seleção, gerano esta forma inivíuos novos criaos a partir a prioriae e seleção os inivíuos reproutores mais aptos para realizarem as mesmas operações e esta forma prosseguir no processo e busca a solução ieal. Meeiros e Kripka (01 eplicam que a elaboração o algoritmo everá avaliar a aptião os inivíuos para escolha aqueles que

9 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 serão reprouzios e irão criar a nova geração. Estes são alteraos por ois operaores principais: a mutação e a recombinação. O primeiro moifica os genes o inivíuo. Ocorre com menos frequência o que a recombinação. Já esta seguna trabalha na construção e um novo resultao com base em ois inivíuos selecionaos ao acaso para esta operação. De acoro com a classificação e aptião já realizaa, aqueles com menos potencial terão também menor probabiliae e serem selecionaos para esta operação. Da Silva (011 ivie os algoritmos genéticos em cinco características principais ao serem manipulaos para encontrar a solução: coificação genética os resultaos para a questão; criação a população inicial e resultaos; análise e aptião os resultaos encontraos; operaores genéticos que manipularão os resultaos para obter novos inivíuos; parâmetros efinios no processo e mutação e reproução os resultaos; A manipulação estes parâmetros permitiu que se criassem coificações baseaas nos algoritmos genéticos, que são capazes e resolver uma infiniae e problemas relacionaos à otimização e forma robusta e com uma eficiência já comprovaa na literatura. trabalhar com métoos estocásticos, e neste caso, o métoo os algoritmos genéticos. Aina conforme revisao no item., os algoritmos genéticos têm sio amplamente utilizaos na atual literatura pelo fato e trabalharem bem com vários tipos iferentes e funções. Assim, é necessário que se realize um teste em um eemplo similar ao que será estuao com o objetivo e efinir qual estes métoos é o mais apropriao para este tipo e caso. Toos os métoos serão esenvolvios no programa MathLab. Para tanto, será utilizaa a função fmincon, que soluciona problemas eterminísticos restritos, para resolver o problema pelo métoo a programação quarática sequencial e pelo métoo os pontos interiores e a função ga, que soluciona problemas estocásticos pelo métoo os algoritmos genéticos. O eemplo escolhio será o mesmo esenvolvio por Vianna (00 e aprofunao por Chaves (00. No caso este trabalho, os autores esenvolveram um estuo e pilares submetios a alguns esforços normais e ecentriciaes iniciais teno como parâmetros e entraa os aos necessários como o f ck o concreto, o f yk o aço, cobrimento a armação, custos e concreto por uniae e volume, aço por uniae e peso e forma por uniae e área, peso específico o aço, entre outros fatores..1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA. EXEMPLOS COMPARATIVOS Eistem uas iretrizes a serem escolhias para se utilizar na otimização e pilares. A primeira é trabalhar com métoos eterminísticos e otimização, e neste caso em específico, o e programação quarática sequencial e o os pontos interiores. Conforme escrito no item., poe-se observar que estes métoos são apropriaos para eterminaos tipos e funções objetivo e e restrições, pelo fato e não trabalharem bem com funções que não sejam contínuas ou iferenciáveis. A seguna iretriz é Para poer comparar com mais proprieae os resultaos obtios pelas funções, será reprouzia apenas uma série e otimização estuaa pelos autores que será a e ecentriciae e 1,0 cm atuano na ireção a altura os pilares. Isto se eve pelo fato e que para se realizar um estuo aequao a função e algoritmos genéticos everão ser realizaos para caa esforço solicitantes, vários testes com valores iferentes e taas e mutação, cruzamento e tamanho a população. A função objetivo que os autores propuseram em seu estuo é a função e custo o pilar em função a seção transversal o pilar e a

10 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 área e aço. Ela é emonstraa por meio a Equação 5: F = C C. + C.(1 + Eq. [5] Em que: 1 = base a seção transversal o pilar (m; = altura a seção transversal o pilar (m; = Área e aço a seção transversal o pilar (m²; c 1 = Custo o concreto por uniae e volume (R$/m³; c = (Custo o aço por uniae e massa (peso específico o aço (R$/m³; c = (Custo e forma por uniae e área (R$/m²; Além a função objetivo, os autores aina efiniram as funções e restrição e acoro com algumas situações efinias em função o arranjo as armauras longituinais o pilar. As situações são conforme a Figura : One se efinem as situações a seguinte forma: X 0 cm Situação 1; 0cm X 80cm Situação ; 80cm X 10cm Situação ; X 10cm Situação. O comprimento L o pilar não foi consierao, pois os autores não analisaram as influências este parâmetro no imensionamento este pilar. A NBR 6118 (ABNT, 01 recomena que sejam feitas toas as análises referias à esbeltez e possíveis efeitos e seguna orem. Como o resultao os autores não levou em consieração estas análises, os resultaos obtios evem ser verificaos se atenem estes requisitos em outra análise separaa. Assim, os autores efiniram para caa situação as seguintes funções e restrição Equações e 6 a 9: 5 FIGURA 1: Arranjos e armaura utilizaos. FONTE: Vianna (00. Situação 1 : Situação : 0.85.f ( 1,5. c 0.85.f ( 6 1,5. c '(f ( - ' + (9. + f (7 - y 0 -.'(f ( - + ' (7 - ( + (17 (7 y ( ( ' - - M + ' - M y + f - N = 0 y = 0 - N = 0 = 0 Eq. [6] Eq. [7]

11 Situação : F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( f.. c 1 Situação : ( -.'(f y 0 1, Em que: = profuniae a linha neutra na seção transversal o pilar (m; = cobrimento a armação (m; N = Força normal atuante na seção transversal o pilar (kn; M = Momento Fletor atuante na seção transversal o pilar (kn.m; Além isto, os autores utilizaram os seguintes aos e entraa para resolverem a otimização os pilares: Resistência característica e e cálculo os materiais: f ck = 0 Mpa fc = 1,8 kn/cm²; f yk = 500 Mpa fy =,8 kn/cm². Custo os materiais: Custo o concreto: R$ 8,9 / m³; Custo o aço: R$,7 / kg; Custo a forma: R$ 1,58 / m². Valores limites a variáveis: 0 cm 1 0 cm; 0 cm 160 cm; 0, ,0.1.; = cm. Valores as forças atuantes: Força Normal:.000 kn a kn com incrementos e kn; Momento Fletor Atuante: Como a ecentriciae é e 1cm, o momento variará e 0 kn.m a 100 kn.m com incrementos e 10 kn.m... FORMULAÇÃO E RESULTADOS DA PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA SEQUENCIAL. (6-5 + ' 0.85.f.. + (98 +.f c 1 (7 - ( ' ( -.'(f y (7-1, (1 + (7,5 5 (7-7, ' y - M +.f ( ' (7 - - N y - M = 0 - N = 0 = 0 = 0 6 Eq. [8] Eq. [9] De acoro com as Equações 5, 6, 7, 8 e 9, além os limites e aos e entraa apresentaos na seção anterior, eve-se formular e apresentar o problema e acoro com a estrutura a função fmincon o programa MathLab para que este possa ser implementao e analisao. A estrutura esta função é a seguinte (Equação 10: c( 0 c eq ( = 0 min f( emque= A. b Eq. [10] A. = b eq eq lb ub Em que: = o vetor as variáveis o problema; b = o vetor resposta o sistema e inequações lineares; beq = o vetor resposta o sistema e equações lineares; lb e ub = vetores e limite superiores e inferiores o vetor as variáveis; A = a matriz o sistema e inequações lineares; Aeq = a matriz o sistema e equações lineares o problema; c( = o vetor que contém as inequações não lineares o problema; ceq( = o vetor que contém as equações não lineares o problema; f( = a função objetivo o problema; Os resultaos obtios com a programação feita no MathLab, utilizano toa formulação esenvolvia nesta seção se encontram na Tabela 1:

12 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 7 TABELA 1 : Resultaos obtios com a programação quarática sequencial. Seção N (kn M (kn.cm b h As (cm² Custo (R$/m ,1 9,1 6,15 50 R$ 97, ,97 9, 9 R$ 16, ,6 1, R$ 16, ,1 15,8 16 R$ 06, , 18,5 19 R$, ,6 1,8 187 R$ 8, ,8,9 199 R$ 19, ,81 00 R$, , 00 R$ 57,5.. FORMULAÇÃO E RESULTADOS DOS PONTOS INTERIORES. O métoo os pontos interiores, quano programao no Mathlab com auílio o pacote e funções e otimização este software, possui a mesma estrutura que o métoo a programação quarática sequencial. Deste moo, não serão repetias as funções escritas na seção anterior. Assim, os resultaos obtios com este métoo são conforme Tabela a seguir: X TABELA : Resultaos obtios com os pontos interiores. Seção N (kn M (kn.cm b h As (cm² Custo (R$/m , 9,7 5,5 7,1 R$ 96, ,97 9, 17,8 R$ 16, ,6 1, R$ 17, ,1 15,8 9,1 R$ 06, , 18,5 9,99 R$, ,6 1,8 1,56 R$ 8, ,8,9 19,97 R$ 19, ,81 18,65 R$, , 19,98 R$ 57,5

13 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01.. FORMULAÇÃO E RESULTADOS DOS ALGORITMOS GENÉTICOS. Para programar no MathLab o problema escrito, e moo que seja solucionao pelos algoritmos genéticos, foi utilizaa a função ga o pacote e funções já contias no próprio programa. A estrutura esta função assemelha-se com a função utilizaa na programação quarática sequencial nos parâmetros e entraa. Desta forma, foram utilizaas as mesmas funções objetivo, e restrições lineares e não lineares, bem como os limites superiores e inferiores para caa situação. Convém, entretanto, estacar que foram refeitas para os mesmos aos e entraa, cinco vezes a análise, e o resultao mais aequao (aquele com menor custo final foi o escolhio. Além isto, os resultaos e caa problema variam aina com a escolha e alguns fatores utilizaos na programação o algoritmo genético. Dentre estes fatores estacam-se o tamanho a população, o valor a taa e cruzamento, e o valor a taa e mutação. TELES E GOMES (010, estacam em seu trabalho que os valores mais apropriaos para estes fatores em um problema como este são e 00, 00 e 100 para o tamanho a população, 100%, 80% e 60% para a taa e cruzamento, e 10%, 5% e 1% para a taa e mutação variano a combinação estes fatores em caa problema específico. Desta forma, também será combinao os valores estes parâmetros e o resultao mais apropriao será escolhio para caa caso. Assim, foram obtias 7 combinações iferentes entre estes parâmetros e entraa, além e serem analisaas 5 vezes caa combinação esta, chegano num total e 15 análises para caa seção a tabela. Os melhores valores foram escolhios e comparaos com os resultaos obtios pelo métoo a programação quarática sequencial e os pontos interiores. Os resultaos obtios pelos algoritmos genéticos poem ser visualizaos conforme Tabela : 8 X TABELA : Resultaos obtios com algoritmos genéticos. Seção N (kn M (kn.cm b h As (cm² (m Custo (R$/m ,07 8,97 6,98 1 R$ 99, ,0 60,8 9,6 1,6 R$ 17, ,79 78,97 1,79 1,6 R$ 17, ,18 100,68 15,7, R$ 08, ,6 116,1 5,66, R$ 55, ,9 15,9 5,08, R$ 87, ,66 156,9 6,81, R$, ,98 158, 76,05, R$, ,98 15,5 19,1,0 R$ 581,05

14 .5. ANÁLISE DOS RESULTADOS. F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 Com os resultaos obtios por meio os algoritmos esenvolvios no software MathLab com auilio as funções fmincon e ga para esenvolver a técnica e otimização e programação quarática sequencial, pontos interiores e e algoritmos genéticos respectivamente, foram feitas análises para ientificar o métoo mais inicao para o caso em estuo. A Tabela mostra os resultaos obtios para a função objetivo este eemplo: o custo por metro os pilares estuaos. O custo os pilares obtio pela programação com o métoo a programação quarática sequencial e os pontos interiores quano comparaos com o os algoritmos genéticos foram menores em toas as situações. Isto significa que a programação matemática é apropriaa para este problema, pelo fato e as funções objetivo e e restrições preencherem toos requisitos citaos nas seções anteriores, como serem conveas, eriváveis em primeira e seguna orem, entre outros. Estes fatores fazem com que os métoos e programação escolhios sejam bastante eficazes, quano comparao com métoos heurísticos como o algoritmo genético. Para melhor visualização a comparação entre os resultaos obtios com os respectivos métoos, poe-se observar a Figura 5. 9 X Tabela : Comparação entre os resultaos obtios. Seção CUSTO PQS CUSTO PONT. INT. CUSTO AG R$700,00 R$600,00 R$500,00 R$00,00 R$00,00 1 R$ 97,8 R$ 96,9 R$ 99,0 R$ 16,61 R$ 16,61 R$ 17,7 R$ 16,69 R$ 17,7 R$ 17,0 R$ 06,70 R$ 06,70 R$ 08, 5 R$,9 R$,99 R$ 55,11 6 R$ 8,7 R$ 8,7 R$ 87,99 7 R$ 19,50 R$ 19,50 R$,10 8 R$, R$, R$,61 9 R$ 57,5 R$ 57,5 R$ 581,05 R$00,00 R$100,00 R$- CUSTO PQS CUSTO AG CUSTO PONT. INT Figura 5: Comparação entre os métoos e otimização.

15 F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 Poe-se visualizar também as seções transversais obtias em caa métoo por meio a Tabela 5. Ao se comparar os valores as seções transversais obtias, verifica-se que toos foram próimos uns os outros, variano pouco em caa variável para caa caso. Isto ocorre porque foram toos moelaos com as mesmas funções objetivo e e restrições, evio ao fato e se utilizarem pacotes o software Mathlab, que já uniformizam e certa forma os aos e entraa os algoritmos. As iferenças encontraas evem-se, portanto ao moo como é encontraa a solução ótima em caa métoo. Embora não se tenha os valores eatos os resultaos ótimos estas funções na literatura, poe-se concluir, a partir os resultaos obtios nas análises, que para este caso o métoo mais apropriao é o e programação matemática ao invés os métoos heurísticos. 5. CONCLUSÕES Poe-se perceber que eiste uma infiniae e problemas na área e imensionamento e estruturas que o estuo e otimização é utilizável, pois o objetivo e too imensionamento é obter sempre uma estrutura com menor custo, peso e outros fatores que poem ser maimizaos ou X minimizaos. A sofisticação o tema estará sempre na moelagem mais aequaa à realiae possível para gerar resultaos mais satisfatórios e maior abrangência e aplicabiliae. No caso o eemplo estuao, após a otimização ter sio feita por ois métoos eterminísticos e um probabilístico, foi possível perceber que os primeiros obtiveram melhores resultaos que o último. Isto poe ser eplicao pelo fato e que quano as funções objetivo e e restrições obeecem às limitações impostas pelo métoo, ou seja, são contínuas e iferenciáveis, os métoos eterminísticos trabalham melhor que os probabilísticos. Ao comparar aina os resultaos o algoritmo que utilizou a programação quarática sequencial com o algoritmo que utilizou o métoo os pontos interiores, foi possível perceber que os resultaos obtios foram, para toas situações, muito próimos ou iguais. Conclui-se com isto que ambos os métoos são inicaos para este eemplo. É importante estacar, no entanto, que quanto mais simplificações nas técnicas utilizaas, maior é o comprometimento os resultaos, e menor será sua utilização fugino o objetivo que é obter o projeto ótimo para o problema ao. Por isto o principal cuiao para o sucesso o algoritmo e otimização está na moelagem para que permita estuar e inserir o maior número possível e valores para as variáveis relacionaas à função objetivo. Tabela 5 : Valores as seções transversais obtias nos métoos. 0 SEÇÃO b h PQS AG PONTOS INTERIORES As (cm² b h As (cm² b h As (cm² 1 9, 9, 6, 50,0 9,1 9,0 7,0 100,0 9, 9, 5,5 7, 0,0 59,0 9, 9,0 9,0 60, 9,6 160,0 0,0 59,0 9, 17,8 0,0 78,6 1,6 100,0 9,8 79,0 1,8 160,0 0,0 78,6 1,6 159,0 0,0 96,1 15, 16,0 8, 100,7 15, 0,0 0,0 96,1 15, 9,1 5 0,0 115, 18,5 19,0 8,6 116,1 5,7 0,0 0,0 115, 18,5 0,0 6 0,0 16, 1,8 187,0 9,9 15, 5,1 0,0 0,0 16, 1,8 1,6 7 0,0 155,8,9 199,0 9,7 156,5 6,8 0,0 0,0 155,8,9 0,0 8 0,0 160,0 70,8 00,0 0,0 158, 76,1 0,0 0,0 160,0 70,8 18,7 9 0,0 160,0 18, 00,0 0,0 15,5 19, 0,0 0,0 160,0 18, 0,0

16 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS F. M. SIAS, E. C. ALVES - REEC Revista Eletrônica e Engenharia Civil Vol 9 - nº ( 01 1 Associação Brasileira e Normas Técnicas. NBR 6118: Projeto e estruturas e concreto - Proceimento. Rio e Janeiro, 01. ARGOLO, W. P.; Otimização e seções e concreto armao submetias à fleo-compressão reta utilizano algoritmos genéticos f. Dissertação (Mestrao em Ciências em Engenharia Civil COPPE, Universiae Feeral o Rio e Janeiro, Rio e Janeiro, 000. BASTOS, E. A. Otimização e Seções Retangulares e Concreto Armao Submetias à Fleo-Compressão Oblíqua Utilizano Algoritmos Genéticos. 00, 151f. Dissertação (Mestrao em Ciências em Engenharia Civil COPPE, Universiae Feeral o Rio e Janeiro, Rio e Janeiro, 00. CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M.; Cálculo e Detalhamento e Estruturas Usuais e Concreto. São Paulo: PINI, 009, 589 p., Volume. SMANIOTTO, A.; Dimensionamento e Detalhamento Automático e Pilares Retangulares Submetios à Fleão Composta Oblíqua f. Dissertação (Mestrao em Engenharia Civil - Curso e Pós- Grauação em Engenharia Civil, Universiae Feeral e Santa Catarina, Santa Catarina, 005. TELES, M. L.; GOMES, H. M. Comparação e algoritmos genéticos e programação quarática sequencial para otimização e problemas em engenharia. Rev. Teoria e prática na Engenharia Civil. Rio Grane, n.15, p-9-9, 010. VIANNA, L. C. C. Otimização e seções transversais e concreto armao: aplicação a pórticos f. Dissertação (Mestrao em Engenharia e Estruturas Escola e Engenharia e São Carlos, Universiae e São Paulo, São Carlos, 00. CHAVES, I. A. Otimização e Pilares e Concreto Armao Meiante Uniformização o Ínice e Confiabiliae f. Dissertação (Mestrao em Engenharia e Estruturas Escola e Engenharia e São Carlos, Universiae e São Paulo, São Carlos, 00. FUSCO, P. B. Estruturas e Concreto: Solicitações Normais. Rio e Janeiro: Eitora Guanabara Dois, 1995, 6p. MATLAB, Optimization toolbo user s guie. Natick: Mathworks, 007. MEDEIROS, G.F.; KRIPKA, M. Algumas aplicações e métoos heurísticos na otimização e estruturas. Rev. CIATEC, Universiae e Passo Funo, v., n.1, p.p.19-, 01. RODRIGUES JÚNIOR, S. J. Otimização e Pilares e Eifícios Altos e Concreto Armao f. Tese (Doutorao em Engenharia Civil Programa e Pós- Grauação em Engenharia Civil, Pontifícia Universiae Católica o Rio e Janeiro, Rio e Janeiro, 005. DA SILVA, M. M.; Otimização e Estruturas Reticulaas Incluino Não-Lineariae Geométrica f. Dissertação (Mestrao em Moelagem Computacional Universiae Feeral e Juiz e Fora, Juiz e Fora, 011.