Soluções nodais para problemas elípticos semilineares com crescimento crítico exponencial

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1 Universidade Federal da Paraíba Universidade Federal de Campina Grande Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática Doutorado em Matemática Soluções nodais para problemas elípticos semilineares com crescimento crítico exponencial por Denilson da Silva Pereira João Pessoa - PB Dezembro/2014

2 Soluções nodais para problemas elípticos semilineares com crescimento crítico exponencial por Denilson da Silva Pereira sob orientação do Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves Tese apresentada ao Corpo Docente do Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática - UFPB/UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Matemática. João Pessoa - PB Dezembro/2014 ii

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5 Resumo Neste trabalho, estudamos resultados de existência, não existência e multiplicidade de soluções nodais para a equação de Schrödinger não-linear (P ) u + V (x)u = f(u) em Ω, onde Ω é um domínio suave em não necessariamente limitado, f é uma função que possui crescimento crítico exponencial e V é um potencial contínuo e não-negativo. Na primeira parte, mostramos a existência de soluções nodais de energia mínima em ambos os casos, domínio limitado e ilimitado. Mostramos ainda um resultado de não existência de solução nodal de energia mínima para o caso autônomo em todo o. Na segunda parte, estabelecemos a multiplicidade de soluções do tipo multi-bump nodal. Finalmente, para V 0, mostramos um resultado de existência de innitas soluções nodais em uma bola. As principais ferramentas utilizadas são Métodos Variacionais, Lema de Deformação, Lema de Lions, Método de penalização e um processo de continuação anti-simétrica. Palavras-chave: Equação de Schrödinger, Crescimento crítico exponencial, Soluções nodais, Métodos variacionais, Desigualdade de Trudinger-Moser. iv

6 Abstract In this work, we study existence, non-existence and multiplicity results of nodal solutions for the nonlinear Schrödinger equation (P ) u + V (x)u = f(u) in Ω, where Ω is a smooth domain in which is not necessarily bounded, f is a continuous function which has exponential critical growth and V is a continuous and nonnegative potential. In the rst part, we prove the existence of least energy nodal solution in both cases, bounded and unbounded domain. Moreover, we also prove a nonexistence result of least energy nodal solution for the autonomous case in whole. In the second part, we establish multiplicity of multi-bump type nodal solutions. Finally, for V 0, we prove a result of innitely many nodal solutions on a ball. The main tools used are Variational methods, Lions's Lemma, Penalization methods and a process of anti-symmetric continuation. Keywords: Schrödinger equation, Exponential critical growth, Nodal solutions, Variational Methods, Trudinger-Moser inequality. v

7 Agradecimentos À minha mãe Zulmira Pereira, a quem devo todas as minhas vitórias. Ao meu pai, por ter me dado a vida e pelos ensinamentos. Aos meus irmãos Dennys, Dayane e Dani pelo amor e carinho que sempre me deram. À minha esposa Elaine, pelo amor e companheirismo. Ao prof. Claudianor, pela excelente orientação, disponibilidade, paciência e amizade. Ao prof. Giovany, por iniciar meus estudos em EDP's Elípticas, quando eu ainda era um aluno de graduação. Aos meus amigos Ailton, Amanda, Cláudia Aline, Kelmem, João Rodrigues e Rafael Abreu. Aos professores da UAMat-UFCG, em especial aos profs. Alciônio, Brandão, Daniel Cordeiro, Fernando, Henrique, Joseilson, Lindomberg, Marcelo e Marco Aurélio, por estarem sempre a disposição quando precisamos de alguma ajuda e também pelos ensinamentos. Aos Professores Carlos Alberto, Grey Ercole, Manassés Xavier e Pablo Braz e Silva por aceitarem compor a banca julgadora deste trabalho e pelas sugestões dadas. À extinta Unidade Acadêmica de Matemática e Estatistica da UFCG, por ter concedido minha liberação para capacitação. Meu muito obrigado a todos os professores e funcionários! vi

8 Sem dedicação, não há vitória, sem sacrifício, não há recompensa. A Dor é passageira, mas a Glória é eterna! Guilherme Antunes de Souza vii

9 Dedicatória À minha mãe Zulmira. viii

10 Sumário Notação e terminologia Introdução Solução nodal minimal em um domínio limitado Problema de Dirichlet Solução nodal minimal em Existência de solução nodal de energia mínima para o problema nãoautônomo Demonstração do Teorema Existência de solução nodal radial minimal para o problema autônomo Não existência de soluções nodais de energia mínima para o problema autônomo Soluções do tipo multi-bump nodal para uma classe de problemas elípticos em envolvendo crescimento crítico exponencial Introdução Notações e resultados preliminares Problemas de Dirichlet e Neumann Um problema auxiliar Um valor crítico especial de Φ λ Uma família especial de soluções nodais para (A) λ Demonstração do Teorema Innitas soluções nodais em bolas 105

11 4.1 Demonstração do Teorema Demonstração do Teorema A Resultados gerais 125 Referências 131 x

12 Lista de Figuras 4.1 Setor angular A m Reexão de A em relação ao eixo x Sinal das soluções Caso m =

13 Notação e terminologia Se f é uma função integrável, denotaremos por Denotaremos por H 1 (Ω) o espaço de Sobolev e por H 1 (Ω) := a norma usual em H 1 (Ω). { u L 2 (Ω) : ( u 1,Ω = u 2 + Ω Ω f a seguinte integral } u L 2 (Ω); i = 1, 2 x i Ω u 2 ) 1/2, Ω f(x)dx. Denotaremos por C 0 (Ω) o espaço de todas as funções u C (Ω) com suporte, supp u, compactamente contido em Ω, por H 1 0(Ω) o fecho de C 0 (Ω) na norma de H 1 (Ω) e por a norma usual em H 1 0(Ω). ( ) 1/2 u Ω = u 2, Ω Para um subconjunto aberto Ω, os símbolos u q,ω (q > 1) e u,ω denotam as normas usuais nos espaços L q (Ω) e L (Ω), respectivamente. O símbolos u 1, u q H 1 ( ), L q ( ) e L ( ), respectivamente. u + (x) = max{u(x), 0} e u (x) = min{u(x), 0}. (q > 1) e u denotam as normas usuais nos espaços

14 Denotaremos por sgn(s) = 1, se s > 0, 0, se s = 0, 1, se s < 0. Para um intervalo (a,b) e l N, denotamos por (a, b) l o produto cartesiano (a, b) (a, b) (a, b) }{{} l vezes Para um conjunto A R N, denotamos por A, Ā, A e A c, a fronteira, o fecho, a medida de Lebesgue e o complementar de A em R N, respectivamente. A abreviação q.t.p. signica quase todo ponto, ou seja, a menos de um conjunto com medida de nula. A notação (P S) c, signica sequência de Palais-Smale no nível c. o n (1) denota uma sequência de números reais convergindo para 0, quando n. As setas e, denotam convergência forte e convergência fraca em espaços de Banach, respectivamente.

15 Introdução A proposta deste trabalho é estudar resultados de existência, não existência e multiplicidade de soluções nodais, ou seja, soluções que mudam de sinal, para a equação de Schrödinger não-linear (P ) u + V (x)u = f(u) em Ω, onde Ω é um domínio suave e não necessariamente limitado, V : Ω R é um potencial contínuo e a não-linearidade f é uma função contínua tendo crescimento crítico exponencial, o qual denimos a seguir: Dizemos que f tem crescimento crítico exponencial em ± quando existe α 0 > 0 tal que f(s) 0, para todo α > α 0 lim = s ± e αs2 +, para todo α < α 0. Uma vez que iremos trabalhar com o crescimento crítico exponencial, algumas versões da Desigualdade de Trudinger-Moser são cruciais em nossos argumentos. A primeira versão que gostaríamos de relembrar é a versão devida a Trudinger e Moser, ver [55] e [45], a qual diz que se Ω é um domínio limitado em com fronteira Ω suave, então para qualquer u H 1 0(Ω), tem-se Ω e α u 2 < +, para todo α > 0. (1) Além disso, existe uma constante C = C(α, Ω ) > 0 tal que sup e α u 2 C, α 4π. (2) u Ω 1 Ω

16 Uma versão em H 1 (Ω) foi provada por Adimurthi e Yadava [3], e diz que se Ω é novamente um domínio limitado com fronteira suave, então para qualquer u H 1 (Ω), e αu2 < +, para todo α > 0. (3) Ω Além disso, existe uma constante positiva C = C(α, Ω ) tal que sup u H 1 (Ω) 1 e αu2 C, α 2π. (4) Ω A terceira versão que usaremos é devida a Cao [26], a qual é uma versão da Desigualdade de Trudinger-Moser em todo o espaço e tem o seguinte enunciado: 1) < +, para todo u H 1 ( ) e α > 0. (5) (e α u 2 Além disso, se α < 4π e u 2 M, então existe uma constante C 1 = C 1 (M, α) > 0 tal que sup u 2 1 (e α u 2 1) C 1. (6) Nos últimos anos, observamos um crescente interesse no estudo da existência e multiplicidade de soluções nodais para problemas elípticos. Em [29], Cerami, Solimini e Struwe mostraram a existência de múltiplas soluções nodais para a seguinte classe de problemas elípticos com crescimento crítico u λu = u 2 2 u, em Ω, u = 0, sobre Ω, onde Ω = B R (0) R N, N 7, 2 = 2N N 2 e λ [0, λ 1], onde λ 1 é o primeiro autovalor de (, H 1 0(Ω)). Em Bartsch e Willem [21], os autores estabeleceram a existência de innitas soluções nodais radiais para o problema u + u = f( x, u), em R N, u H 1 (R N ), onde f é uma função contínua com crescimento subcrítico do tipo Sobolev: u p 2 u com 2 < p < 2. Em [27], Cao e Noussair relacionaram o número de soluções positivas e nodais da seguinte classe de problemas u + u = Q(x) u p 2 u, em R N, u H 1 (R N ), 3 (P 1 ) (P 2 ) (P 3 )

17 onde 2 < p < 2, com o número de pontos de máximo da função Q. Em [28], Castro, Cossio e Neuberger consideraram o problema u = f(u), em Ω, u = 0, sobre Ω, (P 4 ) onde Ω R N é um domínio suave e f C 1 tem um crescimento superlinear e subcrítico com f (0) < λ 1. Os autores estabeleceram a existência de uma solução w que muda de sinal apenas uma vez, i.e., w 1 (R \ {0}) possui exatamente duas componentes. Em Noussai e Wei [46, 47], foi provada a existência e concentração de soluções nodais para o problema ɛ 2 u + u = f(u), em Ω, Bu = 0, sobre Ω, quando ɛ 0, onde Ω é um domínio limitado e suave, com condição de fronteira Bu = u em [46] e Bu = u η em [47]. Em [23], Bartsch e Wang consideraram a existência e concentração de soluções nodais para a seguinte classe de problemas u + (λa(x) + 1)u = f(u), em R N, u H 1 (R N ), quando λ +, supondo que f tem crescimento subcrítico e a : R N função contínua e não negativa com a 1 ({0}) sendo não vazio e vericando {x R N ; a(x) M 0 } < + para algum M 0 > 0. (P 5 ) (P 6 ) R é uma Em [16], Bartsch, Liu e Weth mostraram a existência de solução nodal com exatamente duas regiões nodais para o problema u + a(x)u = f(u), em R N, u H 1 (R N ), onde a é uma função não negativa vericando: (P 7 ) {x B r (y) : a(x) M} 0 quando y + para qualquer M, r > 0. 4

18 O leitor pode encontar mais resultados envolvendo soluções nodais nos artigos de Bartsch, Weth and Willem [18], Bartsch e Weth [19], Alves e Soares [8], Bartsch, Clapp e Weth [24], Zou [57] e em referências contidas em todos os trabalhos citados acima. Depois de uma revisão na literatura, observamos que existem poucos trabalhos onde a existência de solução nodal tem sido considerada para o caso em que a nãolinearidade f tem um crescimento crítico exponencial. Conhecemos apenas os trabalhos de Adimurthi e Yadava [4], Alves [6] e Alves e Soares [10]. Em [4], os autores provaram a existência de innitas soluções radiais para o problema (P 4 ) quando Ω = B R (0). Em [6], o autor mostrou a existência de solução nodal para uma classe de problemas em domínio exterior com condição de fronteira de Neumann, e em [10], a existência de solução nodal foi estabelecida para problemas do tipo ɛ 2 u + V (x)u = f(u), em R N, u H 1 (R N ), para ɛ sucientemente pequeno e V vericando algumas condições técnicas. Motivados por este fato, nosso objetivo na presente tese é, a partir de um conjunto especíco de hipóteses sobre V, f e Ω, analisar as questões de existência, não existência e multiplicidade de soluções nodais para o problema (P ). No Capítulo 1, estudamos a existência de soluções nodais de energia mínima para o problema (P ), ou seja, soluções que atingem o nível de menor energia dentre todas soluções que mudam de sinal, no caso em que Ω é um domínio limitado, V : Ω R é um potencial contínuo e não-negativo e f satisfaz as seguintes hipóteses: (f 1 ) (Crescimento crítico exponencial) Existe C > 0 tal que f(s) Ce 4π s 2 para todo s R; (f 2 ) (Comportamento próximo da origem) f(s) lim s 0 s (f 3 ) (Condição de Ambrosetti-Rabinowitz) = 0; 5

19 Existe θ > 2 tal que 0 < θf (s) := θ s 0 f(t)dt sf(s), para todo s R \ {0}. (f 4 ) A função s f(s) s é estritamente crescente em R \ {0}. (f 5 ) Existem constantes p > 2 e C p > 0 tais que sgn(s)f(s) C p s p 1, para todo s R. Como sabemos, a aplicabilidade do método variacional depende da geometria do funcional associado ao problema e de alguma condição de compacidade, por exemplo, a condição de Palais-Smale. No caso de problemas com crescimento crítico exponencial, o funcional energia não satisfaz, em geral, a condição de Palais Smale. A constante C p da hipótese (f 5 ) desempenha um papel importante para contornar a falta de compacidade. Neste capítulo, mostramos que o conjunto de hipóteses dado acima e uma limitação inferior adequada para a constante C p são sucientes para garantir a existência de solução nodal de energia mínima para o problema (P ) com condição de fronteira Bu = 0 sobre Ω, para os dois casos seguintes: Bu = u, u H 1 0(Ω) (Condição de Dirichlet); Bu = u ν, u H1 (Ω) (Condição de Neumann). Este capítulo complementa o estudo feito em [29], pois estamos considerando o caso em que a não-linearidade f tem crescimento crítico exponencial. Além disso, nos nossos argumentos não necessitamos supor que f é ímpar, fato que desempenhou um papel fundamental nos argumentos usados em [29] para garantir a existência de solução nodal de energia mínima para (P 1 ). A hipótese (f 5 ) é uma generalização natural, para o contexto de funções que mudam de sinal, da hipótese inicialmente considerada em Cao [26], a qual foi posteriormente utilizada em outros trabalhos envolvendo crescimento crítico exponencial (ver [11] e [6]). No Capítulo 2, consideramos o problema (P ) no caso em que Ω =. Obtemos dois resultados para o problema autônomo (V constante): o primeiro é um resultado de não existência de solução nodal de energia mínima e o segundo é um resultado 6

20 de existência de solução nodal radial de energia mínima, i.e., solução de menor energia dentre todas as soluções nodais radiais. Posteriormente, mostramos a existência de solução nodal de energia mínima para um problema não autônomo. Neste caso, assumimos as seguintes hipóteses sobre o potencial V : (V 1 ) Existe uma constante V 0 > 0 tal que V 0 V (x), para todo x ; (V 2 ) Existe uma função contínua e Z 2 -periódica V : R satisfazendo V (x) V (x) x e lim V (x) V (x) = 0. x (V 3 ) Existem µ < 1/2 e C > 0 tais que V (x) V (x) Ce µ x, para todo x. Assumiremos que f é uma função ímpar vericando as mesmas hipóteses (f 1 ) (f 5 ) utilizadas no primeiro capítulo. Em todos os resultados deste capítulo, assim como no Capítulo 1, vamos precisar de uma limitação inferior adequada para a constante C p dada na hipótese (f 5 ). Os resultados obtidos nos Capítulos 1 e 2 fazem parte do artigo Alves e Pereira [7], o qual foi aceito para publicação na revista Topological Methods in Nonlinear Analysis (TMNA). No Capítulo 3, consideramos a seguinte classe de problemas elípticos u + (λv (x) + 1)u = f(u), em R N, u H 1 (R N ), (P ) λ onde λ (0, ), V : R N R é uma função contínua com V (x) 0 para todo x R N. Existem diversos artigos relacionados com a existência e multiplicidade de soluções positivas para (P ) λ em R N, onde o comportamento da função V desempenha um papel importante no estudo das soluções. Para o caso N 3, ver por exemplo, os artigos de Bartsch e Wang [22], Clapp e Ding [30], Bartsch, Pankov e Wang [15], Gui [37], Ding e Tanaka [33] e Alves, de Morais Filho e Souto [14]. 7

21 Em [33], Ding e Tanaka consideraram o problema (P ) λ assumindo que o conjunto Ω = int V 1 ({0}) tem k componentes conexas e f(s) = s q 2 s com 2 < q < 2, eles mostraram que (P ) λ tem pelo menos 2 k 1 soluções multi-bump positivas para valores grandes de λ, que são essenciamente funções que tem uma quantidade nita de máximos locais, levando em consideração a quantidade de componentes conexas do conjunto Ω. Alguns argumentos explorados em [33] foram adaptados de argumentos encontrados nos trabalhos de del Pino e Felmer [49] e Séré [53]. O mesmo tipo de resultado foi obtido por Alves, de Morais Filho e Souto em [14] e Alves e Souto [13], assumindo que f tem crescimento crítico para o caso N 3 e crítico exponencial para o caso N = 2, respectivamente. Em [5], Alves motivado por [30] e [33] considerou a existência e multiplicidade de soluções do tipo multi-bump nodal para (P ) λ explorando também o número de componentes conexas do conjunto Ω := int V 1 {0}, assumindo que a não-linearidade f tem crescimento subcrítico. Motivados por [13] e [5], mostramos a existência e multiplicidade de soluções do tipo multi-bump nodal para (P ) λ quando f tem crecimento crítico exponencial em. O principal resultado deste capítulo completa os estudos feitos em [13] e [5] nos seguintes pontos: Em [13], apesar do crescimento da não-linearidade ser o mesmo assumido aqui, as soluções encontradas são positivas; Em [5], as soluções encontradas são do tipo multi-bump nodal, mas a não linearidade tem um crescimento subcrítico. A construção minimax é diferente do caso das soluções multi-bump positivas. No Capítulo 4, estudamos o problema u = f(u), em B, u = 0, sobre B, (P ) onde B é uma bola em e f é uma função ímpar satisfazendo as condições (f 1 ) (f 2 ), e as seguintes hipóteses adicionais: 8

22 (H 1 ) Existem s 0 > 0 e M > 0 tais que 0 < F (s) := s 0 f(t)dt M f(s), para todo s s 0. (H 2 ) 0 < F (s) 1 f(s)s, para todo s R \ {0}. 2 (H 3 ) lim s sf(s)e 4πs2 = + Dividindo B em setores angulares e usando o Teorema do Passo da Montanha, mostramos a existência de uma solução positiva em um dos setores de B. A partir desta solução e de um processo de continuação anti-simétrica mostramos a existência de innitas soluções nodais em B. número de regiões em que elas mudam de sinal. Estas soluções diferem-se umas das outras pelo A hipótese (H 3 ) foi inicialmente considerada em Adimurthi [2], ver também [34]. Esta hipótese será fundamental para garantirmos não só a existência, mas também a innidade de soluções nodais. Citamos a seguir dois artigos que nos motivaram a estudar o problema (P ). Em [31], Comte e Knaap desenvolveram um processo de continuação anti-simétrica para provar a existência de innitas soluções nodais para o problema com crescimento crítico u = λu + u 2 1 u, em B, u η = 0, sobre B, onde λ R e B R N é uma bola, com N 3. Este resultado foi extendido ou complementado por de Morais Filho, Miyagaki e Faria em [44], onde os autores mostraram que o sistema elíptico onde B R N operador gradiente, ( ) 1 U = 2 (AU, U) + F (U) U = 0, sobre B, η, em B, (P ) (S ) é uma bola, U = (u, v) H 1 (Ω) H 1 (Ω), U = ( u, v), é o A = a b b c M 2 2 (R), 9

23 (, ) é o produto interno canônico e F (u, v) = 2 2 ( u α v β + u 2 + v 2 ) com α, β > 1 tais que α + β = 2, possui innitas soluções nodais, desde que b 0. Nosso principal resultado neste capítulo complementa os estudos feitos em [31] e [44], pois extendemos o processo de continuação anti-simétrica de Comte e Knaap para não-linearidades f sendo apenas contínua e ímpar, e por considerarmos o caso em que f tem crescimento crítico exponencial. É importante observar que em ambos os trabalhos citados acima, foi considerada a condição de fronteira de Neumann, tendo em vista que a Identidade de Pohozaev [48] garante que o problema (P ), com condição de fronteira de Dirichlet, não possui soluções para λ < 0 e N 3. 10

24 Capítulo 1 Solução nodal minimal em um domínio limitado Neste capítulo, estudamos a existência de soluções nodais de energia mínima para o problema (P ) quando Ω é um domínio limitado em com condição de Dirichlet e de Neumann sobre a fronteira. Nossa motivação vem do trabalho de Cerami, Solimini e Struwe [29], no entanto, desenvolvemos aqui um novo método para obter uma sequência de Palais-Smale de funções nodais associada com o nível nodal de energia mínima. 1.1 Problema de Dirichlet Nesta seção, consideramos a existência de solução nodal de energia mínima para o problema de Dirichlet u + V (x)u = f(u), em Ω, u = 0, sobre Ω, onde Ω é um domínio limitado com fronteira suave, V : Ω R é um potencial contínuo e não negativo e f é uma função contínua vericando as seguintes condições: (f 1 ) Existe C > 0 tal que (f 2 ) lim s 0 f(s) s = 0; f(s) Ce 4π s 2 para todo s R; (D)

25 (f 3 ) Existe θ > 2 tal que 0 < θf (s) := θ s 0 f(t)dt sf(s), para todo s R \ {0}; (f 4 ) A função s f(s) s é estritamente crescente em R \ {0}; (f 5 ) Existem constantes p > 2 e C p > 0 tais que sgn(s)f(s) C p s p 1 para todo s R. O principal resultado nesta seção é o seguinte. Teorema Seja V : Ω R um potencial contínuo e não-negativo e suponha que (f 1 ) (f 5 ) são válidas. Então, o problema (D) possui uma solução nodal de energia mínima, desde que a constante C p verique e [ ] (p 2)/2 2θβp C p >, onde β p = inf I p, (1.1) θ 2 M p I p (u) = 1 ( u 2 + V (x)u 2) 1 u p 2 Ω p Ω { } M p = u H0(Ω) 1 : u ± 0 e u ± 2 + V (x) u ± 2 = u ± p. Ω Ω No que segue, denotamos por E o espaço de Sobolev H0(Ω) 1 munido da norma ( u 2 V = u 2 + V (x) u 2). Tem-se que E é um espaço de Hilbert com produto interno denido por u, v V = ( u v + V (x)uv). Ω Ω Além disso, a norma V é equivalente a norma usual Ω de H0(Ω) 1 denida por u 2 Ω = u 2, Ω pois u 2 Ω u 2 V (1 + V 1 /λ 1 ) u 2 Ω, u H 1 0(Ω), (1.2) onde λ 1 é o primeiro autovalor de (, H0(Ω)) 1 e V 1 = max V (x). x Ω 12

26 Segue das hipóteses (f 1 ) e (f 2 ) que, dados ɛ > 0, q 1 e α > 4π, existe uma constante C = C(ɛ, q, α) > 0 tal que Consequentemente, f(s) ɛ s + C s q 1 e αs2, para todo s R. (1.3) F (s) ɛ s2 2 + C s q e αs2, para todo s R. (1.4) Assim, pela Desigualdade de Trudinger-Moser (2), F (u) L 1 (Ω) para todo u E. Usando argumentos padrão, mostra-se que o funcional energia I : E R associado com (D), dado por I(u) = 1 2 u 2 V Ω F (u), está bem denido sendo de classe C 1 (E; R) com I (u)v = u, v V f(u)v, u, v E. Ω Portanto, pontos críticos de I são soluções fracas do problema (D). Sabemos que todo ponto crítico não trivial de I pertence a variedade de Nehari N = {u E \ {0} : I (u)u = 0}. Como estamos interessados em solução nodal de energia mínima, denimos o conjunto e o número real M = {u E : u ± 0, I (u ± )u ± = 0}, c = inf u M I(u). Interpretamos uma solução nodal de energia mínima, como sendo uma função u M satisfazendo I(u) = c e I (u) = 0. No que segue, estabelecemos alguns resultados necessários para demonstrar o Teorema O primeiro deles, já é clássico na literatura, e sua demonstração pode ser encontrada em Willem [56, Lema 4.1]. Lema Sob as condições (f 1 ) (f 4 ), para qualquer u H 1 0(Ω) \ {0}, existe um único t = t(u) > 0 tal que t(u)u N. Além disso, max I(su) = I(t(u)u). s 0 13

27 Observação O leitor pode perceber que no Lema 4.1 de [56] a não-linearidade tem um crescimento subcrítico, no entanto, a demonstração do Lema (onde a não-linearidade tem crescimento crítico exponencial) é essencialmente a mesma. Corolário Sob as condições (f 1 ) (f 4 ), para qualquer u H 1 0(Ω) vericando u ± 0, existem únicos s = s(u) > 0 e t = t(u) > 0 tais que s(u)u + + t(u)u M. O próximo resultado estabelece uma limitação superior para a constante c que será explorada ao longo do trabalho. Lema Seja θ o número denido pela condição (f 3 ). Tem-se c < θ 2 2θ. Demonstração. Seja ũ M p vericando I p (ũ) = β p e I p(ũ) = 0. (1.5) O leitor pode encontrar a demonstração da existência de ũ em Bartsch and Weth [20]. Segue de (1.5) que e β p = 1 2 Substituindo (1.7) em (1.6), obtemos Ω Ω Ω( ũ 2 + V (x) ũ 2 ) 1 p ( ũ 2 + V (x) ũ 2 ) = ( ũ ± 2 + V (x) ũ ± 2 ) = β p = ( p ) Ω Ω Ω ũ p, (1.6) ũ p (1.7) ũ ± p. (1.8) ũ p. (1.9) Ω Sendo ũ H 1 0(Ω) com ũ ± 0, pelo Corolário 1.1.4, existem únicos s, t > 0 tais que sũ + + tũ M. Logo, c I(sũ + + tũ ) = I(sũ + ) + I(tũ ), o que implica em c s2 2 Ω ( ũ V (x) ũ + 2) Ω F (sũ + ) 14

28 + t2 2 Ω ( ũ 2 + V (x) ũ 2) Usando a hipótese (f 5 ) e (1.8) camos com ( s c 2 2 C ) ps p ũ + p + p Ω de onde segue que Um cálculo simples mostra que ( t 2 Ω 2 C pt p p { r c 2 max r 0 2 C } pr p ũ p. p Ω { r 2 max r 0 2 C } pr p p F (tũ ). ) ( = C 2 2 p 1 p 2 1 ), p ũ p, Ω e portanto por (1.9) ( c C 2 2 p 1 p 2 1 ) p Ω ũ p = C 2 2 p p β p. (1.10) A desigualdade em (1.10), juntamente com (1.1), implica em c < θ 2 2θ, como queriamos demonstrar. O próximo lema estabelece dois importantes limites envolvendo a função f. Lema Seja (u n ) uma sequência em E satisfazendo (1) b := sup u n 2 V < 1; n N (2) u n u em H 1 0(Ω) e; (3) u n (x) u(x) q.t.p. em Ω. e Então, para qualquer v E. lim n lim n f(u n )u n = f(u)u (1.11) Ω f(u n )v = Ω Ω Ω f(u)v, (1.12) 15

29 Demonstração. Segue da hipótese (f 1 ) que Armamos que f(u n )u n C u n e 4π un 2, n N. u n e 4π un 2 Ω u e 4π u 2 em L 1 (Ω), quando n. (1.13) De fato, desde que u n 2 Ω u n 2 V b, para t > 1 temos (e 4π un 2) t = Ω ( ) un 2 e 4πt un 2 Ω un Ω Ω Ω e 4πtb ( un un Ω ) 2. Sendo b < 1, podemos xar t > 1 com t 1 de tal modo que tb < 1. Sendo assim, pela Desigualdade de Trudinger-Moser (2), ( sup e 4π un 2) t sup n v Ω 1 Logo, a sequência (e 4π un 2 ) é limitada em L t (Ω) e Assim, pelo Lema A.9 do Apêndice A, Ω Ω e 4πtb v 2 <. e 4π un(x) 2 e 4π u(x) 2 q.t.p. em Ω. e 4π un 2 e 4π u 2 em L t (Ω). (1.14) Por outro lado, usando a compacidade da imersão H 1 0(Ω) L t (Ω), u n u em L t (Ω), onde 1/t + 1/t = 1. (1.15) Segue de (1.14), (1.15) e do Lema A.8 do Apêndice A, que o limite em (1.13) ocorre. Portanto, a demonstração do limite em (1.11) é obtida usando o Teorema da Convergência Dominada Generalizada de Lebesgue (Teorema A.12 do Apêndice A). A demonstração de (1.12) segue usando o mesmo argumento. O resultado abaixo é bem conhecido para problemas em R N com N 3. Aqui, decidimos escrever sua demonstração porque estamos trabalhando com crescimento crítico exponencial. Lema Existe uma constante m 0 > 0 tal que 0 < m 0 u 2 V, u N. 16

30 Demonstração. Começamos xando q > 2 em (1.3). Suponha por contradição que a desigualdade acima não ocorra. Sendo assim, existe uma sequência (u n ) N tal que u n 2 V 0, quando n. Sendo u n N, temos o que implica por (1.3) em u n 2 V = Ω u n 2 V ɛ u n 2 2,Ω + C f(u n )u n, Pelas imersões de Sobolev e desigualdade de Hölder, Ω u n q e α un 2. ( ) 1/2 u n 2 V C 1 ɛ u n 2 V + C u n q 2q,Ω e 2α un 2. Ω Usando as imersões contínuas de Sobolev, ( ) 1/2 (1 C 1 ɛ) u n 2 V C 2 u n q V e 2α un 2. Ω Escolhendo ɛ > 0 sucientemente pequeno, de modo que C 3 := 1 C 1ɛ > 0, encontramos C 2 ( ) 1/2 0 < C 3 u n q 2 V e 2α un 2. (1.16) Ω Sendo u n 2 0, quando n, existe n 0 N tal que 2α u n 2 4π, n n 0. Usando novamente a Desigualdade de Trudinger-Moser (2), Ω e 2α un 2 = e 2α un 2 Ω Ω ( ) un 2 ( ) un Ω e 4π un 2 un Ω C, n n 0. Ω Logo, por (1.16), 0 < ( C3 C ) 1/(q 2) u n V, n n 0, o que contradiz o fato que u n V 0, quando n. Como uma consequência do Lema 1.1.7, temos os seguintes resultados. Corolário Para todo u M, 0 < m 0 u ± 2 V u 2 V. 17

31 Corolário Existe δ 2 > 0 tal que I(u), I(u ± ) 2δ 2 u M. Demonstração. Note que se v N, então I(v) = I(v) 1 ( 1 θ I (v)v = 2 1 ) v 2 V θ Logo, de (f 3 ) e do Lema 1.1.7, ( 1 I(v) 2 1 θ ) v 2 V Ω (F (v) 1θ f(v)v ). ( ) m 0 := 2δ 2, v N. θ O resultado segue observando que se u M, então u, u ± N. No que segue, mostraremos alguns resultados relacionados com o conjunto S λ := {u M : I(u) < c + λ}, onde λ > 0 é uma constante a ser xada convenientemente. Lema Para todo u S λ, tem-se 0 < m 0 u ± 2 V u 2 V m λ, para alguma constante m λ (0, 1) e λ > 0 sucientemente pequeno. Demonstração. Sendo S λ M, em vista do Corolário 1.1.8, precisamos apenas mostrar que existe m λ > 0 tal que u 2 V m λ < 1, u S λ. Para tal m, note que se u S λ, c + λ I(u) = I(u) 1 θ I (u)u = Logo, pela condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ), ( ) θ 2 c + λ u 2 V. 2θ ( ) u 2 V (F (u) 1θ ) θ f(u)u. Ω Tendo em vista o Lema 1.1.5, podemos xar λ > 0 sucientemente pequeno de tal modo que ( ) θ 2 c + λ <, 2θ 18

32 e portanto u 2 V 2θ(c + λ) θ 2 Assim completamos a prova do lema. := m λ < 1, u S λ. O próximo lema é fundamental para garantir que o limite fraco de uma sequência de Palais-Smale em S λ é uma função nodal. Lema Para cada q > 2, existe δ q > 0 tal que 0 < δ q u ± q u q, u S λ. Demonstração. Sendo u S λ M, e por (f 1 ), Ω u ± 2 V = u ± 2 V C Ω Ω Ω f(u ± )u ±, u ± e 4π u± 2. Usando imersões contínuas de Sobolev e a Desigualdade de Hölder, onde 1/t 1 + 1/t 2 = 1. Pelo Corolário 1.1.8, e pelo Lema , ( ) 1/t2 u ± 2 V C u ± t1,ω e 4πt 2 u ± 2, Ω m 0 C u ± t1,ω m 0 C u ± t1,ω ( ( e 4πt 2 u ± 2 Ω Ω e 4πt 2m λ Ω ( ( u ± u ± Ω ) 2 ) 1/t2, u ± u ± Ω ) 2 ) 1/t2. Sendo m λ < 1, podemos xar 1 < t 2 próximo de 1 de tal modo que t 2 m λ < 1 e t 1 > 2. Pela Desigualdade de Trudinger-Moser (2), existe uma constante C > 0 tal que e 4πt 2m λ Ω Logo, para alguma constante C 1 > 0, ( u ± u ± Ω ) 2 C, u S λ. C 1 u ± t1,ω, u S λ. (1.17) 19

33 Agora, suponha por contradição que existe q 0 > 2 e uma sequência (u n ) S λ tal que u ± n q0,ω 0, quando n. Pelo Lema e por imersões contínuas de Sobolev, (u ± n ) é limitada em L s (Ω), para cada s > 2. Logo, pelo Lema A.7 do Apêndice A, u n s,ω 0, quando n, para todo s > 2, o que contradiz (1.17). Portanto, o Lema ocorre. No que segue, para um conjunto Θ E e r > 0, denotamos por Θ r := {u E : dist(u, Θ) < r}. O próximo lema será crucial para garantirmos que, para uma escolha adequada de um número real R > 1, o conjunto { [ ]} S := sru + + tru : u S 1 λ e s, t R, 1, 2 tem uma sequência (P S) c de funções nodais para o funcional I. Lema Existe R > 0 tal que I(R 1 u ± ), I(Ru ± ) < 1 2 I(u± ), u S λ. Demonstração. Sejam u S λ e R > 0. Pela denição de I e por (f 3 ), I(R 1 u ± ) = 1 2 u± 2 V F (R 1 u ± ) 1 Ω 2 u± 2 V. Usando o Lema , I ( R 1 u ±) m λ 2 < δ 2, para R > 0 sucientemente grande. Assim, pelo Corolário 1.1.9, I ( R 1 u ±) < δ I(u± ), u S λ. Segue da condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ), que existem constantes b 1, b 2 > 0 tais que F (t) b 1 t θ b 2, t R, 20

34 de onde segue que I(Ru ± ) = R2 2 u± 2 V F (Ru ± ) R2 m λ b 1 R θ u ± θ + b 2 Ω. Ω 2 Ω Pelo Lema , existe δ θ > 0 tal que Logo, Ω u ± θ δ θ. I(Ru ± ) = R2 2 u± 2 V F (Ru ± ) R2 m λ b 1 R θ δ θ + b 2 Ω. Ω 2 Sendo θ > 2, concluimos que I(Ru ± ) < 0 < δ I(u± ), u S λ, para R > 0 sucientemente grande. Seja P o cone das funções não-negativas denido por P = {u E : u 0 q.t.p. em Ω} e considere o conjunto Λ = P ( P ), formados pelas funções com sinal denido. O resultado seguinte garante que a distância entre os conjunto Λ e S é positiva. Lema d 0 := dist(s, Λ) > 0. Demonstração. Suponha por contradição que dist(s, Λ) = 0. Então, existem sequências (v n ) S e w n Λ tais que v n w n Ω 0, quando n. (1.18) Podemos supor sem perda de generalidades que [ w n (x) ] 0, para todo x Ω e todo n N. Sendo v n S, existem u n S 1 λ e s n, t n R, 1 tais que v 2 n = s n Ru + n +t n Ru n. Pelo Lema , u n é limitada em E. Logo, podemos assumir que v n (x) s 0 Ru + 0 (x) + t 0 Ru 0 (x) q.t.p. em Ω, 21

35 [ ] 1 para algum u 0 E e s 0, t 0 R, 1. Por outro lado, por (1.18) e pelo fato que (v 2 n ) é limitada em E, tem-se que (w n ) é também limitada em E. Por unicidade de limite, temos w n (x) s 0 Ru + 0 (x) + t 0 Ru 0 (x) q.t.p. em Ω. Mas pelo Lema e por imersões compacta de Sobolev, u ± 0 o fato que w n (x) 0, para todo x Ω e todo n N. 0. O que contradiz A próxima proposição garante a existência de uma sequência (P S) c nodais para o funcional I. No que segue, para r > 0, denotamos de funções S r := {u E : dist(u, S) r} Proposição Dados ɛ, δ > 0, existe u I 1 ([c 2ɛ, c + 2ɛ]) S 2δ vericando I (u) < 4ɛ δ. Demonstração. De fato, caso contrário, existem ɛ o, δ o > 0 tais que Assim, para cada n N, Sendo I (u) 4ɛ o δ o, u I 1 ([c 2ɛ o, c + 2ɛ o ]) S 2δo. I (u) 4ɛ o/n δ o /n, u I 1 ([c 2ɛ o, c + 2ɛ o ]) S 2δo. I 1 ([c 2ɛ o /n, c + 2ɛ o /n]) S 2δo/n I 1 ([c 2ɛ o, c + 2ɛ o ]) S 2δo, tem-se I (u) 4ɛ o/n δ o /n, u I 1 ([c 2ɛ o /n, c + 2ɛ o /n]) S 2δo/n. Logo, podemos xar n N sucientemente grande de tal modo que ɛ := ɛ { } o n < min 2δ2 5, λ δ o, δ := n < d 0 2 (1.19) e I (u) 4 ɛ δ, u I 1 ([c 2 ɛ, c + 2 ɛ]) S 2 δ. Logo, pelo Teorema de Deformação (Teorema A.16 do Apêndice A), existe uma aplicação contínua η : E E satisfazendo: 22

36 (i) η(u) = u, u / I 1 ([c 2 ɛ, c + 2 ɛ]) S 2 δ; (ii) η(u) u Ω δ u E; (iii) η ( I c + ɛ S ) I c ɛ S δ; (iv) η é um homeomorsmo. Pela denição de c, para tal ɛ > 0, existe u M vericando Agora, dena Q = I(u ) < c + ɛ 2. (1.20) ( ) 2 1 R, 1 e considere γ : Q E denida por 2 γ(s, t) = η(sru + + tru ). Uma vez que u ± N, temos I(sRu + + tru ) = I(sRu + ) + I(tRu ) I(u + ) + I(u ) = I(u ). Logo, pela escolha de ɛ feita em (1.19) e por (1.20), I(sRu + + tru ) I(u ) < c + ɛ 2 < c + ɛ < c + λ, para todo (s, t) Q. Assim, u S λ, e pela denição de S, sru + + tru I c + ɛ S, e pelo item (iii), I(γ(s, t)) = I(η(sRu + + tru )) < c ɛ, (s, t) Q. (1.21) Segue do item (ii) que γ(s, t) (sru + + tru ) Ω δ, e pela escolha de δ feita em (1.19), para v Λ, temos γ(s, t) v Ω = γ(s, t) (sru + + tru ) + (sru + + tru ) v Ω (sru + + tru ) v Ω γ(s, t) (sru + + tru ) Ω d 0 δ > d 0 d 0 2 = d 0 2 > 0, 23

37 para todo (s, t) Q. Portanto, Armação Existem (s 0, t 0 ) Q tal que γ(s, t) ± 0, (s, t) Q. (1.22) I (γ(s 0, t 0 ) ± )(γ(s 0, t 0 ) ± ) = 0. Suponha, por um momento, que a Armação seja verdadeira. Por (1.22), γ(s 0, t 0 ) ± 0. Logo, γ(s 0, t 0 ) M, de onde segue que I(γ(s 0, t 0 )) c, o que contradiz (1.21), demonstrando a Proposição Para demonstrar que a Armação é verdadeira, usaremos a Teoria do Grau de Brouwer (ver [38, Capítulo 2]). Dena as funções H, G : Q por H(s, t) := (I (γ(s, t) + ))(γ(s, t) + ), I (γ(s, t) ))(γ(s, t) )) e G(s, t) := (I (sru + )(sru + ), I (tru )(tru )). [ ] 1 Desde que as aplicações g 1, g 2 : R, 1 R dadas por 2 g 1 (s) = I (sru + )(sru + ) e g 2 (t) = I (tru )(tru ) são contínuas, pela Fórmula Produto para o Grau de Brouwer em dimensão dois, temos ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 d(g, Q, (0, 0)) = d g 1, R, 1, 0 d g 2 2, R, 1, 0. 2 ( ( ) ) 1 Agora, vamos calcular d g 1, R, 1, 0. Para isto, relembremos a denição do Grau 2 Topológico em dimensão um: Seja g : [a, b] R uma função contínua tal que g(a) y e g(b) y. Denimos d(g, (a, b), y) := 1 [sgn(g(b) y) sgn(g(a) y)]. 2 Assim, d(g 1, (1/, 1), 0) := 1 2 [ sgn(g1 (1)) sgn(g 1 (1/ )) ]. 24

38 Segue da condição (f 4 ) que o máximo max s 0 I(sRu+ ) é atingido em s = 1/R. Sendo 0 < 1/ < 1/R < 1, pela geometria do funcional I, temos g 1 (1/ ) = I ( 1 R u+ ) 1 R u+ > 0 e Logo, g 1 (1) = I (Ru + )Ru + < 0. d(g 1, (1/, 1), 0) = 1 [ 1 1] = 1 2 Analogamente, mostra-se que d(g 2, (1/, 1), 0) = sgn( g 2 (1/ )) = 1. Portanto, d(g, Q, (0, 0)) = ( 1).( 1) = 1. Agora, observe que γ(s, t) = η(sru + + tru ) = sru + + tru, (s, t) Q. (1.23) [ ] 1 De fato, sejam s = 1/ e t R, 1. Pelo Lema , 2 I(sRu + + tru ) = I( 1 R u + ) + I(tRu ) < I(u + ) + I(u ) = I(u ) I(u + ). 2 2 Por (1.20), Corolário e pela escolha de ɛ > 0 feita em (1.19), I(sRu + + tru ) < c + ɛ 2 δ 2 < c 2 ɛ, ou seja, 1 R u + + tru / I 1 ([c 2 ɛ, c + 2 ɛ]) S 2 δ, [ ] 1 para todo t R, 1. Logo, pelo item (i), 2 γ ( ) ( ) 1 1 R, t = η 2 R u + + tru = 1 R u + + tru. 25

39 Os outros casos são similares. Assim, γ(s, t) + = sru + e γ(s, t) = tru, (s, t) Q, e portanto H G sobre Q. Consequentemente, pela Propriedade de dependência na fronteira do Grau de Brouwer, d(h, Q, (0, 0)) = d(g, Q, (0, 0)) = 1 0 Sendo assim, da Propriedade de existência de solução, existe (s 0, t 0 ) Q tal que H(s 0, t 0 ) = (0, 0), ou seja, I (γ + (s 0, t 0 ))γ + (s 0, t 0 ) = 0 e I (γ (s 0, t 0 ))γ (s 0, t 0 ) = 0. Portanto, γ(s 0, t 0 ) η(g(q)) M, concluindo a demonstração da Armação Demonstração do Teorema Para cada n N, considere ɛ = 1 4n e δ = 1. Pela Proposição , existe n u n S 2/ n vericando u n I 1 ([c 1/2n, c + 1/2n]) e I (u n ) 1 n. Sendo u n S 2/ n, por continuidade, existe (v n ) S satisfazendo I(v n ) c e I (v n ) 0, em outras palavras, (v n ) é uma sequência (P S) c de funções nodais para I. Armação A sequência (v n ) é limitada em E e, para uma subsequência de (v n ), ainda denotada por (v n ), lim sup v n 2 V < 1. n 26

40 De fato, sendo (v n ) S, é simples ver que (v n ) é limitada em E. Logo, I (v n )v n = o n (1) e c + o n (1) = I(v n ) 1 ( 1 θ I (v n )v n = 2 1 ) v n 2 V [F (v n ) 1 θ Ω θ f(v n)v n ]. A igualdade acima, junto com (f 3 ) e o Lema 1.1.5, implica em lim sup v n V 2θc n θ 2 < 1. Agora, seja v 0 E o limite fraco de (v n ) em E. Combinando a Armação com o Lema 1.1.6, deduzimos que v 0 é uma solução fraca do problema (D). Finalmente, para concluir a demonstração, devemos mostrar que v ± 0 v n v 0 em E; 0. Sabemos que v n (x) v 0 (x) q.t.p. em Ω; e v n v 0 em L q (Ω). Por outro lado, sendo v n S, existem constantes s n, t n v n = s n Ru + n + t n Ru n. Logo, a menos de subsequência, [ ] 1 R, 1 e u 2 n S λ, tais que v n (x) = s n Ru + n (x) + t n Ru n (x) s 0 Ru + 0 (x) + t 0 Ru 0 (x) q.t.p. em Ω, [ ] 1 para algum par s 0, t 0 R, 1, onde u 2 0 E é o limite fraco da sequência (u n ) S λ. Por unicidade do limite, v 0 (x) = s 0 Ru + 0 (x) + t 0 Ru 0 (x) q.t.p. em Ω. Usando o Lema , para q > 2 escolhido arbitrariamente, existe δ q > 0 tal que u ± n q δ q Ω Passando ao limite de n na desigualdade acima e usando a compacidade da imersão H0(Ω) 1 L q (Ω), deduzimos que u ± 0 q δ q > 0, mostrando que u ± 0 0. Portanto, Ω v + 0 = s 0 Ru e v 0 = t 0 Ru 0 0, completando a demonstração do Teorema

41 Observação Usando os mesmos argumanetos da Seção 1.1, trabalhando agora com a Desigualdade de Trudinger-Moser dada em (3) e (4), é possível mostrar a existência de solução nodal de energia mínima para a equação de Schrödinger com condição de fronteira de Neumann u + V (x)u = f(u), em Ω, u ν = 0, sobre Ω, onde Ω é um domínio em com fronteira suave, e V : Ω R é um potencial contínuo vericando V (x) V 0 > 0, para todo x Ω. Mais precisamente, temos o seguinte resultado: Teorema Suponha que as hipóteses (f 1 ) (f 5 ) são válidas. Então, o problema (N) possui uma solução nodal de energia mínima, desde que a constante C p verique [ C p > 4θβ p V 0 (θ 2) ] (p 2)/2, onde V 0 = min{1, V 0 }. (N) 28

42 Capítulo 2 Solução nodal minimal em Neste capítulo, mostramos que o caso autônomo (V V 0 > 0) do problema (P ), quando Ω =, não possui solução nodal de energia mínima. Mostramos ainda que é possível obter a existência de solução nodal de energia mínima para o problema nãoautônomo (P ) em, no caso em que V é limitado inferiormente por uma constante positiva e que no innito se aproxima de um potencial Z 2 -periódico. Ainda sobre o problema autônomo, mostramos um resultado de existência de solução nodal radial minimal, i.e., solução nodal radialmente simétrica e de menor energia dentre todas as soluções radiais. 2.1 Existência de solução nodal de energia mínima para o problema não-autônomo. Nesta seção, mostramos um resultado de existência de solução nodal de energia mínima para o problema não-autônomo: u + V (x)u = f(u) em, u H 1 ( ), onde V : R é um potencial contínuo satisfazendo (V 1 ) Existe uma constante V 0 > 0 tal que V 0 V (x), para todo x ; (P )

43 (V 2 ) Existe uma função contínua e Z 2 -periódica V : R satisfazendo V (x) V (x), x e lim V (x) V (x) = 0. x (V 3 ) Existem µ < 1/2 e C > 0 tais que V (x) V (x) Ce µ x, para todo x. Vamos supor que a não-linearidade f seja uma função contínua e ímpar, satisfazendo as mesmas hipóteses (f 1 ) (f 5 ), enunciadas no Capítulo 1. O nosso principal resultado para o problema não-autônomo é o seguinte. Teorema Suponha que as hipóteses (V 1 ) (V 3 ) são válidas e que f seja uma função ímpar satisfazendo as hipóteses (f 1 ) (f 5 ). Então, o problema elíptico { u + V (x)u = f(u), in, (P ) u H 1 ( ), possui uma solução nodal de energia mínima, desde que a constante C p verique onde e J p (u) = 1 2 [ ] (p 2)/2 2θγ p C p >, (2.1) V0 (θ 2) V0 = min{1, V 0 }, γ p = inf J p, M B1 (0) ( u 2 + V 1 u 2) 1 u p, V 1 = max B 1 (0) p V (x) B 1 (0) x M p B 1 (0) = {u H1 0(B 1 (0)) : u ± 0 e J p(u ± )u ± = 0}. A idéia para demonstrar o Teorema foi inspirada em Alves, Soares e Souto [9] e consiste no seguinte: Usaremos o Teorema para obter uma solução nodal de energia mínima u n H0(B 1 n (0)), para o problema de Dirichlet quando Ω = B n (0), n N. Em seguida, mostramos que a sequência (u n ) é fracamente convergente em H 1 ( ) e que o seu limite fraco é uma solução nodal de energia mínima para o problema (P ) em. 30

44 No que segue, vamos considerar a seguinte norma em H 1 (Ω): ( ( u = u 2 + V (x) u 2) ) 1/2 Por (V 1 ) e (V 2 ), tem-se que é equivalente a norma usual em H 1 ( ): ( ( u 1 = u 2 + u 2) ) 1/2, pois V 0 u 2 1 u 2 V 1 u 2 1, u H 1 ( ), (2.2) onde V 1 = max{1, V 1 }. Daqui em diante, denotamos por E o espaço H 1 ( ) munido com a norma. Usando as hipóteses (f 1 ) e (f 2 ), mostra-se que para cada ɛ > 0, q 1 e β 4, existe uma constante C = C(ɛ, q, β) > 0 tal que o que implica em ) f(s) ɛ s + C s (e q 1 βπs2 1, para todo s R, (2.3) ) sf(s), F (s) ɛs 2 + C s (e q βπs2 1, para todo s R. (2.4) Assim, pela Desigualdade de Trudinger-Moser devida a Cao (6), temos F (u) L 1 ( ) para todo u H 1 ( ). Portanto, o funcional energia associado com (P ), dado por I(u) = 1 2 u 2 F (u), u E, está bem denido. Além disso, mostra-se que I é um funcional de classe C 1 sobre E com I (u)v = [ u v + V (x)uv] f(u)v, u, v E. Consequentemente, pontos críticos de I são precisamente as soluções fracas de (P ). Sabemos que toda solução não trivial de I pertence a variedade de Nehari N := {u E \ {0} : I (u)u = 0}. Dizemos que uma função u N é uma solução de energia mínima de (P ) quando I(u) = c 1 e I (u) = 0, 31

45 onde c 1 = inf u N I(u). Como estamos interessados em solução nodal de energia mínima, denimos o conjunto: M = {u E : u ± 0, I (u ± )u ± = 0}, e o número real c = inf u M I(u). Note que toda solução nodal de (P ) pertence a M. Dizemos que u M é uma solução nodal de energia mínima de (P ) quando Lema O número c verica I(u) = c e I (u) = 0. c < V 0 (θ 2). 2θ Demonstração Ver Lema do Capítulo 1. No que segue, enunciamos alguns resultados já obtidos na literatura, os quais serão necessários para demonstrar o Teorema O primeiro pode ser encontrado em Alves, Carrião e Medeiros [12]. Lema Seja F C 2 (R, R + ) uma função convexa e par tal que F (0) = 0 e f(s) = F (s) 0, s [0, + ). Então, para todo t, s 0, F (t s) F (t) F (s) 2(f(t)s + f(s)t). Os dois resultados seguintes são devido a Alves, do Ó e Miyagaki [11]. O primeiro resultado está relacionado com a existência de solução positiva do problema (P ) para potenciais Z 2 -periódicos. Teorema Suponha que as hipóteses (V 1 ) (V 2 ), (f 1 ) (f 5 ) e (2.1) são válidas. Então u + V (x)u = f(u), em, (P ) u H 1 ( ), 32

46 possui uma solução positiva de energia mínima, isto é, existe ū H 1 ( ) tal que ū > 0, I (ū) = c e I (ū) = 0, onde I (u) = 1 ( u 2 + V (x)u 2) F (u), u H 1 ( ), 2 e N denota a variedade de Nehari c = inf u N I (u) N = {u H 1 ( ) \ {0} : I (u)u = 0}. O segundo resultado está relacionado com o caso assintoticamente periódico. Teorema Suponha que as hipóteses (V 1 ) (V 2 ), (f 1 ) (f 5 ) e (2.1) são válidas. Então, o problema (P ) possui uma solução positiva de energia mínima, ou seja, existe u 1 H 1 ( ) tal que u 1 > 0, I(u 1 ) = c 1 e I (u 1 ) = 0. Além disso, temos o seguinte resultado devido a Alves [6]. Teorema Assuma que (f 1 ) e (f 2 ) são válidas. Então, qualquer solução positiva ū do problema (P ) satisfaz e (I) lim ū(x) = 0 x (II) C 1 e a x ū C 2 e b x in, onde C 1 e C 2 são constantes positivas e 0 < b < 1 < a. Além disso, podemos escolher a = 1 + δ, b = 1 δ, para δ > 0. O mesmo resultado vale para a função u 1 dada no Teorema Demonstração. Usando o crescimento de f dado em (2.3), temos f(ū) ɛ ū + C ( ) e βπū2 1. Logo, denindo h(x) := f(ū(x)) e usando o Lema A.1 do Apêndice A, para q > 1 ( q h(x) q (2ɛ) q ū q + (2C) q e βπū2 1). R 2 ( ) (2ɛ) R q ū q + C e βπqū Logo, pela Desigualdade de Trudinger-Moser (5), temos h L q loc (R2 ) para todo q 1. Por argumentos Bootstrap, para x e R > 0, tem-se ū W 2,q (B R (x)) com ū W 2,q (B R (x)) C ( ) h L q (B 2R (x)) + ū L q (B 2R (x)) 33

47 o que implica em ū W 2,q (B R (x)) C ( h L q (B 2R (x)) + ū L 2 (B 2R (x))). Usando a imersão contínua W 2,q (B R (x)) C( B R (x)), obtemos ū L (B R (x)) C ( h L q (B 2R (x)) + ū L 2 (B 2R (x))). A última desigualdade implica que ū L ( ) e lim ū(x) = 0. x As desigualdades em (II) envolvendo as funções exponenciais seguem usando o mesmo argumento de Li e Yan [39]. A próxima proposição é um ponto importante em nosso argumento para obter solução nodal de energia mínima, uma vez que estabelece uma importante estimativa superior para o nível c. Proposição Suponha que f é uma função ímpar satisfazendo (f 1 ) (f 5 ) e que as hipóteses (V 1 ) (V 3 ) são válidas. Então, c < c 1 + c. Demonstração. Sejam ū uma solução positiva de energia mínima de (P ) e u 1 uma solução positiva de energia mínima de (P ) dadas no Teorema e Teorema 2.1.5, respectivamente. Vamos denir ū n (x) = ū(x x n ), onde x n = (0, n) e para α, β > 0 ( h ± n (α, β) = (αu1 βū n ) ± 2 + V (x) (αu 1 βū n ) ± 2) R 2 f((αu 1 βū n ) ± )(αu 1 βū n ) ±. Usando o fato que I (u 1 )u 1 = 0 e a hipótese (f 4 ), e ( (u1 /2) 2 + V (x)(u 1 /2) 2) f(u 1 /2)(u 1 /2) ( f(u1 ) = f(u ) (u1 ) 1/2) 2 > 0. (2.5) u 1 (u 1 /2) 2 ( 2 (u1 ) 2 + V (x) 2u 1 2) f(2u 1 )(2u 1 ) R ( 2 f(u1 ) = f(2u ) 1) (2u 1 ) 2 < 0. (2.6) u 1 2u 1 34

48 e Agora, observe que por uma mudança de variáveis, temos ( (ūn /2) 2 + V (x)(ū n /2) 2) ( = (ū/2) 2 + V (x + x n )(ū/2) 2) (2.7) Segue de (V 2 ) que quando n, e f(ū n /2)(ū n /2) = f(ū/2)(ū/2). (2.8) V (x + x n )(ū(x)/2) 2 V (x)(ū(x)/2) 2 q.t.p. em V (x + x n )(ū/2) 2 V (x)(ū/2) 2 L 1 ( ), n N. Logo, Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, ( (ū/2) 2 + V (x + x n )(ū/2) 2) ( (ū/2) 2 + V (x)(ū/2) 2). (2.9) Segue de (2.9) e (2.7) que ( (ūn /2) 2 + V (x)(ū n /2) 2) ( (ū/2) 2 + V (x)(ū/2) 2). (2.10) Usando a hipótese (f 4 ), obtemos ( I (ū/2)(ū/2) = (ū/2) 2 + V (x)(ū/2) 2) f(ū/2)(ū/2) > 0. Logo, por (2.8) e (2.10), existe n 0 N tal que ( (ūn /2) 2 + V (x)(ū n /2) 2) f(ū n /2)(ū n /2) > 0, (2.11) para todo n n 0. Analogamente, mostra-se que ( (2ūn ) 2 + V (x)(2ū n ) 2) f(2ū n )(2ū n ) < 0. (2.12) para todo n n 0. Armação Existe n 0 > 0 tal que h + n (1/2, β) > 0, h + n (2, β) < 0 para todo n n 0, uniformemente em β [1/2, 2]. Analogamente, h n (α, 1/2) > 0, h n (α, 2) < 0. para todo n n 0, uniformemente em α [1/2, 2]. (2.13) (2.14) 35

49 Demonstração da Armação Vamos demonstrar apenas que existe n 0 N tal que h + n (1/2, β) > 0 para todo n n 0, uniformemente em β [1/2, 2], pois os demais casos seguem usando o mesmo argumento. Note que pelo item (I) do Teorema 2.1.6, temos ū n (x) := ū(x x n ) 0 quando n, pois x x n quando n. Assim, a idéia é mostrar que h + n (1/2, β) := I ((u 1 /2 βū n ) + )((u 1 /2 βū n ) + ) I (u 1 /2)(u 1 /2) > 0 quando n, uniformemente em β [1/2, 2]. Para isto, basta mostrar que os seguintes limites ocorrem: (a) ((u 1 /2 βū n ) + ) 2 (u 1 /2) 2 ; (b) V (x)((u 1 /2 βū n ) + ) 2 V (x)(u 1 /2) 2 ; (c) f((u 1 /2 βū n ) + )(u 1 /2 βū n ) + f(u 1 /2)u 1 /2, quando n, uniformemente em β [1/2, 2]. Demonstração de (a): Observe primeiro que, para β [1/2, 2] e n N, χ n ((u 1 /2 βū n ) + ) 2 = χ n (u 1 /2) 2 β χ n u 1 ū n +β χ n ū n 2, 2 (2.15) onde χ n (x) = χ [u1 /2 βū n>0](x), x. Desde que χ n ū n H 1 ( ) ū n H 1 ( ) = ū H 1 ( ) e temos, χ n (x)ū n (x) 0 q.t.p. em, χ n ū n 0 em H 1 ( ), de onde segue que χ n u 1 (ū n ) = u 1 (χ n ū n ) 0 quando n. (2.16) 36

50 Sendo e χ n (u 1 (x)/2) 2 u 1 (x)/2 q.t.p. em χ n (u 1 /2) (u 1 /2) 2 L 2 ( ), pelo Teorema da convergência dominada de Lebesgue, temos χ n (x) (u 1 /2) 2 (u 1 /2) 2, n. (2.17) Agora, fazendo uma mudança de variável, χ n ū n 2 = ū 2 χ [u1 (x+x n)/2 βū(x)>0]. Desde que u 1 (x + x n ) 0 q.t.p. em, ū(x) 2 χ [u1 (x+x n)/2 βū(x)>0] 0 q.t.p. em. Sendo ū 2 χ [u1 (x+x n)/2 βū(x)>0] ū 2 L 1 ( ), pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesque, χ n ū n 2 0, quando n. (2.18) Usando os limites em (2.16), (2.17) e (2.18), juntamente com o fato de que β [1/2, 2], concluimos que o limite em (a) ocorre. Demonstração de (b): Para β [1/2, 2] e n N, temos u 1 /2 2ū n u 1 /2 βū n u 1 /2 ū n /2, (2.19) o que implica em [u 1 /2 2ū n 0] [u 1 /2 βū n 0] [u 1 /2 ū n /2 0]. Logo [u 1 /2 2ū n 0] V (x)(u 1 /2 βū n ) 2 V (x)(u 1 /2 βū n ) 2 [u 1 /2 βū n 0] [u 1 /2 ū n/2 0] V (x)(u 1 /2 βū n ), 37

51 e por (2.19), [u 1 /2 2ū n 0] V (x)(u 1 /2 2ū n ) 2 V (x)(u 1 /2 βū n ) 2 [u 1 /2 βū n 0] [u 1 /2 ū n/2 0] V (x)(u 1 /2 ū n /2) 2 ou equivalentemente χ nv (x)(u 1 /2 2ū n ) 2 onde χ n = χ [u1 /2 2ū n 0] e χ n = χ [u1 /2 ū n/2 0]. V (x)((u 1 /2 βū n ) + ) 2 R 2 χ nv (x)(u 1 /2 ū n /2) 2. Desde que ū n (x) 0 q.t.p. em e u 1 > 0, temos (2.20) χ n(x), χ n(x) 1 q.t.p. em. Logo, χ nv (x)(u 1 /2 2ū n ) 2 V (x)(u 1 /2) 2 L 1 ( ), χ n(x)v (x)(u 1 (x)/2 2ū n (x)) 2 V (x)(u 1 (x)/2) 2 q.t.p. em, e χ nv (x)(u 1 /2 ū n /2) 2 V (x)(u 1 /2) 2 L 1 ( ), χ n(x)v (x)(u 1 (x)/2 ū n (x)/2) 2 V (x)(u 1 (x)/2) 2 q.t.p. em, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, temos χ nv (x)(u 1 /2 2ū n ) 2 V (x)(u 1 /2) 2 (2.21) e χ nv (x)(u 1 /2 ū n /2) 2 V (x)(u 1 /2) 2. (2.22) Passando ao limite de n em (2.20) e usando (2.21) e (2.22), concluimos que V (x)((u 1 /2 βū n ) + ) 2 V (x)(u 1 /2) 2 quando n, mostranto que o limite em (b) ocorre. Demonstração de (c): Para β [1/2, 2] e n N, temos u 1 /2 2ū n u 1 /2 βū n u 1 /2 ū n /2 38

52 o que implica em [u 1 /2 2ū n 0] [u 1 /2 βū n 0] [u 1 /2 ū n /2 0]. Logo [u 1 /2 2ū n 0] f(u 1 /2 βū n )(u 1 /2 βū n ) f(u 1 /2 βū n )(u 1 /2 βū n ) [u 1 /2 βū n 0] [u 1 /2 ū n/2 0] f(u 1 /2 βū n )(u 1 /2 βū n ). Por (f 4 ), a função t f(t)t é crescente em t [0, + ]. Logo, f(u 1 /2 2ū n )(u 1 /2 2ū n ) f(u 1 /2 βū n )(u 1 /2 βū n ) [u 1 /2 2ū n 0] ou equivalentemente, χ nf(u 1 /2 2ū n )(u 1 /2 2ū n ) onde χ n = χ [u1 /2 2ū n 0] e χ n = χ [u1 /2 ū n/2 0]. [u 1 /2 βū n 0] [u 1 /2 ū n/2 0] f(u 1 /2 ū n /2)(u 1 /2 ū n /2), f((u 1 /2 βū n ) + )(u 1 /2 βū n ) + R 2 χ nf(u 1 /2 ū n /2)(u 1 /2 ū n /2), Usando novamente que t f(t)t é crescente em t [0, + ] e o fato que ū n (x) 0 q.t.p. em, (2.23) obtemos χ nf(u 1 /2 2ū n )(u 1 /2 2ū n ) f(u 1 /2)(u 1 /2) L 1 ( ), χ n(x)f(u 1 (x)/2 2ū n (x))(u 1 (x)/2 2ū n (x)) f(u 1 (x)/2)(u 1 (x)/2) q.t.p. em, e χ nf(u 1 /2 ū n /2)(u 1 /2 ū n /2) f(u 1 /2)(u 1 /2) L 1 ( ), χ n(x)f(u 1 (x)/2 ū n (x)/2)(u 1 (x)/2 ū n (x)/2) f(u 1 (x)/2)(u 1 (x)/2) q.t.p. em. Assim, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, χ nf(u 1 /2 2ū n )(u 1 /2 2ū n ) f(u 1 /2)(u 1 /2) (2.24) e χ nf(u 1 /2 ū n /2)(u 1 /2 ū n /2) f(u 1 /2)(u 1 /2). (2.25) 39

53 Passando ao limite de n em (2.23) e usando (2.24) e (2.25), deduzimos que f((u 1 /2 βū n ) + )(u 1 /2 βū n ) + f(u 1 /2)(u 1 /2) quando n, mostranto que o limite em (c) ocorre. Sendo a Armação verdadeira, podemos aplicar a variante do Teorema do valor médio devido a Miranda [41], para obter α, β [1/2, 2] tal que h ± n (α, β ) = 0, para qualquer n n 0. Logo, α u 1 β ū n M, para n n 0. Assim, tendo em vista a denição de c, para demonstrar a Proposição é suciente mostrar que sup I(αu 1 βū n ) < c 1 + c para n n α,β 2 Para isto, primeiro usamos o Lema para obter a seguinte estimativa onde I(αu 1 βū n ) 1 2 ( (αu 1 )) 2 + (βū n )) 2 ) + 1 V (x)( αu βū n 2 ) 2 αβ ( u 1 ū n + V (x)u 1 ū n ) A 1, A 1 = F (αu 1 ) + F (βū n ) 2 [f(αu 1 )βū n + f(βū n )αu 1 ]. Sendo u 1 uma solução positiva de (P ), o que implica em ( u 1 ū n + V (x)u 1 ū n ) = f(u 1 )ū n 0, I(αu 1 βū n ) I(αu 1 ) + I (βū n ) + 2α f(βū n )u 1 + 2β f(αu 1 )ū n (2.26) Pela hipótese (V 3 ), + β2 2 (V (x) V (x))ū 2 n. (V (x) V (x))ū 2 n C e µ x ū 2 n. 40

54 Usando a invariância de por translação e fazendo uma mudança de variável na última integral da desigualdade acima, obtemos (V (x) V (x))ū 2 n C e µ x+xn ū 2, e como x + x n x + x n = x + n, o que implica em Sendo deduzimos que e µ x+xn e µ x µn, (V (x) V (x))ū 2 n Ce µn e µ x ū 2 ū 2 <, Usando o crescimento de f dado em (2.3), f(αu 1 )ū n ɛα u 1 ū n + C Note que pelo Teorema 2.1.6, e µ x ū 2. (V (x) V (x))ū 2 n Ce µn. (2.27) B n/2 u 1 ū n C 2 B n/2 (0) (e 4πα2 u ) u 1 ū n. (2.28) u 1 e b x xn. Uma vez que x x n x n x = n x e x n/2, encontramos x x n n/2, de onde segue que B n/2 u 1 ū n C 2 B n/2 u 1 e bn/2 Ce bn/2 (2.29) e como o Teorema é também válido para u 1, u 1 ū n C 2 \B n/2 e b x ū n C 2 e bn/2 \B n/2 ū n C 2 e bn/2 ū. (2.30) De (2.29) e (2.30), u 1 ū n Ce bn/2. (2.31) Por outro lado, sendo u 1 L ( ), ) (e 4πα2 u u 1 ū n C u 1 ū n Ce bn/2. (2.32) 41

55 Usando as desigualdades (2.31) e (2.32) em (2.28), Analogamente, f(αu 1 )ū n Ce bn/2. (2.33) f(βū n )u 1 Ce bn/2. (2.34) Usando (2.33), (2.34) e (2.27) em (2.26), obtemos I(αu 1 βū n ) sup α 0 Sendo µ < 1/2, para n sucientemente grande, I(αu 1 ) + sup I (βū n ) + C(e bn/2 e µn ). β 0 e bn/2 e µn < 0, o que implica em Consequentemente sup I(αu 1 βū n ) < c 1 + c. 1/2 α,β 2 c < c 1 + c, nalizando a demonstração da proposição. O próximo resultado é uma versão do Lema de Lions (ver [56, Lema 1.21]) para crescimento crítico exponencial em devido a Alves, do Ó e Miyagaki [11]. Lema Seja (u n ) H 1 ( ) uma sequência vericando u n 0 em H 1 ( ) quando n + e lim sup u n 2 1 m < 1. Se existe R > 0 tal que n lim inf n sup u n 2 = 0 y B R (y) e (f 1 ) (f 3 ) são válidas, então F (u n ), u n f(u n ) 0, quando n. Usaremos a versão do Lema de Lions para crescimento crítico exponencial em, para demonstrar o próximo resultado. Lema Assuma que (V 1 ) (V 3 ) e (f 1 ) (f 5 ) valem. Se (u n ) E é tal que I(u n ) σ, u n u em H 1 ( ), I (u n )u n 0 e lim inf f(u n )u n > 0, n então u 0, sempre que 0 < σ < c. 42

56 Demonstração. Suponha por contradição que u 0. Por (V 2 ), dado ɛ > 0 existe R = R(ɛ) > 0 tal que Como uma consequência de u 0, temos V (x) V (x) < ɛ, para x R. B R V (x) V (x) u n 2 0. A desigualdade abaixo V (x) V (x) u n 2 V (x) V (x) u n 2 + ɛ B R u n 2, \B R juntamente com a limitação de (u n ) em H 1 ( ) implica em Um argumento similar mostra que Consequentemente, No que segue, xamos s n > 0 vericando I(u n ) I (u n ) 0 quando n. I (u n )u n I (u n )u n 0 as n. I (u n ) = σ + o n (1) e I (u n )u n = o n (1). (2.35) s n u n N. Armamos que, a menos de subsequência, (s n ) converge para 1 quando n. De fato, vamos primeiro mostrar que lim sup s n 1. (2.36) n Suponha por contradição que existe uma subsequência de (s n ), ainda denotada por (s n ), tal que s n 1 + δ para todo n N e algum δ > 0. Segue de (2.35) que ( un 2 + V (x) u n 2) = f(u n )u n + o n (1). (2.37) Por outro lado, sendo s n u n N, ( s n un + V (x) u n 2) = f(s n u n )u n, 2 43

57 de onde segue que ( f(sn u n ) f(u ) n) u n 2 = o n (1). (2.38) s n u n u n Armamos que existe (y n ) Z 2 com y n, r > 0 e β > 0 tais que u 2 n β > 0. B r(y n) De fato, caso contrário, usando a versão do Lema de Lions para crescimento crítico em enunciado no Lema 2.1.9, obtemos o que é contrário a nossa hipótese. lim n + f(u n )u n = 0, Agora, seja v n (x) := u n (x + y n ). Uma vez que (u n ) é limitada em H 1 ( ), tem-se que (v n ) é também limitada em H 1 ( ). Assim, para alguma subsequência, podemos assumir que (v n ) é fracamente convergente, e vamos denotar por ṽ seu limite fraco em H 1 ( ). Observando que B r(0) v n 2 = B r(y n) u n 2 β > 0, deduzimos que ṽ 0 in H 1 ( ). Agora, de (2.38), (f 4 ) e do Lema de Fatou, temos ( f((1 + δ)ṽ) 0 < f(ṽ) ) ṽ 2 0, (1 + δ)ṽ ṽ o que é impossível. Logo lim sup s n 1. n Se s o = lim sup s n < 1, podemos assumir que s n < 1 para n sucientemente grande. n Assim, aplicando novamente o Lema de Fatou, obtemos 0 < ( f(ṽ) ṽ f(s oṽ) s o ṽ ) ṽ 2 0 se s o > 0 e 0 < f(ṽ)ṽ 0 se s o = 0, o que é impossível, mostrando que lim sup s n = 1. Assim, para alguma subsequência n de (s n ), ainda denotada por (s n ), temos Como uma consequência de (2.39), temos lim s n = 1. (2.39) n 44

58 Armação F (s n u n ) F (u n ) = o n (1) e f(s n u n )s n u n f(u n )u n = o n (1). De fato, pelo Teorema do Valor médio, existe θ n (x) [0, 1] tal que F (s n u n (x)) F (u n (x)) = f((θ n (x)(s n 1) + 1)u n (x)) (s n 1)u n (x). Logo, usando o crescimento de f, F (s n u n ) F (u n ) F (s n u n ) F (u n ) R 2 f((θ n (x)(s n 1) + 1)u n (x)) (s n 1)u n (x) ɛ(s n 1)[θ n (x)(s n 1) + 1] u n 2 R 2 ) +C ɛ (s n 1) (e 4π(θn(x)(sn 1)+1)2 u 2 n 1. u n (2.40) Vamos estimar a última integral acima. Usando a desigualdade de Hölder e o Lema A.1 do Apêndice A, obtemos u n ) ( (e 4π(θn(x)(sn 1)+1)2 u 2 n 1 C u n q onde 1/q + 1/q = 1. Desde que u n 2 m < 1, temos ) (e 4πq(θn(x)(sn 1)+1)2 u 2 n 1 ) (e ) 1/q 4πq(θn(x)(sn 1)+1)2 u 2 n 1, (2.41) (e αnv2 n 1 ), (2.42) onde α n = 4πmq(θ n (x)(s n 1) + 1) 2 e v n = u n / u n 2. Note que sendo s n 1, θ n (x) [0, 1] e m < 1, podemos xar q > 1 sucientemente próximo de 1 e n 0 N, de tal modo que α n < 4π, para todo n n 0. Assim, pela Desigualdade de Trudinger- Moser devida a Cao (6), temos ) (e αnv2 n 1 C, n n 0. Logo, por (2.42), ) (e 4πq(θn(x)(sn 1)+1)2 u 2 n 1 C, n n 0, (2.43) 45

59 com 1 < q 1. Assim, de (2.41) e (2.43), ) (e 4π(θn(x)(sn 1)+1)2 u 2 n 1 C u n q. (2.44) u n Usando (2.44) em (2.40), F (s n u n ) F (u n ) ɛ(s n 1)[θ n (x)(s n 1) + 1] u n C(s n 1) u n q. Sendo (u n ) limitada em H 1 ( ), por imersões contínua de Sobolev, F (s n u n ) F (u n ) Cɛ(s n 1)[θ n (x)(s n 1) + 1] + C(s n 1), sendo s n 1 quando n, F (s n u n ) F (u n ) 0, quando n, demostrando a primeira igualdade da Armação A demonstração da segunda igualdade é obtida usando um argumento similar, concluindo a demonstração da Armação Agora, observe que sendo I (s n u n )s n u n = 0 e I (u n )u n = o n (1), temos I (s n u n )s n u n I (u n )u n = o n (1), ou seja, (s 2 n 1) ( u n 2 + V (x) u n 2 ) = o n (1) + f(s n u n )s n u n f(u n )u n, o que implica, pela Armação , em ( (s 2 n 1) un 2 + V (x) u n 2) = o n (1). (2.45) Usando (2.45) e a Armação , obtemos I (s n u n ) = I (u n ) + o n (1). Logo c I (s n u n ) = σ + o n (1). Passando ao limite de n +, encontramos c σ, o que é impossível, pois σ < c. Esta contradição ocorreu pelo fato de assumirmos que u 0. Portanto, u 0. O próximo lema mostra uma importante propriedade da Variedade de Nehari N. 46

60 Lema Existe uma constante η > 0 tal que para todo u N. Demonstração. u 2 η > 0, De fato, caso contrário, existe uma sequência (u n ) E tal que u n 0 quando n. Sendo u n N, temos u n 2 = f(u n )u n o que implica, por (2.4), u n 2 ɛ u n 2 + C u n q ( ) e βπ un 2 1. Usando as imersões de Sobolev e a Desigualdade de Hölder, obtemos ( ) 1/2 ( ( ) 2 1/2 u n 2 ɛ u n 2 + C u n 2q e βπ un 2 1). Usando novamente as imersões de Sobolev e o Lema A.1 do Apêndice A, ( ( ) ) 1/2 u n 2 ɛ u n 2 + C u n q e 2βπ un 2 1. Fixando ɛ < 1 e q > 2, obtemos Agora, observe que C u n q 2 ( ( ) ) 1/2 e 2βπ un 2 1. (2.46) ( ) ( ) e 2βπ un 2 1 = e 2βπ un 2 ( un ) un 2 1 e pela hipótese de contradição feita no início da demonstração, 2βπ u n 2 4π, n n 0, para algum n 0 N. Assim, denindo v n := u n u n, temos v n 2 v n = 1. Assim, pela desigualdade de Trudinger-Moser devida a Cao (6), temos ( ) e 2βπ un 2 1 Usando (2.47) em (2.46), deduzimos ) (e 4πv2 n 1 sup v 2 1 u n C > 0, ( ) e 4πv2 1 C 2 (2.47) o que é uma contradição, pois estamos supondo que u n 0 quando n, mostrando que o lema ocorre. 47

61 2.2 Demonstração do Teorema Aplicando o Teorema do Capítulo 1 com Ω = B n (0), para cada n N, existe uma solução nodal u n H0(B 1 n (0)) para o problema de Dirichlet u + V (x)u = f(u), em B n (0), u = 0, sobre B n (0), (P ) n no nível onde c n = inf M n I, M n = {u H 1 0(B n (0)) : u ± 0 e I (u ± )u ± = 0}. Aqui, também denotamos por I o funcional energia associado com (P ) n, pois a restrição de I ao espaço H 1 0(B n (0)) coincide com o funcional energia associado com (P ) n. Armação O limite abaixo ocorre lim n c n = c. De fato, claramente (c n) é uma sequência não crescente e limitada inferiormente por c. Suponha por contradição que lim c n = ĉ > c. Pela denição de ínmo, existe φ M tal que I(φ) < ĉ. Sendo φ ± 0, por densidade, existe uma sequência (ω n ) C 0 ( ) tal que ω ± n 0, ω n φ em H 1 ( ). Observe que I(ω n ) = I(ω + n ) + I(ω n ) I(φ) c > 0, I(ω ± n ) I(φ ± ), e I (ω ± n )ω ± n I (φ ± )φ ± = 0. Agora, considere t ± n > 0 os únicos números reais, dados pelo Corolário do Capítulo 1, vericando t ± n ω n ± N e dena φ n := t + n ω n + + t n ωn M. Usando argumentos similares aos da demonstração do Lema , mostrar-se que t ± n 1 e I(t ± n ω n ± ) I(φ ± ), 48

62 o que implica em, I(φ n ) I(φ). Logo, podemos xar n 0 N tal que I(φ n0 ) < ĉ, n 1 N de tal modo que φ n0 M n1, tem-se n n 0. Por outro lado, xando c n1 I(φ n0 ) < ĉ, contradizendo a denição de ĉ, demonstrando a Armação Armamos que (u n ) é uma sequência limitada em E. De fato, pela condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ) e a Armação 2.2.1, temos c + o n (1) = I(u n ) 1 ( 1 θ I (u n )u n = 2 1 ) u n 2 + θ ( ) u n 2, θ ( ) 1 θ f(u n)u n F (u n ) de onde segue que (u n ) é limitada em E. Além disso, usando a hipótese (f 5 ) juntamente com a condição (2.1) e um argumento similar ao usado no Lema do Capítulo 1, deduzimos que lim sup u n 2 2c θ n θ 2. (2.48) No que segue, denotamos também por u n H 1 ( ) a extensão nula de u n H 1 0(B n ). Note que de (2.48), (2.2) e do Lema 2.1.2, lim sup u n 2 1 n 2c θ V 0 (θ 2) < 1. (2.49) Sendo H 1 ( ) um espaço de Banach reexivo, para algum u H 1 ( ), quando n. u n u em H 1 ( ), Armação O limite fraco u é uma solução fraca de (P ). De fato, seja ϕ C 0 ( ) e considere n 0 N tal que supp ϕ B n (0), n n 0. Sendo u n uma solução fraca de (P ) n e ϕ H0(B 1 n ) para n n 0, u n ϕ + V (x)u n ϕ = B n f(u n )ϕ, B n n n 0, 49

63 ou ainda u n ϕ + V (x)u n ϕ = f(u n )ϕ, n n 0. (2.50) Tendo em vista (2.49), combinando a Desigualdade de Trudinger-Moser (6) com o Teorema da Convergência dominada generalizada de Lebesgue, mostra-se que f(u n )ϕ f(u)ϕ, quando n. (2.51) Por outro lado, da convergência fraca de u n para u em E, u n ϕ + V (x)u n ϕ u ϕ + V (x)uϕ, quando n. (2.52) Passando ao limite em (2.50) e usando (2.51) e (2.52), obtemos u ϕ + V (x)uϕ = f(u)ϕ, ϕ C0 ( ), e por densidade, u v + V (x)uv = f(u)v, v H0(R 1 2 ), mostrando que u é uma solução fraca de (P ). Agora, nosso objetivo é mostrar que u M e I(u) = c. A menos de subsequência, podemos assumir que I(u ± n ) σ ±, onde c = σ + + σ. Usando o fato que u + n, u n N, obtemos σ ± c 1 > 0. Esta última desigualdade, junto com a Proposição 2.1.7, implica que σ ± < c. Sendo u ± n 2 = f(u ± n )u ± n, pelo Lema , temos lim inf f(u ± n )u ± n η > 0, n o que implica, pelo Lema , em u ± 0. Logo, u M e I(u) c. Para completar a demonstração, basta notar que o Lema de Fatou conduz às desigualdades 2c = lim inf [2I(u n) I (u n )u n ] = lim inf (f(u n )u n 2F (u n )) n n R 2 (f(u)u 2F (u)) = 2I(u) I (u)u = 2I(u) 2c. Portanto I(u) = c, mostrando que (P ) tem uma solução nodal. 50

64 2.3 Existência de solução nodal radial minimal para o problema autônomo. Nesta seção, combinamos o método desenvolvido no Capítulo 1 com o Princípio de Criticalidade de Palais para demonstrar a existência de solução nodal radial de energia mínima para uma classe de problemas elípticos autônomos envolvendo não-linearidade com crescimento crítico exponencial. Vamos começar fazendo algumas denições e enunciando alguns resultados que serão utilizados ao longo desta seção. Denimos a ação de um grupo topológico G sobre um espaço vetorial normado X, como sendo uma aplicação contínua G X X, (g, u) g u tal que (1) 1 u = u, u X; (2) (gh) u = g (h u), g, h G, u X; (3) u g u é linear. Dizemos que a ação é isométrica quando g u = u. O espaço de pontos invariantes é o subespaço fechado de X denido por F ix(g) = {u X : g u = u, g G}. Um conjunto A X é invariante se g A = A para cada g G; Um funcional J : X R é invariante se J g = J para cada g G; Uma aplicação f : X X é equivariante se g f = f g para cada g G. O próximo resultado nos dá condições para garantir que pontos críticos de um funcional J : X R restrito ao F ix(g), são pontos críticos do funcional no espaço X, ver Willem [56]. Teorema (Princípio de Criticalidade de Palais) Sejam X um espaço de Hilbert e G um grupo topológico que age isometricamente em X. Se J C 1 (X, R) é um funcional invariante e u é um ponto crítico de J restrito ao F ix(g), então u é ponto crítico de J em X. 51

65 No que segue, vamos denotar por H 1 r ( ) o seguinte subespaço de H 1 ( ) H 1 r ( ) = {u H 1 ( ) : u(x) = u(y), sempre que x = y }, formado pelas funções radialmente simétricas de H 1 ( ). Sabemos que H 1 r ( ) = F ix(o(2)) segundo a ação isométrica : O(2) H 1 ( ) H 1 ( ) denida por (g u)(x) = u(g x), onde O(2) é o grupo das transformações ortogonais em. O próximo resultado é fundamental para que possamos usar o método desenvolvido no Capítulo 1, sua demonstração pode ser encontrada em Kavian [38]. Lema (Strauss) As seguintes imersões são compactas Hr 1 ( ) L s ( ), para todo s > 2. O principal resultado nesta seção é o seguinte. Teorema Suponha que as hipóteses (f 1 ) (f 5 ) sejam válidas. Então, o problema autônomo u + u = f(u), in, (Q) u H 1 ( ), possui uma solução nodal radialmente simétrica, desde que a constante C p verique e [ ] (p 2)/2 2θκp C p >, onde κ p = inf I p, (2.53) θ 2 M p 1 I p (u) = 1 ( u 2 + u 2) 1 u p. 2 B 1 (0) p B 1 (0) M p 1 = {u H 1 0(B 1 (0)) : u ± 0 e I p(u ± )u ± = 0} Demonstração. Considere o funcional energia J(u) = 1 ( u 2 + u 2 ) F (u) 2 52

66 restrito ao subespaço H 1 r ( ) e o nível c r denido por c r := inf u M r J(u), onde M r = {u H 1 r ( ) : u ± 0 e J (u ± )u ± = 0}. Nosso objetivo é mostrar que o nível c r é atingido por um ponto crítico de J. Para cumprir tal objetivo, como no Capítulo 1, precisamos antes de alguns resultados preliminares. Lema O número c r verica c r < θ 2 2θ Demonstração. Considere w p M p 1 radialmente simétrica tal que I p (w p ) = κ p e I p(w p ) = 0. Tem-se e κ p = 1 2 B 1 (0) B 1 (0) B 1 (0) ( wp 2 + w p 2) 1 p ( wp 2 + w p 2) = ( w ± p 2 + w p ± 2) = B 1 (0) B 1 (0) B 1 (0) w p p, (2.54) w p p (2.55) w ± p p. (2.56) Substituindo (2.55) em (2.54), obtemos ( 1 κ p = 2 1 ) w p p. (2.57) p B 1 (0) Sendo w p uma função nodal e radialmente simétrica, pela condição (f 4 ), existem únicos s, t > 0 tais que sw + p + tw p M r. Logo, c r J(sw + p + tw p ) = J(sw + p ) + J(tw p ), o que implica em c r s2 2 + t2 2 B 1 (0) B 1 (0) ( w + p 2 + w p + 2) ( w p 2 + wp 2) B 1 (0) B 1 (0) F (sw + p ) F (tw p ). 53

67 Usando (2.56) e a hipótese (f 5 ), ( s c 2 r 2 C ) ps p ( t w p + p 2 + p B 1 (0) 2 C ) pt p wp p, p B 1 (0) de onde segue que Um cálculo simples mostra que logo, por (2.57), { r c 2 r max r 0 2 C } pr p w p p. p B 1 (0) { r 2 max r 0 2 C } pr p p ( c r C 2 2 p 1 p 2 1 ) p B 1 (0) ( = C 2 2 p 1 p 2 1 ), p Combinando a desigualdade em (2.58) com (2.53), obtemos c r < θ 2 2θ, w p p = C 2 2 p p κ p. (2.58) como queriamos demonstrar. O próximo lema mostra dois importantes limites envolvendo a função f. Lema Seja (u n ) uma sequência em H 1 r ( ) satisfazendo (i) b := sup u n 2 1 < 1; n N (ii) u n u em H 1 r ( ) e; (iii) u n (x) u(x) q.t.p. em. e Então, para qualquer v H 1 r ( ). lim n f(u n )u n = f(u)u (2.59) lim n f(u n )v = f(u)v, (2.60) Demonstração. Usando o crescimento de f dado em (2.4) com ɛ > 0, β = 4 e q > 2, temos ) f(s)s ɛ s 2 + C s (e q 4πs2 1, s R. 54

68 Sejam P, Q : R R denidas por ) P (s) := f(s)s e Q(s) := ɛ s 2 + C s (e q 4πs2 1. Note que por (f 1 ) 0 P (s) Q(s) Ce 4πs2 s q 1 (e 4πs2 1) 0, quando s +. Além disso, por (f 2 ), 0 P (s) Q(s) f(s) ɛ s 0 quando s 0. Agora, observe que sendo Q(u n ) = ɛ u n 2 + C u n q ( ) e 4π un 2 1, pela desigualdade de Hölder e as imersões contínuas de Sobolev, Q(u n ) ɛ u n C u n q qt 1 ( ( e 4π un 2 1) t2 ) 1/t2, onde 1/t 1 + 1/t 2 = 1. Pelo Lema A.1 do Apêndice A e a hipótese (i), temos ( ) Q(u n ) ɛb + CC u n q qt 1 e 4πt 2 u n 2 1. (2.61) Desde que ( ) e 4πt 2 u n 2 1 = sup v 1 1 ( ( ) 2 ) e 4πt 2 u n 2 un 1 un 1 1 ( ( ) 2 ) e 4πt un 2b un 1 1 ( ) e 4πt 2bv 2 1 (2.62) e como b < 1, podemos xar t 2 > 1 sucientemente próximo de 1 de tal modo que α := 4πt 2 b < 4π. Logo, por (2.62) e pela Desigualde de Trudinger Moser (6), existe uma constante C > 0 tal que para todo n N, ( ) e 4πt 2 u n 2 1 sup v 1 1 ( ) e αv2 1 C, (2.63) para algum t 2 > 1, sucientemente próximo de 1. Logo, usando (2.63) em (2.61), obtemos Q(u n ) ɛb + C u n q qt 1, (2.64) 55

69 pelas imersões contínuas de Sobolev e a hipótese (i), mostrando que Q(u n ) ɛb + C u n q 1 ɛb + Cb q, sup Q(u n ) <. n Pela Desigualdade de Strauss (Lema A.6 do Apêndice A) e a hipótese (i), temos u n (x) (2π) 1/2 x 1/2 u n 1 (2π) 1/2 x 1/2 b 1/2, de onde segue que u n (x) 0 quando x, uniformemente em n N. Segue de (iii) que P (u n (x)) v(x) q.t.p. em, onde v(x) := f(u(x))u(x), x. Pelo Teorema A.13 do Apêndice A, concluimos que P (u n ) converge para v em L 1 ( ), ou seja, f(u n )u n f(u)u, quando n +, mostrando que o limite em (2.59) ocorre. A demonstração de (2.60) é obtida usando o mesmo argumento. Agora, estabelecemos alguns resultados relacionados com o conjunto: S τ := {u M r : J(u) < c r + τ}, onde τ > 0 é uma constante a ser xada convenientemente. Lema Para todo u S τ, tem-se 0 < r 0 u ± 2 1 u 2 1 m τ < 1, para τ > 0 sucientemente pequeno. 56

70 Demonstração. A demonstração é uma adaptação dos argumentos usados na demonstração do Lema , usando agora a Desigualdade de Trudinger-Moser devida a Cao (6). Lema Para cada q > 1, existe δ q > 0 tal que 0 < δ q u ± q u q, u S τ. Demonstração. Ver Lema Usando o Lema 2.3.7, podemos xar R > 0 tal que J( 1 R u± ), J(Ru ± ) < 1 2 J(u± ), u S τ. Denimos S = { [ ]} sru + + tru : u S 1 τ e s, t R, 1. 2 A próxima proposição mostra a existência de uma sequência (P S) c r para o funcional J. de funções nodais Proposição Dados ɛ, δ > 0, existe u J 1 ([c r 2ɛ, c r + 2ɛ]) S 2δ vericando J (u) < 4ɛ δ. De fato, para cada n N, considere ɛ = 1 4n e δ = 1. Pela Proposição 2.3.8, n existe u n S 2/ n com u n J 1 ([c r 1/2n, c r + 1/2n]) e J (u n ) 1 n. Assim, existe (v n ) S satisfazendo J(v n ) c r e J (v n ) 0, com u n v n 2/ n. É fácil ver que (v n ) é limitada em H 1 r ( ) com lim sup v n 2 1 < 1. (2.65) n 57

71 Agora, seja v 0 H o limite fraco de (v n ) em Hr 1 ( ). Combinando (2.65) com o Lema 2.3.5, deduz-se que v 0 é um ponto crítico do funcional J restrito ao subespaço Hr 1 ( ). No que segue, vamos mostrar que v 0 ± 0. Sabemos que v n v 0 em Hr 1 ( ); e v n (x) v 0 (x) q.t.p. em v n v 0 em L q ( ), q > 2. [ ] 1 Por outro lado, usando o fato que v n S, existem s n, t n R, 1 e u 2 n M r, tal que v n = s n Ru + n + t n Ru n s 0 Ru t 0 Ru 0 em H 1 r ( ) e v n (x) = s n Ru + n (x) + t n Ru n (x) s 0 Ru + 0 (x) + t 0 Ru 0 (x) q.t.p. em, [ ] 1 para algum s 0, t 0 R, 1, onde u 2 0 Hr 1 ( ) é o limite fraco da sequência (u n ) M r. Pela unicidade do limite, tem-se v 0 = s 0 Ru + 0 +t 0 Ru 0. Pelo Lema 2.3.7, obtemos u ± 0 0, o que implica em v 0 + = s 0 Ru e v0 = s 0 Ru 0 0. Finalmente, sendo o funcional J : H 1 ( ) R invariante sob o grupo das rotações, a demonstração do Teorema segue usando o Princípio de Criticalidade de Palais. 2.4 Não existência de soluções nodais de energia mínima para o problema autônomo. Nesta seção, demonstramos um resultado de não existência de solução nodal de energia mínima para o problema autônomo (Q), isto é, demonstramos que o nível ĉ := inf M J não é atingido, onde J é o funcional energia associado ao Problema (Q) e M é o conjunto de Nehari nodal M := {u H 1 ( ) : u ± 0 and J (u ± )u ± = 0}. O nosso principal resultado nesta seção é o seguinte 58

72 Teorema Suponha que f satisfaz (f 1 ) (f 5 ) e que a desigualdade em (2.53) ocorre. Então, o problema autônomo (Q) não possui solução nodal de energia mínima. Antes de demonstrar o Teorema 2.4.1, xamos algumas notações e demonstramos uma proposição. No que segue, denotamos por f(t), t 0, f + (t) = 0, t 0 e o funcional J + em H 1 ( ) por J + (u) := ( u 2 + u 2 ) F + (u), onde F + é a primitiva de f + com F + (0) = 0. Segue de [11, Theorem 1.1], que o número c + = inf N + J + onde N + := {u H 1 ( ) \ {0} : J +(u)u = 0}, é um valor crítico de J +. Seja v N + o ponto crítico correspondente. Mostra-se que v = 0. Logo v é não-negativa e, por princípio de máximo, v > 0 sobre. Em particular, v é um ponto crítico positivo de J. Analogamente, denindo 0, t 0, f (t) = f(t), t < 0, denotanto por J o funcional correspondente e por N a variedade de Nehari, o número real é um valor crítico de J. c := inf N J A próxima proposição é um ponto importante no nosso argumento para mostrar o resultado de não existência, pois ela nos fornece uma estimativa exata para ĉ. Proposição Sob as hipóteses (f 1 ) (f 5 ), tem-se ĉ = c + + c. 59

73 Demonstração. Seja v, w H 1 ( ) vericando e considere as funções J + (v) = c +, J +(v) = 0, v(x) > 0, x, J (w) = c, J (w) = 0 w(x) < 0, x, ( x v R (x) := ϕ v(x) e w R,n := ϕ R) onde ϕ C 0 ( ) é uma função satisfazendo ( x xn R ) w(x x n ), supp ϕ B 2 (0), 0 ϕ 1, ϕ = 1 sobre B 1 (0) e x n = (n, 0). Claramente, para n sucientemente grande, Sejam t R, s R > 0 tais que Sendo supp v R supp w R,n =. J (t R v R )t R v R = 0 e J (s R w R,n )s R w R,n = 0. t 2 R ( vr 2 + v R 2) = f + (t R v R )t R v R e v R v em H 1 ( ), por argumentos similares aos da demonstração do Lema , mostra-se que t R 1, quando R +. Similarmente, ( s 2 R wr,n 2 + w R,n 2) = f + (s R w R,n )s R w R,n. Sendo w R w em H 1 ( ), temos s R 1, quando R +. Agora, note que u R := t R v R + s R w R,n M com u + R = t Rv R e u R = s Rw R,n para n N sucientemente grande. Logo, ĉ J(t R v R + s R w R,n ) = J(t R v R ) + J(s R w R,n ). Usando a invariância de por translações, e passando ao limite de R +, obtemos ĉ J(v) + J(w). 60

74 Sendo J(v) = J + (v) = c + e J(w) = J (w) = c, ĉ c + + c. Por outro lado, é claro que ĉ c + + c. Portanto, pode-se concluir que ĉ = c + + c. Demonstração do Teorema Suponha por contradição que existe u M tal que J(u) = ĉ. Sendo assim, u + N +, u N e c + + c J + (u + ) + J (u ) = J(u) = ĉ = c + + c. Logo, J + (u + ) = c + e J (u ) = c. Assim, u + e u são pontos críticos dos funcionais J + e J, respectivamente. Logo, pelo princípio do máximo, devemos ter u + (x) > 0, para todo x e u (x) < 0, para todo x, o que é impossível. Gostariamos de nalizar este Capítulo fazendo algumas observações importantes acerca dos resultados obtidos. Observação Vimos que na Seção 2.3, existe um minimizante u M r o qual é um ponto crítico de J sobre H 1 ( ). Desde que ĉ c r, o Teorema implica que ĉ < c r. Uma desigualdade estrita similar em um domínio limitado tal como um anel em R N, para N 3, pode ser vista em [18]. Observação O resultado de existência de solução nodal de energia mínima para o caso não-autônomo, nos diz que apesar do problema autônomo não possuir solução nodal de energia mínima, é possivel impor condições sobre V de modo que o problema (P ), para Ω =, possua solução nodal de energia mínima. Observação Uma versão do Teorema pode ser feita para N 3, supondo que f tem crescimento subcrítico, ou até mesmo crítico com hipóteses adequadas sob a não-linearidade. 61

75 Capítulo 3 Soluções do tipo multi-bump nodal para uma classe de problemas elípticos em envolvendo crescimento crítico exponencial Neste capítulo, motivados por [5] e [13], mostramos a existência de solução do tipo multi-bump nodal para uma classe de problemas elípticos em com a não-linearidade tendo um crescimento crítico exponencial. 3.1 Introdução Neste capítulo, consideramos a existência e multiplicidade de soluções do tipo multi-bump nodal para a seguinte classe de problemas u + (λv (x) + 1)u = f(u), em, u H 1 ( ), (P ) λ onde λ (0, ), o potencial V : R é uma função contínua e não negativa tal que o conjunto Ω := int V 1 ({0}) satisfaz (H1) Ω é não-vazio, limitado, com fronteira Ω suave e V 1 ({0}) = Ω;

76 (H2) Ω tem k componentes conexas denotadas por Ω j, j {1,..., k}, as quais vericam dist(ω j, Ω i ) > 0, para i j. Para a função f admitimos as seguintes hipóteses. (f 1 ) Existe C > 0 tal que (f 2 ) lim s 0 f(s) s = 0; (f 3 ) Existe θ > 2 tal que 0 < θf (s) := θ f(s) Ce 4π s 2 para todo s R; s 0 f(t)dt sf(s), para todo s R \ {0}. (f 4 ) A função s f(s) s é estritamente crescente em R \ {0}. (f 5 ) Existem constantes p > 2 e C p > 0 tais que sgn(s)f(s) C p s p 1 para todo s R, com onde C p > [ ] (p 2)/2 4kθ θ 2 S p, (3.1) S p = max 1 j k γ j, γ j = inf u M Ωj φ j (u), M Ωj = {u H0(Ω 1 j ) : u ± 0 e φ j(u ± )u ± = 0}, φ j (u) = 1 ( u 2 + u 2) 1 u p. 2 Ω j p Ω j O principal resultado demonstrado é o seguinte: Teorema Suponha que as hipóteses (H 1 ) (H 2 ) e (f 1 ) (f 5 ) sejam válidas. Então, para qualquer subconjunto não-vazio Γ de {1,..., k}, existe λ > 0 tal que, para λ λ, o problema (P ) λ tem uma solução nodal u λ. Além disso, a família {u λ } λ λ tem a seguinte propriedade: Para qualquer subsequência λ n, podemos extrair uma subsequência λ ni tal que u λni converge forte em H 1 ( ) para uma função u a qual satisfaz u(x) = 0 para x / Ω Γ := j Γ Ω j, e a restrição u Ωj é uma solução nodal com energia mínima de u + u = f(u), em Ω j, u Ωj = 0 para j Γ. 63

77 3.2 Notações e resultados preliminares Nesta seção, xamos algumas notações e apresentamos alguns funcionais que serão usados ao longo deste capítulo. Sabemos que as soluções de (P ) λ podem ser caracterizadas como sendo pontos críticos do funcional J : H λ R dado por J(u) = 1 [ u 2 + (λv (x) + 1) u 2] F (u), 2 onde H λ é o espaço de funções denido por { H λ = u H 1 ( ) : } V (x)u 2 < munido com a seguinte norma a qual está associada ao produto interno { [ u λ = u 2 + (λv (x) + 1)u 2] } 1/2, u, v λ := ( u v + V (x)uv). Mostra-se que (H λ,, λ ) é um espaço de Hilbert, para todo λ 1. Para um subconjunto aberto Θ, denimos H(Θ) = { u H 1 (Θ) : Θ } V (x)u 2 < e [ u λ,θ = Θ ( u 2 + (λv (x) + 1)u 2)] 1/2. Como consequência das considerações acima, temos o seguinte lema Lema Existem ν 0, δ 0 > 0 com 1 δ 0 < 1 e ν 0 0 tal que para todo subconjunto aberto Θ δ 0 u 2 λ,θ u 2 λ,θ ν 0 u 2 2,Θ, u H λ (Θ) e λ 1. Demonstração. Note que u 2 2,Θ (λv (x) + 1) u 2 u 2 λ,θ. Θ 64

78 Assim, para δ 0 < 1, temos (1 δ 0 ) u 2 2,Θ (1 δ 0 ) u 2 λ,θ. Logo, para qualquer 0 < ν 0 (1 δ 0 ), ν 0 u 2 2,Θ (1 δ 0 ) u 2 λ,θ, ou equivalentemente δ 0 u 2 λ,θ u 2 λ,θ ν 0 u 2 2,Θ. Ao longo deste capítulo, denotamos por b τ : R R a função real denida por ( ) b τ (s) := e 4πτs2 1. Segue das hipóteses (f 1 ) e (f 2 ) que para cada ɛ > 0, q 1 e τ > 1, existe uma constante C = C(ɛ, q, α) > 0 tal que sf(s), F (s) ɛs 2 + C s q b τ (s), para todo s R. (3.2) O resultado seguinte é uma consequência da Desigualdade de Trundinger-Moser devida a Cao (6). Corolário Seja (u λ ) uma família em H 1 ( ) vericando sup u λ 2 m < 1. λ 1 Então, para cada τ, q > 1 satisfazendo τqm < 1, existe C = C(τ, q, m) > 0 tal que b τ (u λ ) L q ( ) e sup{ b τ (u λ ) q } <. λ 1 Demonstração. O Lema A.1 do Apêndice A, garante a existência de uma constante C > 0 tal que b τ (u λ ) q q := (e 4πτu2 λ 1 ) q C (e 4πτqu2 λ 1 ). Desde que mτq < 1, temos 4πτqm < 4π. Assim, podemos usar a Desigualdade de Trudinger Moser devida a Cao (6) para concluir que ) (e 4πτqu2 λ 1 C 1. Portanto, b τ (u λ ) q (CC 1 ) 1/q, como queriamos demonstrar. 65

79 3.2.1 Problemas de Dirichlet e Neumann Nesta seção, denotamos por I j : H 1 0(Ω j ) R e Φ λ,j : H 1 (Ω j) R os seguintes funcionais energia e Φ λ,j (u) = 1 2 I j (u) = 1 ( u 2 + u 2 ) F (u) 2 Ω j Ω j Ω j ( u 2 + (λv (x) + 1)u 2 ) Ω j F (u). Sabemos que I j e Φ λ,j são de classe C 1 e seus pontos críticos são soluções fracas dos problemas e u + u = f(u), em Ω j, u = 0, sobre Ω j (3.3) u + (λv (x) + 1)u = f(u), em Ω j, u ν = 0, sobre Ω j, respectivamente. Denotaremos por M j e M λ,j os seguintes conjuntos M j = {u H 1 0(Ω j ) : u ± 0 e I j (u ± )u ± = 0}, M λ,j = {u H 1 (Ω j) : u ± 0 e Φ λ,j (u ± )u ± = 0}, e por d j e d λ,j os números reais denidos por d j = inf M j I j, e d λ,j = inf M λ,j Φ λ,j. (3.4) Repetindo os mesmos argumentos do Capítulo 1, mostra-se que para cada j {1,..., k} existem sequências (ϕ n,j ) H0(Ω 1 j ) e (ψ n,j ) H λ (Ω j) vericando ϕ ± n,j q, ψ ± n,j q δ q > 0 n N e q > 1, (3.5) Ω j Ω j I j (ϕ n,j ) d j e I j(ϕ n,j ) 0 quando n e Φ λ,j (ψ n,j ) d λ,j e Φ λ,j(ψ n,j ) 0 quando n. Além disso, usando (f 1 ) (f 5 ) é possível mostrar que sup ϕ n,j 2 Ω j, n N sup ψ n,j 2 λ,ω < 1, j n N 66

80 o que implica em ϕ n,j w j em H 1 0(Ω j ) e ψ n,j w λ,j em H λ (Ω j). Portanto w j H 1 0(Ω j ) e w λ,j H λ (Ω j) com I j (w j ) = d j e I j(w j ) = 0, (3.6) e Φ λ,j (w λ,j ) = d λ,j e Φ λ,j(w λ,j ) = 0. (3.7) Além disso, segue de (3.5) que w ± j 0 e w ± λ,j 0, mostranto que o problema de Dirichlet (3.3) e o problema de Neumann (3.4) possuem soluções nodais de energia mínima. 3.3 Um problema auxiliar Nesta seção, como em Alves [5], modicamos convenientemente a função f. Sejam ν 0 a constante dada no Lema 3.2.1, a > 0 vericando max{f(a)/a, f( a)/( a)} < ν 0 e f, F : R R as seguintes funções f( a) s a se s < a, f(s) = f(s) se s a, e as quais vericam ou ainda, e f(a) s se s > a, a F (s) = s 0 f(τ)dτ, f(s) ν 0 s, s R, (3.8) f(s)s ν 0 s 2, s R (3.9) F (s) ν 0 2 s 2, s R. (3.10) 67

81 No que segue, para cada subconjunto Γ {1,..., k} vamos considerar Ω Γ := 1, para x Ω Ω Γ, j, χ Γ (x) = j Γ 0, para x / Ω Γ e as funções g(x, s) = χ Γ (x)f(s) + (1 χ Γ (x)) f(s) e G(x, s) = s 0 g(x, t)dt = χ Γ (x)f (s) + (1 χ Γ (x)) F (s). Como consequência das denições acima, temos o seguinte lema. Lema F (s) 1 θ f(s)s ( ) ν 0 s 2, para todo s R. θ Demonstração. Vamos dividir a demonstração em três casos: 1 o Caso: s a. Para s = 0 a desigualdade acima é óbvia. Se 0 < s a, usando a denição de f e F e a condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ), obtemos F (s) 1 θ f(s)s = F (s) 1 ( 1 θ f(s)s ) ν 0 s 2. θ f(a) 2 o Caso: s > a. Neste caso, f(s) = a s e F (s) = F (a) + s Pela condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ), temos Logo, de onde segue que Sendo f(a) a < ν 0, obtemos a f(a) a τdτ = F (a) 1 2 f(a)a + 1 f(a) 2 a s2. F (a) 1 f(a)a 0. 2 F (s) 1 θ f(s)s F (s) 1 f(a) 2 a s2, F (s) 1 θ f(s)s 68 ( ) f(a) θ a s2. ( ) ν 0 s 2. θ

82 f( a) 3 o Caso: s < a. Neste caso, f(s) = s e a F (s) = F ( a) + a s f( a) τdτ = F ( a) + 1 a 2 f( a)a 1 2 Pela condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ), temos f( a) s 2. a F ( a) + 1 f( a)a 0. 2 Logo, de onde segue que F (s) 1 2 F (s) 1 θ f(s)s f( a) s 2, a ( θ ) ( f( a) a ) s 2. Sendo f( a) a < ν 0, obtemos F (s) 1 θ f(s)s ( ) ν 0 s 2, θ concluindo a demonstração do lema. Agora, observe que pela denição de f, temos f(s) f(s), para todo s R. Logo, g(x, s) f(s) para todo s R e x, o que implica que g satisfaz as hipóteses (f 1 ) (f 2 ) uniformemente em x e a desigualdade (3.2) uniformemente em x, ou seja, g(x, s)s ɛ s 2 + C s q b τ (s), s R, x. (3.11) Assim, o funcional Φ λ : H λ R dado por Φ λ (u) = 1 ( u 2 + (λv (x) + 1)u 2 ) G(x, u) 2 pertence a C 1 (H λ, R) e seus pontos críticos são as soluções fracas de u + (λv (x) + 1)u = g(x, u) em. (A) λ Observação Note que as soluções nodais da última equação estão relacionadas com as soluções nodais de (P ) λ no seguinte sentido, se u λ é uma solução nodal de (A) λ vericando u λ (x) a em \ Ω Γ, então u λ é uma solução nodal de (P ) λ. 69

83 No que segue, vamos estudar a convergência das sequências de Palais-Smale para o funcional Φ λ, ou seja, de sequências (u n ) H λ vericando Φ λ (u n ) c e Φ λ(u n ) 0, (3.12) para algum c R (abreviadamente (u n ) é uma sequência (P S) c ). Vamos começar estudando a limitação destas sequências. Lema Se (u n ) é uma sequência (P S) c para Φ λ, então onde δ 0 é dado no Lema lim sup u n 2 λ n 2θc δ 0 (θ 2), Demonstração. Pela denição de sequência de Palais-Smale, Φ λ (u n ) 1 θ Φ λ(u n )u n = c + o n (1) + ɛ n u n λ, onde ɛ n 0 quando n. Usando a condição (f 3 ), obtemos ( ) ( u n 2 λ F (u n ) 1θ ) θ f(u n )u n c + o n (1) + ɛ n u n λ. (3.13) \Ω Γ Portanto, pelo Lema 3.3.1, ( ) ( u n 2 λ ν 0 u n 2 θ 2) c + o n (1) + ɛ n u n λ. Agora, do Lema 3.2.1, camos com δ 0 (θ 2) u n 2 λ c + o n (1) + ɛ n u n λ. 2θ Logo, (u n ) é limitada e lim sup u n 2 λ n 2θc δ 0 (θ 2), como queriamos demonstrar. No que segue, denotamos por D o seguinte número real D = k d j. j=1 Lema Se (f 1 ) (f 5 ) são válidas, então 0 < D < δ 0(θ 2). 4θ 70

84 Demonstração. Para demonstrar esta desigualdade, para cada j {1,..., k}, xamos uma função nodal v j H0(Ω 1 j ) tal que v j M Ωj e φ j (v j ) = γ j e φ j (v j ) = 0. (3.14) O leitor pode encontrar a existência de tais funções em Bartsch e Weth [20]. Desde que v ± j 0, existem s j, t j > 0 tais que s j v + j + t jv j M j. Então, d j I j (s j v + j + t jv j ) = I j(s j v + j ) + I j(t j v j ), implicando em d j s2 j ( v + j v + j 2 ) F (s j v + j ) Ω j Ω j + t2 j ( v j v j 2 ) F (t j v j ). Ω j Ω j Usando o fato que v ± j M Ωj e a hipótese (f 4 ), obtemos Logo, e sendo segue de (3.14), Logo, de (3.1), d j { s 2 j 2 C ps p } { j t 2 v + j j p p + Ω j 2 C pt p } j v j p p. Ω j { r 2 d j max r 0 2 C } pr p v j p p Ω j { r 2 max r 0 2 C } pr p p ( d j C 2 2 p 1 p 2 1 ) p Ω D = k j=1 ( = C 2 2 p 1 p 2 1 ), p v j p = C 2 2 p p γ j. d j ks p C 2 2 p p < θ 2 4θ. Escolhendo δ 0 sucientemente próximo de 1, a última desigualdade implica em D < δ 0(θ 2) 4θ Proposição Para λ 1, o funcional Φ λ satisfaz a condição (P S) c, para todo c (0, D]. Mais precisamente, qualquer sequência (u n ) H λ, (P S) c para Φ λ, tem uma subsequência fortemente convergente em H λ. 71

85 Demonstração. Seja (u n ) H λ uma sequência (P S) c para Φ λ com c (0, D]. Pelo Lema 3.3.3, Sendo c (0, D], temos o que implica, pelo Lema 3.3.4, lim sup u n 2 λ n lim sup u n 2 λ n 2θc δ 0 (θ 2). 2θD δ 0 (θ 2), lim sup u n 2 λ < 1 n 2, mostrando que (u n ) é limitada em H λ. Como H λ é um espaço de Banach reexivo, existe u H λ tal que, a menos de subsequência, u n u em H λ. Além disso, utilizando a imersão contínua H λ obtemos H 1 ( ) e as imersões compactas de Sobolev, u n u em H 1 ( ) e u n u em L s loc( ), s 1. Armação Para qualquer ɛ > 0 dado, existe R > 0 tal que ( lim sup un 2 + (λv (x) + 1) u n 2) ɛ, para n N. (3.15) n \B R (0) De fato, seja R > 0 sucientemente grande de tal modo que Ω Γ B R (0) e considere 2 η R C ( ) satisfazendo 0, se x B R (0) 2 η R (x) =, 1, se x \ B R (0) 0 η R 1 e η R C, onde C > 0 independe de R. Tem-se R ( L n := un 2 + (λv (x) + 1) u n 2) η R = Φ λ (u n)(u n η R ) u n u n η R + f(x, u n )u n η R. \B R2 (0) De (3.10) e da desigualdade de Schwarz, L n Φ λ(u n )(u n η R ) + C u n u n + ν 0 R \B R2 (0) u n 2 η R. Pela desigualdade de Hölder e a limitação das sequências (u n ) e ( u n ) em L 2 ( ), L n o n (1) + C R + ν 0L n, 72

86 e como podemos escolher ν 0 < 1, Em consequência lim sup n \B R (0) L n o n (1) + C R(1 ν 0 ). ( un 2 + (λv (x) + 1) u n 2) lim sup L n n C R(1 ν 0 ). Portanto, dado ɛ > 0, escolhendo se necessário um R > 0 ainda maior, obtemos C R(1 ν 0 ) < ɛ, o que demonstra a armação. Armação Os seguintes limites são válidos (a) g(x, u n )u n g(x, u)u; (b) g(x, u n )v g(x, u)v, v H λ. De fato, dado ɛ > 0, considere R > 0 como na Armação e L n,1 := g(x, u n )u n g(x, u)u B R (0) B R (0) e Segue de (3.11) que L n,2 := g(x, u n )u n g(x, u)u. \B R (0) g(x, u n )u n η u n 2 + C η u n b τ (u n ), x, n N. Considere h n, h H 1 (B R (0)) denidas por h n := η u n 2 + C η u n b τ (u n ) e h := η u 2 + C η u b τ (u). Assim, g(x, u n )u n h n (x), e como u n u em L s loc (R2 ), s 1, temos u n (x) u(x) q.t.p. em B R (0). Consequentemente, g(x, u n (x))u n (x) g(x, u(x))u(x) q.t.p. em B R (0), h n (x) h(x) q.t.p. em B R (0), com h L 1 (B R (0)). 73

87 Armamos que h n h em L 1 (B R (0)). Com efeito, sendo lim sup u n 2 λ < 1/2, para m (1/2, 1) e uma subsequência ainda n denotada por (u n ), temos sup u n 2 m < 1, n 1 xando q, τ > 1 sucientemente próximos de 1, de tal modo que τ qm < 1, pelo Corolário existe C > 0 tal que b τ (u n ) L q ( ) com b τ (u n ) q C, n N. Logo, a sequência (b τ (u n )) n é limitada em L q (B R (0)). Como consequência, usando o Lema A.9 do Apêndice A, b τ (u n ) b τ (u) em L q (B R (0)), e como u n u em L q (B R (0)), onde 1/q + 1/q = 1, o Lema A.8 do Apêndice A implica que u n b τ (u n ) u b τ (u) em L 1 (B R (0)). Portanto h n h em L 1 (B R (0)). Usando o Teorema da convergência dominada generalizado de Lebesgue (TeoremaA.12 do Apêndice A), concluimos que lim L n,1 = 0. n Por outro lado, como \ B R (0) \ Ω Γ, de (3.10) deduzimos g(x, t)t = f(t)t ν 0 t 2, x \ B R (0), t R. Portanto L n,2 ν 0 u n 2 + ν 0 u 2 \B R (0) \B R (0) ( un 2 + (λv (x) + 1) u n 2) + ν 0 \B R (0) \B R (0) u 2. Como u L 2 ( ), aumentando R caso seja necessário, podemos admitir u 2 ɛ. ν 0 \B R (0) 74

88 Consequentemente, pela Armação 3.3.6, após passagem ao limite superior, obtemos implicando que lim sup L n,2 2ɛ, ɛ > 0, n lim L n,2 = 0. n Deste modo, temos (a). A demonstração de (b) segue usando o mesmo raciocínio. Agora, note que u n u 2 λ = u n 2 λ n 2 u n, u λ + u 2 λ e como Φ λ (u n)u n = o n (1) e Φ λ (u n)u = o n (1), ou seja, u n 2 λ = g(x, u n )u n + o n (1) e u n, u λ = g(x, u n )u + o n (1), temos u n u 2 λ = g(x, u n )u n g(x, u n )u + o n (1) + u 2 λ u n, u λ. (3.16) Por outro lado, u 2 λ u n, u λ = u 2 u n u + (λv (x) + 1) u (u u n ), (3.17) Agora, observamos que o funcional linear ψ λ : H λ R denido por ψ λ (w) := (λv (x) + 1)uw, satisfaz, pela desigualdade de Hölder, [ ] 1/2 [ ] 1/2 ψ λ (w) (λv (x) + 1)u 2 (λv (x) + 1)w 2. Desta maneira, se w λ 1, então [ ] 1/2 (λv (x) + 1)w 2 w λ 1, implicando que [ ] 1/2 ψ λ (w) (λv (x) + 1)u 2, w H λ, w λ 1, 75

89 ou seja, ψ λ é um funcional limitado. Assim, pela convergência fraca de u n para u em H λ, ψ λ (u n ) ψ λ (u) quando n, ou equivalentemente, (λv (x) + 1)u(u u n ) = o n (1), o que implica, por (3.17), u 2 λ u n, u λ = o n (1). (3.18) Usando (3.18) em (3.16), deduzimos que u n u 2 λ = g(x, u n )u n g(x, u n )u + o n (1), o que juntamente com a Armação 3.3.7, implica em u n u em H λ e H 1 ( ), mostrando que o funcional Φ λ satisfaz a condição (P S) c, para c (0, D]. Nosso próximo objetivo é estudar o comportamento de uma sequência de Palais- Smale generalizada correspondente a uma sequência de funcionais. No que segue, dizemos que uma sequência (u n ) em H 1 ( ) é dita uma sequência (P S),c para a família de funcionais (Φ λ ) λ 1 se existe uma sequência λ n [1, + ) com λ n quando n, tal que u n H λn, Φ λn (u n ) c e Φ λ n (u n ) λ n 0. Proposição Seja (u n ) uma sequência (P S),c com c (0, D]. Então, para alguma subsequência, ainda denotada por (u n ), existe u H 1 ( ) tal que Além disso, (i) u 0 em \ Ω Γ e u Ωj para cada j Γ; (ii) u n u λn 0; u n u em H 1 ( ). é uma solução de u + u = f(u), em Ω j, u = 0, sobre Ω j (P ) j 76

90 (iii) A sequência (u n ) também satisfaz λ n V (x) u n 2 0, u n 2 λ n, \Ω Γ 0 e u n 2 \Ω j Ω j ( u 2 + u 2 ) para todo j Γ. Demonstração. Como na demonstração da Proposição 3.3.5, mostra-se que, a menos de subsequência, Sendo assim, podemos assumir que, para algum u H 1 ( ), sup u n 2 < 1. (3.19) n 1 u n u em H 1 ( ) (3.20) e u n (x) u(x) q.t.p. em. No que segue, para cada m N, denotamos por C m o conjunto dado por Assim, C m = C m u n 2 m λ n { x : V (x) 1 m }. λ n V (x) u n 2 m λ n u n 2 λ n. A desigualdade acima combinada com o Lema de Fatou implica em C m u 2 = 0, m N. Logo, o que implica em u(x) = 0 sobre C m = \ Ω Γ, m=1 u Ωj H 1 0(Ω j ), j {1,..., k}. Uma vez que Φ λ n (u n )ϕ 0 quando n para cada ϕ C0 (Ω j ), segue de (3.19) e (3.20) que u ϕ + uϕ g(x, u)ϕ = 0, (3.21) Ω j Ω j 77

91 de onde segue que u Ωj é uma solução de (P ) j, para cada j {1,..., k}. Além disso, para cada j {1,..., k}, usando ϕ = u Ωj em (3.21), obtem-se ( u 2 + u 2 ) f(u)u = 0, Ω j Ω j ou equivalentemente, u 2 λ,ω j = f(u)u. f(u)u = 0. Sendo f(s)s ν 0 s 2, s R, pelo Lema 3.2.1, δ 0 u 2 λ,ω j u 2 λ,ω j ν 0 u 2 2,Ω j u 2 λ,ω j Ω j Portanto, u = 0 em Ω j, para j {1,..., k} \ Γ, e a demonstração de (i) está completa. (ii) Repetindo o argumento utilizado na Proposição 3.3.5, u n u 2 λ n = (λ n V (x) + 1)(u n u)u + o n (1) e como u = 0 em \ Ω Γ, u n u 2 λ n 0, quando n. Ω j Para demonstrar (iii), observe que 0 λ n V (x) u n 2 = λ n V (x) u n u 2 C u n u 2 λ n, o que implica, pelo item (ii), em λ n V (x) u n 2 0, n. Os outros limites também seguem imediatamente do limite em (ii). Na próxima proposição, usamos o método de Iteração de Moser [43] e adaptamos as idéias contidas em Li Gongbao [36], ver também Alves e Souto [13]. Este resultado será fundamental para mostrarmos que as soluções nodais que encontramos para (A λ ) são também soluções nodais de (P λ ), para λ sucientemente grande. Proposição Seja {u λ } λ 1 uma família de soluções nodais de (A) λ vericando u λ 2 m < 1, para todo λ 1. Então, existe K > 0 tal que u λ K, λ 1. 78

92 Demonstração. Para cada λ 1, L > 0 e β > 1, denimos u + u + L,λ := λ, se u λ L, L, se u λ L, z + L,λ := (u+ L,λ )2(β 1) u + λ e w + L,λ := u+ λ (u+ L,λ )β 1. Usando z + L,λ como função teste na denição de solução fraca, u λ z + L,λ + (λv (x) + 1)u λ z + L,λ = g(x, u λ )z + L,λ (3.22) o que implica (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 = 2(β 1) u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ R 2 + g(x, u + λ )u+ λ (u+ L,λ )2(β 1) R 2 (λv (x) + 1) u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1). Desde que u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ = [u λ L] u + λ 2(β 1) u + λ 2 0 e λv (x) + 1 1, para todo x, temos (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 g(x, u + λ )u+ λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1). (3.23) Agora, vamos precisar da seguinte estimativa envolvendo g: g(x, u + λ ) ɛu+ λ + C ɛb τ (u + λ )u+ λ, (3.24) onde b τ (u + λ ) Lq ( ) para algum q > 1, q 1 e b τ (u + λ ) q C, λ 1. (3.25) Usando (3.24) em (3.23), camos com (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 (ɛ 1) u + λ (u+ L,λ )2(β 1) + b τ (u + λ ) u+ λ 2 (u + L,λ )2(β 1). (3.26) Por outro lado, das imersões contínuas de Sobolev, w + L,λ 2 γ C γ ( w + L,λ 2 + w + L,λ 2), (3.27) 79

93 para qualquer γ 2. Desde que w + L,λ = ( u + λ (u+ L,λ )β 1) = (u + L,λ )β 1 u + λ + (β 1)u+ λ (u+ L,λ )β 2 u + L,λ, temos w + L,λ 2 = (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 + 2(β 1)u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ +(β 1) 2 u + λ 2 (u + L,λ )2(β 2) u + L,λ 2. (3.28) Usando (3.28) em (3.27), w + L,λ 2 γ C γ (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +2(β 1)C γ u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ +(β 1) 2 C γ +C γ u + λ (u+ L,λ )2(β 1). u + λ 2 (u + L,λ )2(β 2) u + L,λ 2 (3.29) Note que u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ = (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 [u λ L] (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 e u + λ 2 (u + L,λ )2(β 2) u + L,λ 2 = (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 [u λ L] (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2. Usando (3.30) e (3.31) em (3.29), obtemos w + L,λ 2 γ C γ β 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +C γ u R + λ (u+ L,λ )2(β 1). 2 (3.30) (3.31) (3.32) Substituindo (3.26) em (3.32), camos com w + L,λ 2 γ [(ɛ 1)β 2 + 1]C γ u + λ (u+ L,λ )2(β 1) +Cβ b τ (u + λ ) u+ λ 2 (u + L,λ )2(β 1). 2 80

94 Fixando 0 < ɛ < 1 1/β 2, temos (ɛ 1)β < 0. Portanto, w + L,λ 2 γ Cβ 2 b τ (u + λ ) u+ λ 2 (u + L,λ )2(β 1), ou equivalentemente, w + L,λ 2 γ Cβ 2 b τ (u + λ ) w+ L,λ 2. Da Desigualdade de Hölder, w + L,λ 2 γ Cβ 2 [ onde 1/q + 1/q = 1. Logo, por (3.25) ou ainda, b τ (u + λ ) q w + L,λ 2 γ Cβ 2 [ ] 1/q [ w + L,λ 2q w + L,λ 2q ] 1/q w + L,λ 2 γ Cβ 2 w + L,λ 2 2q, λ 1 para qualquer L > 0, β > 1 e γ 2, onde a constante C > 0 depende somente de γ., ] 1/q Observe que por imersões contínua de Sobolev u + λ β L 2q ( ). Logo, w + L,λ 2 γ Cβ 2 ( u + λ (u+ L,λ )β 1 2q ) 1/q Cβ 2 ( Aplicando o Lema de Fatou na variável L, deduzimos que ( ) 2q /γ C 2q β 2q de onde segue que u + λ γβ u + λ 2q β u + λ 2q β,, ) 1/q < +. u + λ βγ C 1/β β 1/β u + λ β2q. (3.33) Agora, xe γ > 2q e considere χ = γ 2q. Note que γ = χ2q e βχ2q = βγ, para todo β > 1. 1 o Passo: Considere β = γ 2q > 1 e observe que u + λ β L 2q ( ). Portanto, por (3.33) u + λ γ 2 /2q C1/β β 1/β u + λ γ, o que implica ou ainda, u + λ (χ2q ) 2 /2q C1/β β 1/β u + λ γ, u + λ χ 2 2q C1/χ χ 1/χ u + λ γ (3.34) 81

95 mostrando que u + ) 2 λ (γ/2q L 2q ( ). (3.35) ( ) 2 γ 2 o Passo: Considerando β = > 1, por (3.35) 2q u + λ β L 2q ( ). Portanto, por (3.33) u + λ γ 3 /(2q ) 2 C1/β β 1/β u + λ γ 2 /2q, o que implica u + λ (χ2q ) 3 /(2q ) 2 C1/χ2 (χ 2 ) 1/χ2 u + λ χ 2 2q, λ 1, ou seja, u + λ χ 3 2q C1/χ2 (χ 2 ) 1/χ2 u + λ χ 2 2q. (3.36) Usando (3.34) em (3.36) u + λ χ 2 2q C1/χ2 (χ 2 ) 1/χ2 C 1/χ χ 1/χ K, λ 1, ou equivalentemente, u + λ χ 2 2q C1/χ+1/χ2 χ 1/χ+2/χ2 K, λ 1, com u + λ (γ/2q ) 3 L 2q ( ), por (3.35) e (3.36). Pelo princípio de indução nita, n n u + λ χ (n+1) 2q C i=1 χ i χ Desde que as séries que aparecem em (3.37) são convergentes com i=1 iχ i K, λ 1. (3.37) n i=1 pelo Lema A.4 do Apêndice A, χ i = 1 χ 1 e n iχ i = i=1 χ 2 (χ 1) 2, u + λ K, λ 1. (3.38) 82

96 Analogamente, se para cada λ 1, L > 0 e β > 1, denimos u λ = max{ u λ, 0}, u u L,λ := λ, se u λ L, L, se u λ L, z L,λ := u λ (u L,λ )2(β 1) e w L,λ,i := u λ (u L,λ )β 1, podemos mostrar que u λ K para todo λ 1. (3.39) Portanto, de (3.38) e (3.39), u λ K para todo λ 1, (3.40) concluindo a demonstrando da proposição. A próxima proposição nos garante que toda solução nodal de (A λ ) é uma solução nodal de (P λ ), para λ sucientemente grande. Proposição Seja {u λ } λ 1 uma família de soluções nodais do problema (A) λ com u λ 2 m < 1 e u λ 0 em H 1 ( \ Ω Γ ) quando λ. Então, existe λ 1 tal que u λ, \Ω Γ a, λ λ, e portanto, u λ é uma solução nodal de (P ) λ, para todo λ λ. Demonstração. Sejam x 1,..., x l Ω Γ, R > 0 e 0 < r < R/2 tais que e Ω Γ N ( Ω Γ) := B R+r (x i ) \ Ω Γ, l B R+r (x i ) i=1 i {1,..., l}. Usaremos argumentos similares aos utilizados na demonstração da Proposição para demonstrar que para algum λ 1. u λ,n ( Ω Γ ) < a, λ λ, (3.41) Considere η i C ( ), 0 η i 1 com 1, se x x i R η i (x) = 0, se x x i R + r 83

97 e η i 2/r, para cada i {1,..., l}. Agora, para cada λ 1, L > 0 e β > 1, denimos u + u + L,λ := λ, se u λ L, L, se u λ L, z + L,λ,i := η2 i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) e w + L,λ,i := η iu + λ (u+ L,λ )β 1. Usando o fato que u λ é uma solução nodal para (A λ ), u λ z + L,λ,i + (λv (x) + 1)u λ z + L,λ,i = g(x, u λ )z + L,λ,i. (3.42) Note que z + L,λ,i = ( η 2 i u + λ (u+ L,λ )2(β 1)) logo, = 2η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) η i + η 2 i (u + L,λ )2(β 1) u + λ +2(β 1)η 2 i u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + L,λ, u λ z + L,λ,i = 2η iu + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i + η 2 i (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +2(β 1)η 2 i u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ. (3.43) Usando (3.43) em (3.42), obtemos ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 = 2(β 1) ηi 2 u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ R 2 + g(x, u + λ )η2 i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) R 2 (λv (x) + 1)ηi 2 u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) R 2 2 η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i R 2 ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2. Vamos estimar cada uma das integrais acima separadamente. (3.44) ηi 2 u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ = η 2 [u + λ L] i u + λ 2(β 1) u + λ 2 0; (3.45) (λv (x) + 1)ηi 2 u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) ηi 2 u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) ; (3.46) 84

98 usando a desigualdade de Schwarz, 2 η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i 2 η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i, e pela desigualdade de Young 2 η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i δ ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +C δ u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2, para qualquer δ > 0. Logo 2 η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i δ ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +C δ u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2. (3.47) Usando a estimativa de g dada em (3.24) e as desigualdades (3.45), (3.46) e (3.47) na igualdade em (3.44), obtemos ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 (ɛ 1) ηi 2 u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) R 2 +C ɛ b τ (u + λ )η2 i u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) +(δ 1) ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +C δ u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2. Fixando δ < 1, camos com ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 (ɛ 1) ηi 2 u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) R 2 +C ɛ +C δ R2 bτ(u+λ )η2i u+λ 2(u+L,λ)2(β 1) u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2. (3.48) (3.49) Por outro lado, das imersões contínuas de Sobolev, w + L,λ,i 2 γ C γ ( w + L,λ,i 2 + w + L,λ,i 2), (3.50) para qualquer γ 2. Desde que w + L,λ,i = ( η i u + λ (u+ L,λ )β 1) = u + λ (u+ L,λ )β 1 η i + η i (u + L,λ )β 1 u + λ + (β 1)η iu + λ (u+ L,λ )β 2 u + L,λ, 85

99 temos w + L,λ,i 2 = u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2 + η 2 i (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +(β 1) 2 η 2 i u + λ 2 (u + L,λ )2(β 2) u + L,λ 2 +2(β 1)η i u + λ 2 (u + L,λ )2β 3 u + L,λ η i (3.51) +2(β 1)η 2 i u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ +2η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i. Usando (3.51) em (3.50), w + L,λ,i 2 γ = C γ u R + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2 + C γ ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 2 R 2 +(β 1) 2 C γ η2i u+λ 2(u+L,λ)2(β 2) u+l,λ 2 R2 +2(β 1)C γ ηi u+λ 2(u+L,λ)2β 3 u+l,λ ηi R2 +2(β 1)C γ ηi 2 u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ (3.52) +2C γ η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + λ η i +C γ η 2 i u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1). Note que ηi 2 u + λ 2 (u + L,λ )2(β 2) u + L,λ 2 = ηi 2 (u + L,λ )2 (u + L,λ )2(β 2) u + λ 2 [u λ L] ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2, ηi 2 u + λ (u+ L,λ )2β 3 u + λ u+ L,λ = ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 [u λ L] ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2, η i u + λ 2 (u + L,λ )2β 3 u + L,λ η i = η i u + [u + λ L] λ (u+ L,λ )2(β 1) u + L,λ η i η i u + λ (u+ L,λ )2(β 1) u + L,λ η i (3.53) (3.54) (3.55) 86

100 e usando a desigualdade de Young em (3.55), η i u + λ 2 (u + L,λ )2β 3 u + L,λ η i δ ηi 2 (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +C δ u R + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2. 2 (3.56) Usando (3.53) (3.56) em (3.52), w + L,λ 2 γ C γ (1 + β 2 C δ ) u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2 R 2 +C γ (1 + δ)β 2 η 2 i (u + L,λ )2(β 1) u + λ 2 +C γ η 2 i u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1). (3.57) Usando (3.49) em (3.57) e xando ɛ < 1 1/β 2, ] w + L,λ,i 2 γ Cβ [ u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1) η i 2 + b τ (u + λ )η2 i u + λ 2 (u + L,λ )2(β 1). (3.58) 2 Usando a Proposição 3.3.9, temos b τ (u + λ ) C, para todo λ 1 e alguma constante C > 0. Sendo assim, da denição de η i e de (3.58), ( ) 2/γ u + λ γ (u L,λ ) γ(β 1) Cβ 2 u + λ 2β. B R (x i ) B R+r(xi ) Passando ao limite de L na desigualdade anterior e usando o Lema de Fatou, ( ) 2/γ u + λ γβ Cβ 2 u + λ 2β. (3.59) B R (x i ) B R+r(xi ) γ(t 1) γ 2 Agora, note que se β = com t = 2t 2(γ 2), então β > 1, 2t t 1 < γ e u + λ Lβ2t/(t 1) (B R+r (x i )). Segue de (3.60) e da desigualdade de Hölder com expoentes t/(t 1) e t que ( ) [ 2/γ ] (t 1)/t [ 1/t u + λ γβ Cβ 2 u + λ 1] 2βt/(t 1), B R (x i ) B R+r(x i ) B R+r(x i ) ou equivalentemente, de onde segue que u + λ 2β L γβ (B R (x i )) Cβ2 u + λ 2β L 2βt/(t 1) (B R+r (x i )), (3.60) u + λ L γβ (B R (x i )) C 1/β β 1/β u + λ L 2βt/(t 1) (B R+r (x i )). (3.61) 87

101 γ(t 1) Considerando χ =, s = 2t 2t t 1 método de Iteração de Moser, obtemos e a desigualdade em (3.61), aplicando o u + λ L χn+1s (B R (x i )) C n i=1 χ i χ n i=1 iχ i u + λ L γ (B R+r (x i )), (3.62) o que implica u + λ L (B R (x i )) C u + λ L γ (B R+r (x i )). Desde que u + λ 0 em H1 ( \ Ω Γ ) quando λ e B R+r (x i ) \ Ω Γ, por (3.62) e as imersão compacta de Sobolev, para cada ɛ > 0, existe λ ɛ,i 1 tal que u + λ L (B R (x i )) ɛ, λ λ ɛ,i, em particular, considerando ɛ = a e tomando λ = max 1 i l {λ a,i}, deduzimos que u + λ,n ( Ω Γ ) a para todo λ λ. (3.63) Analogamente, se para cada λ 1, L > 0 e β > 1, denimos u λ = max{ u λ, 0}, u u L,λ := λ, se u λ L, L, se u λ L, podemos mostrar que z L,λ,i := η2 i u λ (u L,λ )2(β 1) e w L,λ,i := η iu λ (u L,λ )β 1, u λ,n ( Ω Γ ) a para todo λ λ. (3.64) Portanto, de (3.63) e (3.64), u λ,n ( Ω Γ ) a para todo λ λ, (3.65) mostrando a armação feita em (3.41). Agora, para λ λ, denimos v λ : \ Ω Γ R por v λ (x) = (u λ (x) a) +. De (3.63), tem-se v λ H 1 0( \ Ω Γ ). Nosso próximo objetivo é mostrar que v λ = 0 em \ Ω Γ. Isto implica em u λ a. 88

102 Prolongando a função v λ = 0 em Ω Γ e tomando v λ como função teste, obtemos u λ v λ + (λv (x) + 1)u λ v λ = g(x, u λ )v λ. Sendo e onde tem-se Sendo \Ω Γ \Ω Γ \Ω Γ \Ω Γ \Ω Γ u λ v λ = (λv (x) + 1)u λ v λ = \Ω Γ g(x, u λ )v λ = ( \Ω Γ ) + ( \Ω Γ ) + \Ω Γ v λ 2, \Ω Γ (λv (x) + 1) (v λ + a) v λ g(x, u λ ) u λ (v λ + a)v λ, ( \ Ω Γ) + = {x \ Ω Γ : u λ (x) > a}, v λ 2 + ( \Ω Γ ) + [ (λv (x) + 1) g(x, u ] λ) (v λ + a)v λ = 0. u λ (λv (x) + 1) g(x, u λ) u λ > ν 0 f(u λ ) u λ 0 em ( \ Ω Γ) +, deduzimos que v λ = 0 em ( \ Ω Γ ) +. Obviamente, v λ = 0 nos pontos onde u λ = 0. Consequentemente, v λ := (u λ a) + = 0 em \ Ω Γ. Trabalhando com a função (u λ + a), é possível demonstrar que u λ (x) a para x \ Ω Γ. Logo, u λ(x) a para x \ Ω Γ. Portanto, pela Observação 3.3.2, a proposição está demonstrada. 3.4 Um valor crítico especial de Φ λ. No que segue, vamos xar ɛ > 0 e ζ = ζ(ɛ) > 0 tais que I j ((1 ɛ)w ± j ), I j((1 + ɛ)w ± j ) < I j(w ± j ) ζ, j Γ. (3.66) Além disso, sem perda de generalidade, vamos assumir que Γ = {1,..., l} Denotaremos por Q = (1 ɛ, 1 + ɛ) 2l e denimos γ 0 : Q H λ por (l k). γ 0 ( s, t )(x) = ( s, t) ( w + (x), w (x)) (3.67) onde ( s, t) = (s 1,..., s l, t 1,..., t l ) e ( w + (x), w (x)) = (w 1 + (x),..., w + l (x), w 1 (x),..., w l (x)), 89

103 e o número onde Σ λ = S λ,γ = inf γ λ { γ C(Q, H λ ) : γ ± Ω j max Φ λ (γ( s, t)) ( s, t) Q Como γ 0 Σ λ, então Σ λ e S λ,γ está bem denido. } 0, j Γ e ( s, t) Q, γ = γ 0 sobre Q. Lema Para qualquer γ Σ λ existe ( s, t ) Q tal que Φ λ,j ( γ ± ( s, t ) ) ( γ ± ( s, t ) ) = 0 para todo j {1,..., l}. Demonstração. Basta usar os mesmos argumentos desenvolvidos na demonstração da Armação , feita no Capítulo 1. Para isto, para cada γ Σ λ, denimos agora as funções H, H 0 : Q por H = (Φ λ,1(γ + )γ +,..., Φ λ,l(γ + )γ +, Φ λ,1(γ )γ,..., Φ λ,l(γ )γ ) e H 0 = (Φ λ,1(γ + 0 )γ + 0,..., Φ λ,l(γ + 0 )γ + 0, Φ λ,1(γ 0 )γ 0,..., Φ λ,l(γ 0 )γ 0 ). Por (f 4 ) e pela Teoria do Grau de Brouwer, temos d(h 0, Q, 0) = 1. Sendo H = H 0 sobre Q, usando o grau topológico, obtemos d(h, Q, 0) = 1, e portanto o Lema ocorre. l No que segue, denotamos por D Γ o número D Γ = d j. Proposição Os números D Γ e S λ,γ vericam as seguintes relações j=1 (a) l d λ,j S λ,γ D Γ para todo λ 1 e; j=1 (b) S λ,γ D Γ quando λ. 90

104 Demonstração. (a) Sendo γ 0 denido em (3.67) pertecente a Σ λ, temos S λ,γ max Φ λ (γ 0 ( s, t)) ( s, t) Q l max s [1 ɛ,1+ɛ] l j=1 I j (s j w + j ) + max t [1 ɛ,1+ɛ] l j=1 l I j (t j w j ). Da denição de w j, sabemos que max I j(zw ± j ) = I j(w ± j ), para cada j Γ, (3.68) z [1 ɛ,1+ɛ] logo, S λ,γ l d j = D Γ. j=1 Agora, para γ Σ λ, seja ( s, t ) Q dado no Lema 3.4.1, temos Φ λ,j (γ( s, t )) d λ,j, j Γ. Por outro lado, Φ λ, \Ω Γ (u) = 1 2 u 2 λ, \Ω Γ λ, \Ω Γ F (u), e sendo F (s) 1 2 ν 0 s 2 para todo s R, temos pelo Lema 3.2.1, Φ λ, \Ω Γ (u) 1 2 ( ) u 2 λ, \Ω ν 0 u 2 Γ λ, \Ω Γ δ 0 2 u 2 λ, \Ω, Γ de onde segue que Φ λ, \Ω (u) 0, para todo u H1 ( \ Ω Γ Γ ). Logo, Φ λ (γ( s, t )) l Φ λ,j (γ( s, t )) j=1 o que implica em max Φ λ (γ( s, t)) Φ λ (γ( s, t )) ( s, t) Q Da denição de S λ,γ, podemos concluir que l d λ,j. j=1 S λ,γ l d λ,j, j=1 nalizando a demonstração de (a). 91

105 (b) Observe que se, para cada j {1,..., k}, d λ,j d j quando λ, (3.69) então l d λ,j D Γ, quando λ. j=1 O último limite junto com (a) implica que (b) ocorre. Sendo assim, resta mostrar que o limite em (3.69) é válido. Observe que para cada j {1,..., k} xado, a aplicação λ d λ,j é estritamente crescente e limitada superiormente por d j. De fato, considere a aplicação w j H 1 (Ω j) (extensão nula de w j H0(Ω 1 j ) dada em (3.6)) e observe que Φ λ,j(w ± j )w± j = I j(w ± j )w± j = 0. Logo, w j M λ,j para todo λ 1, o que implica d λ,j = inf M λ,j Φ λ,j Φ λ,j (w j ) = I j (w j ) = d j, λ 1, mostrando a limitação superior da aplicação λ d λ,j por d j. Para demonstrar a monotonicidade estrita, considere λ 1 < λ 2 e w λ2,j H 1 (Ω j) satisfazendo (3.7) com λ = λ 2. Sejam s, t (0, + ) tais que sw + λ 2,j + tw λ 2,j M λ 1,j. Sendo λ 1 < λ 2, temos d λ1,j = inf Φ λ1,j Φ λ1,j(sw + λ M 2,j + tw λ 2,j ) λ1,j < Φ λ2,j(sw + λ 2,j + tw λ 2,j ) = Φ λ 2,j(sw + λ 2,j ) + Φ λ 2,j(tw λ 2,j ). Desde que Φ λ 2,j (w± λ 2,j )w± λ 2,j = 0, temos as seguintes caracterizações Φ λ2,j(w ± λ 2,j ) = max r>0 Φ λ 2,j(rw ± λ 2,j ). Logo, d λ1,j < Φ λ2,j(w + λ 2,j ) + Φ λ 2,j(w λ 2,j ) = Φ λ 2,j(w λ2,j) = d λ2,j, mostrando a monotonicidade estrita. Seja (λ n ) uma sequência estritamente crescente tal que λ n +. Pelo que vimos no início da demonstração, temos d λ1,j < d λ2,j <... < d λn,j <... d j, 92

106 de onde segue que d := lim n d λn,j d j. Para cada λ n 1, considere a solução w λn,j H λn (Ω j) do problema de Neumann em (3.3) com λ = λ n. Observe que Φ λn,j(w λn,j) = d λn,j d e Φ λ n,j(w λn,j) λ n = 0, de onde segue que (w λn,j) n é uma sequência (P S),d para a sequência de funcionais (Φ λn,j), com d (0, D]. Armação A sequência (w λn,j) n é limitada em H 1 (Ω j) com w λn,j 2 H 1 (Ω j ) 1 ξ 2 < 1. De fato, usando a Condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f 3 ), obtemos d λn,j = Φ λn,j(w λn,j) 1 θ Φ λ n,j (w λ n,j)w λn,j ( θ ( θ ) w λn,j 2 λ n,ω j ) w λn,j 2 λ n,ω j Ω j ( F (w λn,j) 1 ) θ f(w λ n,j)w λn,j de onde segue que lim sup w λn,j 2 λ n,ω j n 2dθ θ 2 2d jθ θ 2 < 1 ξ 2 < 1. A armação segue observando que w λn,j 2 H 1 (Ω j ) w λ n,j 2 λ n,ω j, para todo n 1. Assim, podemos assumir que para algum w 0 H 1 (Ω j), w λn,j w 0 em H 1 (Ω j), w λn,j w 0 em L s (Ω j), para s 1 e w λn,j(x) w 0 (x) q.t.p. em Ω j. Seguindo os mesmos argumentos utilizados na demonstração da Proposição 3.3.8, mostra-se que w λn,j w 0 em H 1 (Ω j), 93

107 w 0 0 em Ω j \ Ω j e w 0 Ωj é uma solução de u + u = f(u), em Ω j u = 0 sobre Ω j. Para mostrar que w 0 ± 0, basta observar que w ± λ n,j 2 H 1 (Ω j ) w± λ n,j 2 λ n,j = f(w ± λ n,j )w± λ n,j. Ω j Agora, é só usar argumentos similares aos do Lema do Capítulo 1, para mostrar que Ω j w ± λ n,j q δ q > 0, n N, Passando ao limite de n na última desigualdade, obtemos Ω j w ± 0 q δ q > 0, de onde segue que w ± 0 0. Portanto, w 0 M j e d j lim n d λn,j Φ λn,j(w 0 ) = I j (w 0 ) d j mostrando que lim n d λn,j = d j. 3.5 Uma família especial de soluções nodais para (A) λ Nesta seção, mostramos a existência de uma família especial de soluções nodais para (A) λ, para λ sucientemente grande. Estas soluções nodais são exatamente as soluções enunciadas no Teorema No que segue, E + λ,j e E λ,j denotam o cone das funções não negativas e não positivas pertencentes a H λ (Ω j), respectivamente, isto é, E + λ,j = { u H λ (Ω j) : u(x) 0 q.t.p. em Ω j}, E λ,j = { u H λ (Ω j) : u(x) 0 q.t.p. em Ω j}. Segue da denição de γ 0 e das imersões compactas de Sobolev que existem constantes positivas τ e λ tais que dist λ,j ( γ0 ( s, t), E ± λ,j) > τ para todo ( s, t) Q, j Γ e λ λ, 94

108 onde dist λ,j (K, F ) denota a distância entre conjuntos em H λ (Ω j). número τ obtido na última desigualdade, denimos Considerando o Θ = { u H λ (Ω j) : dist λ,j ( u, E ± λ,j) τ j Γ }. Além disso, para qualquer c, µ > 0 e 0 < δ < min{ζ, τ/2}, consideramos os conjuntos Φ c λ = { u H λ (Ω j) : Φ λ (u) c } e B λ,µ = {u Θ 2δ : Φ λ (u) S λ,γ µ}, onde ζ é dado em (3.66) e, para r > 0, Θ r denota o conjunto Θ r = { u H λ (Ω j) : dist λ,j (u, Θ) r }. Note que para cada µ > 0, existe Λ = Λ (µ) > 0 tal que w = l w j B λ,µ, para todo λ Λ, j=1 pois w Θ, Φ λ (w) = D Γ e S λ,γ D Γ quando λ. Logo, B λ,µ para λ sucientemente grande. Observe também que para ɛ > 0 sucientemente pequeno, temos γ0 ( s, t) k 2 2 (1 + λ ɛ)2 w j j=1 com a constante M independente de λ. No que segue, para r > 0, denotamos por B r (0) := {u H λ : u λ r} λ M := 2θD Γ θ 2 (1 + ɛ)2 < 1, e por µ o seguinte número real positivo { M + 1 µ = min, δ }. (3.70) 2 2 Proposição Para cada µ > 0 xo, existem σ o = σ o (µ) > 0 e Λ = Λ (µ) 1 independentes de λ tais que Φ λ(u) λ σ o para λ Λ e todo u (B λ,2µ \ B λ,µ ) B (M+3)/4 (0) Φ D Γ λ. Demonstração. Suponhamos, por contradição, que existe uma sequência λ n e u n (B λn,2µ \ B λn,µ) B (M+3)/4 (0) Φ DΓ λ n tal que Φ λ n (u n ) λ n 0 quando n. 95

109 Sendo u n B λn,2µ e S λn,γ D Γ quando n, segue que a sequência (Φ λn (u n )) é também limitada. Assim, podemos assumir que Φ λn (u n ) c (0, D Γ ], após extrairmos uma subsequência se necessário. Aplicando a Proposição 3.3.8, podemos extrair uma subsequência u n u em H 1 ( ), onde u H0(Ω 1 Γ ) é uma solução de (P j ) com u n u λn 0, λ n V (x) u n 0 e u n λn, \Ω Γ 0. 2 Uma vez que u n Θ 2δ, para todo n N, temos u ± n λn,ω j 0, para todo j Γ. De fato, sendo u n E λ n,j, temos como u λn Θ 2δ, temos Logo Analogamente, Sendo assim, u ± Ωj nodal de (P j ) e u + n λn,ω j = u n u n λn,ω j dist λ n,j(u n, E λ n,j ), λ n Λ, dist λn,j(u n, E λ n,j ) τ 2δ > 0. u + n λn,ω j τ 2δ > 0, λ n Λ. (3.71) u n λn,ω j τ 2δ > 0, λ n Λ. 0 para todo j Γ. Logo, para todo j Γ, u é uma solução l d j j=1 l I j (u Ωj ) D Γ. j=1 Este fato implica em I j (u Ωj ) = d j para todo j Γ, logo Φ λn (u n ) D Γ quando n. Usando novamente a convergência S λn,γ D Γ quando n, podemos concluir que u n B λn,µ Φ D Γ λ n, para n sucientemente grande, o que é uma contradição. 96

110 Proposição Para cada µ (0, µ ), existe Λ = Λ (µ) > 1 tal que para todo λ Λ o funcional Φ λ tem um ponto crítico em B λ,µ B (M+3)/4 (0) Φ D Γ λ. Demonstração. Suponhamos, por contradição, que existe µ (0, µ ) e uma sequência λ n, tal que Φ λn Proposição o funcional Φ λn logo existe uma constante d λn > 0 tal que não tem pontos críticos em B λn,µ B (M+3)/4 (0) Φ D Γ λ n. Pela satisfaz a condição (P S) c para todo c (, D], Φ λ n (u) λ n d λn, u B λn,µ B (M+3)/4 Φ D Γ λ n. Além disso, pela Proposição 3.5.1, também temos Φ λ n (u) λ n σ o, u (B λn,2µ \ B λn,µ) B (M+3)/4 (0) Φ D Γ λ n, onde σ o > 0 é independente de λ n para n sucientemente grande. No que segue, são funções contínuas vericando e Ψ n : H λn R e H n : Φ c Γ λn H λn Ψ n (u) = 1, para u B λn,3µ/2 Θ δ B (M+1)/2 (0), Ψ n (u) = 0, para u / B λn,3µ/2 Θ δ B (M+1)/2 (0), 0 Ψ n (u) 1, para u H λn, Ψ n (u) Y n (u) 1 Y n (u), para u B λn,2µ B (M+3)/4 (0), H n (u) = 0, para u / B λn,2µ B (M+3)/4 (0), onde Y n é um campo pseudo-gradiente para Ψ λn sobre M n = {u H λn : Φ λ n (u) 0}. Pela denição de H n, para cada n N,temos H n (u) 1, para todo u Φ D Γ λ n, consequentemente, existe uma deformação η n : [0, ) Φ D Γ λ n Φ D Γ λ n denida por dη n dt = H n(η n ), η n (0, u) = u Φ D Γ λ n. Esta deformação satisfaz as seguintes propriedades básicas: d dt Φ λ n (η n (t, u)) Ψ n (η n (t, u)) Φ λ n (η n (t, u)) 0, (3.72) 97

111 e dη n dt = H n (η n ) λn 1 (3.73) λn η n (t, u) = u, t 0, u / B λn,2µ B (M+3)/4 (0). (3.74) Os caminhos γ n ( s, t) := η n (t, γ 0 ( s, t)), n N: Segue da denição do caminho γ 0 que γ 0 ( s, t) / B λn,2µ, para todo ( s, t) Q. Portanto, η n (t, γ 0 ( s, t)) = γ 0 ( s, t), para todo ( s, t) Q. Vamos mostrar que as aplicações γ n : Q H λn pertencem a classe Σ λn para n sucientemente grande. Para tal, começamos observando que γ n é uma aplicação contínua em Q. Uma vez que µ (0, µ ), (3.66), (3.68), e (3.70) implicam em Φ λn (γ 0 ( s, t)) D Γ > ζ δ 2µ, ( s, t) Q, n N. Assim, usando novamente o fato que S λ,γ D Γ quando λ, existe n o > 0 tal que Φ λn (γ 0 ( s, t)) S λn,γ > 2µ, ( s, t) Q, n n o, o que implica em γ 0 ( s, t) / B λn,2µ para todo ( s, t) Q e n n o. Logo, γ n = γ 0, sobre Q, n n o. Assim, resta mostrar que para todo j Γ e todo ( s, t) Q. γ n ( s, t) ± H 1 (Ω j) \ {0}, Sendo γ n ( s, t) = η n (T n, γ o ( s, t)) Θ 2δ para todo n, tem-se dist λn,j(γ n ( s, t), E ± λ n,j ) τ 2δ > 0. Assim, γ ± n Ωj 0 para todo j Γ, e podemos concluir que γ n Σ λn para n sucientemente grande 98

112 O caminho γ 0 ( s, t): Note que supt γ 0 ( s, t) Ω Γ para todo ( s, t) Q e que Φ λ (γ 0 ( s, t)) não depende de λ 1. Além disso, observe que Φ λ (γ 0 ( s, t)) D Γ, para todo ( s, t) Q e Φ λ (γ 0 ( s, t)) = D Γ, se, e somente se s j = t j = 1, j {1,..., l}. Portanto, o número real m n 0 := sup{φ λn (u) : u γ 0 (Q) \ (B λn,µ B M+1 (0))}, 2 é independente de λ n e verica lim sup m n 0 < D Γ. n De fato, caso contrário, existe uma subsequência (n j ) N tal que m n j 0 D Γ, quando n j com γ 0 ( s nj, t nj ) / B λnj,µ B M+1 (0), 2 m n j 0 1 n j Φ λnj (γ 0 ( s nj, t nj )) D Γ (3.75) e Φ λnj (γ 0 ( s nj, t nj )) D Γ, quando n j. Desde que γ 0 (Q) B M+1 (0), devemos ter 2 γ 0 ( s nj, t nj ) / B λnj,µ, ou seja, Φ λnj (γ 0 ( s nj, t nj )) S λnj,γ > µ > 0, n j N. (3.76) Mas pelo item (b) da Proposição e por (3.75), Φ λnj (γ 0 ( s nj, t nj )) S λnj,γ 0, quando n j, o que contradiz (3.76). 99

113 Armação Para cada n N, existe uma constante K n > 0 vericando para todo u, v B (M+3)/4 (0). Φ λn (u) Φ λn (v) K n u v λn, De fato, Pelo Teorema do Valor Médio, temos onde Φ λn (u) Φ λn (v) sup Φ λ n (tu + (1 t)v) λ n u v λn, t [0,1] Φ λ n (tu + (1 t)v) λ n = Assim, basta mostrar que existe K n > 0 tal que sup Φ λ n (tu + (1 t)v), w. w H λn, w λn 1 Φ λ n (tu + (1 t)v), w K n, w H λn, w λn 1, u, v B (M+3)/4 (0). Ora, Φ λ n (tu + (1 t)v), w M f(tu + (1 t)v)w. 2 Sendo assim, resta mostrar a limitação da integral acima. Usando o crescimento de f, temos ( ) f(tu + (1 t)v)w tu + (1 t)v w + C w e 4πτ tu+(1 t)v 2 1. (3.77) Usando a desigualdade de Hölder e o Lema A.1 do Apêndice A, obtemos ( ) ( ) w e 4πτ tu+(1 t)v 2 1 C 1 e 4πt 2τ tu+(1 t)v 2 1. (3.78) Por outro lado, para u, v B (M+3)/4 (0), temos Sendo assim, podemos xar t 2 4πt 2 τ tu + (1 t)v 2 λ n a Cao (6), tu + (1 t)v λn M < 1. > 1 sucientemente próximo de 1 de tal modo que < 1. Logo, usando a Desigualdade de Trudinger-Moser devida ( ) e 4πt 2τ tu+(1 t)v 2 1 C 2, u, v B (M+3)/4 (0), t [0, 1]. (3.79) Portanto, de (3.77), (3.78) e (3.79), obtemos f(tu + (1 t)v)w C, u, v B (M+3)/4 (0), t [0, 1], concluindo a demonstração da Armação o seguinte. Usando as informações apresentadas até o presente momento, podemos armar 100

114 Armação Existe T n = T (λ n ) > 0 e ɛ > 0 independente de n tal que { } lim sup max Φ λn (η n (T n, γ 0 ( s, t))) < D Γ ɛ. n ( s, t) Q De fato, dena u := γ 0 ( s, t), d λn = min{d λn, σ o }, T n = µσ o /2 d λn e η(t) := η n (t, u). Se u / B λn,µ B (M+1)/2 (0) Θ δ, pela denição de m n 0 temos Φ λn (η n (t, u)) Φ λn (u) m n 0, t 0. Por outro lado, se u / B λn,µ B (M+1)/2 (0) Θ δ, devemos analisar os seguintes casos: Caso 1. η n (t) B λn,3µ/2 B (M+1)/2 (0) Θ δ, para todo t [0, T n ]; Caso 2. η n (t o ) / B λn,3µ/2 B (M+1)/2 (0) Θ δ, para algum t o [0, T n ]. Análise do caso 1: Neste caso, temos Ψ n ( η n (t)) 1 e Φ λ n ( η n (t)) d λn para todo t [0, T n ]. Portanto por (3.72), Φ λn ( η n (T n )) = Φ λn (u) + Tn 0 d Tn ds Φ λ n ( η n (s))ds D Γ 0 d λn ds, ou seja, Φ λn ( η n (T n )) D Γ d λn T n = D Γ 1 2 σ oµ, de onde segue a armação. Análise do caso 2: Para este caso, temos as seguintes situações (a) Existe t 2 [0, T n ] tal que η n (t 2 ) / Θ δ ; note que para t 1 = 0, η n (t 2 ) η n (t 1 ) δ > µ, pois η n (0) = u Θ. (b) Existe t 2 [0, T n ] tal que η n (t 2 ) / B (M+1)/2 (0); neste caso, para t 1 = 0, η n (t 2 ) η n (t 1 ) M > µ, pois η n (0) = u B (M+1)/2 (0). 101

115 (c) η n (t) Θ δ B (M+1)/2 (0) para todo t [0, T n ], e existem 0 t 1 t 2 T n tal que η n (t) B λn,3µ/2 \ B λn,µ para todo t [t 1, t 2 ] com Φ λn ( η n (t 1 )) S λn,γ = µ e Φ λn ( η n (t 2 )) S λn,γ = 3µ/2. Usando a denição de K n, obtemos η n (t 2 ) η n (t 1 ) µ 2K n. As estimativas mostradas em (a) (c) implicam na existência de uma constante C > 0 tal que t 2 t 1 Cµ, e assim Φ λn ( η n (T n )) Φ λn (u) implicando nas desigualdades Tn 0 Ψ n ( η n (s)) Φ λ n ( η n (s)) ds ou seja, Φ λn ( η n (T n )) D Γ t2 t 1 σ o ds D Γ σ o (t 2 t 1 ) Φ λn ( η n (T n )) D Γ Cσ o µ, demonstrando que a armação ocorre. Pelo estudo feito, ca estabelecida a desigualdade lim sup S λn,γ D Γ ɛ, n o que contradiz a Proposição 3.4.2, concluindo a demonstração da Proposição Demonstração do Teorema Pela Proposição 3.5.2, para cada µ (0, µ ) xo, existe Λ = Λ (µ) > 1 tal que o problema auxiliar (A) λ tem uma solução nodal u λ B λ,µ B (M+3)/4 (0) para λ Λ com dist λ,j (u λ, E ± λ,j ) τ 2δ > 0 j Γ. (3.80) Repetindo o mesmo argumento usado na demonstração da Proposição 3.3.8, obtemos u λ 0 em H 1 ( \ Ω Γ ) quando λ. 102

116 Esta convergência junto com a Proposição 3.3.9, implica que u λ é uma solução nodal de (P ) λ, para λ sucientemente grande. Fixando λ n e µ n 0, a sequência (u λn ) verica Φ λ n (u λn ) = 0 e Φ λn (u λn ) = S λn,γ + o n (1). Pela Proposição 3.4.2, Φ λ n (u λn ) = 0 e Φ λn (u λn ) = D Γ + o n (1). Portanto, (u λn ) é uma sequência (P S),DΓ para (Φ λn ). Sendo D Γ (0, D], pela Proposição existe u H0(Ω 1 Γ ) tal que, para alguma subsequência ainda denotada por (u λn ), u λn u H 1 ( ), λ n V (x) u λn 0 e u λn 2 λ n, \Ω Γ 0. 2 De onde segue que I j(u) = 0 para todo j Γ e l I j (u) = D Γ. (3.81) j=1 Como consequência, temos o seguinte resultado Armação Existe κ o > 0 tal que u ± λ n q κ o λ n Λ, j Γ, (3.82) Ω j para algum q > 1. De fato, xe j Γ e considere η i C (, R) vericando η j 1 em Ω j e η j 0 em \ (Ω j) δ e ((Ω j) δ \ Ω j) \ Ω Γ. Tomando v j = η j u + λ n como função teste, obtemos u λn (η j u + λ n ) + (λ n V (x) + 1)u λn η j u + λ n = f(u λn )η j u + λ n, de onde segue que u + λ n 2 η j + (λ n V (x) + 1) u + λ n η j = f(u λn )η j u + λ n + o n (1). (3.83) 103

117 Usando o crescimento de g, obtemos f(u λn )η j u + λ n ɛ u + λ n 2 η j + C η j u + λ n b τ (u λn ), e pela Desigualdade de Hölder ( f(u λn )η j u + λ n ɛ u + λ n 2 η j + C η j u + λ n q ) 1/q b τ (u λn ) q onde 1/q + 1/q = 1. Fixando q > 1, com q sucientemente próximo de 1 e usando o Corolário 3.2.2, obtemos ( f(u λn )η j u + λ n ɛ u + λ n 2 η j + C η j u + λ n q De (3.83) e (3.84), ) 1/q. (3.84) ( ) 1/q (1 ɛ) u + λ n 2 η j + (λ n V (x) + 1) u + λ n 2 η j C η j u + λ n q + o n (1). Logo, xando ɛ < 1 e usando (3.71), obtemos ( ) 1/q 0 < (1 ɛ)(τ 2δ) (1 ɛ) u + λ n 2 λ C n,ω u + j λ n q + o n (1), Ω j de onde segue que Ω j u + λ n q κ o > 0, λ n Λ, para algum κ o positivo. Analogamente, temos u λ n q κ o > 0, λ n Λ, mostrando que a armação é verdadeira. Ω j Passando ao limite de n em (3.82), obtemos u ± q = u ± q κ o, j Γ. Ω j Ω j Assim, u muda de sinal em Ω j para todo j Γ, o que implica em I j (u) d j, j Γ. (3.85) Segue de (3.81) e (3.85) que I j (u) = d j para todo j Γ. Isto mostra que, para cada j Γ, u Ωj é uma solução nodal de energia mínima para o problema (3.3), e a demonstração do Teorema está completa. 104

118 Capítulo 4 Innitas soluções nodais em bolas Neste capítulo, estabelecemos a existência de innitas soluções nodais para o problema u = f(u), em B, u = 0, sobre B, (P ) onde B é a bola unitária em e f é uma função ímpar com crescimento crítico exponencial. Dividindo B em setores angulares e usando o Teorema do Passo da Montanha, mostramos a existência de uma solução positiva em um dos setores de B. A partir desta solução e de um processo de continuação anti-simétrica desenvolvido por Comte-Knaap [31] mostraremos a existência de innitas soluções nodais em B. Aqui, vamos assumir as hipóteses: (f 1 ) Existe C > 0 tal que f(s) Ce 4π s 2 para todo s R; (f 2 ) lim s 0 f(s) s = 0; e as seguintes hipóteses adicionais (H 1 ) Existem s 0 > 0 e M > 0 tais que 0 < F (s) := s 0 f(t)dt M f(s) para todo s s 0.

119 (H 2 ) 0 < F (s) 1 f(s)s, para todo s R \ {0}. 2 (H 3 ) lim s sf(s)e 4πs2 = + Nosso principal resultado é o seguinte: Teorema Seja f uma função ímpar satisfazendo (f 1 ) (f 2 ) e (H 1 ) (H 3 ). Então, o problema (P ) tem innitas soluções nodais. Para cada m N, denimos o conjunto { A m = x = (x 1, x 2 ) B : cos ( π 2 m ) x 1 < sen ( π 2 m ) x 2 }, ver gura 4.1. Assim, A 1 é um semi-círculo; A 2 é um quarto do círculo (setor angular de ângulo π/2); A 3 é um quarto do círculo (setor angular de ângulo π/4), e assim sucessivamente. Figura 4.1: Setor angular A m. Primeiro consideramos o problema u = f(u), em A m, u = 0, sobre A m. (P ) m Usaremos o Teorema do Passo da Montanha (Teorema A.18 do Apêndice A) para obter uma solução positiva de (P ) m e a partir desta solução, vamos construir uma solução nodal para o problema (P ). 106

120 De acordo com Figueiredo, Miyagaki e Ruf [34], para obter uma solução positiva de (P ) m basta que o limite em (H 3 ) verique (H 3 ) lim s + sf(s)e 4πs2 β > 1, 2πd 2 m onde d m é o raio da maior bola contida em A m. Conforme demonstramos a seguir, supondo (H 3 ) no lugar de (H 3 ), temos a existência de uma solução positiva de (P ) m, para cada m N. Este é o conteúdo do nosso próximo resultado. Teorema Sob as hipóteses (f 1 ) (f 2 ) e (H 1 ) (H 3 ), o problema (P ) m possui uma solução positiva, para cada m N. 4.1 Demonstração do Teorema Como estamos interessados em soluções positivas para o problema (P ) m, vamos supor ainda que por f(s) = 0, s 0. Associado ao problema (P ) m, temos o funcional energia I : H 1 0(A m ) R dado I(u) = 1 u 2 F (u). 2 A m A m No nosso caso, A m não é de classe C 1. No entanto, o funcional I está bem denido. De fato, para u H 1 0(A m ), considere u H 1 0(B) a extensão nula de u em B, denida por Claramente u(x), se x A u m (x) = 0, se x B \ A m. u Am = u B. Logo, por (f 1 ) e pela Desigualdade de Trudinger-Moser (1) F (u) = F (u ) F (u ) C e 4π u 2 <. A m B Além disso, mostra-se que o funcional I é de classe C 1 com I (u)v = u v A m f(u)v, A m u, v H0(A 1 m ). O próximo lema garante que o funcional I tem a geometria do passo da montanha. B 107 B

121 Lema (a) Existem r, ρ > 0 tais que I(u) ρ > 0, para todo u Am = r. (b) Existe e H 1 0(A m ) tal que e Am > r e I(e) < 0. Demonstração. Usando a denição de I e o crescimento de f, I(u) 1 u 2 ɛ u 2 C u q e β u 2, 2 A m 2 A m A m ou ainda, I(u) 1 2 B u 2 ɛ 2 Usando a Desigualdade de Poincaré, I(u) 1 2 B u 2 ɛ 2λ 1 B B u 2 C B u 2 C u q e β u 2. B u q e β u 2, onde λ 1 é o primeiro autovalor de (, H0(B)). 1 Fixando ɛ > 0 sucientemente pequeno, temos C 1 := 1 2 ɛ > 0, de onde segue que 2λ 1 I(u) C 1 B u 2 C Note que, pela Desigualdade de Trudinger-Moser (2) B u q e β u 2. e β u 2 L 2 (B) e por imersão contínua u q L 2 (B). Logo, pela Desigualdade de Hölder, B ( u q e β u 2 pois H 1 0(B) L 2q (B), para todo q 1. B u q 2q,B C u q B u 2q ) 1/2 ( e 2β u 2 ) 1/2 ( B ( B e 2β u 2 ) 1/2 e 2β u 2 ) 1/2, 108

122 Armamos que para r > 0 sucientemente pequeno, tem-se sup e 2β u 2 <. u B =r De fato, note que B B e 2β u 2 = e 2β u 2 B B ( u u B ) 2. Escolhendo 0 < r 0 de maneira que α := 2βr 2 < 4π e usando a Desigualdade de Trudinger-Moser (2), obtemos sup u B =r Portanto, Fixando q > 2, obtemos B e 2β u 2 sup e α v 2 <. v B 1 B I(u) C 1 u 2 B C 2 u q B. I(u) C 1 r 2 C 2 r q := ρ > 0, para r = u Am = u B sucientemente pequeno, mostrando que a armação em (a) é verdadeira. Para demonstrar a armação em (b), observe primeiro que Armação 1. Para cada ɛ > 0, existe s ɛ > 0 tal que F (s) ɛf(s)s, para todo x A m, s s ɛ. De fato, basta ver que por (H 1 ) F (s) sf(s) M s, s s 0. Para p > 2, a Armação 1 com ɛ = 1/p > 0, garante a existência de s ɛ > 0 tal que pf (s) f(s)s, s s ɛ, que por sua vez implica na existência de constantes C 1, C 2 > 0 tais que F (s) C 1 s p C 2, s 0. Sendo assim, xando ϕ C0 (A m ) com ϕ 0 e ϕ 0. Para t 0, temos F (tϕ) (C 1 tϕ p C 2 ) A m A m C 1 t p A m ϕ C 2 A m, 109

123 de onde segue que Por (4.1), se t 0, Sendo p > 2, F (tϕ) C 3 t p C 4. (4.1) A m I(tϕ) t2 2 ϕ 2 A m C 3 t p + C 4. I(tϕ), quando t +. Fixando t 0 + e denindo e = t 0 ϕ, concluimos que e Am r e I(e) < 0. O próximo lema é crucial para mostrar que o funcional satisfaz a condição de Palais-Smale abaixo de um certo nível e sua demonstração pode ser encontrada em Figueiredo, Miyagaki e Ruf [34]. Lema Sejam Ω R N limitado e (u n ) uma sequência em L 1 (Ω) tal que u n converge para uma função u L 1 (Ω) em quase todo ponto de Ω. Seja f : R R uma função contínua tal que f(u n ), f(u) L 1 (Ω), para todo n N. Se existe C > 0 tal que então f(u n ) converge para f(u) em L 1 (Ω). Ω f(u n )u n C, para todo n N, Lema O funcional I verica a condição (P S) d, para todo d (0, 1/2). Demonstração. Sejam d < 1/2 e (u n ) uma sequência (P S) d para o funcional I, isto é, I(u n ) d e I (u n ) 0, quando n +. Escrevendo, para cada n N, ɛ n = sup { I (u n )v }, temos v 1 I (u n )v ɛ n v m, para todo v H0(A 1 m ), onde ɛ n = o n (1), ou ainda, 1 u n 2 F (u n ) = d + o n (1), 2 A m A m n N. (4.2) e u n v f(u n )v v mɛ n, n N, v H0(A 1 m ). (4.3) A m A m 110

124 Por (4.2) e pelo item (ii) da Armação 1, para cada ɛ > 0, existe n 0 N tal que 1 2 u n 2 m = 1 u n 2 ɛ + d + F (u n ) C ɛ + ɛ f(u n )u n, 2 A m A m A m sempre que n n 0, e usando (4.3) com v = u n, obtemos ( ) 1 2 ɛ u n 2 m C ɛ + ɛ u n m, n n 0. Portanto, a sequência (u n ) é limitada. Sendo H 1 0(A m ) um espaço de Banach reexivo, existe u H 1 0(A m ) tal que, a menos de subsequência, u n u em H 1 0(A m ). Além disso, pelas imersões compactas de Sobolev, temos u n u em L q (A m ), q 1 e u n (x) u(x) q.t.p. em A m. Por outro lado, usando (4.3) com v = u n, obtemos ɛ n u n m u n 2 A m f(u n )u n A m ou ainda f(u n )u n u n 2 m ɛ n u n m C, A m n N. Logo, pelo Lema 4.1.2, temos f(u n ) f(u) em L 1 (A m ). Assim, existe h L 1 (A m ) tal que, a menos de subsequência, temos f(u n (x)) h(x), q.t.p. em A m, e por (H 1 ), temos Além disso, F (u n ) Mh(x), q.t.p. em A m. F (u n (x)) F (u(x)) q.t.p. em A m. Sendo assim, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, F (u n ) F (u) = o n (1). A m A m 111

125 Logo, por (4.2), ou seja, 1 2 u n 2 m F (u) d = o n (1), A m ( ) lim u n 2 m = 2 d + F (u). (4.4) n A m Usando novamente (4.3) com v = u n, obtemos u n 2 m f(u n )u n o n(1), A m o que implica em ( ) f(u n )u n 2 d + F (u) u n 2 m f(u n )u n A m A m A ( m ) + u n 2 m 2 d + F (u). A m Logo, Além disso, por (H 2 ) 2 F (u) A m de onde segue que d 0. ( ) lim f(u n )u n = 2 d + F (u). n A m A m 2 lim F (u n ) n A m lim f(u n )u n = 2d + 2 n A m Armação 2. Para qualquer v H 1 0(A m ), temos u v = f(u)v. A m A m A m F (u), De fato, xe v H0(A 1 m ) e note que u v f(u)v u n v u v + f(u n )v f(u)v A m A m A m A m A m A m + u n v f(u n )v. A m A m Usando o Lema 4.1.2, a convergência fraca u n u em H 1 0(A m ) e a estimativa em (4.3), obtemos u v f(u)v o n(1) + v o n (1), A m A m concluindo assim a demonstração da Armação

126 Note que por (H 2 ) e a Armação 2, J(u) 1 u 2 1 f(u)u = 0. 2 A m 2 A m Vamos dividir a demonstração em três casos: Caso 1. O nível d = 0. Pela semicontinuidade inferior da norma, temos logo Usando (4.4), obtemos u m lim inf n u n m, 1 2 u 2 m 1 2 u n 2 m. 0 I(u) 1 2 lim inf u n 2 F (u), A m o que implica em 0 I(u) F (u) A m F (u) = 0, A m de onde segue que I(u) = 0, ou seja, u 2 m = 2 F (u). A m Usando novamente (4.4), concluimos que u n 2 m u 2 m = o n (1), sendo H 1 0(A m ) um espaço de Hilbert, obtemos u n u em H 1 0(A m ). Portanto, I verica a condição de Palais-Smale no nível d = 0. Caso 2. O nível d 0 e o limite fraco u 0. O que faremos é mostrar que este fato não ocorre para sequências Palais-Smale do funcional I. Armação 3. Existem q > 1 e uma constante C > 0 tais que A m f(u n ) q < C, n N. De fato, por (4.4), para cada ɛ > 0, existe n 0 N, de modo que u n 2 m 2d + ɛ, n n

127 Além disso, usando (f 1 ), obtemos f(u n ) q C e 4πqu2 n = C A m A m B e 4π u n 2 ( un u n )2 de onde concluimos pela Desigualdade de Trudinger-Moser (2), que a última integral na expressão acima é limitada, se 4πq u n 2 < 4π e isto de fato ocorre quando tomamos q > 1 sucientemente próximo de 1 e ɛ sucientemente pequeno, pois d < 1/2. Mostrando a armação. Logo, Assim, usando (4.3) com v = u n, obtemos u n 2 f(u n )u n ɛ n u n m ɛ n C, n N. A m A m u n 2 m o n (1) + f(u n )u n, A m n N. (4.5) Além disso, pela Desigualdade de Hölder, podemos estimar a segunda integral acima como segue abaixo ( ) 1/q ( f(u n )u n A m f(u n ) q A m u n q A m e como u n 0 em L q (A m ), temos A m f(u n )u n = o n (1). ) 1/q, n N, Portanto, por (4.5), u n 2 m 0, quando n, (4.6) encontrando uma contradição com (4.4), pois u n 2 m 2d 0, quando n, mostrando que d 0 e u = 0 não ocorre. Caso 3. O nível d 0 e o limite fraco u 0. Primeiro, observe que I(u) d, visto que I(u) = 1 2 u 2 m F (u) lim inf A n m Armação 4. I(u) = d. ( ) 1 2 u n 2 m F (u n ) = d. A m 114

128 De fato, suponha por contradição que I(u) < d, pela denição de I, temos ( ) u 2 m < 2 d + F (u). (4.7) A m Por outro lado, considerando as funções v n = u n u n, n N e ( 1/2 v = u [2 d + F (u ))], B tem-se v n B = 1 e v B < 1. Além disso, pois, para cada ϕ C0 (B), v n ϕ = u n A 1 u n ϕ m B ou seja, B v n v em H 1 0(B), v n ϕ Armação Existem q > 1 e n 0 N tais que [ ( )] 1/2 2 d + F (u ) u ϕ = v ϕ, B B B B v ϕ = o n (1). A m f(u n ) q < C, n n 0. Para demonstrar esta armação, vamos precisar do seguinte resultado devido a P.L. Lions [40]. Proposição Seja (u n ) uma sequência em H0(Ω) 1 tal que u n 2 = 1 para todo n N. Além disso, suponha que u n u em H0(Ω) 1 com u 2 < 1. Se u 0, então 1 para cada 1 < p <, temos 1 u 2 2 sup e 4πpu2 n <. n N Ω Da hipótese (f 1 ), f(u n ) q C A m e 4πqu2 n = C A m B e 4πq u n 2 v 2 n. (4.8) A última integral na expressão anterior é limitada. De fato, pelo Proposição 4.1.5, basta mostrar que existem q, p > 1 e n 0 N tais que q u n 2 p < 1 1 v 2, n n 0. (4.9) 115

129 Para ver que (4.9) ocorre, observe que I(u) 0 e d < 1/2, implicando em 2 < 1 d I(u), de onde segue que ( ) 2 d + F (u ) < B d + B F (u ) d I(u) = 1. 1 v 2 B Sendo assim, para q > 1 sucientemente próximo de 1, temos ( ) 1 2q d + F (u) <, B 1 v 2 B o que implica, por (4.4), que existem p > 1 e n 0 N tais que q u n 2 p < 1, n n 1 v 2 0, B mostrando que (4.9) ocorre. Portanto a Armação é verdadeira. Agora, vamos mostrar que u n u em H 1 0(A m ). Para isto, observe primeiro que pela desigualdade de Hölder e por (4.1.4), ( f(u n )(u n u) A m ( f(u n ) q ) 1/q A m u n u q A m onde 1/q + 1/q = 1. Como u n u em L q (A m ), temos ) 1/q C u n u q,a m, A m f(u n )(u n u) = o n (1). (4.10) Usando (4.3) com v = u n u e (4.10), obtemos u n u, u n = o n (1), e como u n u em H 1 0(A m ), temos u n u 2 m = u n u, u n u n u, u = o n (1). O que implica em u n 2 m u 2 m e isto juntamente com (4.4) contradiz (4.7). Mostrando que I(u) = d, ou seja, u 2 m = 2 ( ) d + F (u). A m Além disso, por (4.4), temos u n m u m quando n. Portanto u n u em H 1 0(A m ). 116

130 Em vista do Lema e do Teorema do Passo da Montanha sem condições de compacidade (Teorema A.18 do Apêndice A), existe uma sequência (P S) no nível do passo da montanha de I, ou seja, existe (u n ) H0(A 1 m ) tal que I(u n ) c m e I (u n ) 0, onde e c m = inf γ Γ max t [0,1] I(γ(t)) Γ = {γ C([0, 1], H 1 0(A m )) : γ(0) = 0 e I(γ(1)) < 0}. Para concluir a demonstração da existência de solução positiva de (P ) m, resta mostrar que c m (, 1/2). Para tal, consideramos as seguintes funções introduzidas em Moser [45]: (ln(n)) 1/2, 0 x 1/n w n (x) = 1 2π ln 1 x, 1/n x 1 1/2 (ln(n)) 0, x 1 Sejam d m > 0 e x m A m tais que B dm (x m ) A m. Denindo ( ) x xm w n (x) = w n, d m tem-se que w n H 1 0(A m ), w n Am = 1 e supp w n B dm (x m ). Armamos que existe n N tal que max t 0 I(tw n) < 1 2. De fato, suponha por contradição que este máximo é maior do que ou igual a 1/2, para todo n N. Seja t n > 0 tal que max t 0 I(tw n) = I(t n w n ) 1 2. (4.11) Segue de (4.11) e (H 1 ) que t 2 n 1. (4.12) 117

131 Além disso, o que implica em d dt I(tw n) t=tn = 0, ou seja, t 2 n = f(t n w n )t n w n, A m (4.13) t 2 n B dm/n (x m) f(t n w n )t n w n. (4.14) No que segue, xamos uma constante positiva β m de tal modo que β m > 1. (4.15) 2πd 2 m Segue da hipótese (H 3 ) que existe s m = s m (β m ) > 0 vericando f(s)s β m e 4πs2, s s m. (4.16) Usando (4.16) em (4.14) e a denição de w n em B dm/n(0), obtem-se t 2 n β m π d2 m n 2 e2t2 n ln(n) (4.17) para n sucientemente grande, ou equivalentemente, t 2 n β m πd 2 me 2ln(n)(t2 n 1) (4.18) de onde segue que (t n ) é limitada. Além disso, de (4.18) e (4.12), t 2 n 1, quando n. Agora, dena e C n = {x B dm (x m ) : t n w n (x) s m } D n = B dm (x m ) \ C n. Com as notações acima e usando (4.13), t 2 n f(t n w n )t n w n = B dm/n (x m) f(t n w n )t n w n + C n f(t n w n )t n w n D n e por (4.16), t 2 n f(t n w n )t n w n + β m D n e 4πt2 nwn 2 C n 118

132 ou equivalentemente, t 2 n f(t n w n )t n w n + β m D n B dm (x m) e 4πt2 nw 2 n βm e 4πt2 nwn 2. (4.19) D n Observe que w n (x) 0 q.t.p. em B dm (x m ), χ Dn (x) 1 q.t.p. em B dm (x m ) e e 4πt2 nw 2 n χdn e 4πt2 ns 2 m L 1 (B dm (x m )). Logo, pelo Teorema da convergência dominada de Lebesgue lim e 4πt2 nwn 2 = limn e 4πt2 nwn 2 χdn = n D n B dm (x m) Além disso, B dm (x m) 1 = πd 2 m. (4.20) f(t n w n )t n w n χ Dn Ct n w n e 4πt2 n w2 n Csm e 4πs2 m L 1 (B dm (x m )) e f(t n w n (x))t n w n (x)χ Dn (x) 0 q.t.p. em B dm (x m ). Assim, usando novamente o Teorema da convergência dominada de Lebesgue, lim n D n f(t n w n )t n w n = 0 (4.21) Passando ao limite de n em (4.19) e usando (4.20) e (4.21), 1 β m lim e 4πt2 n w2 n βm πd 2 m n B dm (x m) Sendo t 2 n 1, 1 β m lim n [ B dm (xm) e 4πw2 n ] β m πd 2 m. (4.22) Desde que B dm (x m) e 4πw2 n = d 2 m B 1 (0) fazendo a mudança de variáveis s = ln(1/r)/ln(n), e 4πw2 n = πd 2 m + 2πd 2 mln(n) B dm (x m) { e 4πw2 n = d 2 π 1 } 1 m n 2 e4π 2π ln(n) + 2π e 4π 1 [ln(1/r)] 2 2π ln(n) rdr, 1/n e 2s2 ln(n) 2sln(n),

133 e como temos [ lim 2ln(n) n 1 0 ] e 2ln(n)(s2 s) ds = 2, lim e 4πw2 n = πd 2 m + 2πd 2 m = 3πd 2 m. n B dm (x m) Usando este último limite em (4.22), obtemos 1 3β m πd 2 m βπd 2 m = 2βπd 2 m, o que implica em β m 1, 2πd 2 m contradizendo a escolha de β m feita em (4.15). Portanto max t 0 I(tw n) < 1 2, mostrando que c m < 1/2, para qualquer m N xado arbitrariamente. 4.2 Demonstração do Teorema Para demonstrar o Teorema 4.0.2, vamos usar a seguinte proposição. Proposição Seja A um setor angular contido no semi-plano positivo de tal que uma de suas fronteiras retas está no eixo x 2, e denote tal fronteira de A por B 0 = {x = (x 1, x 2 ) A : x 2 = 0}. Considere A a reexão de A com respeito ao eixo x 2 (ver gura 4.2). Suponha que u é uma solução do seguinte problema: u = f(u), em A, (P ) u = 0, sobre B 0, onde f é uma função contínua e ímpar. Então, a função ũ tal que ũ = u sobre A e ũ é antisimétrica com respeito ao eixo x 2, u(x 1, x 2 ), em A ũ(x 1, x 2 ) = u(x 1, x 2 ), em A 0, sobre B 0 satisfaz ũ = f(ũ) em A A. 120

134 Figura 4.2: Reexão de A em relação ao eixo x 2. Demonstração. Sendo u uma solução de (P ), temos u ϕ = f(u)ϕ, ϕ Cc (A). A A Queremos demonstrar que ũ φ = A A f(ũ)φ, A A φ C0 (A A ). Para qualquer φ C0 (A A ), f(ũ)φ = A A Sendo f ímpar, temos A f(u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ) + f( u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ). A f(ũ)φ = A A = = A A f(u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ) + f( u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ) A f(u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ) f(u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ) A f(u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ) f(u(x 1, x 2 ))φ(x 1, x 2 ). A A 121

135 Logo f(ũ)φ = f(u)ψ, (4.23) A A A onde ψ(x 1, x 2 ) = φ(x 1, x 2 ) φ(x 1, x 2 ). Por outro lado, ũ φ = u(x 1, x 2 ) φ(x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) φ(x 1, x 2 ) A A A A = u(x 1, x 2 ) φ(x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) (φ(x 1, x 2 )) = A A u(x 1, x 2 ) (φ(x 1, x 2 ) φ(x 1, x 2 )). Assim, ũ φ = u ψ. (4.24) A A A A função ψ em geral não pertence ao espaço C0 (A), e portanto não pode ser usada como função teste (na denição de solução fraca em H 1 (A)). No entanto, considerando a sequência de funções (η k ) em C (R), denidas por η k (t) = η(kt), t R, k N, onde η C (R) é uma função tal que 0, se t < 1/2, η(t) = 1, se t > 1. A Tem-se ϕ k (x 1, x 2 ) := η k (x 2 )ψ(x 1, x 2 ) C 0 (A), logo A u ϕ k = A f(u)ϕ k, k N. (4.25) De (4.23), (4.24) e (4.25), podemos concluir a demonstração, visto que os seguintes limites e (I) (II) A u ϕ k A A f(u)ϕ k A u ψ f(u)ψ, quando k, são válidos. Para ver que (I) ocorre, note que u u ϕ k = η k u ψ + kη (kx 2 )ψ. x 2 A A 122 A

136 Claramente, Assim, resta mostrar que Com efeito, A A η k u ψ A u kη (kx 2 )ψ x 2 kmc onde C = sup η (t) e M > 0 é tal que t [0,1] A u ψ, quando k. u x 2 kη (kx 2 )ψ 0 quando k. (4.26) 0<x 2 <1/k u x 2 x 2 MC ψ(x 1, x 2 ) M x 2, (x 1, x 2 ) A A, 0<x 2 <1/k u x 2, e como 0<x 2 <1/k u x 2 0, quando k, o limite em (4.26) ocorre. O item (II) é uma consequência imediata do Teorema da convergência dominada de Lebesgue. Agora, para cada m N, aplicamos a Proposição à solução u do problema (P ) m. Seja A m a reexão de A m em relação a uma de suas fronteiras retas. Sobre A m A m, podemos denir a função ũ tal que ũ = u sobre A m, e ũ é antisimétrica com respeito a reta de reexão. Agora, seja A m a reexão de A m A m em uma de suas fronteiras retas e ũ a função denida sobre A m A m A m tal que ũ = ũ sobre A m A m e ũ é antisimétrica com respeito a reta de reexão. Repetindo este procedimento, após um número nito de reexões, nalmente obtemos uma função, denotada novamente por u, denida em toda a bola B. Claramente, ela sasfaz a condição de Dirichlet sobre a fronteira B. Tem-se que u é positiva sobre m componentes conexas e negativas sobre m componentes conexas. Desde que, para cada m N, o problema (P ) m admite uma solução positiva, podemos concluir que existem innitas soluções nodais para o problema (P ) e a demonstração do Teorema está completa. 123

137 Observação Representamos na gura 4.3 o sinal de três soluções, correspondentes aos casos m = 1, m = 2 e m = 3, respectivamente. A cor azul representa a região onde a solução é negativa e a cor vermelha, a região onde a solução é positiva. Figura 4.3: Sinal das soluções Por m, mostramos na Figura 4.4 o perl da solução para o caso m = 2: Figura 4.4: Caso m = 2 124