Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico

Transcrição

1 Analista Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico

2

3 Raciocínio Lógico Professor Thiago Pacífico

4

5 Edital RACIOCÍNIO LÓGICO: Estruturas lógicas. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposicional). Proposições simples e compostas. Tabelasverdade. Equivalências. Leis de De Morgan. Diagramas lógicos. Lógica de primeira ordem. BANCA: Cespe CARGO: Analista

6

7 Raciocínio Lógico LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL) / LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM / TABELA VERDADE INTRODUÇÃO A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das ideias de George Boole, matemático inglês ( ), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As ideias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. LÓGICA MATEMÁTICA A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo alternativa. PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. As proposições são geralmente, mas não obrigatoriamente, representadas por letras maiúsculas. De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito!", Que horas são?, x é um número par e x + 2 = 7, não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso). Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. A: "Fortaleza é a capital do Ceará (V) B: O Brasil é um país da Europa (F) 7

8 C: "3 + 5 = 2" (F) D: "7 + 5 = 12" (V) E: "O Sol é um planeta" (F) F: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F) SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico Ex.: X é um número par Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode afirmar. SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F. Ex.: O professor Thiago Pacífico ensina Matemática Sentença Verdadeira (V) Ex.: A soma é igual a 5 Sentença Falsa (F) SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) v não e ou ou... ou se... então se e somente se tal que Implica Equivalente Existe existe um e somente um qualquer que seja 8

9 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico O MODIFICADOR NEGAÇÃO Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por p. (Lê-se "não p" ). Exemplo 1: q: Thiago Pacífico é magro q : Thiago Pacífico não é magro q : Não é verdade que Thiago Pacífico é magro Exemplo 2: s: Fernando Castelo Branco é honesto s: Fernando Castelo Branco não é honesto s: Não é verdade que Fernando Castelo Branco é honesto s: Fernando Castelo Branco é desonesto ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos,, e, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p q, p q. Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: CONJUNÇÃO: p q (lê-se "p e q" ) DISJUNÇÃO: p q (lê-se "p ou q") CONDICIONAL: BI-CONDICIONAL: p q (lê-se "se p então q") p q (lê-se "p se e somente se q") Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. 9

10 CONJUNÇÃO (E) A B (lê-se Premissa A e premissa B ) A CONJUNÇÃO só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda tornase falsa. Exemplo: Analise a afirmação: Este final de semana irei à praia e ao cinema. A: Irei à praia B: Irei ao cinema TABELA VERDADE A B A B V V V V F F F V F F F F Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas. DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU) A B (lê-se Premissa A ou premissa B ) PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. Nesse caso o ou significa que pelo menos uma das premissas é verdadeira. Exemplo: Analise a afirmação: Este final de semana irei à praia ou ao cinema. 10

11 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico A: Irei à praia B: Irei ao cinema TABELA VERDADE A B A B V V V V F V F V V F F F Observe que, nesse caso, o ou significa que eu irei a pelo menos um desses lugares no fim de semana (o fim de semana é longo e nada impede de ir aos dois lugares). CONCLUSÕES QUE TORNAM A DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE VERDADEIRA: Sabendo que ele foi à praia, conclui-se que ele pode ter ido ou não ao cinema. Sabendo que ele não foi à praia, conclui-se que certamente foi ao cinema. Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou não à praia. Sabendo que ele não foi ao cinema, conclui-se que certamente foi à praia. DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU) A v B (lê-se Ou premissa A, ou premissa B ) PREMISSAS EXCLUDENTES: São aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado ou...ou, devemos entender que se trata de disjunção excludente. Exemplo: Analise a afirmação: Este final de semana Renata ou vai à praia, ou vai ao cinema. A: Renata vai à praia B: Renata vai ao cinema 11

12 TABELA VERDADE A B A v B V V F V F V F V V F F F Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira. Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes. CONCLUSÕES QUE TORNAM A DISJUNÇÃO EXCLUDENTE VERDADEIRA: Sabendo que Renata foi a praia, conclui-se que ela não foi ao cinema. Sabendo que Renata não foi a praia, conclui-se que ela foi ao cinema. Sabendo que Renata foi ao cinema, conclui-se que ela não foi a praia. Sabendo que Renata não foi ao cinema, conclui-se que ela foi a praia. CONDICIONAL (SE... ENTÃO) A B (lê-se Se premissa A, então premissa B ) Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira. Exemplo: Analise a afirmação: Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. A: Nasci em Fortaleza B: Sou Cearense 12

13 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico TABELA VERDADE A B A B V V V V F F F V V F F V Observe que a afirmação só será falsa, se EU NASCER EM FORTALEZA E NÃO FOR CEARENSE. CONCLUSÕES QUE TORNAM O CONDICIONAL VERDADEIRO: Sabendo que eu nasci em Fortaleza, conclui-se que necessariamente que sou cearense. Sabendo que eu não nasci em Fortaleza, conclui-se que eu posso ser ou não cearense. Sabendo que eu sou cearense, conclui-se que eu posso ter ou não nascido em Fortaleza. Sabendo que eu não sou cearense, conclui-se que necessariamente eu não nasci em Fortaleza. BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE) A B (lê-se Premissa A, se e somente se a premissa B ) Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser. Exemplo: Analise a afirmação: Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri. A: Eduardo fica alegre B: Mariana sorrir 13

14 TABELA VERDADE A B A B V V V V F F F V F F F V Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico. CONCLUSÕES QUE TORNAM O BI-CONDICIONAL VERDADEIRO: Sabendo que Eduardo fica alegre, conclui-se que Mariana sorri. Sabendo que Eduardo não fica alegre, conclui-se que Mariana não sorri. Sabendo que Mariana sorri, conclui-se que Eduardo fica alegre. Sabendo que Mariana não sorri, conclui-se que Eduardo não fica alegre. 14

15 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico TABELA VERDADE RESUMO Sejam A e B duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos (F) quando falsa e (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada: TABELA VERDADE A B A B A B A v B A B A B V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V EQUIVALÊNCIAS E NEGAÇÕES ( ) ou ( ) Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. A negação de uma proposição (A) é outra proposição ( A) que possui sempre valor lógico contrário, ou seja, sempre que A for verdadeiro então A é falso e quando A for falso então A é verdadeiro. É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por exemplo, rico e pobre são antônimos, mas João é pobre não é a negação de João é rico, afinal se João não for rico não quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que João não rico. Mas existe caso em que o antônimo é a negação, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros. 15

16 Exemplo: A: Aline é bonita ==> ~A: Aline não é bonita (não significa que ela é feia) B: Kleyton é alto ==> ~B: Kleyton não é alto (não significa que ele é baixo) C: Daniel é magro ==> ~C: Daniel não é magro (não significa que ele é gordo) E: Karol foi aprovada ==> ~D: Karol foi reprovada (nesse caso, reprovado significa não aprovado) F: Lia é culpada ==> ~F: Lia é inocente (nesse caso, inocente significa não culpado) NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) 16

17 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A v B) NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) 17

18 NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) 18

19 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A B) EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: [(A B) (C B)] 19

20 EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: [A (B C)] EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: [A (B C)] FIQUE DE OLHO NO RESUMO 20

21 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 21

22 NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÃO MAIS USADAS (RESUMO) Negação de uma Proposição Conjuntiva: (p e q) Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1º Negaremos a primeira ( p); 2º Negaremos a segunda ( q); 3º Trocaremos e por ou. Negação de uma Proposição Disjuntiva: (p ou q) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1º Negaremos a primeira ( p); 2º Negaremos a segunda ( q); 3º Trocaremos ou por e. Negação de uma Proposição Condicional: (p q) Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 1º Mantém-se a primeira parte; e 2º Nega-se a segunda. TAUTOLOGIAS Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: p q: No concurso João foi aprovado ou reprovado 22

23 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico CONSIDERE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA: s:(p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p q (p q) (p q) (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico F) q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F), Podemos concluir que a proposição composta s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira. FIQUE DE OLHO Será apresentado a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS: 1. (p q) p 2. p (p q) 3. [p (p q)] q(esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4. [(p q) q] p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") 23

24 Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. CONTRADIÇÃO Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: p q: Thiago Pacífico nasceu em Fortaleza e em São Paulo p q : Amanhã choverá e amanhã não choverá Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta e verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. Exemplo: A proposição composta t:p p é uma contradição, senão vejamos: p p p p V F F F V F Portanto, uma contradição nunca poderá ser verdadeira. 24

25 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA Nesse caso, as proposições compostas que não são nem Tautologia nem Contradição são chamadas de Contingência, ou seja, podem assumir valor lógico (V) ou (F), dependendo das demais proposições simples. Exemplo: Construindo a tabela verdade da proposição composta t:(p q) r, teremos: p q r (p q) (p q) r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F UM POUCO MAIS SOBRE TABELA-VERDADE Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? 25

26 Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por: Nº de proposições Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 2 2 = 4. E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 2 3 = 8. E assim por diante. TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. 26

27 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico ATENÇÃO! UM POUCO MAIS DE SE...ENTÃO... Algumas maneiras diferentes de escrever a proposição condicional Se A então B : S P A: Se fizer sol então vou à praia A: Se fizer sol, vou à praia A: Fazendo sol, vou à praia A: Quando fizer sol, vou à praia A: Sempre que faz sol, vou à praia A: Toda vez que faz sol, vou à praia A: Caso faça sol, irei à praia A: Irei à praia, caso faça sol A: Irei à praia, se fizer sol A: Fazer sol implica em ir à praia A: Irei à praia, pois fez sol A: Irei à praia, desde que faça sol A: Fui à praia, porque fez sol A: Fazer sol é condição suficiente para que eu vá à praia A: Ir à praia é condição necessária para ter feito sol S P P S A: Se não for à praia então não fez sol A: Não ir à praia é condição suficiente para não ter feito sol A: Não fazer sol é condição necessária para não ir à praia SUPER-RESUMO SOBRE O SE... ENTÃO... NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIAS

28 PROVANDO AS EQUIVALÊNCIAS E A NEGAÇÃO MAIS UM POUCO DE TABELA VERDADE A B A B A B B A A B A B V V F F V V V F V F F V F F F V F V V F V V V F F F V V V V V F NECESSÁRIO x SUFICIENTE CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre) RESUMINDO: Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito. 28

29 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo. No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B implica em A, logo tanto A quanto B funcionam simultaneamente como condição necessária e suficiente. EXEMPLOS 1. Dadas às proposições simples: A: Lidiane é arquiteta B: Lidiane gosta de viajar C: Lidiane é feliz Traduza para a linguagem natural às proposições dadas a seguir, de acordo com a simbologia. a) A : Lidiane não é arquiteta b) ( A) : Não é verdade que Lidiane não é arquiteta c) B : Lidiane não gosta de viajar d) A B : Lidiane é arquiteta e gosta de viajar e) A B : Lidiane é arquiteta ou gosta de viajar f) A v B: Ou Lidiane é arquiteta, ou Lidiane gosta de viajar g) A B : Lidiane não é arquiteta ou gosta de viajar h) A B : Lidiane é arquiteta ou não gosta de viajar i) (A B) : Não é verdade que Lidiane é arquiteta ou gosta de viajar j) A B : Se Lidiane é arquiteta então gosta de viajar k) A B : Se e somente se Lidiane é arquiteta então gosta de viajar l) A B : Se Lidiane não é arquiteta então gosta de viajar 29

30 m) (A B): Não é verdade que se Lidiane é arquiteta, gosta de viajar n) (A B) C : Se Lidiane é arquiteta e gosta de viajar, então é feliz o) A (B C) : Se Lidiane é arquiteta, então gosta de viajar e é feliz p) A (B C): Se Lidiane não é arquiteta, gosta de viajar ou é feliz 2. Dadas às proposições simples: A: Thiago é rico B: Thiago é honesto Passe da linguagem natural para a linguagem simbólica, às proposições compostas dadas a seguir. a) Thiago é rico, mas é honesto : A B b) Thiago não é rico, mas é honesto : A B c) Thiago é rico, mas é desonesto : A B d) Não é verdade que Thiago é rico e é honesto : (A B) e) Thiago é rico ou é honesto : A B f) Thiago não é rico ou é honesto : A B g) Não é verdade que Thiago é rico ou é honesto : (A B) h) Se Thiago é rico, então ele é honesto : A B i) Se Thiago é rico, então ele é desonesto : A B j) Se Thiago não é rico, então ele é honesto : A B k) Não é verdade que se Thiago é rico, então ele é honesto : (A B) l) Se e somente se Thiago não é rico, então ele é honesto : A B 30

31 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico QUESTÕES RESOLVIDAS (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( P) ( Q) também é verdadeira. Solução: P Q P Q ( P) ( Q) V V F F F Resposta: ERRADO 2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R ( T) é falsa. Solução: T R T R ( T) V F F V Resposta: ERRADO 3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) ( Q) é verdadeira. Solução: P Q R Q (P R) (P R) ( Q) V V F F F V Resposta: CERTO 31

32 4. O número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a 9. Solução: n = 3 (Q, R, P), então 2 n = 2 3 = 8 < 9 Resposta: CERTO (CESPE) Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS: Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima. 5. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. Solução: Instituído 100 mil barris/dia Instituído 100 mil barris/dia 100 mil barris/dia Se não atingiu a produção de 100 mil barris/dia então não foi instituído. Resposta: CERTO 6. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/ dia. Solução: Instituído 100 mil barris/dia Instituído 100 mil barris/dia 100 mil barris/dia Se não instituiu então pode ou não ter atingido a produção de 100 mil barris/dia. Resposta: ERRADO 32

33 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 7. Se João é rico, Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo: a) Maria é bonita b) João é rico c) José é rico d) João não é rico e) Maria é rica Solução: Representação por siglas das proposições: JR: João é rico MB : Maria é bonita JSC: José é carpinteiro Então: João não é rico Maria não é bonita José não é carpinteiro Resposta: D 8. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora, portanto: a) Ana é advogada b) Sandra é secretária c) Ana é advogada ou Paula não é professora d) Ana é advogada e Paula é professora e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. Solução: Representação por siglas das proposições: AA: Ana é advogada SS: Sandra é secretária PP: Paula é professora 33

34 Então: Ana não é advogada Sandra é secretaria Paula é professora Resposta: B 9. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então: a) Estou feliz e fiz uma boa ação. b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação. c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação. d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação. Solução: Representação por siglas das proposições: RD: Receber dinheiro EV: Eu viajar BA: Fazer boa ação FF: Eu ficar feliz Então: Recebi dinheiro Eu viajei Fiz boa ação Eu estou feliz Resposta: A 34

35 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 10. (CESPE UNB) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição (p r) (q s) será: a) verdadeira, somente se p for verdadeira b) verdadeira, somente se q for verdadeira c) verdadeira, para qualquer valores lógicos de p e q d) falsa, se p for verdadeira e q falsa e) falsa, se p e q forem ambas falsas Solução: p q r s p r q s (p r) (q s) V V V F V V V V F V F V F F F V V F F V V F F V F F F V Resposta: D 11. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa, necessariamente será verdadeira a proposição: a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria; d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. Solução: Ganhar na loteria casa Não ganhar na loteria Resposta: B casa não casa 12. (ESAF) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. P Q? V V F V F V F V F F F F 35

36 A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) P Q b) P Q c) (P Q) d) P Q e) (P Q) Solução: P Q P Q P Q ~(P Q) P Q (P Q) V V V V F V F V F F F V F V F V F V F F V F F F V F V V Resposta: C 13. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Solução: Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A B é (A B) = A B Logo ( (A B)) = (A B) Ou ainda, A B = A B Nesse caso, as proposições abaixo são equivalentes BB AA = BB AA 36

37 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE Dado AA BB : "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" Observe, que apenas a premissa composta TABELA VERDADE AA BB AA BB V V V V F V F V V F F F B AA : "Se Bernardo é engenheiro, então André é artista" tem os mesmos valores lógicos de AA BB. Onde BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos contrários. TABELA VERDADE AA BB BB AA V F V V V V F F V F V F Resposta: D 14. Aponte o item abaixo que mostra a negação de Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa. a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa 37

38 Solução: Sabemos que a negação de A B é (A B) = A B Portanto, as possíveis negações para Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa, são (A B) : Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa Ou então A B : Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa Resposta: C 15. Sabendo que Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio, podemos logicamente concluir que a única afirmação falsa é: a) Se chover em Guaramiranga então fará frio. b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu. c) choveu em Guaramiranga e não fez frio. d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio. e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover. Solução: A proposição composta dada, é equivalente a Portanto, sua negação será Ou ainda A B : Se chover em Guaramiranga então faz frio (A B) = A B (A B): Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio Que por sua vez equivale a Resposta: C A B : Choveu em Guaramiranga e não fez frio 38

39 Questões QUESTÕES DE CONCURSOS CESPE Considere que as letras P Q e S representam proposições e que os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. 1. (CESPE) [( P Q) ( R S)] é verdadeira. 2. (CESPE) [P (Q S)] [( R Q) (P S)] é verdadeira. Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, acerca das estruturas lógicas. 3. (STJ CESPE 2015) Considerando-se como p a proposição Mariana acha a matemática uma área muito difícil de valor lógico verdadeiro e como q a proposição Mariana tem grande apreço pela matemática de valor lógico falso, então o valor lógico de p q é falso. 4. (STJ CESPE 2015) Designando por p e q as proposições Mariana tem tempo suficiente para estudar e Mariana será aprovada nessa disciplina, respectivamente, então a proposição Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina é equivalente a p q. 5. (CESPE) Seja S a seguinte proposição composta: [P (Q R)] [R (P Q)]. Se Q for uma proposição verdadeira, então, independentemente dos valores lógicos de P e R, a proposição S será sempre verdadeira. 6. (CESPE) Considere que o seguinte enunciado é verdadeiro: Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina coriônica está presente na sua urina. Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e constatou- -se que a substância gonadotrofina coriônica está presente na urina de Fátima e não está presente na urina de Mariana. Utilizando a proposição enunciada, os resultados dos exames e o raciocínio lógico dedutivo garante-se que: Mariana não está grávida e não se pode garantir que Fátima está grávida. 39

40 7. (CESPE) A proposição Se roteirista não for diretor, então dublador não será maquiador é logicamente equivalente à proposição Se algum dublador for maquiador, então algum roteirista será diretor. 8. (CESPE) A proposição Se Marcos não estuda, João não passeia é logicamente equivalente a dizer que Marcos estudar é condição necessária para João passear. 9. (CESPE) A proposição Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos pode também ser corretamente expressa por O país não ficar protegido de ataques especulativos é condição suficiente para que as reservas internacionais não aumentam. 10. (CESPE) São dadas as seguintes proposições: p: Computadores são capazes de processar quaisquer tipos de dados. q: É possível provar que + 1 =. Se p implica em q, então o fato de não ser possível provar que + 1 = é condição suficiente para que os computadores não sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. P 4 : Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão da sociedade. Tendo como referência essa proposição, julgue o item seguinte. 11. (CESPE) Caso sejam falsas as proposições Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética e Ele merece receber a gratidão da sociedade, então a proposição P 4 também será falsa. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V. I Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade. II Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio. III Jorge não foi ao centro da cidade. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição 12. (CESPE) Carla pagou o condomínio tem valor lógico F. 13. (CESPE) Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade tem valor lógico V. 14. (CESPE) Tânia não estava no escritório tem, obrigatoriamente, valor lógico V. 15. (CESPE) Ao investigar um assalto, a polícia levantou três proposições acerca das características dos possíveis responsáveis pelo delito: os envolvidos conheciam a vítima (p), os envolvidos já tinham passagem pela polícia (q) e os envolvidos tinham conhecimento de que a vítima transportava valores no dia do crime (r). A partir dessas proposições e avançando nas investigações, a polícia chegou a quatro suspeitos e aos seguin- 40

41 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico tes argumentos (o símbolo lógico indica negação): I se p ou q ou r, então o suspeito 1 participou do crime; II se p ou r, então o suspeito 2 participou do crime; III se q ou r, então o suspeito 3 não participou do crime; IV o suspeito 4 participou do crime se, e somente se, p e q. Ao final da investigação, a polícia verificou a veracidade ou não das hipóteses p, q e r e, seguindo os argumentos I, II, III e IV, todos válidos, conseguiu identificar o(s) suspeito(s) participante(s) do crime. Se o suspeito 1 não participou do crime, então apenas o suspeito 2 participou do crime. 16. (CESPE) Considere que as seguintes afirmações sejam verdadeiras: Se é noite e não chove, então Paulo vai ao cinema. Se não faz frio ou Paulo vai ao cinema, então Márcia vai ao cinema. Considerando que, em determinada noite, Márcia não foi ao cinema, é correto afirmar que, nessa noite, fez frio, Paulo não foi ao cinema e não choveu. 17. (CESPE) A formação das escalas na divisão dos trabalhos da semana, obedece às seguintes proposições: Carlos fiscaliza a empresa A e João não fiscaliza a empresa B. João fiscaliza a empresa B ou Maria não fiscaliza a empresa D. Augusto fiscaliza a empresa D se e somente se Maria não fiscaliza a empresa B. Com base nas proposições acima, considerando que cada funcionário deve fiscalizar apenas uma empresa e que todas as empresas devem ser fiscalizadas, então nessa semana Carlos fiscaliza a empresa A, Maria fiscaliza a empresa B, Augusto fiscaliza a empresa C e João fiscaliza a empresa D. 18. (CESPE) A negação da proposição Não dirija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um acidente de trânsito é, do ponto de vista lógico, equivalente à afirmação Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito. 19. (CESPE) A negação da proposição A ginástica te transforma e o futebol te dá alegria está assim corretamente enunciada: A ginástica não te transforma nem o futebol te dá alegria. 20. (CESPE) A negação da proposição O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente é O presidente é o membro mais novo do tribunal ou o corregedor não é o vice-presidente. 21. (CESPE) A proposição equivalente à negação de Comi feijoada com couve, mas não bebi vinho é Não comi feijoada ou não comi couve ou bebi vinho. 41

42 P1: Se a impunidade é alta, então a criminalidade é alta. 22. (CESPE) A negação da proposição P1 pode ser escrita como Se a impunidade não é alta, então a criminalidade não é alta. 23. (CESPE) A negação da sentença Ou estudo para concurso ou trabalho, é equivalente a Estudo para concurso, se e somente se, trabalho. 24. (CESPE) A negação da sentença Ou estudo para concurso ou trabalho, é equivalente a Se estudo para concurso, trabalho; porém, quando trabalho, estudo para concurso. 25. (CESPE) A negação da proposição Ou Mauro gosta de rock ou João gosta de samba pode ser corretamente expressa por Se Mauro gosta de rock, então João gosta de samba e se Mauro não gosta de rock, então João não gosta de samba. 26. (CESPE) A negação da proposição A Terra é redonda se e somente se o céu não é azul é equivalente a A Terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra não é redonda. 27. (CESPE) A negação da sentença A Terra é chata e a Lua é um planeta. é equivalente a proposição Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. 28. (CESPE) A negação da sentença A inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento. É equivalente a proposição Se a inflação não é controlada, então há projetos de desenvolvimento. 29. (CESPE) As proposições Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida são equivalentes. 30. (CESPE) A proposição um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos é equivalente a se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho. 31. (CESPE) Considerando como proposição P: Se Ricardo não contribui com o INSS, então a sua família está segurada, logo a proposição Não é verdade que Ricardo não contribui com o INSS nem que sua família esteja segurada é equivalente a P. 32. (CESPE) A proposição Caio é segurado do regime geral de previdência social se, e somente se, for participante de previdência complementar fechada é logicamente equivalente a Caio é segurado do regime geral de previdência social e participante de previdência complementar fechada, ou Caio não é segurado do regime geral de previdência social e não é participante de previdência complementar fechada. 42

43 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico Com base na proposição P: Quando o cliente vai ao banco solicitar um empréstimo, ou ele aceita as regras ditadas pelo banco, ou ele não obtém o dinheiro, julgue os itens que se seguem. 33. (CESPE) Se for falsa a proposição O cliente vai ao banco solicitar um empréstimo, então a proposição P também será falsa, independentemente dos valores lógicos das demais proposições constituintes de P. 34. (CESPE) A negação da proposição Ou o cliente aceita as regras ditadas pelo banco, ou o cliente não obtém o dinheiro é logicamente equivalente a O cliente aceita as regras ditadas pelo banco se, e somente se, o cliente não obtém o dinheiro. 35. (CESPE) A proposição Ou o cliente aceita as regras ditadas pelo banco, ou o cliente não obtém o dinheiro é logicamente equivalente a Se não aceita as regras ditadas pelo banco, o cliente não obtém o dinheiro. Considerando que o símbolo lógico corresponda à conjunção e ;, à disjunção ou ;, à condicional se..., então ;, à bicondicional se, e somente se ; corresponda à negação não ; P, Q e R sejam proposições simples; e S seja a seguinte proposição composta: [P (Q R)] [R (P Q)], julgue os próximos itens. 36. (CESPE) Se Q for uma proposição verdadeira, então, independentemente dos valores lógicos de P e R, a proposição S será sempre verdadeira. 37. (CESPE) A negação de S pode ser corretamente expressa por [ P (Q R)] [( R) (P Q)]. 38. (CESPE) Se P for uma proposição verdadeira e se Q e R forem falsas, então as proposições S e [P (Q R)] (P Q) terão valores lógicos diferentes. Ao comentar a respeito das profissões de alguns suspeitos, um delegado federal fez as seguintes afirmações: P 1 : Se Clara é policial e João é analista de sistemas, Elias não é contador. P 2 : Se Clara é policial e Elias é contador, João é analista de sistemas. P 3 : Se João é analista de sistemas e Elias é contador, Clara não é policial. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 39. (CESPE) A proposição P 1 é logicamente equivalente a Se Elias é contador, Clara não é policial nem João é analista de sistemas. 40. (CESPE) A proposição P 2 é logicamente equivalente a Clara não é policial ou Elias não é contador, ou João é analista de sistemas. 41. (CESPE) Se P 3 for falsa, então João é analista de sistemas, Elias é contador e Clara é policial. 43

44 Considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. 42. (CESPE) A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por Se o comprador escritura o imóvel, então ele o registra. 43. (CESPE) A proposição P é logicamente equivalente à proposição O comprador escritura o imóvel, ou não o registra. 44. (CESPE) Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o escriturou. 45. (CESPE) Se A for o conjunto dos compradores que escrituram o imóvel, e B for o conjunto dos que o registram, então B será subconjunto de A. 46. (CESPE) As proposições Não precisa mais capturar ou digitar o código de barras e Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras são equivalentes. Com base na proposição P: A empresa não garante que o serviço por ela prestado não será interrompido, ou que seja livre de erros, julgue o item subsequente. 47. (CESPE) Se as proposições O serviço prestado pela empresa não será interrompido e O serviço prestado pela empresa é livre de erros forem verdadeiras, então a proposição P também será verdadeira. Considerando a sentença Se o radar não estiver danificado ou desligado, o motorista levará uma multa, julgue os itens subsecutivos. 48. (CESPE) A sentença o radar não está danificado ou desligado é logicamente equivalente à sentença o radar não está danificado e também não está desligado. 49. (CESPE) Se forem falsas as afirmações o radar estava desligado e o motorista levou uma multa, então a sentença se um motorista passou em excesso de velocidade por um radar e este não estava danificado ou desligado, então o motorista levou uma multa será verdadeira, independentemente dos valores lógicos das outras proposições simples que a compõem. 50. (CESPE) Se forem verdadeiras a afirmação do enunciado e a sentença um motorista levou uma multa, então, do ponto de vista lógico, é correto concluir que tal motorista passou em excesso de velocidade por um radar, que o radar não está danificado e também que o radar não está desligado. Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico. 51. (INSS CESPE 2016) Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional p (q p) será, sempre, uma tautologia. 52. (INSS CESPE 2016) Caso a proposição simples Aposentados são idosos tenha valor lógico falso, então o valor lógico da pro- 44

45 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico posição Aposentados são idosos, logo eles devem repousar será falso. 53. (INSS CESPE 2016) Dadas as proposições simples p: Sou aposentado e q: Nunca faltei ao trabalho, a proposição composta Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado deverá ser escrita na forma (p q) p, usando-se os conectivos lógicos. Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue os itens seguintes. 54. (CESPE) Caso o ministro da Fazenda permaneça no cargo e a cotação do dólar mantenha sua trajetória de alta, a proposição do jornalista será verdadeira. 55. (CESPE) A negação da colocação do jornalista é equivalente a Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar. 56. (CESPE) A proposição do jornalista é equivalente a Se não cai o ministro da Fazenda, então cai o dólar. P 1 : Não perco meu voto. P 2 : Se eu votar no candidato X, ele não for eleito e ele não me der um agrado antes da eleição, perderei meu voto. P 3 : Se eu votar no candidato X, ele for eleito e eu não for atingido por uma benfeitoria que ele faça depois de eleito, perderei meu voto. P 4 : Eu voto no candidato X. C: O candidato X me dará um agrado antes da eleição ou serei atingido por uma benfeitoria que ele fizer depois de eleito. A partir das proposições de P 1 a P 4 e da proposição C apresentadas acima, julgue os itens seguintes, que se referem à lógica sentencial. 57. (CESPE) A negação da proposição Eu voto no candidato X, ele não é eleito e ele não me dá um agrado antes da eleição está corretamente expressa por Eu não voto no candidato X, ele é eleito e ele me dá um agrado antes da eleição. 58. (CESPE) Se as proposições P 1 e P 4 e a proposição o candidato X é eleito forem verdadeiras, a proposição P 3 será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição não sou atingido por uma benfeitoria que o candidato faça após eleito. 59. (CESPE) Caso as proposições P 1, P 2 e P 4 sejam verdadeiras, será verdadeira a proposição o candidato X é eleito ou ele me dá um agrado antes da eleição. 60. (CESPE) A proposição C é equivalente à seguinte proposição: Se o candidato X não me der um agrado antes da eleição, serei atingido por uma benfeitoria que ele fizer após ser eleito. 45

46 61. (CESPE) A proposição Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos pode também ser corretamente expressa por O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem. Considerando que P seja a proposição Conceder-se-á auxílio-moradia a servidor se este atender a todos os requisitos, julgue os itens seguintes. 62. (CESPE) Se a proposição O servidor atende a todos os requisitos for falsa, então a proposição P será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição Conceder-se-á auxílio-moradia a servidor. 63. (CESPE) A proposição P é equivalente a Se o servidor atender a todos os requisitos, então conceder-se-á auxílio moradia a ele. 64. (CESPE) Considere que Carlos seja um servidor do INSS. Dessa forma é correto concluir que a ele será concedido auxílio moradia. 65. (CESPE) Um servidor que atenda a todos os requisitos, mas para o qual não seja concedido auxílio moradia é um contraexemplo para a proposição considerada. 66. (CESPE) Não atender a pelo menos um dos requisitos é condição necessária para que não seja concedido auxílio-moradia a servidor. 67. (CESPE) Se A for o conjunto dos servidores que atendem a todos os requisitos, e B for o conjunto dos servidores para os quais foi concedido auxílio-moradia, então A será subconjunto de B. Considerando que P seja a proposição A escola não prepara com eficácia o jovem para a vida, pois o ensino profissionalizante não faz parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino, julgue os itens seguintes. 68. (CESPE) A proposição P estaria corretamente representada por R Q, em que R e Q são proposições lógicas convenientemente escolhidas. 69. (CESPE) A proposição P é equivalente a "Se o ensino profissionalizante não faz parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino, então a escola não prepara com eficácia o jovem para a vida". 70. (CESPE) A proposição P é equivalente a "O ensino profissionalizante não faz parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino ou a escola prepara com eficácia o jovem para a vida". 71. (CESPE) A escola preparar com eficácia o jovem para a vida" é condição suficiente para que o ensino profissionalizante fazer parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino. 46

47 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 72. (CESPE) A negação da proposição P está corretamente expressa por "O ensino profissionalizante não faz parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino, e a escola não prepara com eficácia o jovem para a vida". Tendo como referência a proposição P: O contribuinte individual ficará isento do recolhimento de sua contribuição previdenciária desde que preste serviço a outro contribuinte individual ou a uma empresa e considerando apenas a proposição nele contida e os aspectos desse mandamento atinentes à lógica, julgue os seis itens subsequentes. 73. (CESPE) A proposição P é logicamente equivalente a Se o contribuinte individual presta serviço a outro contribuinte individual ou a uma empresa, então ele ficará isento do recolhimento de sua contribuição previdenciária. 74. (CESPE) De acordo com a proposição P, ficar isento do recolhimento de sua contribuição previdenciária é condição suficiente para o contribuinte individual prestar serviço a um outro contribuinte individual ou a uma empresa. 75. (CESPE) Supondo-se que a proposição P e as proposições O contribuinte individual presta serviço a outro contribuinte individual e O contribuinte individual presta serviço a uma empresa sejam verdadeiras, é correto concluir que também será necessariamente verdadeira a proposição O contribuinte individual ficará isento do recolhimento de sua contribuição previdenciário. 76. (CESPE) A negação da proposição O contribuinte individual presta serviço a outro contribuinte individual ou a uma empresa pode ser expressa corretamente como O contribuinte individual não presta serviço a outro contribuinte individual nem a uma empresa. 77. (CESPE) A tabela-verdade correspondente à proposição P tem mais de 5 linhas. 78. (CESPE) A negação da proposição P é logicamente equivalente a O contribuinte individual prestou serviço a outro contribuinte individual ou a uma empresa ou ele não ficou isento do recolhimento de sua contribuição previdenciária. Ao comentar sobre as razões da dor na região lombar que seu paciente sentia, o médico fez as seguintes afirmativas. P 1 : Além de ser suportado pela estrutura óssea da coluna, seu peso é suportado também por sua estrutura muscular. P 2 : Se você estiver com sua estrutura muscular fraca ou com sobrepeso, estará com sobrecarga na estrutura óssea da coluna. P 3 : Se você estiver com sobrecarga na estrutura óssea da coluna, sentirá dores na região lombar. P 4 : Se você praticar exercícios físicos regularmente, sua estrutura muscular não estará fraca. P 5 : Se você tiver uma dieta balanceada, não estará com sobrepeso. Tendo como referência a situação acima apresentada, julgue os itens seguintes, considerando apenas seus aspectos lógicos. 47

48 79. (CESPE) A proposição P 1 pode ser corretamente representada pela forma simbólica P Q, em que P e Q são proposições convenientemente escolhidas e o símbolo representa o conectivo lógico denominado conjunção. 80. (CESPE) Se a proposição Você está com sua estrutura muscular fraca for verdadeira e as proposições Você está com sobrepeso e Você está com sobrecarga na estrutura óssea da coluna forem falsas, então a proposição P 2 será verdadeira. 81. (CESPE) A negação da proposição P 2 é equivalente à proposição Você não está com sua estrutura muscular fraca nem com sobrepeso, mas está com sobrecarga na estrutura óssea da coluna. 82. (CESPE) De acordo com as informações apresentadas, estar com a estrutura muscular fraca ou com sobrepeso é condição suficiente para o paciente sentir dores na região lombar. 83. (CESPE) Se todas as afirmações feitas pelo médico forem verdadeiras, também será verdadeira a afirmação Se você não sentisse dor na região lombar, então não estaria com sobrecarga na estrutura óssea da coluna. Considere que, no argumento apresentado abaixo, as proposições P, Q, R e S sejam as premissas e T, a conclusão. P: Jornalistas entrevistam celebridades ou políticos. Q: Se jornalistas entrevistam celebridades, então são irônicos ou sensacionalistas. R: Ou são irônicos, ou perspicazes. S: Ou são sensacionalistas, ou sagazes. T: Se jornalistas são perspicazes e sagazes, então entrevistam políticos. A respeito dessas proposições, julgue os itens seguintes. 84. (CESPE) Suponha que as proposições Jornalistas são irônicos e Jornalistas são sensacionalistas sejam falsas. Nesse caso, também será falsa a proposição Se jornalistas entrevistam celebridades, são irônicos ou sensacionalistas. 85. (CESPE) Caso sejam falsas as proposições Jornalistas são perspicazes e Jornalistas são sagazes, então também será falsa a conclusão do argumento. 86. (CESPE) A proposição Q é logicamente equivalente a Se jornalistas não são sensacionalistas e não são irônicos, então não entrevistam celebridades. 87. (CESPE) A conclusão do argumento é uma proposição logicamente equivalente a Jornalistas não são perspicazes ou não são sagazes ou entrevistam políticos. 48

49 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras. Quando chove, Maria não vai ao cinema. Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema. Quando Cláudio sai de casa, não faz frio. Quando Fernando está estudando, não chove. Se é noite, faz frio. Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue os itens subsecutivos. 88. (DPU CESPE 2016) Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. 89. (DPU CESPE 2016) É noite e não chove. O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às quartas, quintas e sextas-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana. A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos. 90. (CESPE) Se, em certo dia, ambos disserem Amanhã é meu dia de mentir, então essa afirmação terá sido feita em uma terça-feira. 91. (CESPE) Na terça-feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sábado e na quarta- -feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição Se Cássia for ao supermercado no sábado, então comprará arroz é verdadeira. 92. (CESPE) Se, em uma sexta-feira, Cássio disser a Cássia: Se eu te amasse, eu não iria embora, será correto concluir que Cássio não ama Cássia. P1: O consumidor terá acesso a taxas mais baixas para financiar a compra de veículo se e somente e se possuir histórico de pagamentos em dia ou o prazo do financiamento for curto. P2: Se o consumidor possuir histórico de pagamentos em dia, então ele terá disciplina para poupar. P3: Se o consumidor tiver disciplina para poupar, então ele não precisará financiar o veículo. P4: Se o prazo do financiamento for curto, então este não precisará financiar o veículo. Conclusão: Se o consumidor não precisa financiar o veículo, então ele tem acesso a taxas mais baixas para financiamento. Considerando as informações apresentadas, julgue os itens que se seguem. 93. (CESPE) A premissa P1 pode ser simbolicamente representada por A [B C], em que A, B e C sejam proposições adequadamente escolhidas e os símbolos e representem, respectivamente, a bicondicional e a disjunção. 94. (CESPE) A conclusão do argumento do jornalista também pode ser expressa da seguinte forma: O consumidor precisa financiar o veículo ou ele tem acesso a taxas mais baixas para financiamento. 49

50 Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir. 95. (PF CESPE) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições Eu não sou traficante e Eu sou usuário, então a premissa 1 estará corretamente representada por P Q. Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P 1 ) Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P 2 ) Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P 3 ) Com referência às proposições P 1, P 2 e P 3 acima, julgue os itens a seguir. 98. (CESPE) A negação da proposição O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento pode ser corretamente expressa por O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento. 96. (PF CESPE) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi. 97. (PF CESPE) Se a proposição Eu não sou traficante for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem. 99. (CESPE) Se a proposição Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio for falsa, então, independentemente do valor lógico da proposição O síndico fica com fama de desonesto, a premissa P 2 será verdadeira (CESPE) A proposição P 3 é equivalente a Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto. O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos 50

51 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições. julgue os itens a seguir (CESPE) A proposição formada pela conjunção de P1 e P2 é logicamente equivalente à proposição Se se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins (CESPE) Admitindo-se como verdadeiras as proposições O policial teve treinamento adequado e O policial tem informações precisas ao tomar decisões, então a proposição O policial se dedicou nos estudos será, necessariamente, verdadeira (CESPE) A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões. Considerando que R e T são proposições lógicas simples, julgue os itens a seguir, acerca da construção de tabelas-verdade (CESPE) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R T) R, a tabela-verdade correspondente será a seguinte. R T (R T) R V V V V F F F V V F F F 105. (CESPE) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R T) ( R), a tabela-verdade correspondente será a seguinte. R T (R T) ( R) V V V V F F F V V F F V 106. (CESPE) A tabela de interpretação de (P Q) P é igual à tabela de interpretação de P Q. P Q (P Q) P V V F F V F V F 51

52 Considerando as proposições simples p e q e a proposição composta r:p q p q, julgue o item abaixo (CESPE) Considerando todos os possíveis valores lógicos das proposições p e q, é correto afirmar que a proposição r possui 3 valores lógicos F (CESPE) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição (p r) (q s) será verdadeira, somente se p for verdadeira. P Q R S V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F A tabela acima corresponde ao início da construção da tabela-verdade da proposição S, composta das proposições simples P, Q e R. Julgue o item seguinte a respeito da tabela-verdade de S (CESPE) Se S = (P Q) R, então, na última coluna da tabela-verdade de S, aparecerão, de cima para baixo e na ordem em que aparecem, os seguintes elementos: V, F, F, F, V, F, V e F. Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a tabela abaixo contém elementos para iniciar a construção da tabela- -verdade da proposição P (Q R). P Q R P (Q R) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F A partir dessas informações, julgue o próximo item (CESPE) Completando-se a tabela, a coluna correspondente à proposição P (Q R). Conterá, na ordem em que aparecem, de cima para baixo, os seguintes elementos: V, F, F, F, V, V, V, V. P Q R 1 V V V 2 F V V 3 V F V 4 F F V 5 V V F 6 F V V 7 V F F 8 F F F A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F cor- 52

53 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico respondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo (MEC CESPE 2015) A ultima coluna da tabela-verdade referente a proposição logica P (Q R) quando representada na posição horizontal e igual a P (Q R) V V V F V F V V Considere que P, Q e R sejam proposições simples, julgue o item abaixo (PF CESPE/2014) A partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P Q R P Q é uma tautologia. P Q R P Q R P Q P Q R P Q Uma sequência de proposições A 1, A 2,..., A k é uma dedução correta se a última proposição, A k, denominada conclusão, é uma consequência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas. Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem. A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P, for obtido que a proposição P ( P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira; P tem de ser falsa. A partir dessas informações, julgue os itens os itens subsequentes (CESPE) A proposição [( P) Q] (R S) é logicamente equivalente a [P Q] [R S] (CESPE) As proposições [A ( B)] ( A) e [( A) B] ( A) são equivalentes (CESPE) A Proposição [(P Q) Q] é equivalente à proposição [P ( Q)] ( Q), em que P é a negação de P (CESPE) A partir do preenchimento da tabela-verdade, é correto concluir que a proposição (P R) (Q R) apresenta 4 linhas em sua tabela-verdade ou tem exatamente uma maneira de ser valorada como falsa (CESPE) Considere todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples P, Q e R. Nesse caso, a proposição composta [(P R) (Q R)] tem exatamente os mesmos valores lógicos da proposição [P ( R)] [Q ( R)]. 53

54 Considerando os símbolos lógicos (negação), (conjunção), (disjunção), (condicional) e as proposições. S:[(p q) ( p r)] q r e T :[(p q) ( p r)] ( q r) Julgue os itens que se seguem 118. (CESPE) A proposição T S é uma tautologia (CESPE) As proposições compostas S e T são equivalentes, ou seja, têm a mesma tabela-verdade, independentemente dos valores lógicos das proposições simples p, q e r que as constituem (CESPE) As proposições (P Q) S e (P S) (Q S) possuem tabelas de valorações iguais (CESPE) As proposições P (Q R) e ( P Q) ( P R) são logicamente equivalentes. Considerando que, P, Q e R sejam proposições conhecidas, julgue os próximos itens (CESPE) Se P e Q são proposições simples, completando a tabela-verdade, se necessário, conclui-se que a proposição (P Q) ( P Q) é uma tautologia (CESPE) A sentença (P P) [( Q R) P] é um exemplo de tautologia (CESPE) A proposição [P Q] [( P) ( Q)] tem somente o valor lógico V, independentemente dos valores lógicos de P e Q (CESPE) A proposição {[(P Q) ( R)] [S ( S)]} é uma tautologia, ou seja, ela é sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos de P, Q, R e S (CESPE) A proposição [(P Q) (R S)] [Q (R S)] [(P R) (P S)] é uma tautologia. Proposições simples são simbolizadas por letras maiúsculas, e as proposições compostas são construídas com o uso de conectivos. Uma proposição simples, da forma A, é a negação de A e é V quando A é F, e é F quando A é V. Parênteses podem ser usados para agrupar as proposições e evitar ambiguidades. A partir dessas definições, julgue os itens a seguir (CESPE) A proposição "O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros" é uma proposição simples (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente: A frase Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE é uma proposição simples. 54

55 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 129. (CESPE) A sentença o acidente de trabalho e a aposentadoria são fatores que devem ser considerados na decisão de contribuir para o INSS pode ser representada simbolicamente por P Q, em que as proposições P e Q são convenientemente escolhidas. Com relação às proposições lógicas, julgue os próximos itens (INSS CESPE 2016) A sentença Bruna, acesse a internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos! é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p q (CESPE) A expressão Como não se indignar, assistindo todos os dias a atos de violência fortuitos estampados em todos os meios de comunicação do Brasil e do mundo? é uma proposição lógica que pode ser representada por P Q, em que P e Q são proposições lógicas convenientemente escolhidas (CESPE) A sentença Quem é o maior defensor de um Estado não intervencionista, que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da economia na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da Fazenda? é uma proposição composta que pode ser corretamente representada na forma (P Q) R, em que P, Q e R são proposições simples convenientemente escolhidas (CESPE) A frase O ser humano precisa se sentir apreciado, valorizado para crescer com saúde física, emocional e psíquica é uma proposição lógica simples (CESPE 2015) A sentença A vida é curta e a morte é certa pode ser simbolicamente representada pela expressão logica P Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas (CESPE 2015) A sentença Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania pode ser simbolicamente representada pela expressão logica P Q R, em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas (CESPE) A sentença Os exames serão aplicados nos 26 estados e no Distrito Federal pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas (CESPE) A sentença O governo declarou estar otimista com o resultado da votação do processo de impeachment e com a recuperação da economia é uma proposição lógica simples. 55

56 Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de logica proposicional (CESPE 2015) A sentença A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos pode ser simbolicamente representada pela expressão logica P Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas (CESPE) A sentença A indicação de juízes para o STF deve ser consequência de um currículo que demonstre excelência e grande experiência na magistratura pode ser corretamente representada na forma P Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Julgue o item subsequente, relacionado a lógica proposicional (AFT CESPE) A sentença O crescimento do mercado informal, com empregados sem carteira assinada, é uma consequência do número excessivo de impostos incidentes sobre a folha de pagamentos pode ser corretamente representada, como uma proposição composta, na forma P Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Gabarito: 1. E 2. C 3. E 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C 9. C 10. C 11. E 12. C 13. E 14. E 15. C 16. E 17. C 18. C 19. E 20. E 21. C 22. E 23. C 24. C 25. C 26. C 27. C 28. C 29. E 30. C 31. C 32. C 33. E 34. C 35. E 36. C 37. E 38. E 39. E 40. C 41. C 42. E 43. C 44. C 45. C 46. C 47. E 48. C 49. E 50. E 51. C 52. E 53. C 54. E 55. C 56. E 57. E 58. E 59. C 60. C 61. C 62. C 63. C 64. E 65. C 66. C 67. C 68. C 69. C 70. E 71. C 72. E 73. C 74. E 75. C 76. C 77. C 78. E 79. C 80. E 81. E 82. C 83. C 84. E 85. E 86. C 87. C 88. E 89. C 90. C 91. C 92. E 93. C 94. C 95. C 96. E 97. C 98. C 99. C 100. C 101. C 102. E 103. C 104. E 105. C 106. C 107. E 108. E 109. C 110. E 111. C 112. C 113. C 114. C 115. C 116. C 117. C 118. E 119. C 120. E 121. C 122. C 123. C 124. E 125. C 126. C 127. E 128. C 129. E 130. E 131. E 132. E 133. C 134. C 135. E 136. E 137. E 138. E 139. E 140. E 56

57 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES INTRODUÇÃO A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra das proposições visto nas aulas anteriores, sobretudo os dicas apresentados para cada conectivo estudado: ou, ou...ou v, e, se...então e se e somente se. Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando linguagem simbólica), localizar um ponto de partida através de uma proposição simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí, através de um efeito dominó, deduzir todos os valores lógicos (V ou F) das outras proposições simples, admitindo que todas as proposições compostas são verdadeiras. INFERÊNCIA Inferência, do latim inferre, é o mesmo que dedução. Em lógica, inferência é a passagem, através de regras válidas, do antecedente ao consequente de um argumento. A inferência é, portanto, um processo pelo qual se chega a uma proposição, afirmada na base de uma ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. Então, inferir significa deduzir. PREMISSA Num silogismo (raciocínio ou conexão de ideias), as premissas são os juízos que precedem à conclusão e dos quais ela decorre como consequente necessário antecedentes de que se infere a consequência. Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito da conclusão) são comparados com o termo médio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extensão dos seus termos. O silogismo é estruturado do seguinte modo: Todo homem é mortal (premissa maior) homem é o sujeito lógico, e fica à frente da cópula; é representa a cópula, isto é, o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado; mortal é o predicado lógico, e fica após a cópula. 57

58 Sócrates é homem (premissa menor) Sócrates é mortal (conclusão) Há palavras que ajudam a identificar as premissas (indicadores das premissas), como: se, caso, quando, porque, desde que, pois que, como, dado que, tanto mais que, pela razão de que. Podemos então dizer que as premissas são as proposições que, em uma argumentação, precedem a conclusão. CONCLUSÃO A conclusão de um argumento é aquela que se afirma com base nas outras proposições desse mesmo argumento, e, por sua vez, essas outras proposições que são enunciadas como prova ou razões para aceitar a conclusão são as premissas desse argumento. Proposição é normalmente usado para expressar o significado de uma sentença ou oração declarativa. Note que "proposição" e "enunciado" não são sinônimos, mas no contexto lógico são usados em sentido quase idêntico Oportuno esclarecer que "premissa" e "conclusão" são termos relativos, uma só proposição pode ser premissa num argumento e conclusão noutro. Isoladamente, nenhuma proposição é uma premissa ou uma conclusão. "Só é premissa quando ocorre como pressuposição num argumento ou raciocínio. Só é conclusão quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposições pressupostas nesse argumento". Deste modo premissa e conclusão são termos relativos, como empregador e empregado, dependem do contexto: empregador para a sua doméstica, empregado para a empresa que trabalha. Frequentemente, a conclusão é apresentada (enunciada) primeiro, seguindo-se-lhe as premissas propostas em seu apoio. Mas pode corretamente estar no final do argumento ou intercalada entre as premissas. Palavras como: portanto, daí, logo, assim, consequentemente, segue-se que, podemos inferir, podemos concluir, são indicadores da conclusão. ARGUMENTO Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. O argumento é o elemento básico para a fundamentação de uma teoria. O argumento exprime com frequência o conceito geral de prova. Chama-se argumento porque estimula a mente e a ilumina para intuir a verdade e dar-lhe a sua adesão. No mínimo, um argumento envolve duas proposições: uma premissa (ou mais) e uma conclusão. Para se distinguir um argumento correto de um incorreto é preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões. 58

59 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico Exemplo: Exemplo: Exemplo: ANALOGIA Uma analogia é uma relação de equivalência entre duas outras relações. As analogias têm uma forma de expressão própria que segue o modelo: A está para B, assim como C está para D. Por exemplo, diz-se que: "Os patins estão para o patinador, assim como os esquis estão para o esquiador". Ou seja, a relação que os patins estabelecem com o patinador é idêntica à relação que os esquis estabelecem com o esquiador. A maior parte das pessoas achará a analogia dos esquis/patins verdadeira. No entanto, é extremamente difícil estabelecer de forma rigorosa porque é que é verdadeira. Normalmente, as analogias são fluidas e uma análise mais detalhada poderá revelar algumas imperfeições na comparação. Afinal, esquiar e patinar são atividades parecidas, mas não são exatamente iguais. Em matemática foi desenvolvida uma versão mais formal de analogia, o isomorfismo. 59

60 DEDUÇÃO Raciocinar dedutivamente, é partir de premissas gerais, em busca de uma verdade particular. Exemplo: O Ser humano é imperfeito; Eu sou um ser humano; Logo, eu sou imperfeito; Exemplo: Todo mamífero tem um coração; Todos os cavalos são mamíferos; Logo, todos os cavalos têm coração; INDUÇÃO Os indutivistas acreditavam que as explicações para os fenômenos advinham unicamente da observação dos fatos. Então, raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal. Exemplo: Sabe-se que: O ferro conduz eletricidade O ferro é metal O ouro conduz eletricidade O ouro é metal O cobre conduz eletricidade O cobre é metal Logo os metais conduzem eletricidade. Exemplo: Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração; Logo, todos os cavalos tem um coração; O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura, tal como uma tautologia ou um enunciado analítico, pois se houvesse um princípio puramente lógico de indução, simplesmente não haveria problema de indução, uma vez, que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas como transformações lógicas ou tautológicas, exatamente como as inferências no campo da Lógica Dedutiva. 60

61 Questões QUESTÕES DE CONCURSOS CESPE 1. (CESPE) Um argumento que tenha P 1, P 2, P 3 e P 4 como premissas e C como conclusão será um argumento válido. P 1 : A B P 2 : B v C P 3 : D C P 4 : D E C: E C 2. (CESPE) Um argumento que tenha P 1, P 2 e P 3 como premissas e C como conclusão será um argumento válido. P 1 : A ( B C) P 2 : A B P 3 : D C C: B D 3. (CESPE) Suponha que as proposições Edu tem um laptop ou ele tem um celular e Edu ter um celular é condição necessária para Edu ter um laptop sejam verdadeiras. Nesse caso, considerando essas proposições como premissas e a proposição Edu tem um laptop como conclusão de um argumento, então esse argumento é válido. 4. (CESPE) Um argumento válido é uma sequência finita de proposições em que algumas são chamadas premissas e assumidas como verdadeiras, e as demais são conclusões que se garantem verdadeiras em consequência da veracidade das premissas e de conclusões previamente estabelecidas. Suponha que a proposição Se Josué foi aprovado no concurso e mudou de cidade, então Josué mudou de emprego seja uma premissa de um argumento. Se a proposição Josué não mudou de emprego for outra premissa desse argumento, uma conclusão que garante sua validade é expressa pela proposição Josué não foi aprovado no concurso ou não mudou de cidade. P 1 : Se a impunidade é alta, então a criminalidade é alta. P 2 : A impunidade é alta ou a justiça é eficaz. P 3 : Se a justiça é eficaz, então não há criminosos livres. P 4 : Há criminosos livres. C: Portanto a criminalidade é alta. Considerando o argumento apresentado acima, em que P1, P2, P3 e P4 são as premissas e C, a conclusão, julgue o item subsequente. 5. (CESPE) O argumento apresentado é um argumento válido. 61

62 Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P 1 ) Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P 2 ) Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P 3 ) Com referência às proposições P 1, P 2 e P 3 acima, julgue o item a seguir. 6. (CESPE) Considerando que P 1 e P 2 sejam as premissas de um argumento de que P 3 seja a conclusão, é correto afirmar que, do ponto de vista lógico, o texto acima constitui um argumento válido. Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P 1 : Se for bom e rápido, não será barato. P 2 : Se for bom e barato, não será rápido. P 3 : Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir. 8. (PF CESPE) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida. Ao comentar a respeito das profissões de alguns suspeitos, um delegado federal fez as seguintes afirmações: P 1 : Se Clara é policial e João é analista de sistemas, Elias não é contador. P 2 : Se Clara é policial e Elias é contador, João é analista de sistemas. P 3 : Se João é analista de sistemas e Elias é contador, Clara não é policial. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 7. (CESPE) Um argumento que tenha P 1 e P 2 como premissas e P 3 como conclusão será um argumento válido. 9. (CESPE) Um argumento que tenha P 1 e P 2 como premissas e P 3 como conclusão será um argumento válido. 62

63 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico P 1 : Não perco meu voto. P 2 : Se eu votar no candidato X, ele não for eleito e ele não me der um agrado antes da eleição, perderei meu voto. P 3 : Se eu votar no candidato X, ele for eleito e eu não for atingido por uma benfeitoria que ele faça depois de eleito, perderei meu voto. P 4 : Eu voto no candidato X. C: O candidato X me dará um agrado antes da eleição ou serei atingido por uma benfeitoria que ele fizer depois de eleito. A partir das proposições de P 1 a P 4 e da proposição C apresentadas acima, julgue o item seguinte, que se refere à lógica sentencial. 10. (CESPE) O argumento cujas premissas sejam as proposições P 1, P 2, P 3 e P 4 e cuja conclusão seja a proposição C será válido. Considere que, no argumento apresentado abaixo, as proposições P, Q, R e S sejam as premissas e T, a conclusão. P: Jornalistas entrevistam celebridades ou políticos. Q: Se jornalistas entrevistam celebridades, então são irônicos ou sensacionalistas. R: Ou são irônicos, ou perspicazes. S: Ou são sensacionalistas, ou sagazes. T: Se jornalistas são perspicazes e sagazes, então entrevistam políticos. A respeito dessas proposições, julgue o item seguinte. 11. (CESPE) Considerando que P, Q, R, S sejam as premissas de um argumento cuja conclusão seja Se jornalistas são perspicazes e sagazes, então entrevistam políticos, é correto afirmar que esse argumento é válido. O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P 1 : Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P 2 : Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P 3 : Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P 4 : Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue o item a seguir. 12. (CESPE) Considerando que P 1, P 2, P 3 e P 4 sejam as premissas de um argumento cuja conclusão seja Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado, é correto afirmar que esse argumento é válido. Ao comentar sobre as razões da dor na região lombar que seu paciente sentia, o médico fez as seguintes afirmativas. P 1 : Além de ser suportado pela estrutura óssea da coluna, seu peso é suportado também por sua estrutura muscular. P 2 : Se você estiver com sua estrutura muscular fraca ou com sobrepeso, estará com sobrecarga na estrutura óssea da coluna. P 3 : Se você estiver com sobrecarga na estrutura óssea da coluna, sentirá dores na região lombar. 63

64 P 4 : Se você praticar exercícios físicos regularmente, sua estrutura muscular não estará fraca. P 5 : Se você tiver uma dieta balanceada, não estará com sobrepeso. Tendo como referência a situação acima apresentada, julgue o item seguinte, considerando apenas seus aspectos lógicos. 13. (CESPE) Será válido o argumento em que as premissas sejam as proposições P2, P3, P4 e P5 e a conclusão seja a proposição Se você praticar exercícios físicos regularmente e tiver uma dieta balanceada, não sentirá dores na região lombar. Verificando a regularidade da aquisição de dispositivos sensores de presença e movimento para instalação em uma repartição pública, os fiscais constataram que os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. Diante dessa constatação, o gestor argumentou da seguinte maneira: P: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Q: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes. R: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. Conclusão: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. A partir das informações acima apresentadas, julgue o item a seguir. 14. (CESPE) Incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização, o argumento do gestor será um argumento válido. Pedro, um jovem empregado de uma empresa, ao receber a proposta de novo emprego, fez diversas reflexões que estão traduzidas nas proposições abaixo. P1: Se eu aceitar o novo emprego, ganharei menos, mas ficarei menos tempo no trânsito. P2: Se eu ganhar menos, consumirei menos. P3: Se eu consumir menos, não serei feliz. P4: Se eu ficar menos tempo no trânsito, ficarei menos estressado. P5: Se eu ficar menos estressado, serei feliz. A partir dessas proposições, julgue os dois itens a seguir. 15. (CESPE) Considerando que as proposições P1, P2, P3, P4 e P5 sejam todas verdadeiras, é correto concluir que Pedro não aceitará o novo emprego. 16. (CESPE) É válido o argumento em que as proposições P1, P2, P3, P4 e P5 são as premissas e a proposição Se aceitar o novo emprego, serei feliz e não serei feliz é a conclusão. As proposições a seguir são as premissas de um argumento. I Se uma companhia tem grande porte e numerosas ramificações, sua falência teria um custo intolerável para a sociedade. 64

65 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico II Se a falência de uma companhia tem um custo intolerável para a sociedade, o governo protegê-las-á durante de uma crise séria. III Se o governo protege uma companhia durante uma crise séria, recursos públicos são usados em benefício de um ente privado. 17. (CESPE) A conclusão Se uma companhia tem grande porte e numerosas ramificações, então recursos públicos são usados em benefício de um ente privado, juntamente com as premissas acima, constituem um argumento válido. P 1 : Os clientes europeus de bancos suíços estão regularizando sua situação com o fisco de seus países. P 2 : Se os clientes brasileiros de bancos suíços não fazem o mesmo que os clientes europeus, é porque o governo do Brasil não tem um programa que os incite a isso. Considerando que as proposições P 1 e P 2 apresentadas acima sejam premissas de um argumento, julgue o item a seguir, relativo à lógica de argumentação. 18. (CESPE) O argumento formado pelas premissas P 1 e P 2 e pela conclusão Os clientes brasileiros de bancos suíços não estão regularizando sua situação com o fisco de seu país. é um argumento válido. Considere as proposições P 1, P 2, P 3 e P 4, apresentadas a seguir. P 1 : Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal empresário merece receber a gratidão da sociedade. P 2 : Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, então ocorre um escândalo no mundo empresarial. P 3 : Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do empresário contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social. P 4 : Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão da sociedade. Tendo como referência essas proposições, julgue o item seguinte. 19. (CESPE) O argumento que tem como premissas as proposições P 1, P 2 e P 3 e como conclusão a proposição P 4 é válido. P1: O consumidor terá acesso a taxas mais baixas para financiar a compra de veículo se e somente e se possuir histórico de pagamentos em dia ou o prazo do financiamento for curto. P2: Se o consumidor possuir histórico de pagamentos em dia, então ele terá disciplina para poupar. P3: Se o consumidor tiver disciplina para poupar, então ele não precisará financiar o veículo. P4: Se o prazo do financiamento for curto, então este não precisará financiar o veículo. Conclusão: Se o consumidor não precisa financiar o veículo, então ele tem acesso a taxas mais baixas para financiamento. Considerando as informações apresentadas, julgue o item que se segue. 20. (CESPE) O argumento do jornalista é um argumento válido, no sentido da lógica proposicional. Gabarito: 1. E 2. E 3. E 4. C 5. C 6. E 7. C 8. E 9. C 10. C 11. C 12. C 13. E 14. C 15. C 16. C 17. C 18. E 19. C 20. E 65

66 ESTRUTURAS LÓGICAS INVESTIGANDO As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento préexistente. A investigação, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento. As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposisções para chegarmos as conclusões. IDENTIFICANDO CADA CASO Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas informações, com base nas informações fornecidas no enunciado. Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles. 1º CASO SOMENTE VERDADES: ORDENAÇÕES Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado. 66

67 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico Exemplo: Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2º andar. a) Heitor a) Erick d) Fred e) Giles SOLUÇÃO: Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores. Inicialmente como Erick mora acima de todos, então ele mora no 4º andar. Como Fred mora acima de Heitor e Heitor não mora no 1º andar, então Heitor tem que morar no 2º andar e Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. Por exclusão, Giles mora no 1º andar, o que satisfaz a condição de morar abaixo de Fred. 2º CASO SOMENTE VERDADES: ASSOCIAÇÃO Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações ou características e as linhas tratam das pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras. Exemplo: (FCC) Em 2015, três Técnicos Judiciários, Alfredo, Benício e Carlos, viajaram em suas férias, cada um para um local diferente. Sabe-se que: seus destinos foram: uma praia, uma região montanhosa e uma cidade do interior do Estado; 67

68 as acomodações por ele utilizadas foram: uma pousada, um pequeno hotel e uma casa alugada; o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada; Carlos foi a uma cidade do interior; Alfredo não foi à praia; Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos. Nessas condições, é verdade que a) Aquele que foi às montanhas hospedou-se em um hotel. b) Alfredo alugou uma casa. c) Benício foi às montanhas. d) Carlos hospedou-se em uma pousada. e) Aquele que foi à cidade hospedou-se em uma pousada. SOLUÇÃO: 1) Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo Benício Carlos 2) Alfredo não foi à praia Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo Benício Carlos 3) Carlos foi a uma cidade do interior Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo ok Benício ok Carlos ok 68

69 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 4) O técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada Destinos Acomodações praia montanha interior pousada hotel casa alugada Alfredo ok ok Benício ok ok Então: Carlos ok ok Alfredo montanha hotel Benício praia pousada Carlos interior casa alugada Resposta: A 3º CASO VERDADES E MENTIRAS: HIPÓTESES Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre cinco suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese. Exemplo: (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 69

70 SOLUÇÃO: Dados da questão: Uma declaração é falsa Quatro declarações são verdadeiras Suspeitos Declarações 1) Marcos culpado (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 2) Mário culpado (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 3) Manuel culpado (1 VERDADEIRAS E 4 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 70

71 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 4) Mara culpada (4 VERDADEIRAS E 1 FALSAS SATISFAZ A CONDIÇÃO) 5) Maria culpada (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) Então: Mara entrou sem pagar Resposta: C 71

72 DIAGRAMAS LÓGICOS QUANTIFICADORES São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição. TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial: É o quantificador que indica a necessidade de existir pelo menos um elemento satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É indicado pelo símbolo, que se lê existe, existe um ou existe pelo menos um. Exemplo: (p) x R / x 3 (q) Existe dia em que não chove. b) Quantificador universal: É o quantificador que indica a necessidade de termos todos os elementos satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É indicado pelo símbolo, que se lê para todo ou qualquer que seja. Exemplo: (m) x R / x 5 (Lê-se: para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5 ) (n) Qualquer que seja o dia, não choverá. 72

73 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico TEORIA DOS CONJUNTOS NOMENCLATURA UTILIZADA R R * R + conjunto dos números reais conjunto dos números reais não nulos conjunto dos números reais não negativos R + * Q Q * Z Z + conjunto dos números reais positivos conjunto dos números racionais conjunto dos números racionais não nulos conjunto dos números inteiros conjunto dos números inteiros não negativos Z * N N * conjunto dos números inteiros não nulos conjunto dos números naturais conjunto dos números naturais não nulos conjunto vazio símbolo de união entre dois conjuntos símbolo de intersecção entre dois conjuntos símbolo de pertinência entre elemento e conjunto símbolo de inclusão entre dois conjuntos qualquer que seja UNIÃO ( ) União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao conjunto B ou a ambos. Ex.: "Pessoas que são atletas (A) ou baianos (B)" (o "ou" não é excludente, portanto isso significa que o conjunto união abrange os elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos) 73

74 INTERSEÇÃO ( ) Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados. Ex.: Pessoas que são atletas (A) e são baianos (B) DIFERENÇA ( ) ou COMPLEMENTAR Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porém, não pertencem a B. O conjunto A B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que falta para B completar o conjunto A. Ex.: "Pessoas que são atletas (A), mas são baianos (B)" COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A. Ex.: "Pessoas que não são atletas (A)" (Dentre todos os envolvidos, podendo ser, ou não, baianos) 74

75 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B. Ex.: "Pessoas que ou são atletas (A), ou são baianos (B)" (O "ou...ou" é excludente) FIQUE DE OLHO! Observe como representar em três diagramas, alguns termos muito usados em provas: NENHUM ( ) Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que nenhum A é B, garantese que não existe um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, nenhum B é A. Ex.: A: Nenhum advogado é bancário 75

76 ALGUM ( ) Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo, ao dizer que algum A é B, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, algum B é A. Ex.: B: Algum advogado é bancário TODO ( ) Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que todo A é B, garante-se que se um elemento está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A. Ex.: C: Todo advogado é bancário 76

77 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico EXEMPLOS 1. Considere que os argumentos são verdadeiros: Todo comilão é gordinho; Todo guloso é comilão; Com base nesses argumentos, é correto afirmar que: a) Todo gordinho é guloso. b) Todo comilão não é guloso. c) Pode existir gordinho que não é guloso. d) Existem gulosos que não são comilões. e) Pode existir guloso que não é gordinho. Solução: Do enunciado temos os conjuntos: Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso. Resposta: C 2. (IPAD) Supondo que todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são, podemos logicamente concluir que: a) não pode haver cientista filósofo. b) algum filósofo é cientista. c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo. d) alguns cientistas não são filósofos. e) nenhum filósofo é objetivo. Solução: Dadas as premissas: A: todos os cientistas são objetivos B: alguns filósofos são objetivos Sejam O Objetivos C Cientistas F Filósofos 77

78 Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis: Dessa forma, temos que se algum filósofo é cientista ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica necessariamente que esse filósofo será objetivo, pois todo cientista é objetivo. Resposta: C 3. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir logicamente que: a) nenhum cronópio é fama. b) não existe cronópio que seja fama. c) todos os cronópios são famas. d) nenhum fama é cronópio. e) algum cronópio não é fama. Solução: Dada a premissa: Sejam A: Nem todos os cronópios são famas C Cronópios F Famas Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis: Podemos concluir que Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que não é fama. Resposta: E 78

79 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 4. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm uma idéia original e apenas 50% têm ideias comercializáveis. Podemos afirmar que: a) 15% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis. b) 10% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis. c) 30% das pessoas têm ideias comercializáveis, mas não originais. d) 70% das pessoas têm ideias originais e não comercializáveis. e) 65% das pessoas têm ideias originais e não comercializáveis. Solução: Sejam A grupo dos que têm uma idéia original ; B grupo dos que têm uma idéia comercializável; Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos: Sabendo que n(a B) = n(a)+n(b) n(a B) 100% = 60% + 50% x x = 10% portanto 10% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis Resposta: B 5. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: a) Alguns A não é G. b) Algum A é G. c) Nenhum A é G. d) Algum G é A. e) Nenhum G é A. Solução: Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que nunca serão G. Resposta: A 79

80 OBS.: Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar. 6. Através de uma pesquisa, descobriu-se que nenhum politico é honesto e que alguns advogados são honestos. Dessa forma, aponte o único item errado. a) É possível que alguns politicos sejam advogados. b) Alguns advogados não são politicos. c) É impossível que algum advogado seja político. d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado. e) Pode ou não haver advogado político. Solução: Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições impostas: Cuidado! Não podemos afirmar que existe A que é P, nem tão pouco dizer que não existe A que é P. O fato é que pode ou não existir A que seja P, ou seja, podemos até afirmar que é possível existir um A que seja P, ou ainda, é possível que não exista A que seja P. Então, será errado dizer que é impossível que um A seja P. Resposta: C (CESPE) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso, usando esses livros, revelou que: 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os livros L e M; 25 utilizaram os livros M e N; 15 utilizaram os três livros. Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 7. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. JULGAMENTO: ERRADO 80

81 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico Do enunciado, podemos construir o diagrama a seguir. O preenchimento deve ser feito a partir do centro, onde n(l M N) = 15. Como 25 pessoas usaram M e N, ou seja n(m N) = 25, então 10 usaram somente M e N. Como 20 pessoas usaram M e L, ou seja n(m L) = 20, então 5 usaram somente M e L. Portanto, já podemos verificar que somente 5 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 8. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. JULGAMENTO: CERTO 81

82 Podemos preencher diretamente os 10 que usaram somente L. Como 90 pessoas usaram L, descontando = 30, sobram 60 que usaram somente N e L. Podemos preencher diretamente os 20 que usaram somente N. Do total de 200 pessoas, descontando = 120, sobram 80 que usaram somente M. Portanto, realmente mais de 100 candidatos ( =110) se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 82

83 Bacen (Analista) Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico 9. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. JULGAMENTO: CERTO Exatamente noventa candidatos ( = 90) se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros (2 ou 3). 10. O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105. JULGAMENTO: ERRADO O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M não foi inferior a 105, na verdade foram 110 ( ). (CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol. 11. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol. JULGAMENTO: CERTO Do enunciado, temos: n(i E) = 64 n(i) = 42 n(e) = 46 Sabendo que então n(i E) = n(i)+n(e) n(i E) 64 = n(i E) n(i E) = n(i E) = Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês. JULGAMENTO: CERTO Dos dados anteriores, temos o diagrama preenchido a partir da interseção de I e E. Portanto, realmente podemos afirmar que 18 falam somente inglês. 83

84 13. Dentre um grupo de N alunos, que estudam para concursos, sabe-se que: 40 tem aulas presenciais; 70 assistem vídeo-aulas; 20 utilizam os dois métodos; 10 estudam sozinhos; Determine o total de alunos do grupo. a) 80 b) 90 c) 100 d) 120 1ª Solução: O preenchimento deve ser feito a partir do centro. Sendo n(p V) = 20, temos: Se n(p) = 40, então 20 estão somente em P. Se n(v) = 70, então 50 estão somente em V. 84