1 TESTE TEORIA DE NÚMEROS COMPUTACIONAL

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1 1 TESTE TEORIA DE NÚMEROS COMPUTACIONAL Licenciatura em Matemática 17 de abril de 2012 duração 1h 45m Responda, justificando cuidadosamente, às seguintes questões: 1. (a) Sem utilizar o Mathematica, calcule os dois últimos algarismos do inteiro (b) Sejam n N, r 1, r 2 N 0 e a Z. Prove que se r 1 r 2 (modφ(n)) e m.d.c.(a, n) = 1, então a r 1 a r 2 (mod n). 2. Sem utilizar as funções FactorInteger, Divisors, PrimeQ, Prime, NextPrime ou EulerPhi definidas no Mathematica, (a) verifique que o número é composto sem o fatorizar; (b) fatorize como produto de primos o número utilizando o método de fatorização de Fermat. 3. (a) Calcule a probabilidade de que um número com 5 algarismos escolhido aleatoriamente seja i. pseudoprimo de base 3; ii. pseudoprimo de base 3, 5 e 7, simultaneamente; iii. número de Carmichael; iv. primo. (b) Considere as questões das alíneas 3(a)i a 3(a)iv para números inteiros escolhidos aleatoriamente no intervalo [10 15, ]. Que poderia dizer em relação a cada questão? (c) Compare e comente os resultados obtidos nas alíneas anteriores. 4. Sem utilizar as funções PowerModList, Reduce, Solve ou FindInstance, resolva as congruências: (a) x 2 17 (mod 272); (b) 8x 5 + x (mod 600). COTAÇÃO: 1 a)2 b)2 2 a)2 b)3 3 a)3 b)2 c)1 4 a)2 b)3

2 Exercício 1 a) Para conhecer os dois últimos algarismos de um número n basta calcular n mod100. Como mdc(3,100)=1, pelo teorema de Euler 3 fh100l ª1(mod 100). Dado que 100=10 2 = , então f(100)=f( )=f(2 2 M fi5 2 M=2 (5 4)=40 e, consequentemente, 3 40 ª1(mod 100). Assim, dado que 124= , ªI3 40 M ªH1L ª81(mod 100). Logo os dois últimos algarismos de são 8 e 1. b) Como mdc(a,n)=1, então pelo teorema de Euler a fhnl ª1(mod n). Como r 1 ªr 2 (mod f(n)), então f(n) r 1 -r 2, ou seja, r 1 =r 2 +k f(n) para algum kez. Assim, a r 1 ªa r 2 +k fhnl ª a r 2 (a fhnl M k ª a r 2 (1L k ª a r 2 (mod n). Exercício 2 In[92]:= a) Pelo Teorema de Wilson, se n é primo, então (n-1)!ª-1(mod n). Como Mod@Factorial@ D, D Out[92]= 0 In[93]:= ou seja, ( )! mod = , então não é primo. (Alternativa: pelo Pequeno Teorema de Fermat, se n é primo, então a n ª a(mod n) para qualquer inteiro a. Escolhendo a=2 (por exemplo) verifica-se que PowerMod@2, , D Out[93]= ou seja, ª T2(mod ), pelo que não é primo.) b) Como é par e mod 4=2, então não pode ser escrito como a diferença de dois quadrados. Assim, é necessário primeiro efetuar divisões sucessivas por 2 até obter um número ímpar e de seguida aplicar o método de Fermat. A função factfermat que utilizei analisa se o número n é par ou ímpar e efetua a fatorização do maior fator ímpar de n pelo método de fatorização de Fermat. factfermat@n_d := ModuleB 8a, b2, n1, m = n ê 2, r = 0<, While@ MatchQ@m, _Integer D, r++ ; m = m ê 2 D; n1 = 2 m; a = CeilingB n1 F; b2 = a^2 n1; i = 1; WhileB! MatchQB b2, _IntegerF, i++; a++; b2 = a^2 n1f; PrintBn, "=2 ^", r, " x ", a + b2, " x ", a b2, ", nº de iterações=", iff factfermat@ D =2 ^1 x x , nº de iterações= Este resultado significa que =2 x x e que esta fatorização foi obtida ao fim de iterações. Não há no entanto a garantia de que ou sejam fatores primos, pelo que se deve estudar a decomposição destes números. factfermat@72 323D =2 ^0 x 2333 x 31, nº de iterações=914 factfermat@2333d 2333=2 ^0 x 2333 x 1, nº de iterações=1119

3 2 CorrecaoTeste1_11_12_LCC.nb 31=2 ^0 x 31 x 1, nº de iterações=11 factfermat@10 039D =2 ^0 x x 1, nº de iterações=4920 Conclui-se então que =2 x 2333 x 31 x e que 2, 2333, 31 e são primos. Está então obtida a fatorização em primos de Exercício 3 a) i) Um número n é um número pseudoprimo de base a se não é primo e verifica a n-1 ª1(mod n). testepseudbasea@n_, a_d := PowerMod@a, n 1, nd 1 &&! PrimeQ@nD Os números inteiros com 5 algarismos são os números inteiros pertencentes ao intervalo [10 4, E. Length@Select@Range@10^4, 10^5 1D, testepseudbasea@, 3D &DD 55 Existem 55 pseudoprimos de base 3 no intervalo [10 4, E. Logo a probabilidade de selecionar aletoriamente um pseudoprimo de base 3 no intervalo [10^4,10^5-1] é N@ 55 ê H10^5 10^4LD ii) Length@Select@Range@10 ^4, 10^ 5 1D, testepseudbasea@, 3D && testepseudbasea@, 5D && testepseudbasea@, 7D &DD 4 Existem 4 pseudoprimos de base 3,5 e 7 no intervalo [10 4, E. Logo a probabilidade de selecionar aletoriamente um pseudoprimo de base, 5 e 7 no intervalo [10^4,10^5-1] é N@ 4 ê H10^5 10^4LD iii) Foi provado que n é um número de Carmichael se (n-1)ª 0 (mod(n). testecarmichael@n_d := Mod@ n, CarmichaelLambda@nD D 1 &&! PrimeQ@nD Length@Select@Range@10 ^4, 10^ 5 1D, testecarmichaeldd 9 Existem 9 pseudoprimos (números de Carmichael) no intervalo [10 4, E. Logo a probabilidade de selecionar aletoriamente umnúmero de Carmichael no intervalo [10^4,10^5-1] é N@ 9 ê H10^5 10^4LD iv) PrimePi@10^5 1D PrimePi@10^4 1D 8363 Existem 8363 primos no intervalo [10 4, E. Logo a probabilidade de selecionar aletoriamente um primo no intervalo [10^4,10^5-1] é

4 CorrecaoTeste1_11_12_LCC.nb 3 N@ 8363 ê H10^5 10^4LD b) Tentaremos proceder de modo análogo ao da alínea a). Length@Select@Range@10^15, 10^ ^4D, testepseudbasea@, 3D &DD 0 Não existem pseudoprimos de base 3 no intervalo [10^15,10^ ^4]. Logo a probabilidade de selecionar aletoriamente um pseudoprimo de base 3 no intervalo[10^15,10^ ^4] é 0. Consequentemente, também não existem pseudoprimos de base 3,5, e 7. Length@Select@Range@10 ^15, 10^ ^4D, testecarmichaeldd 0 Exstem 0 pseudoprimos (números de Carmichael) no intervalo [10^15,10^ ^4]. Logo a probabilidade de selecionar aletoriamente um número de Carmichael no intervalo[10^15,10^ ^4] é 0. PrimePi@10 ^15 1D PrimePi::largp : Argument in PrimePi@ D is too large for this implementation. à PrimePi@ D Desta forma não é possível calcular o valor exato do nº de primos no intervalo [10^15,10^ ^4]. Dado que phxl ~ x, então log x pi ^4) - p(10 15 ) > 10^ ^4 Log@10^30D 10^15 Log@10^15D e um valor aproximado da probabilidade de selecionar aletoriamente um número primo no intervalo[10^15,10^ ^4] é NB 10^ ^4 10^15 1 Log@10^ ^4D Log@10^15 1D ^ ^4 10^15 F (Alternativa: Não é possível calcular calcular PrimePi[10^15-1], mas como a amplitude do intervalo [10^15,10^ ^4-1] é pequena, é possível calcular o número de primos no intervalo [10^15,10^ ^4] recorrendo à função PrimeQ. nprimos@min_, max_d := Length@Select@Range@min, maxd, PrimeQDD nprimos@10^15, 10^ ^4 1D 2513 NB ^ ^4 10^15 F O valor da probabilidade de selecionar aletoriamente um número primo no intervalo[10^15,10^ ^4] é de ) Exercício 4 a) FactorInteger@272D 882, 4<, 817, 1<<

5 4 CorrecaoTeste1_11_12_LCC.nb a) x 2 ª17 (mod 272) ó x2 ª 17 Imod 2 4 M x 2 ª 17 Hmod 17L ó x2 ª 1 Imod 2 4 M x 2 ª 0 Hmod 17L x 2 ª 0 Hmod 17L ó xª0 (mod 17) porque 17 é primo. Como x 2 ª1(mod 2 3 M tem quatro soluções incongruentes módulo 2 3, então x 2 ª1 (mod 2 4 ) tem 4 soluções incongruentes módulo 2 4. Uma solução é, obviamente, a=1, pelo que as restantes soluções módulo 16 são -1, e , ou seja, 1, 7, 9 e 15 são as soluções incongruentes módulo 2 4. Assim x 2 1 Imod 2 4 M x 0 Hmod 17L x 1, 7, 9, 15 Imod 24 M x 0 Hmod 17L. Aplicando Teorema Chinês dos Restos: ChineseRemainder@81, 0<, 816, 17<D 17 ChineseRemainder@87, 0<, 816, 17<D 119 ChineseRemainder@89, 0<, 816, 17<D 153 ChineseRemainder@815, 0<, 816, 17<D 255 Finalmente conclui-se que x 2 ª17 (mod 272) x ª 17, 119, 153, 255 Hmod 272L. b) FactorInteger@600D 882, 3<, 83, 1<, 85, 2<< b) 600= , pelo que 8 x 5 + x 2-9 ª0 (mod 600) ó 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Imod 2 3 M 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Hmod 3L ó 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Imod 5 2 M x 2-1 ª 0 Imod 2 3 M 2 x 5 + x 2 ª 0 Hmod 3L. 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Imod 5 2 M x 2-1 ª 0 Imod 2 3 M ó x 2 ª 1 Imod 2 3 M. Uma solução de x 2 ª 1 Imod 2 3 M é 1 logo as restantes soluções módulo 2 3 são -1, e , ou seja, x 2 ª 1 Imod 2 3 Mó x ª 1, 3, 5, 7 Imod 2 3 M. 2 x 5 + x 2 ª 0 Hmod 3L ó x 2 I 2 x 3 + 1M ª 0 Hmod 3L ó I x 2 ª 0 Hmod 3L fi I 2 x 3 + 1M ª 0 Hmod 3L) ó ( x ª 0 Hmod 3L Ó x ª 1 Hmod 3LL. 8 x 5 + x Imod 5 2 ) ó x 5 + x 2-9ï 5 8 x 5 + x 2-9 ó 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Hmod 5L e 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Hmod 5L ó 3 x 5 + x ª 0 Hmod 5L. xª 0 (mod 5) não é solução de 3 x 5 + x Hmod 5L, pelo que, se x é uma solução módulo 5, então mdc (x,5)=1 e pelo Teoremas de Fermat x 4 ª 1 Hmod 5L. Então, 3 x 5 + x Hmod 5L 3 x + x Hmod 5L e esta última congruência só admite uma solução módulo 5 que é 1. Logo as soluções de 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Imod 5 2 M, caso existam, são da forma 1+5t. Sendo f(x)= 8 x 5 + x 2-9, então f(1)=0, f (x)= 40 x x e f (1)=42. Assim, para x=1+5t, 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Imod 5 2 M ó 42 t ª 0 Hmod 5L ó t ª 0 Hmod 5L, ou seja, 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Imod 5 2 M ó.

6 CorrecaoTeste1_11_12_LCC.nb 5 Então, 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Hmod 600Ló x ª 1, 3, 5, 7 Imod 2 3 M x ª 0, 1 Hmod 3L. Para conhecer as soluções módulo 600 devemos agora aplicar o Teorema Chinês dos Restos aos sistemas: x ª 1 Imod 2 3 M x ª 1 Imod 2 3 M x ª 1 Hmod 3L, x ª 3 Imod 2 3 M x ª 3 Imod 2 3 M x ª 1 Hmod 3L, x ª 5 Imod 2 3 M x ª 5 Imod 2 3 M x ª 1 Hmod 3L, x ª 7 Imod 2 3 M x ª 7 Imod 2 3 M x ª 1 Hmod 3L. ChineseRemainder@81, 0, 1<, 88, 3, 25<D 201 ChineseRemainder@81, 1, 1<, 88, 3, 25<D 1 ChineseRemainder@83, 0, 1<, 88, 3, 25<D 51 ChineseRemainder@83, 1, 1<, 88, 3, 25<D 451 ChineseRemainder@85, 0, 1<, 88, 3, 25<D 501 ChineseRemainder@85, 1, 1<, 88, 3, 25<D 301 ChineseRemainder@87, 0, 1<, 88, 3, 25<D 351 ChineseRemainder@87, 1, 1<, 88, 3, 25<D 151 Finalmente conclui-se que 8 x 5 + x 2-9 ª 0 Hmod 600L ó x ª 1, 51, 151, 201, 301, 351, 451, 501 Hmod 600L.