critérios de divisibilidade

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1 critérios de divisibilidade

2 Lembre das seguintes propriedades operatórias da aritmética modular:

3 Lembre das seguintes propriedades operatórias da aritmética modular: 1. +: comutatividade: x + y = y + x. 2. +: associatividade: x + y + z = x + y + z. 3. +: zero: x=x. 4. +: negativo: x + x=0. 5. : comutatividade: x y = y x.

4 6. : associatividade: x y z = x y z. 7. : unidade: x=x : distributividade: x (y + z)=xy + xz.

5 Vamos usar essas propriedades da aritmética modular para explicar/deduzir critérios de divisibilidade.

6 Vamos usar essas propriedades da aritmética modular para explicar/deduzir critérios de divisibilidade. Escrevemos a expansão decimal de um número inteiro, A = a 0 }{{} unidade + dezena {}}{ a a 2 }{{} centena

7 Vamos usar essas propriedades da aritmética modular para explicar/deduzir critérios de divisibilidade. Escrevemos a expansão decimal de um número inteiro, Por exemplo, A = a 0 }{{} unidade + dezena {}}{ a a 2 }{{} centena = Qual o resto desse número na divisão por 2?.

8 Fazemos 8759 =

9 Fazemos 8759 = =

10 Fazemos 8759 = = =

11 Fazemos 8759 = = = Esse exemplo torna cristalino que, para conhecer o resto na divisão módulo N, basta saber

12 Fazemos 8759 = = = Esse exemplo torna cristalino que, para conhecer o resto na divisão módulo N, basta saber 1. o resto de cada algarismo 0 a i 9;

13 Fazemos 8759 = = = Esse exemplo torna cristalino que, para conhecer o resto na divisão módulo N, basta saber 1. o resto de cada algarismo 0 a i 9; 2. o resto de cada potência 10 i.

14 divisibilidade por 3 Temos Z 3 = {0, 1, 2}. Por outro lado, = 1 mod 3;

15 divisibilidade por 3 Temos Z 3 = {0, 1, 2}. Por outro lado, = 1 mod 3; = = 1 mod 3; = = 1 mod 3;

16 divisibilidade por 3 Temos Z 3 = {0, 1, 2}. Por outro lado, = 1 mod 3; = = 1 mod 3; = = 1 mod 3; 4. precisa mais?

17 Conclusão: se A = a 0 }{{} unidade + dezena {}}{ a a 2 }{{} centena

18 Conclusão: se A = a 0 }{{} unidade + dezena {}}{ a a 2 }{{} centena então A = a 0 + a 1 + a 2 +.

19 divisibilidade por 11 Temos agora Z 11 = {0, 1, 2,..., 10};

20 divisibilidade por 11 Temos agora Z 11 = {0, 1, 2,..., 10}; = 1 mod 11;

21 divisibilidade por 11 Temos agora Z 11 = {0, 1, 2,..., 10}; = 1 mod 11; = = 1 mod 11;

22 divisibilidade por 11 Temos agora Z 11 = {0, 1, 2,..., 10}; = 1 mod 11; = = 1 mod 11; = = 1 mod 11; i = 10 i 1 10 = ±1 mod 11.

23 Veja o exemplo: 1879 =

24 Veja o exemplo: 1879 = = 9.

25 potências

26 potências Regra de ouro: no cálculo de a b mod N,

27 potências Regra de ouro: no cálculo de a b mod N, jamais expandir a potência.

28 potências Regra de ouro: no cálculo de a b mod N, jamais expandir a potência. Exemplo: qual o resto na divisão de por 17?

29 10 = 7 mod = 49 = = 15 = 2 mod = 14 = 3 mod = ( 7) + 3 ( 2) + 3 = 56 = 12.

30 10 = 7 mod = 49 = = 15 = 2 mod = 14 = 3 mod = ( 7) + 3 ( 2) + 3 = 56 = 12. Agora só falta mod 17...

31 Desesperar, jamais!

32 módulo 17, 12 = 5 Desesperar, jamais!

33 módulo 17, 12 = = 25 = = 11 = 6 Desesperar, jamais!

34 módulo 17, 12 = = 25 = = 11 = = 13 = = = = = 16 = = 1 Desesperar, jamais!

35 Desesperar, jamais! módulo 17, 12 = = 25 = = 11 = = 13 = = = = = 16 = = 1 e agora, prá calcular mod 17, daqui prá frente é só festa!

36 Desesperar, jamais! módulo 17, 12 = = 25 = = 11 = = 13 = = = = = 16 = = 1 e agora, prá calcular mod 17, daqui prá frente é só festa! (12 16 ) a = 12 16a = 1, a.

37 Desesperar, jamais! módulo 17, 12 = = 25 = = 11 = = 13 = = = = = 16 = = 1 e agora, prá calcular mod 17, daqui prá frente é só festa! (12 16 ) a = 12 16a = 1, a. Escreva 8756 = ,

38 Desesperar, jamais! módulo 17, 12 = = 25 = = 11 = = 13 = = = = = 16 = = 1 e agora, prá calcular mod 17, daqui prá frente é só festa! (12 16 ) a = 12 16a = 1, a. Escreva 8756 = , e divirta-se = 12 4 = 4 = 13 mod 17. Exerc.: calcule o resto na divisão de por 20; idem para por 21.

39 resto chinês Segundo D. Wells, o seguinte problema foi posto por Sun Tsu Suan-Ching (IV DC):

40 Existem certas coisas cujo número é desconhecido; dividindo por 3, o resto é 2; por 5, deixa resto 3; e por 7, resto 2. Qual é o número?

41 Oystein Ore menciona outra charada, de Brahma-Sphuta-Siddhanta (O Sistema Correto de Brahma) por Brahmagupta (nascido em 598 DC) com um toque de dramaticidade:

42 a velhinha e os ovos Uma velhinha vai ao mercado e um cavalo pisa em sua cesta, quebrando os ovos. O cavaleiro se dispõe a pagar o prejuízo e pergunta quantos ovos ela trouxera.

43 Ela não lembra o número exato, mas diz que quando pegava de 2 em 2, sobrava 1. O mesmo se passava quando pegava de 3, 4, 5 ou 6 de cada vez, mas de 7 dava exato. Qual o número mínimo de ovos?

44 em símbolos

45 em símbolos x 1(2) x 1(3) x 1(4) x 1(5) x min =? x 1(6) x 0(7)

46 x 1 (2) x = 1 + 2y 1 ; 1 + 2y 1 1 (3) 2y 1 0 (3) y 1 0 (3) pois 2 é inversível em Z 3. Prosseguimos, impondo as demais congruências, y 1 = 3y 2 ; x = 1 + 6y 2 1 (4)

47 6y 2 0 (4) 6y { 2 = 4y 3 y2 = 2y 4, 3y 2 = 2y 3 y 3 = 3y 4. x = 1 + 6y 2 = y 4 1 (5) 12y 4 0 (5) y 4 0 (5) y 4 = 5y 5 ;

48 x = y 5 1 (6) 60y 5 0 (6); vale sempre. x = y 5 0 (7) 4y 5 6 (7) y 5 12 (7) y 5 = 5 + 7z. Substituímos de volta: x = (5 + 7z) = z x min = 301.

49 vamos à matemática Teorema. Sejam M 1,..., M u inteiros > 0. Então o sistema de congruências x b 1 (M 1 ) x b u (M u ) admite solução para toda escolha de b 1,..., b u mdc(m i, M j ) = 1 i j.

50 necessidade Se existe solução para toda escolha do 2 o membro, fazemos por exemplo b 1 = 0, b 2 = 1. Qualquer solução x satisfaz x 0(M 1 ), x 1(M 2 ). A 1 a condição exige x = ym 1 ; a 2 a requer ym 1 = 1 + zm 2 ; daí segue mdc(m 1, M 2 ) = 1.

51 suficiência Procedemos por indução sobre o número, u, de condições impostas. Nada a fazer se u = 1. Por clareza, embora formalmente desnecessário para a argumentação indutiva,

52 considere Fazemos { x b1 (M 1 ) x b 2 (M 2 ) x = b 1 + M 1 y e jogamos na 2 a relação: b 1 + M 1 y b 2 (M 2 ) M 1 y b 2 b 1 (M 2 ) Aqui entra mdc(m 1, M 2 ) = 1: isto garante que M 1 é inversível mod. M 2.

53 Seja M 1 inverso de M 1 mod. M 2 (calculável pelo algoritmo euclidiano estendido) M 1M 1 1 (M 2 ), M 1 y b 2 b 1 (M 2 ) y M 1(b 2 b 1 ) (M 2 ) y = M 1(b 2 b 1 ) + M 2 z

54 x = b 1 + M 1 y = b 1 + M 1 (M 1(b 2 b 1 ) + M 2 z) = b 1 + M 1 M 1(b 2 b 1 ) + M 1 M 2 z, z Z.

55 O caso geral, se faz (por indução) de forma análoga: passamos ao sistema M 1 y b 2 b 1 (M 2 )... M 1 y b u b 1 (M u )

56 Calculamos os inversos modulares, M 1,i, de M 1 mod. cada M i, i = 2..u, reduzindo o sistema anterior a y M 1,2 (b 2 b 1 ) (M 2 )... y M 1,u (b u b 1 ) (M u ) e assim sucessivamente.

57 exercício (1) Escreva um programa que recebe como entrada inteiros positivos M 1,..., M u, inteiros b 1,..., b u, testa co-primalidade dos M i, M j e fornece a solução geral do sistema x b i (M i ), i = 1..u. (2) Resolva o sistema de congruências { 2x 3y 1 (11) 7x 8y 1 (11)