Raciocínio Lógico. Curso: Concurso PMBA 2017 Professor: Cirlei Xavier. Cidade: Maracás Bahia Data: Julho de Matemática PMBA 2017 PROPOSIÇÃO

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1 Curso: Concurso PMBA 2017 Professor: Cirlei Xavier Cidade: Maracás Bahia Data: Julho de 2017 Raciocínio Lógico PROPOSIÇÃO Chama-se Proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou em falsa. Observemos que toda proposição apresenta três característica obrigatórias: 1 a ) sendo oração, tem sujeito e predicado; 2 a ) é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); 3 a ) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeiro (V) ou é falsa (F). Exemplos: Cinco vezes quatro é igual a vinte (5 4 = 20) (proposição simples) 25 é quadrado perfeito. (proposição simples) Pedro é estudante. (proposição simples) Lógica é fácil. (proposição simples) Todo professor é inteligente. (proposição simples) 3 > 1 ou 3 =1 (Três é maior que um ou igual a um) (proposição composta) Está frio e chovendo. (proposição composta) Se Carlos é careta, então é feliz. (proposição composta) Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. (proposição composta) Obs.: Três vezes cinco mais um ( ) (não é considerada proposição, pois não tem predicado.) A raiz quadrada de dois é número racional? ( 2 Q?) (não é considerada proposição, pois é interrogativa.) O dobro de um número menos um é igual a dez (2x 1 = 10) (não é considerada proposição, pois a frase não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.) Proposições podem ser ditas simples ou compostas: Proposição simples é aquela que expressa uma única ideia, ou seja, não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Proposição Simples: O número 17 é primo. O número 125 é cubo perfeito. Dois é um número inteiro (2 Z). Sete é maior que três (7 > 3). João é médico. Maria é dentista. Carlos é careta. Todo homem é mortal. A lua é um satélite da Terra. Proposição Composta: 2 e 3 são divisores de 5. 1

2 PMBA 2017 Matemática 2 > 0 e 2 1 (Dois é maior que zero e diferente de um). O número 2 é par e o número 8 é cubo perfeito. Cinco é maior que zero ou maior que um (5> 0 ou 5 > 1). João é médico e Maria é dentista. O triângulo é retângulo ou isósceles. Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. Se Carlos é careta, então é feliz. Ou Roberto é baiano, ou é pernambucano. Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. Se Jorge é engenheiro, então sabe cálculo. Está frio se e somente se está chovendo. NEGAÇÃO Negação ( p, q): A negação da proposição p é representada por p e a negação da proposição q é representada por q. Exemplos: p :2 + 3 = 5 q : 1 2 > 1 4 r : Sete é maior que três (7 > 3) s : Nove é diferente de cinco (9 5) t : Carlos é mecânico u : Todos os homens são elegantes v : Nenhum homem é elegante x : Todo número inteiro primo é ímpar z : Existe um número cuja raiz quadrada é zero p : q : r : Sete é menor ou igual a três (7 3) s : Nove é igual a cinco (9 = 5) t : Carlos não é mecânico u : Nem todos os homens são elegantes v : Algum homem é elegante x : Existe um número inteiro primo e par z : Todo número tem raiz quadrada diferente de zero Negação: não... Exemplos: p : Está frio q : Maria é estudante r : Lógica é fácil s : Matemático é louco t : Três é divisor de onze p : Não está frio q : Maria não é estudante r : Lógica não é fácil s : Matemático não é louco t : Três não é divisor de onze Negação: Não é verdade que... Exemplos: p : Está frio q : Maria é estudante r : Lógica é fácil s : Matemático é louco t : Três é divisor de onze p : Não é verdade que está frio q : Não é verdade que Maria é estudante r : Não é verdade que lógica é fácil s : Não é verdade que matemático é louco t : Não é verdade que três é divisor de onze Negação: É falso que... Exemplos: 2

3 p : Está frio q : Maria é estudante r : Lógica é fácil s : Matemático é louco t : Três é divisor de onze p : É falso que está frio q : É falso que Maria é estudante r : É falso que lógica é fácil s : É falso que matemático é louco t : É falso que três é divisor de onze Obs.: r é equivalente a r. Olhe: r : Não é verdade que lógica não é fácil. Se a proposição p for representada como conjunto através de um diagrama, a negação não p corresponderá ao conjunto complementar de p em relação a U, ou seja, o conjunto diferença de U e p (p = U p): p p A proposição p tem sempre o valor oposto de p, isto é, p é verdadeira quando p é falsa e p é falsa quando p é verdadeira. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação não p para cada um dos valores que p pode assumir: Negação do Todo: Exemplo: p : Todo professor é inteligente p q p q V V F F V F F V F V V F F F V V p : Nem todo professor é inteligente p : Pelo menos um professor não é inteligente p : Existe um professor que não é inteligente p : Algum professor não é inteligente Negação do Nenhum: Exemplo: p : Nenhum médico é inteligente p : Pelo menos um médico é inteligente p : Existe um médico que é inteligente p : Algum médico é inteligente Negação do Algum: 3

4 PMBA 2017 Matemática Exemplo: p : Algum matemático é maluco p : Nenhum matemático é maluco p : Todo matemático não é maluco Exemplo: p : Algumas mulheres são bonitas p : Nenhuma mulher é bonita p : Toda mulher não é bonita CONECTIVOS LÓGICOS Conectivos: não...,... e...,... ou..., Ou... ou..., Se... então...,... se e somente se... A sentença Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos ( não, se... então e ou ) que estão agindo sobre as proposições simples x é maior que y, x é igual a y e x é menor que y. Conjunção: e p e q é representada por p q p : O número 2 é par q : O número 8 é cubo perfeito p q : O número 2 é par e o número 8 é cubo perfeito. Exemplos: p q : Está frio e chovendo p q : João é médico e Maria é dentista Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção p q corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q (p q). U p q Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras, ou seja, a conjunção p q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p q é falsa. Por isso dizemos que a conjunção exige a simultaneidade de condições. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção p q para cada um dos valores que p e q podem assumir: 4

5 Disjunção: ou p ou q é representada por p q p : O triângulo é retângulo q : O triângulo é isósceles p q : O triângulo é retângulo ou isósceles. Exemplos: p q p q V V V V F F F V F F F F p q : Marcos é professor ou engenheiro p q : Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção p q corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q (p q). U p q Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas. Ou seja, a disjunção p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p q é falsa. Por isso dizemos que, ao contrário da conjunção, a disjunção não necessita da simultaneidade de condições para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção p q para cada um dos valores que p e q podem assumir: Disjunção exclusiva: Ou... ou... Ou p ou q é representada por p q p q p : Roberto é baiano q : Roberto é pernambucano p q p q V V V V F V F V V F F F p q : Ou Roberto é baiano ou é pernambucano. 5

6 PMBA 2017 Matemática p q : Roberto é baiano se e somente se não é pernambucano. Exemplos: p q : Ou Paula é mulher ou é homem p q : Paula é mulher se e somente se não é homem p q : Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta Na proposição Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta, se for verdade que te darei uma bola, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que te darei uma bicicleta, então teremos que não será dada a bola. Em outras palavras, a disjunção exclusiva apresentam situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. A disjunção exclusiva p q só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. Tabela-verdade: p q p q V V F V F V F V V F F F Condicional: Se... então... Se p então q é representada por p q p q p : João é médico q : Maria é dentista p q : Se João é médico, então Maria é dentista. p q : João não é médico ou Maria é dentista. Equivalente: q p : Se Maria não é dentista, então João não é médico. Exemplos: p q : Se Jorge é engenheiro, então sabe cálculo p q : Jorge não é engenheiro ou sabe cálculo q p : Se Jorge não sabe cálculo, então Jorge não é engenheiro p q : Se durmo cedo, então não acordo tarde p q : Não durmo cedo ou não acordo tarde q p : Se acordo tarde, então não durmo cedo p q : Se amanhecer chovendo, então não irei à praia p q : Se nasci em Maracás, então sou baiano 6

7 q p : Se não sou baiano, então não nasci em Maracás p q : Se dois é divisor de quatro, então quatro é divisor de vinte q p : Se quatro não é divisor de vinte, então dois não é divisor de quatro p q : Se Pedro for rico, então Ana é médica. Condição Suficiente e Necessária: Se alguém dizer que: p é condição suficiente para q e q é condição necessária para p. Pedro ser rico é condição suficiente para Ana ser médica. é igual a: Se Pedro for rico, então Ana é médica Por outro lado, se ocorrer de alguém dizer que: Ana ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico é igual a: Se Pedro for rico, então Ana é médica Obs.: Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a condicional p q corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q, ou seja p q). U q p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de Se p, então q : Se p, q. q, se p. Todo p é q. p implica q. p somente se q. p é suficiente para q. q é necessário para p. 7

8 PMBA 2017 Matemática Uma condicional Se p então q é falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que nunca proposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição condicional p q para cada um dos valores que p e q podem assumir: Bicondicional:... se e somente se... p q p p q p q V V F V V F F F F V V V F F V V p se e somente se q é representada por p q (p q) (q p) Uma proposição bicondicional p se e somente se q equivale à proposição composta se p então q e se q então p, ou seja p q é a mesma coisa que (p q) (q p) p : Jorge é engenheiro q : Jorge sabe cálculo p q : Jorge é engenheiro se e somente se sabe cálculo. Exemplos: p q : Comparei uma mansão se e somente se ganhar na loteria Equivalente: (p q) (q p) : Se eu comprar uma mansão, então ganhei na loteria e se eu ganhar na loteria, então comprarei uma mansão p q : Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri Equivalente: (p q) (q p) : Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre Condição Suficiente e Necessária: p é condição necessária e suficiente para q e q é condição necessária e suficiente para p. Se alguém dizer: Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre. Ou ainda, dito de outra forma: Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre. 8

9 São construções de mesmo sentido! Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional p q corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q (p = q). U p = q As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de p se e somente se q : p se e só se q. Todo p é q e todo q é p. Todo p é q e reciprocamente. Se p então q e reciprocamente. p somente se q e q somente se p. p é necessário e suficiente para q. p é suficiente para q e q é suficiente para p. q é necessário para p e p é necessário para q. A proposição bicondicional p se e somente se q é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando p e q têm valores lógicos contrários. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição bicondicional p q para cada um dos valores que p e q podem assumir: p q p q (p q) (q p) V V V V F F F V F F F V NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Negação de uma proposição conjuntiva: (p q) p q Exemplos: p q : João é médico e Maria é dentista p q : João não é médico ou Maria não é dentista p q : Pedro é baiano e Ana é paulista p q : Pedro não é baiano ou Ana não é paulista Equivalente: (p q) : Não é verdade que Pedro é baiano e Ana é paulista Tabela-verdade: 9

10 PMBA 2017 Matemática p q p q (p q) p q V V V F V F F V F V F V F F F V Negação de uma proposição disjuntiva: (p q) p q Exemplos: p q : O triângulo é retângulo ou isósceles p q : O triângulo não é retângulo e não é isósceles p q : Pedro é baiano ou Ana é paulista p q : Pedro não é baiano e Ana não é paulista Equivalente: (p q) : Não é verdade que Pedro é baiano ou Ana é paulista Tabela-verdade: p q p q (p q) p q V V V F V F V F F V V F F F F V Negação de uma proposição condicional: (p q) p q Exemplos: p q : Se João é médico, então Maria é dentista p q : João é médico e Maria não é dentista p q : Se chover, então levarei o guarda-chuva p q : Chove e eu não levo o guarda-chuva p q : Se durmo cedo, então não acordo tarde p q : Durmo cedo e acordo tarde Equivalente: (p q) : Não é verdade que, se durmo cedo, então não acordo tarde q p : Eu acordo tarde e durmo cedo p q : Se Pedro é baiano, então Ana é paulista p q : Pedro é baiano e Ana não é paulista Equivalente: (p q) : Não é verdade que, se Pedro é baiano, então Ana é paulista q p : Ana não é paulista e Pedro é baiano Tabela-verdade: 10

11 p q p q (p q) p q V V V F V F F V F V V F F F V F Negação de uma proposição bicondicional: (p q) (p q) ( p q) Exemplos: p q : Jorge é engenheiro se e somente se sabe cálculo (p q) (q p) : Se Jorge é engenheiro, então sabe cálculo e se sabe cálculo, então Jorge é engenheiro (p q) : É falso que Jorge é engenheiro se e somente se sabe cálculo Equivalente: (p q) ( p q) : Jorge é engenheiro e não sabe cálculo ou Jorge não é engenheiro e sabe cálculo p q : Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri (p q) (q p) : Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre (p q) : É falso que Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri Equivalente: (p q) ( p q) : Eduardo fica alegre e Mariana não sorri ou Eduardo não fica alegre e Mariana sorri p q : Pedro é baiano se e somente se Ana é paulista (p q) (q p) : Se Pedro é baiano, então Ana é paulista e se Ana é paulista, então Pedro é baiano (p q) : É falso que Pedro é baiano se e somente se Ana é paulista Equivalente: (p q) ( p q) : Pedro é baiano e Ana não é paulista ou Pedro não é baiano e Ana é paulista Tabela-verdade: p q p q (p q) (p q) ( p q) V V V F V F F V F V F V F F V F RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA Equivalência Lógica: Dadas as proposições p e q, dizemos que p é equivalente a q quando p e q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. Quando p é equivalente a q, indicamos: p q Observação: Notemos que p equivale a q quando o condicional p q é verdadeiro. Exemplos: p p 11

12 PMBA 2017 Matemática q q p p p p p p p p p (p q) p q (p q) p q p q q p p q q p p (p q) p p (p q) p p q p q q p q p (p q) p q q p ( q p) p q (p q) (q p) (p q) ( p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q r) (p (q r)) (p t) p e (p k) k, V(k)=F e V(t)=V (p t) t e (p k) p p q p q (p q k) Exemplo: p q q p Exemplo: (p q) p q p q p q q p q p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V p q p q q p (p q) p q V V V F F F F V F F V F V V F V F F V V V F F F V V V V Propriedades da Conjunção: Considerando as proposições p, q e r e sejam as proposições t e k tal que V(t)=V e V(k)=F. Assim são válidas as seguintes propriedades: INDEPOTENTE: p p p Exemplo: x 1 x 1 x 1 COMUTATIVA: p q q p Exemplo: π > 3 π < 4 π < 4 π > 3 Exemplo: 12

13 p q Eu durmo tarde e não acordo cedo q p Eu não acordo cedo e durmo tarde p q q p Eu durmo tarde e não acordo cedo Eu não acordo cedo e durmo tarde ASSOCIATIVA: (p q) r p (q r) Exemplo: (x 0 x > 1) x < 3 x 0 (x > 1 x < 3) IDENTIDADE: (p t) p e (p k) k Exemplo: x 1 x 0 x 1 e x 1 x < 0 x < 0 Propriedades da Disjunção: Considerando as proposições p, q e r e sejam as proposições t e k tal que V(t)=V e V(k)=F. Assim são válidas as seguintes propriedades: INDEPOTENTE: p p p Exemplo: x 1 x 1 x 1 COMUTATIVA: p q q p Exemplo: a > b b < c b < c a > b Exemplo: p q Eu durmo tarde ou não acordo cedo q p Eu não acordo cedo ou durmo tarde p q q p Eu durmo tarde ou não acordo cedo Eu não acordo cedo ou durmo tarde ASSOCIATIVA: (p q) r p (q r) Exemplo: (x 1 x 2) x < 4 x 1 (x 2 x < 4) IDENTIDADE: (p t) t e (p k) p Exemplo: x 1 x 0 x 0 e x 0 x 2 < 0 x 0 Propriedades da Conjunção e Disjunção: Sejam as proposições p, q e r, então têm-se que: DISTRIBUTIVAS: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) ABSORÇÃO: p (p q) p p (p q) p REGRAS DE DE MORGAN: (p q) p q 13

14 PMBA 2017 Matemática (p q) p q RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO Dadas as proposições p e q, dizemos que p implica q quando na tabela de p e q não ocorre V F em nenhuma linha, isto é, quando não temos simultaneamente p verdadeira e q falsa. Quando p implica q, indicamos: p q Observação: Notemos que p implica q quando o condicional p q é verdadeiro. Exemplos: significa que o condicional se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de 4 5 é verdadeiro. p é positivo e primo mdc (p,p 2 ) = p quer dizer que o condicional se p é número primo e positivo, então o máximo divisor comum de p e p 2 é p é verdadeiro. TAUTOLOGIAS Seja v uma proposição formada a partir de outras (p,q,r,...) mediante o emprego de conectivos ( ou ) ou de modificador ( ) ou de condicionais ( ou ). Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p,q,r,... Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v. Exemplo: (p p) (q p) é uma tautologia, pois: p q p p p q p (p p) (q p) V V V F V V V F F F V V F V V F V V F F V F F V Exemplo: (p q) ( p q) é uma tautologia, pois: p q p q (p q) p q p q (p q) ( p q V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V CONTRADIÇÃO Seja f uma proposição formada a partir de outras (p,q,r,...) mediante o emprego de conectivos ( ou ) ou de modificador ( ) ou de condicionais ( ou ). Dizemos que f é uma contradição ou proposição logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p,q,r,... Assim a tabela-verdade de uma proposição logicamente f apresenta só F na coluna de f. Exemplo: p p é uma proposição logicamente falsa, pois: p p p p V F F F V F 14

15 Exemplo: (p q) ( p q) é uma proposição logicamente falsa, pois: p q p q p q p q (p q) ( p q) V V F F V F F V F F V V F F F V V F F V F F F V V V F F ARGUMENTOS Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições p 1, p 2, p 3,... p n, chamadas premissas do argumento, a uma proposição q a qual chamamos de conclusão do argumento. Os argumentos que têm somente duas premissas são denominadas silogismos. Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos: I. p 1 : Todos os artistas são apaixonados. p 2 : Todos os apaixonados gosta de flores. q: Todos os artistas gostam de flores. Representação no diagrama: A conjunto dos artistas, B conjunto das pessoas apaixonadas e C conjunto dos que gostam de flores. C B A U Observe que: p 1 = A B, então A B = A e p 2 = B C, então B C = B. Concluímos que q = A C = A: todos os artistas gostam de flores. II. p 1 : Todos os apaixonados gosta de flores. p 2 : Paula gosta de flores. q: Paula é uma apaixonada. Representação no diagrama: A conjunto das pessoas apaixonadas, B conjunto das pessoas que gostam de flores, P elemento que representa: Paula gosta de flores e é apaixonada (P A) ou P elemento que representa: Paula gosta de flores e não é apaixonada (P A e P B). Conclusão: Paula gosta de flores, mas não é apaixonada ou Paula gosta de flores e é apaixonada. 15

16 PMBA 2017 Matemática B P A P U Argumento Válido Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído quando sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quando um argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Isto significa que jamais podemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido. É importante observar que ao discutir a validade de um argumento é irrelevante o valor de verdade de cada uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes. Exemplo: Todos os pardais adoram jogar xadrez. Nenhum xadrezista gosta de óperas. Portanto, nenhum pardal gosta de óperas. Representação no diagrama: A conjunto dos pardais, B conjunto dos que adoram jogar xadrez e C conjunto dos que gostam de óperas. C B U A Observe que: p 1 = A B, então A B = A e p 2 = B C, então B C =. Concluímos que q = A C = : nenhum pardal gosta de óperas. Está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a verdade das premissas seja questionável. Exemplo: Glória é baiana ou Glória é paulista. Glória não é paulista. Logo, Glória é baiana. Percebemos que o argumento é válido porque partindo da veracidade das premissas geramos uma conclusão que não é duvidosa. 16

17 Argumento Inválido Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo: Todos os alunos do curso passaram. Yanna não é aluna do curso. Portanto, Yanna não passou. Representação no diagrama: A conjunto dos alunos do curso, B conjunto das pessoas que passaram, Y elemento que representa: Yanna não é do curso, mas passou (Y B e Y A) ou Y elemento que representa: Yanna não é do curso e não passou (Y A e Y B). B U A Y Y É um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Yanna pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso, pois a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado. EXERCÍCIOS RESPONDIDOS 01. Sejam as proposições: p : Está frio q : Está chovendo Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) p : Não está frio ou Não é verdade que está frio b) p q : Está frio e está chovendo ou Está frio e chovendo c) p q : Está frio ou está chovendo ou Está frio ou chovendo d) p q : Se está frio, então está chovendo e) p q : Se está frio, então não está chovendo f) p q : Está frio se e somente se está chovendo g) q p : Está chovendo se e somente se está frio h) p q : Não está frio e não está chovendo i) p q : Está frio se e somente se não está chovendo j) p q : Está frio ou não está chovendo k) (p q) p : Se está frio ou não está chovendo, então está frio l) (p q) q : Se está frio e não está chovendo, então está chovendo 02. Sejam as proposições: 17

18 PMBA 2017 Matemática p : Pedro é baiano q : Ana é paulista Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) p : Pedro não é baiano ou Não é verdade que Pedro é baiano b) p q : Pedro é baiano e Ana é paulista c) p q : Pedro é baiano ou Ana é paulista d) p q : Se Pedro é baiano, então Ana é paulista e) p q : Se Pedro é baiano, então Ana não é paulista f) p q : Pedro é baiano se e somente se Ana é paulista g) q p : Ana é paulista se e somente se Pedro é baiano h) p q : Pedro não é baiano e Ana não é paulista i) p q : Pedro é baiano se e somente se Ana não é paulista j) p q : Pedro é baiano ou Ana não é paulista k) (p q) p : Se Pedro é baiano ou Ana não é paulista, então Pedro é baiano l) (p q) q : Se Pedro é baiano e Ana não paulista, então Ana é paulista m) p : Pedro é baiano ou Não é verdade que Pedro não é baiano n) p q : Se Pedro não é baiano, então Ana não paulista o) p q : Pedro não é baiano se e somente se Ana não é paulista p) (p q) : Não é verdade que Pedro é baiano e Ana não é paulista k) ( p q) : Não é verdade que Pedro não é baiano ou Ana não é paulista r) ( q p) : Não é verdade que, se Ana não é paulista, então Pedro é baiano s) (p q) : Não é verdade que Pedro é baiano e Ana é paulista t) (p q) : Não é verdade que Pedro é baiano ou Ana é paulista 03. Sejam as proposições: p : Eu estudo q : Eu passo no concurso Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições. a) Eu estudo e passo no concurso. p q b) Eu estudo, mas não passo no concurso. p q c) Não é verdade que eu não estudo ou passo no concurso. ( p q) d) Eu não estudo e não passo no concurso. p q e) Eu estudo ou não estudo e passo no concurso. p ( p q) f) É falso que eu não estudo ou que não passo no concurso. ( p q) g) Se eu estudo, então passo no concurso. p q h) Eu passo no concurso se e somente se estudo. q p i) Se eu não estudo, então não passo no concurso. p q j) Não é verdade que, se não estudo, então passo no concurso. ( p q) 03. Sejam as proposições: p : Maiane é linda q : Maiane é carinhosa Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições. a) Maiane é linda e carinhosa. p q b) Maiane é linda, mas não é carinhosa. p q 18

19 c) Não é verdade que Maiane é feia ou carinhosa. ( p q) d) Maiane não é nem linda e nem carinhosa. p q e) Maiane é linda ou é feia e carinhosa. p ( p q) f) É falso que Maiane é feia ou que não é carinhosa. ( p q) g) Se Maiane é linda, então é carinhosa. p q h) Maiane é linda se e somente se é carinhosa. p q i) Se Maiane não é linda, então é carinhosa. p q j) Se Maiane é carinhosa, então não é linda. q p k) Não é verdade que, se Maiane não é linda, então é carinhosa. ( p q) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Sejam as proposições: p : Durmo cedo q : Não acordo tarde Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) p : b) p q : c) p q : d) p q : e) p q : f) p q : g) q p : h) p q : i) p q : j) p q : k) (p q) p : l) (p q) q : 02. Sejam as proposições: p : Milly é alta q : Milly é elegante Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições. a) Milly é alta e elegante. b) Milly é alta, mas não é elegante. c) Não é verdade que Milly é baixa ou elegante. d) Milly não é nem alta e nem elegante. e) Milly é alta ou é baixa e elegante. f) É falso que Milly é baixa ou que não é elegante. 03. Considere as proposições abaixo: I. 3+4=7 ou 2+2=4 II. 8 < 4 e 6 > 3 III. 6 < 0 ou 3=4 Assinale a única alternativa correta: a) todas as proposições são falsas; b) somente III é falsa; c) somente II é falsa; d) I e II são falsas; e) I é falsa ou II é falsa. 04. Considere as sentenças abaixo: I. 3+1=4 e 2+3=5 19

20 PMBA 2017 Matemática II. 6 < 2 e 7 < 3 III. 2=3 e 5 < 0 a) todas são falsas; b) I e II são falsas; c) somente III é falsa; d) somente I é verdadeira; e) I e II são verdadeiras. 05. Assinale a única sentença falsa. a) Se 2 é par, então 3 é ímpar. b) Se 5 é inteiro, então 3 é menor que 5. c) Se 8 é ímpar, então 7 é maior que 3. d) Se 13 é par, então 2 é ímpar. e) Se 10 é par, então 6 é maior que A negação de todos os homens são bons motoristas é: a) todas as mulheres são boas motoristas; b) algumas mulheres são boas motoristas; c) nenhum homem é bom motorista; d) todos os homens são maus motoristas; e) ao menos um homem é mau motorista. 07. Assinale a assertiva incorreta. a) A negação de 2 é par e 3 é ímpar é 2 não é par ou 3 não é ímpar. b) A negação de 5 é primo ou 7 é par é 5 não é primo e 7 não é par. c) A negação de 2 5 é 2 5. d) A negação de existe um número primo par é qualquer número primo não é par. e) A negação de nenhum número é inteiro é algum número é inteiro. 08. Três rivais, Ana, Bia e Cláudia, trocam acusações: A Bia mente - diz Ana. A Cláudia mente - Bia diz. Ana e Bia mentem - diz Cláudia. Com base nestas três afirmações, pode-se concluir que: a) apenas Ana mente; b) apenas Cláudia mente; c) apenas Bia mente; d) Ana e Cláudia mentem; e) Ana e Bia mentem. 09. Quatro carros estão parados ao longo do meio fio, um atrás do outro: Um fusca atrás de outro fusca. Um carro branco na frente de um carro prata. Um uno na frente de um fusca. Um carro prata atrás de um carro preto. Um carro prata na frente de um carro preto. Um uno atrás de um fusca. Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrás) temos então: a) uno branco, fusca preto, fusca prata e uno prata; 20

21 b) uno preto, fusca prata, fusca preto e uno branco; c) uno branco, fusca prata, fusca preto e uno prata; d) uno prata, fusca preto, fusca branco e uno preto; e) uno branco, fusca prata, uno preto e fusca prata. 10. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo. a) O tempo será frio e chuvoso. b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova. c) Maria não é morena ou Regina é baixa. d) Se o tempo está chuvoso então está frio. e) Todos os corvos são negros. f) Nenhum triângulo é retângulo. g) Alguns sapos são bonitos. h) Algumas vidas não são importantes. 11. Se A é a proposição Todo bom soldado é pessoa honesta, considere as proposições seguintes: B: Nenhum bom soldado é pessoa desonesta. C: Algum bom soldado é pessoa desonesta. D: Existe um bom soldado que não é pessoa honesta. E: Nenhuma pessoa desonesta é um mau soldado. Nesse caso, todas as quatro proposições podem ser consideradas como enunciados para a proposição A. 12. Assinale a alternativa que contém um argumento válido. a) Alguns atletas jogam xadrez. Todos os intelectuais jogam xadrez. Conclusão: Alguns atletas são intelectuais. b) Todos os estudantes gostam de Lógica. Nenhum artista é um estudante. Conclusão: Ninguém que goste de Lógica é um artista. c) Se estudasse tudo, eu passaria. Eu não passai. Conclusão: Eu não estudei tudo. d) Se estudasse tudo, eu passaria. Eu não estudei tudo. Conclusão: Eu não passei. 13. Considere as premissas: p 1 : Os bebês são ilógicos. p 2 : Pessoas ilógicas são desprezadas. p 3 : Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado. 21

22 PMBA 2017 Matemática Assinale a única alternativa que é uma consequência lógica das três premissas apresentadas. a) Bebês não sabem amestrar crocodilos. b) Pessoas desprezadas são ilógicas. c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos. d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos. e) Bebês são desprezados. 14. Represente com diagramas de conjuntos: a) algum p é q; b) algum p não é q; c) todo p é q; d) se p, então q; e) nenhum p é q. PROBLEMAS 01. Dizer que a afirmação todos os economistas são médicos é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico; b) nenhum economista é médico; c) nenhum médico é economista; d) pelo menos um médico não é economista; e) todos os não-médicos são não-economistas. 02. Dizer que é verdade que para todo x, se x é uma rã e se x é verde, então x está saltando é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que: a) algumas rãs que não são verdes estão saltando; b) algumas rãs verdes estão saltando; c) nenhuma rã verde não está saltando; d) existe uma rã verde que não está saltando; e) algo que não seja uma rã verde está saltando. 03. Dadas as proposições: I. toda mulher é boa motorista; II. nenhum homem é bom motorista; III. todos os homens são maus motoristas; IV. pelo menos um homem é mau motorista; V. todos os homens são bons motoristas. Qual das alternativas abaixo reúne o par de proposições em que uma delas é a negação da outra? a) II e V. b) I e III. c) III e V. d) II e IV. e) IV e V. 04. Numa cidade litorânea é rigorosamente obedecida a seguinte ordem do prefeito: Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão ser abertos. Pode-se concluir que: a) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu; b) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu; c) se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos; d) se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos; 22

23 e) se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. 05. Considere as seguintes premissas. I. Quem sabe caçar borboletas não é engraçado. II. Coelhos não sabem andar de bicicleta. III. Quem não sabe andar de bicicleta é engraçado. Dentre as sentenças abaixo, diga qual pode ser a conclusão das premissas. a) Quem não sabe andar de bicicleta é coelho. b) Quem sabe andar de bicicleta não é engraçado. c) Quem não sabe caçar borboleta é engraçado. d) Coelhos não sabem caçar borboletas. e) As pessoas engraçadas não sabem andar de bicicleta. 06. Dada a proposição: É falso que existem pelicanos que não comem peixe, a negação é: a) não existem pelicanos que comem peixe ; b) todos os pelicanos comem peixe ; c) existem pelicanos que não comem peixe ; d) algum pelicano não come peixe ; e) todos os pelicanos não comem peixe. 07. Considere que S seja a sentença: todo político é filiado a algum partido. A sentença equivalente à negação da sentença S acima é: a) nenhum político é filiado a algum partido; b) nenhum político não é filiado a qualquer partido; c) pelo menos um político é filiado a algum partido; d) pelo menos um político não é filiado a qualquer partido. 08. Considere as seguintes premissas (onde A, B, C e D são conjuntos não-vazios): Premissa 1: A está contido em B e em C, ou A está contido em D. Premissa 2: A não está contido em D. Pode-se, então, concluir corretamente que: a) B está contido em C; b) A está contido em C; c) B está contido em C ou em D; d) A não está contido nem em D nem em B; e) A não está contido nem em B e nem em C. 09. A proposição é necessário que todo acontecimento tenha causa é equivalente a: a) é possível que algum acontecimento tenha causa; b) não é possível que algum acontecimento não tenha causa; c) é necessário que algum acontecimento não tenha causa; d) não é necessário que todo acontecimento tenha causa; e) é impossível que algum acontecimento tenha causa. 10. Se é verdade que alguns escritores são poetas e que nenhum músico é poeta então também é necessariamente verdade que: 23

24 PMBA 2017 Matemática a) nenhum músico é escritor; b) algum escritor é músico; c) algum músico é escritor; d) algum escritor não é músico; e) nenhum escritor é músico. 11. Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro é matemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que: a) Pedro é estudioso e Ivo é matemático; b) Pedro é estudioso e Ivo é músico; c) Pedro é também músico e Ivo é matemático; d) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico; e) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico. 12. Se os pais de filhos loiros sempre são loiros, então: a) os filhos de não loiros nunca são loiros; b) os filhos de não loiros sempre são loiros; c) os filhos de loiros sempre são loiros; d) os filhos de loiros nunca são loiros; e) os pais de filhos loiros nem sempre são loiros. 13. Qual é a negação de não há quem não goste de futebol? a) Não há quem goste de futebol. b) Ninguém gosta de futebol. c) Todos gostam de futebol. d) Há quem goste de futebol. e) Há quem não goste de futebol. 14. Todo A é B, e todo C não é B; portanto: a) algum A é C; b) nenhum A é C; c) nenhum A é B; d) algum B é C; e) nenhum B é A. 15. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente: a) todo C é B; b) todo C é A; c) algum A é C; d) nada que não seja C é A; e) algum A não é C. 16. A soma de dez números é 510. Um deles é 53. Então, podemos afirmar que: I. pelo menos um dos números é menor que 51; II. um dos outros números tem de ser o 49; III. pelo menos dois dos outros números são

25 a) Apenas a afirmativa I está correta. b) Apenas a afirmação III está correta. c) Apenas as afirmativas I e II estão corretas. d) Apenas as afirmativas II e III estão corretas. e) As afirmativas I, II e III estão corretas. 17. Considere verdadeira a declaração: toda criança gosta de brincar. Com relação à declaração anterior, assinale a alternativa que corresponde a uma argumento correta. a) Como Marcelo não é criança, não gosta de brincar. b) Como Marcelo não é criança, gosta de brincar. c) Como João não gosta de brincar, então não é criança. d) Como João gosta de brincar, então é criança. e) Como João gosta de brincar, então não é criança. 18. Considere verdadeira a declaração: Todo maracaense conhece a cidade de Maracás. a) Ana não conhece Maracás, portanto não é maracaense; b) Bruna conhece Maracás, portanto não é maracaense; c) Cláudia conhece Maracás, portanto é maracaense; d) Dora não é maracaense, portanto não conhece Maracás; e) Elisa não é maracaense, portanto conhece Maracás. 19. Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, a) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. 20. De a negação das seguintes proposições: a) O flamengo não é um bom time. b) Os cariocas são chatos e os baianos são preguiçosos. c) As morenas não são convencidas ou os brancos são almofadinhas. d) Se for flamenguista, então é cardíaco. e) Eu estudo e aprendo f) O Brasil é um país ou a Bahia é um estado. g) Se eu estudo, então eu aprendo. 21. A negação da afirmação condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 22. A negação de não sabe matemática ou sabe português é: a) Não sabe matemática e sabe português. b) Não sabe matemática e não sabe português. c) Sabe matemática ou sabe português. d) Sabe matemática e não sabe português. e) Sabe matemática ou não sabe português. 25

26 PMBA 2017 Matemática 23. Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto 24. A negação de se hoje chove então fico em casa é: a) Hoje não chove e fico em casa. b) Hoje chove e não fico em casa. c) Hoje chove ou não fico em casa. d) Hoje não chove ou fico em casa. e) Se hoje chove então não fico em casa. 25. Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que: a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise. c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise. e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise. 26. A negação de O gato mia e o rato chia é: a) O gato não mia e o rato não chia b) O gato mia ou o rato chia c) O gato não mia ou o rato não chia d) O gato e o rato não chiam nem miam e) O gato chia e o rato não mia 27. A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 28. A negação da proposição A prova será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. pode ser escrita como a) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação não será alterado. b) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. c) A prova será aplicada no local previsto mas o seu horário de aplicação não será alterado. d) A prova não será aplicada no local previsto e o seu horário de aplicação não será alterado. 29. Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa, necessariamente será verdadeira a proposição: a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria. d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. 26

27 30. Dizer que Beto é paulista ou Paulo não é carioca é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca b) Se Beto não é paulista, então Paulo é carioca c) Se Paulo não é carioca, então Beto é paulista d) Se Paulo é carioca, então Beto é paulista e) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca 31. Considere verdadeira a declaração: Se durmo cedo, então não acordo tarde. Assim, é correto concluir que a) Se não durmo cedo, então acordo tarde. b) Se não durmo cedo, então não acordo tarde. c) Se acordei tarde, é porque não dormi cedo. d) Se não acordei tarde, é porque não dormi cedo. e) Se não acordei tarde, é porque dormi cedo. 32. Uma proposição logicamente equivalente a Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular. é: a) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular. b) Se eu passo no vestibular, então me chamo André. c) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André. d) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André. e) Eu passo no vestibular e não me chamo André. 33. Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é Paulista 34. Dizer que Antônio é carioca ou José não é baiano é do ponto vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Antônio é carioca, então José não é baiano b) Se Antônio não é carioca, então José é baiano c) Se José não é baiano, então Antônio é carioca d) Se José é baiano, então Antônio é carioca e) Antônio é carioca e José não é baiano 35. Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro; b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro; c) Se André não é pedreiro, então Paulo é pedreiro; d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista; e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 36. Admita que, em um grupo: se algumas pessoas não são honestas, então algumas pessoas são punidas. Desse modo, pode-se concluir que, nesse grupo: a) as pessoas honestas nunca são punidas. b) as pessoas desonestas sempre são punidas. c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são honestas. 27

28 PMBA 2017 Matemática d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas. e) se todos são punidos, então todos são desonestos. 37. Dizer que Ana não é alegre ou Beatriz é feliz é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 38. Um renomado economista afirma que A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 39. Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos b) Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos c) Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa d) Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa e) Ou os juros bancários são baixos, ou a inflação é baixa. 40. Com relação a lógica sentencial e de primeira ordem, julgue os itens que se seguem. 1º - As proposições Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário e Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro são equivalentes. 2º - Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentemente das valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição (A B) (C D) será sempre verdadeira. 41. Tendo como referência as quatro frases a seguir, julgue os itens seguintes. Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. 42. Ivo é cearense ou André é paulista. Se Vitor é mineiro, então Ivo é cearense. Ocorre que André não é paulista. Logo: a) Ivo não é cearense b) Vitor não é mineiro 28

29 c) André é paulista d) Não se pode ter certeza se Ivo é cearense e) Não se pode ter certeza se Vitor é mineiro 43. Considere as seguintes sentenças: O Acre é um estado da Região Nordeste. Você viu o cometa Halley? Há vida no planeta Marte. Se x < 2, então x + 3 > 1. Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições. 44. Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória 45. Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dois itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números a) 1, 3 e 5 b) 2, 3 e 5 c) 3, 5 e 6 d) 4 e 6 e) 5 e Sejam as afirmações: - Todo policial é forte. - Existem policiais altos. Considerando que as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, é correto afirmar que: a) Todo policial alto não é forte. b) Todo policial forte é alto. c) Existem policiais baixos e fracos. d) Algum policial alto não é forte. e) Algum policial forte é alto. 47. A negação da afirmação: Estou com saúde e sou feliz é a) Não estou com saúde ou sou feliz. b) Não estou com saúde ou não sou feliz. 29

30 PMBA 2017 Matemática c) Não estou feliz e estou com saúde. d) Não estou com saúde e estou feliz. e) Estou com saúde ou não sou feliz. 48. Admita que é verdadeira a proposição Se Gabriela é bonita, então será eleita. Nesse caso, também será verdadeira a proposição a) Todas as mulheres bonitas serão eleitas. b) Se Gabriela não é bonita, então não será eleita. c) Gabriela pode ser eleita, mesmo sendo feia. d) Se Gabriela for eleita, então é bonita. e) Gabriela pode não ser eleita, mesmo sendo bonita. 49. Se João for trabalhar, então Maria fará o jantar. Se Maria não fizer o jantar, então Lucas passará fome. Maria não fez o jantar. Pose-se certamente concluir que a) Lucas fez o jantar. b) João foi trabalhar. c) Lucas não passou fome. d) João fez o jantar. e) Lucas passou fome. 50. Se chover, então o jogo será adiado. Se chover e ventar, então o jogo será cancelado. Sabe-se que choveu. Pode-se certamente concluir que a) o jogo empatou. b) o jogo foi adiado. c) só aconteceu o primeiro tempo do jogo. d) o jogo aconteceu. e) o jogo foi cancelado. 51. Considere três amigos, Roberto, Eduardo e Marcos cujas idades, em anos completos, são diferentes entre si. - Roberto diz: Eduardo é o mais velho entre nós três. - Marcos diz: Roberto não é o mais novo de nós três. - Eduardo diz: Marcos é o mais novo entre nós três. Sabendo que apenas um dos amigos não disse a verdade, a lista dos amigos, em ordem crescente das respectivas idades, é a) Eduardo, Roberto e Marcos. b) Roberto, Eduardo e Marcos. c) Marcos, Eduardo e Roberto. d) Marcos, Roberto e Eduardo. e) Eduardo, Marcos e Roberto. 52. A negação lógica da proposição: Pedro é o mais velho da classe ou Jorge é o mais novo da classe é a) Pedro não é o mais novo da classe ou Jorge não é o mais velho da classe. b) Pedro é o mais velho da classe e Jorge não é o mais novo da classe. c) Pedro não é o mais velho da classe e Jorge não é o mais novo da classe. 30