Programa da Disciplina 14/07/2016. Apresentação do professor. Prof. Dr. Osiris Marques. Julho/2016

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1 MBA em Controladoria e Finanças Universidade Federal Fluminense Análise de Investimentos Aula 1 Prof. Dr. Osiris Marques Julho/2016 Apresentação do professor Graduado em Economia pela Universidade Federal Fluminense (UFF) Mestre em economia pela Universidade Federal Fluminense (UFF). Doutor em economia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro com doutorado sanduíche pela Universidade de Leeds, na Inglaterra. Professor Adjunto da Universidade Federal Fluminense. Professor da Pós-Graduação em Gestão de Negócios da Universidade Federal Fluminense. Professor da Pós-Graduação em Controladoria e Finanças da Universidade Federal Fluminense. Coordenador do Observatório do Turismo do Rio de Janeiro da Universidade Federal Fluminense Programa da Disciplina Matemática Financeira Capitalização e Anuidade Taxas de Juros Sistemas de Amortização Métodos de Análise de Investimentos Técnicas de Avaliação Contábil Processo de Avaliação e Prazo de Recuperação do Capital Investido Análise de Valores Análise de Taxas Tomada de Decisão Estratégia Empresarial 1

2 Bibliografia Sugerida CASAROTO FILHO, NELSON & KOPITTKE, BRUNO HARTMUT (2008) Análise de Investimentos. São Paulo: Ed. Atlas BRUNI, ADRIANO LEAL (2008) Avaliação de Investimentos. São Paulo: Ed. Atlas. MOTTA, R. R & CALÔBA, G. M. (2009) Análise de Investimentos. São Paulo: Ed. Atlas. GITMAN, LAWRENCE (2004) Princípios de Administração Financeira. São Paulo: Pearson. MATHIAS, W.F. & GOMES, J.M. (2008) Matemática Financeira. São Paulo: Ed. Atlas Análise de Investimentos Fases Principais Identificação das Alternativas Estudo Preliminar de Viabilidade das Alternativas Seleção Preliminar das Alternativas Estudo de Viabilidade das Alternativas Selecionadas Considerações sobre Risco e Incerteza Implementação das Alternativas Selecionadas Análises a posteriori, melhoria do sistema decisório Análise de Investimentos Problema Oportunidade Modelagem Econômico Financeira Tomada de Decisão Alternativas Que caminho tomar? Matemática Financeira Fluxo de Caixa Contabilidade Métodos de Avaliação Sistemas de Financiamento Consciente Racional Padronizada Análise de Risco CAPM / WACC Subst. de Equip. Leasing 2

3 Introdução Definir Alternativas de Investimentos Algumas Perguntas a Serem Feitas Objetivos, Estimativas, Modelagem e Decisão Princípios Fundamentais de Aplicação de Capital Mecanismos de Capitalização Investimento Definir Alternativas de Investimento Definir, tão precisamente quanto possível alternativas de investimentos e prever suas conseqüências, reduzidas a termos monetários, elegendo-se um instante de referência temporal e considerando o valor do dinheiro no tempo. Algumas Perguntas a Serem Feitas Por que, afinal, fazer este investimento? Por que agora? É possível adiá-lo? Por que fazê-lo desta forma? Software, Hardware, Humanware Flexibilidade vs Controle 3

4 Objetivos, Estimativas, Modelagem e Decisão Definição de Objetivos Estimativas para custos, receitas e incertezas Modelagem Econômico-Financeiro Em casos de incerteza considerável Análise de Sensibilidade Análise de Cenários Análise de Riscos Avaliação de Ativos para Privatização Venda do BANESPA Instituição R$ bilhões Ágio Bradesco 1,860 0,53% Unibanco 2,100 13,50% Santander 7, ,00% Preço Mínimo 1,850 0,00% Valor do Ativo Valor Intrínseco + Valor do Controle + Valor Estratégico Valor Total Problema Central da Alocação de Capital Oferta de Capital disponível não cobre a demanda Custo de Capital e Rentabilidade (% ao ano) A B Rentabilidade C D E Custo Marginal de Capital 8 4 F 0 Investimento (US$ Milhões) 4

5 Princípios Fundamentais de Aplicação de Capital 1 1. Decisões serão tomadas a partir de alternativas factíveis 2. Alternativas concorrentes deverão possuir um denominador comum 3. Apenas as diferenças entre alternativas são relevantes 4. Os critérios para decisões de investimentos devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e os problemas relativos ao racionamento de capital 1. Ref: Fleischer, 1973 Princípios Fundamentais de Aplicação de Capital 5. Decisões separáveis deverão ser tomadas isoladamente 6. Certo peso deve ser dado para os graus relativos de incerteza associada com as várias previsões 7. Decisões devem considerar as conseqüências não redutíveis a termos monetários 8. Eficácia dos procedimentos de orçamento de capital é uma função de sua implantação nos vários níveis dentro da organização 9. As análises a posteriori aperfeiçoam a qualidade das decisões Empréstimo e Investimento Considera-se empréstimo uma situação na qual se espera que haja recuperação do valor emprestado (quando o empréstimo é devidamente liquidado, claro!), mais um pagamento pelo uso do dinheiro (um espécie de "aluguel"), que são os juros. Considera-se investimento a situação na qual ocorre inversão de capital de alguma forma, buscando com isso criação de valor, ou seja, recuperação do valor investido (principal), mais uma rentabilidade do investimento (taxa de juros), em determinado prazo. 5

6 Matemática Financeira Capitalização por Juros Simples e Compostos Capitalização Contínua Pagamentos Simples e Múltiplos Pagamentos Simples Pagamentos Múltiplos - Série Uniforme Taxas de Juros Nominal e Efetiva Inflação e Taxa de Juros Tempo e dinheiro: objetos de estudo da análise financeira Pergunta: Se um conhecido lhe pedisse $ emprestados para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um ano, você acharia a proposta atraente? Algumas questões seriam levantadas: Será que ele me pagará na data prevista? Será que o poder de compra dos $ permanecerá inalterado durante um ano inteiro? Além de tudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumí-lo, satisfazendo as minhas necessidades, ou poderia aplicá-lo, ganhando juros e rendimentos do período. 6

7 Em outras palavras: Dinheiro tem um custo associado ao tempo. Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro no tempo. Ao transportar $ no tempo existe um custo que pode ser decompostos em; - Inflação - Risco de Crédito - Taxa real de juros Desta forma, o valor do dinheiro no tempo muda, seja por conta da inflação, seja por conta das oportunidades de aplicá-lo. Neste sentido, deve ser respeitada uma regra básica: Nunca faça quaisquer operações, nem compare valores em datas diferentes. O tempo é, então, uma variável chave para a análise financeira. Existem 2 formas básicas de considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo: O Regime de Capitalização Simples: os juros incidem apenas sobre o valor inicial; O Regime de Capitalização Composta: os juros incidem sobre os juros acumulados no período anterior, ou seja, há uma incidência de juros sobre juros. 7

8 Diferença entre os regimes de capitalização simples e composta C 0 = 1.000; i = 20% a.a. e n = 4 anos n JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Juro por período Montante Juro por período Montante x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = Independente da forma de capitalização dos juros, teremos elementos que, de maneira geral, deverão sempre ser considerados: Capital inicial ou Valor Presente ou Valor Atual: quantidade de moeda cedida ou emprestada ao outro em troca de determinada remuneração Taxa de Juros: equivale ao aluguel do dinheiro; Montante ou Valor Futuro ou Valor Nominal: é a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o período. Tempo: ou período da capitalização, corresponde à duração (em dias, semanas, meses, anos, etc.) da operação financeira. 8

9 Taxa de Juros Deve ser eficiente para remunerar o risco (σ) associado ao empréstimo ou aplicação, o ganho real (r) do proprietário do capital e a perda do poder aquisitivo que é corroído pela inflação (θ). Algebricamente, temos: (1 + i) = (1 + r). (1 + σ). (1 + θ) Onde: i = taxa de juros nominal ou aparente; r = taxa de juros real; σ = risco da operação; θ = taxa de inflação. De maneira geral, supõe-se que a taxa de juros real já contemple a remuneração para o risco, de forma que a taxa nominal ou aparente poderia ser expressa por: (1 + i) = (1 + r). (1 + θ) Exemplo 1 Um empréstimo com duração de um mês foi realizado a uma taxa de 3% ao mês mais a correção inflacionária. Se a correção inflacionária foi igual a 2% ao mês, qual a taxa nominal de juros? Exemplo 1 Resposta: (1 + i) = (1 + 0,03). ( 1 + 0,02) Ou i = 0,0506 ou 5,06% ao mês Quando períodos múltiplos são analisados, é preciso considerar o multiplicatório das taxas. Veja a expressão seguinte: 9

10 Onde: i j = taxa de juros nominal no período j; r j = taxa de juros real do período j; θ j = taxa de inflação do período j. Exemplo 2 Uma operação foi realizada por dois meses a uma taxa de juros real igual a 2% ao mês, acima da inflação. Se os percentuais de inflação nos meses analisados foram iguais a 3 e 5% ao mês, respectivamente, qual foi a taxa aparente mensal que incidiu durante o período da operação? Exemplo 2 Resposta: (1 + i) 2 = ( 1 + 0,02) 2. (1 + 0,03). (1 + 0,05) Ou i = 0,06075 ou 6,075% ao mês Taxa de Juros Observações adicionais: Forma percentual (12%) e forma unitária (0,12); A taxa de juros (i) e o número de períodos (n) devem estar sempre na mesma base para efeitos de cálculo; Algumas abreviaturas são utilizadas para denotar o período da taxa de juros. Exemplos; a.m. = ao mês; a.a. = ao ano; a.s. = ao semestre; a.t. = ao trimestre; a.q. = ao quadrimestre; 10

11 Diagrama de Fluxo de Caixa Consiste numa representação gráfica de movimentação de $ ao longo do tempo; Seus elementos principais são: Seta para cima : entrada de caixa Escala horizontal : tempo ou período de capitalização Seta para baixo : saída de caixa Exemplo de DFC Diagrama de Fluxo de Caixa Capital Inicial ou Operação de Empréstimo Valor Presente Período de capitalização 0 n Montante ou Valor Futuro Valor Presente + Juros Exercício 1 Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de $500,00, que será resgatada em três parcelas iguais, mensais, no valor de $200,00. 11

12 Juros Simples e Juros Compostos Diferença entre os regimes de capitalização simples e composta n JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Juro por período Montante Juro por período Montante x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = Juros Simples Cálculo do Juro A remuneração pelo capital inicial (capital inicial) é diretamente proporcional: - Ao valor aplicado; - Ao tempo da aplicação. 12

13 Cálculo dos Juros Simples Fórmula Básica: J = C. i. n Onde: J = Juro C = Capital inicial (principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma base que a taxa) Exemplo 3 Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual o valor a ser pago como juro? Resposta: Capital inicial (C)= $ 1.000,00 Taxa de Juros = 10% ao ano Prazo da aplicação (n) = 2 anos J = C. i. n = X 0,10 X 2 = 200 Juros Simples Variações da Fórmula Básica J = C. i. n 13

14 Juros Simples Montante Montante (N) é a soma do juros mais o capital aplicado N = C + J Onde: C = Capital inicial ou principal i = Taxa de juros n = prazo da aplicação N = C (1 + in) Exemplo 4 Qual é o montante de um capital de $1.000,00 aplicado à taxa de de 10% a.a. pelo prazo de 2 anos? Resposta: Capital inicial (C)= $ 1.000,00 Taxa de Juros = 10% ao ano Prazo da aplicação (n) = 2 anos 1) J = C. i. n = X 0,10 X 2 = 200 N = C + J = = ) N = C(1+ in) = (1 + 0,10 x 2) = x 1,2 = = Juros Simples Montante N = C (1 + in) 14

15 Taxa proporcional Juros Simples A taxa i 1 (referida ao período n 1 ) é proporcional à taxa i 2 (referida ao período n 2 ) se: Ou ainda, Ou, do mesmo modo, se: Exemplo 5 Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e 20% ao ano são proporcionais Resolução: Como: i 1 = 5% a.t. ou 0,05 a.t. i 2 = 20% a.a. ou 0,20 a.a. n 1 = 3 meses n 2 = 12 meses, então as taxas são proporcionais, Pois (0,05)x(12) = (0,20) x (3) Exemplo 6 Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Resolução: i 1 = 0,24 a.a i 2 =? n 1 = 12 meses n 2 = 1 mês Como:, temos que. Assim,, de forma que i2 = 0,02 a.m. ou i = 2% a.m. 15

16 Taxa Equivalente Duas taxas são equivalentes se: Aplicadas ao mesmo capital; Pelo mesmo período de tempo; Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas proporcionais são igualmente equivalentes. Exemplo 7 Seja um capital de $10.000, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de : J = x 0,02 x 24 = $ Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a., por 2 anos, teremos um juro igual a: J = x 0,24 x 2 = $ Constatamos que, como os juros são iguais nos dois casos, as duas taxas são equivalentes. Juro exato e Juro comercial O cálculo do juro exato considera o ano civil que tem 365 dias. O juro comercial considera o ano comercial, com 360 dias. 16

17 Exemplo 8 Qual o juro exato e o juro comercial de um capital de $ ,00 que foi aplicado por 40 dias à uma taxa de 36% a.a.? Resolução: Calculando o juros exato aplicamos o principal à taxa de 36% a.a. pelo prazo de 40 dias: J = (10000 x 0,36 x 40)/365 = $ 394,52 Para calcular o juro comercial aplicamos o mesmo principal à taxa de 36% a.a., pelo mesmo prazo teremos um juro igual a: J = ( x 0,36 x 40) / 360 = $400,00 Períodos não-inteiros Juros Simples Exemplo Qual o juro e qual o montante de um capital de $1.000,00, que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses? Resolução: Sabemos que deve a taxa de juros e o período de capitalização devem estar na mesma base de tempo. No exemplo acima vemos que, a princípio, não existe esta compatibilidade. Exemplo Sabemos que 5 anos e 9 meses, não podem ser transformados em semestres, pois sobrarão 3 meses. O que podemos fazer é ou transformar a taxa de juros e o prazo para meses, ou transformá-los para trimestres. Transformando para trimestres, temos o seguinte: i t = (0,12/2) ao trimestre = 6% a.t. n = 5 anos e 9 meses = 23 trimestres Juros: J = C i n => J = x 0,06 x 23 = $ 1.380,00 Montante: N = J + C = = 2.380,00 17

18 Valor Nominal Juros Simples É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Exemplo Uma pessoa aplicou uma determinada quantia e vai resgatá-la por $ daqui a 12 meses. Neste caso, $ é o valor nominal (meses) Valor Atual Juros Simples É quanto vale um compromisso numa data anterior ao seu vencimento. V (meses) V é o valor atual de $20.000, 6 meses antes do seu vencimento. => Para calcular V, precisamos saber qual a taxa de juros Juros Compostos 18

19 Montante Juros Compostos O cálculo do montante, em juros compostos, é dado pela fórmula: C = C n 0 (1 + i)n C n = montante (N) ao fim de n períodos C 0 = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros do período; Exemplo 1 Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resolução: Assim, C 0 = 1.000,00; i = 2% a.m. e n = 10 meses C n = C 0 (1 + i) n C 10 = C 0 (1 + i) 10 C 10 = (1 + 0,02) 10 C 10 = (1,02) 10 C 10 = (1,21899) C 10 = $ 1.218,99 Cálculo de Juro Juros Compostos O juro é dado pela fórmula seguinte: Onde: J n = C 0 [(1 + i) n 1] J n = juros após n períodos C 0 = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período 19

20 Exemplo 2 Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses? Resolução: C 0 = 1.000,00; i = 2% a.m. e n = 10 meses Assim, J n = C 0 [(1 + i) n 1] J 10 = [(1 + 0,02) 10 1] J 10 = [(1,02) 10 1] J 10 = [1, ] J 10 = [0,21899 ] J 10 = $ 218,99 Valor Atual e Valor Nominal O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento; O Valor Nominal é o valor do título na data do seu vencimento Sejam: V = valor atual numa data anterior (substituindo por C 0 ) N = valor nominal na data de vencimento n (C n ); Valor Atual e Valor Nominal Tem-se que se C n = C 0 (1 + i) n => N = V (1 + i) n. Logo, V = valor atual; N = valor nominal i = taxa de juros n = número de períodos que antecede o vencimento do título 20

21 Exemplo 3 Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.? V N = 1.131,40 n = 5 meses Exemplo 3 Resolução: Assim, N = 1.131,40; i = 2,5% a.m. e n = 5 meses Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não estarei fazendo mau negócio. Exemplo 4 Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi lhe proposta a troca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca é vantajosa. N 2 = 1.080,00 N 1 = 1.344,

22 Exemplo 4 Resolução: O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence em 12 meses é dado por: Exemplo 4 Calculemos agora o valor atual na data zero da letra que vence em 3 meses: Comparando os dois valores atuais constatamos que V2 > V1. Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um pouco maior que vence em 12 meses, tornando a troca vantajosa. => OBS.: Este resultado permanece para qualquer outra data focal. Verifique. Taxas Equivalentes J.C. Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. Cálculo da Taxa equivalente Cálculo da taxa do período i q = taxa referenta a uma fração 1/q a que se refere a taxa i ; i = taxa referente a um intervalo de tempo unitário. 22

23 Exemplo 5 Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal. Resolução: Sendo que: q = 3 meses; i = 9,2727% a.t. i 3 = 3% a.m. Exemplo O Exemplo anterior poderia ser solucionado na calculadora da seguinte forma: Utilizando a calculadora financeira Dado Função ,2727 CHS - 109,2727 FV 100 PV i 3 n Solução 3,0 % Outro Exemplo Qual seria a taxa equivalente anual de 1% ao mês? Utilizando a calculadora financeira Dado Função 100 CHS PV Taxa equivalente anual de 1% a.m = 112, = 12,68% a.a. 12 n FV 1 i Solução 112,68 23

24 Exemplo 6 Suponhamos que: C 0 = 1.000,00 iq = 2% a.m. i = 26,824% a.a. n = 1 ano Verificar se i q e i são equivalentes. Resolução: Se iq e i são equivalentes, ao aplicarmos o capital pelo mesmo prazo teremos o mesmo montante. C 1 = (1+i) 1 = (1,26824) = $ 1.268,24 C 2 = (1 + i q ) 12 = (1,02) 12 = (1,268242)= = $ 1.268,24 Logo, como C1 = C2, podemos concluir que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 26,824 a.a. Capitalização Contínua Empregado em mercados financeiros e substituição de equipamentos Capitalização se dá de forma contínua, em intervalos infinitesimais de tempo dc t = C t.i.dt (8) Integrando a equação acima, obtemos: C T = C 0. e i.t (9) onde: dc t é o acréscimo do capital total entre t e t+dt; C t é o capital total em t; i é a taxa de juros; e dt é o acréscimo infinitesimal de tempo. onde: T é o tempo decorrido para capitalização; e é o número neperiano (2,718) Capitalização Contínua APLICAÇÃO No mundo dos investimentos, especialmente ações e opções, é mais comum as fórmulas de juros usarem capitalização contínua (número "e" elevado ao juro) do que capitalização discreta (juro elevado ao tempo). Por quê? Por dois motivos básicos: 1) O primeiro é que a capitalização contínua representa melhor uma carteira de ações. Pois cada empresa da carteira paga dividendos, juros, etc. num dia diferente. Dada uma carteira suficientemente diversificada, entraria dividendo e juro todo dia. E assim a taxa nominal de dividendos acaba sendo "engordada" pelo efeito da capitalização frequente. 24

25 Capitalização Contínua 2) O segundo motivo é que a função exponencial (potências do número "e") é muito fácil de lidar, matematicamente falando. Principalmente quando os cálculos envolvem derivadas, integrais e equações diferenciais, tudo fica mais fácil com o "e" (número neperiano). É precisamente o caso da precificação de opções. Capitalização Contínua Exemplo Dado um empréstimo de R$ 1.000,00 tomado com juros de 5% ao mês capitalizados continuamente ao longo do tempo, qual o montante equivalente para um mês à frente? E para 40 dias? Resolução: Aplicando a fórmula (9), tem-se para 30 dias: C 30 = e (0,05 30/30) = e (0,05) = ,718 (0,05) = ,051 = R$ 1.051,27 Para o período de 40 dias, a solução é análoga: C 40 = e (0,05 40/30) = e (0,05 4/3) = ,718 (0,067) = R$ 1.068,94 Regimes de Capitalização Valor de um empréstimo de R$ 100,00 com juros de 50% a.a. Comparação entre regimes de juros Valor Período Juros simples Juros compostos Juros contínuos 25