Aula teórica. = y 3. = y 4

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1 1 1).- Variáveis diretamente proporcionais Aula teórica Sendo y e x duas variáveis numéricas, pode ocorrer que os valores de y dependam dos de x. O caso mais importante de dependência é denominado dependência funcional, é denotado por y = y(x), e caracterizado pelo fato de que cada possível valor de x determina exatamente um valor de y. Quando y = y(x), também se diz que y é função de x. Aqui, estudaremos um dos mais simples e importantes tipos de funções, as que expressam uma proporcionalidade direta entre y e x, e as quais denotamos por y x (o que se lê como os valores de y são diretamente porporcionais aos valores de x, ou mais abreviadamente: y é diretamente proporcional a x ). Tendo-se y = y(x), afirmar que y x equivale a dizer que ao dobrarmos o valor de x, também dobra o de y; ao triplicarmos x também triplica y; etc; em termos mais precisos: quando x varia de x para cx, os correspondentes y variam de y para cy, e isso para qualquer valor de x e c. ).- Como reconhecer uma proporcionalidade direta? Podemos caracterizar a proporcionalidade direta entre y e x de várias maneiras equivalentes: caracterização por razões: a razão entre os valores de y e os correspondentes x é constante: y 1 = y = y 3 = y 4 = = m x 1 x x 3 x 4 (a constante m é denominada coeficiente de proporcionalidade entre y e x); caracterização tabular: se colocarmos todos os valores de x na primeira linha de uma tabela e os correspondente valores de y na segunda linha, então existe uma constante m que multiplicando os valores da primeira linha produz os da segunda linha (esta constante é o coeficiente de proporcionalidade): x 1 x x 3 x 4 etc. y 1 y y 3 y 4 etc. caracterização algébrica: existe uma constante m tal que y = mx, para todos os possíveis valores de x (a constante m é denominada coeficiente de proporcionalidade entre y e x); caracterização geométrica: se no plano cartesiano desenharmos o gráfico da dependência (ou função) y = y(x), o resultado é uma reta passando pela origem do sistema de eixos.

2 Sendo dado que y x, completar o quadro abaixo. Inicie achando o coeficiente de proporcionalidade que permite passar dos valores da primeira linha da tabela para a segunda x y 8 1 É dado que a tabela abaixo resume alguns valores de uma função y = y(x). Pergunta-se se y x. Equivalentemente: existe uma constante que por multiplicação permite passar da primeira linha para a segunda? Achar os valores de a, b, c, d para que as sequências (a, 5, 13, b) e (147, 35, d, 70) sejam proporcionais. A tabela abaixo dá as cotas condominiais dos apartamentos de um edifício em função da área de cada um. Pede-se localizar num sistema de eixos cartesianos os correspondentes pontos (área, cota) e, então, decidir se as cotas são proporcionais às áreas. Área ( m ) Cota (R$) 48 67, ,5 ponto A B C D Pode-se afirmar que existe uma constante que nos permite passar de áreas para cotas, via multiplicação? Resp.: caracterização por taxas: sendo y = y(x), a taxa de variação de y ao x variar de um valor x 1 para um valor x é definida como sendo: y y 1 x x 1, onde y 1 = y x 1 e y = y x. Dizer que y x equivale a dizer que a taxa de variação de y em relação a x é constante (tem sempre o mesmo valor, quaisquer que sejam x 1 e x. ) Com efeito: y y 1 = mx mx 1 = m x x 1 = m. x x 1 x x 1 x x 1 Exemplificando no caso do condomínio do ex. anterior: = 1,5 = , ).- Problemas de projeção A estrutura deste tipo de problemas é a seguinte: tendo-se mostrado que y x, e tendo-se determinado o respectivo coeficiente de proporcionalidade (m), deseja-se determinar o valor y 1 de y que está associado a um valor x 1 de x. É muito comum ocorrer determinarmos o valor do coeficiente m a partir do conhecimento de um

3 par x, y verificando y x, o que dá y = mx, e então m = y /x, o que nos permite fazer a projeção desejada, calculando: y 1 = mx 1. Isso costumava ser resumido da seguinte maneira, que era denominada Regra de Três: y 1 = y logo y x 1 x 1 = x 1 y. x Eventualmente, poderemos conseguir fazer a projeção sem calcular explicitamente o coeficiente de proporcionalidade. Com efeito, se constatarmos que y x e for fácil de ver que x 1 = cx, para um número real c, então y 1 = cy. Exemplos dessas situações sendo: x 1 é o dobro ou o triplo ou a metade de x. Um jardineiro apara a grama de um canteiro quadrado de 4m de lado em 10 min. Que tempo precisará para aparar a grama de um canteiro quadrado de 8m de lado? L 4 8 Como 8 é o dobro de 4, poderíamos achar que o tempo pedido é o dobro de 10, t 10? ou seja: 0 min. Contudo, conforme já dito, antes de tudo precisamos decidir se realmente estamos numa situação de proporcionalidade direta; ou seja: será que t L? Não! Com efeito, um pouco de pensar mostra que o tempo varia em proporção direta com a área do canteiro, de modo que temos t = ma = ml. Assim que a maneira correta de resolvermos este problema consiste em observar que passamos de um canteiro de área A=16 m para um de A=64 m, o qual tem área 4 vezes maior, logo o correspondente tempo será 4 vezes maior, ou seja: precisaremos de 40 min para aparar a grama de um canteiro de 8m x 8m. Um caso importante de projeção de proporcionalidade direta ocorre em problemas de movimento retilíneo uniforme. Esse tipo de movimento se caracteriza por ter a mesma velocidade média em qualquer intervalo de tempo. Em nossa terminologia, a taxa de variação do espaço percorrido em x x 1 relação ao tempo é constante: = constante v. De modo que tomando t 1 = 0 e x 1 = 0, t t 1 num instante t qualquer o móvel terá percorrido uma distância x = vt ; em particular x t. Outro caso importante de projeção de proporcionalidade direta ocorre na feitura de maquetes e e de desenhos, principamente na feitura de mapas. Nesses casos, é mantida a proporção entre os elementos métricos das duas figuras. 3 Duas figuras geométricas são semelhantes quando a qualquer ponto P da primeira pode-se fazer corresponder um ponto P' da segunda (dito seu homólogo), e reciprocamente; e isso de tal modo que a razão entre a distância de cada dois pontos da primeira e a distância de seus homólogos na segunda seja constante: A'B' = m AB. Ou seja, os comprimentos na primeira figura são proporcionais aos da segunda. O coeficiente m é dito fator de redução se 0 < m <1, e fator de aumento se m>1. Exempliquemos.

4 Se dobrarmos ao meio, e ao longo do lado maior, uma folha de papel A4, obtemos duas folhas de tamanho A5; se dobrarmos ao meio, e ao longo de seu lado maior, uma folha A5, obtemos duas folhas A6; e assim por diante. Todas essas folhas de papel têm a mesma forma, mas o tamanho é diferente. Neste caso, quanto vale o fator de redução? Sendo a e b a altura e largura da folha de papel (então a > b), as duas semifolhas derivadas têm altura b e largura a/, que devem verificar a proporção a b = b a/ No caso da folha A4, temos largura = b = 1 cm, de modo que a altura da A4 é a = 1 x sqrt{} = 9,6985 cm., logo a = b, de modo que a = b, e daí m =. Exercício - Acima, demos as dimensões da folha A4 ( 1, 1 ). A partir disso, deduza as dimensões das folhas A3, A, A1 e A0. Constate que a área da A0 vale aproximadamente 1 metro quadrado. (A rigor, vale cm..) Noção de escala - Principalmente no contexto de mapas, especificamos a redução de figuras dizendo que a figura mapa representa a figura terreno na escala 1: k (onde k tipicamente é uma potência de 10). Com isso se quer dizer que cada metro no mapa corresponde a k metros no terreno. Consequentemente, como cada comprimento L no terreno corresponde a um comprimento L' no mapa, tal que L' = m L, temos 1 = mk, logo m = 1/k. Por exemplo, fazer um mapa na escala 1:100 equivale a fazer um mapa com m = 1/100 = 0, ).- Problemas de modelagem Neste tipo de problemas é dada uma sequência de números, a 1,a, a 3, e deseja-se construir uma outra sequência, b 1,b, b 3,, tal que as duas sejam proporcionais e que a segunda tenha alguma propriedade especificada de antemão. Problema (partilha proporcional) Deseja-se dividir um número dado A em parcelas a 1,a,,a n que sejam diretamente proporcionais a números dados b 1,b,,b n. Queremos ter: A = a 1 a a n e a 1 = a = a 3 = = a n = m b 1 b b 3 b n. Ora, como cada a k = mb k, segue que A = a 1 a a n = mb 1 mb mb n = m b 1 b b n, de modo que temos a 1 = a = a 3 = = a n = a a a 1 n A = = m. b 1 b b 3 b n b 1 b b n b 1 b b n Consequentemente, os valores procurados são dados por a 1 = mb 1, a = mb, etc. Exemplo- Neste mês, os gastos administrativos de um edifício foram de R$ Deseja-se calcular as respectivas cotas condominiais proporcionalmente à área de cada apartamento do edifício, no qual existem cinco apartamentos: dois com área de 80 m, dois com 100 m e um com 86 m..

5 5 Resp. A = 4000, os b's são as áreas, e indicando por c's as cotas, temos: c 1 80 = c 80 = c = c = c 5 86 = A = = 6,19195 Logo, os apartamentos de 80 m pagarão uma cota de 6,19195 x 80 = 495,36, os aptos de 100 pagarão 6,19195 x 100 = 619,0 e o de 86 pagará 6,19195 x 86 = 1770,90. Problema (Regra da Sociedade) Numa empresa de três sócios, estes investiram um capital b 1, b, b 3, respectivamente. Como repartir proporcionalmente a seus investimentos o lucro L obtido? Resp. Trata-se de um exemplo de partilha proporcional: A = L, os a k são os lucros a determinar e os b k são os investimentos feitos pelos sócios. Logo: a 1 = a = a 3 = a a a 1 3 L = = m. b 1 b b 3 b 1 b b 3 b 1 b b 3 de onde tiramos a 1 = mb 1, etc. 5).- Proporções generalizadas Trata-se de situações onde o relacionamento funcional y = y(x) pode ser expresso na forma y x q, o que significa que y = m x q, onde q é um número racional e m um real. Casos particulares importantes: y x, dizemos que y é diretamente proporcional a x; y 1 x, dizemos que y é inversamente proporcional a x; y x, dizemos que y é proporcional ao quadrado de x; y x 3, dizemos que y é proporcional ao cubo de x; y 1 x, dizemos que y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Relativamente a círculos e esferas de raio r, em Geometria mostra-se que circunferência do círculo r, área do círculo r, área da esfera r e volume da esfera r 3. Mais difícil é determinar as respectivas constantes de proporcionalidade e mostrar que todas elas se expressam em termos de, conforme se indica na figura ao lado. Problemas de projeção tem estrutura semelhante a dos problemas de projeção de proporção direta: identificar o tipo de proporcionalidade, determinar o coeficiente de proporcionalidade e fazer a projeção propriamente dita. Um jardineiro corta a grama de um canteiro quadrado de 4m de lado em 10 min. Que tempo precisará para cortar a grama de um canteiro quadrado de 8m de lado? Vamos refazer esse problema, explorando que já sabemos que o tempo de corte varia proporcionalmente com o quadrado do lado do canteiro: t L, logo:

6 6 t 1 4 = t, ou = t 64, de modo que t = 640 = 40 min. 16 Um modo mais inteligente consiste em observar que o lado dobrou de tamanho, logo o tempo aumentará = 4 vezes, e então o novo tempo é 4*10 = 40 min. Quanto maior for um diamante, mais raro e então mais caro ele é. Na prática milenar dos joalheiros, foi estabelecido que o valor (v) do diamante é proporcional ao quadrado de seu peso (p, em quilates), ou seja: v p.. Assim sendo, dado que um diamante de 1 quilates quebrou-se em dois pedaços, um de 8 e o outro de 4 quilates, calcular o prejuízo do joalheiro, sabendo que um diamante de um quilate vale R$ 480. Resp.: temos v = m p, e como p=1 dá v=480, de modo que m=480; finalmente, prejuízo = m 1 m 8 - m 4 = m ( ) = 64 m = 64*480 = (R$). É interessante observar que o percentual do prejuízo independe do valor 480. Com efeito, temos v 0 1 = v 1 8 = v 4 = v 1 v 8 4 v 0 de modo que 144 = v 1 v, ou v 1 v = 80 = 0,5555 = 55,55% ; de modo que os diamantes 80 v quebrados valem só 55,55% do diamante original, logo haverá prejuízo de 44,44%, qualquer que seja o valor do quilate! Problemas de modelagem também tem estrutura e resolução semelhantes ao que vimos no caso de proporcionalildade direta. Exemplifiquemos. Dividir em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9. Temos de dividir em partes diretamente proporcionais aos números 1/3, 1/5 e 1/9; e isso equivale a dividir esse número diretamente proporcionalmente aos números 15/45, 9/45 e 5/45, o que é o mesmo que dividí-lo em partes diretamente proporcionais aos números 15, 9 e 5 (por quê?). Esta última versão do problema já nos é conhecida, e sua resolução dá: 9000, 5400 e ).- Variável proporcional a várias outras Para não complicar a notação, consideremos o caso em que uma variável numérica y é função de duas outras, x e z, o que denotamos por y = y(x,z). Diremos que esta dependência funcional entre y e x,z é de proporcionalidade se fixando os valores de z e variando à vontade os de x, temos que y x q 1 ; e se fixando os valores de x e variando à vontade os de z, temos que y z q. Por exemplo, se ocorrer que y x e y 1 z, diremos que y é diretamente proporcional a x e inversamente proporcional a z, e podemos resumir isso escrevendo y x, 1. Neste caso, é fácil z ver que podemos escrever y = m x/z, para alguma constante m, que é o coeficiente de proporcionalidade dessa relação. Tudo é imediatamente generalizável para o caso de três ou mais variáveis independentes. Por exemplo, a Lei da Gravitação Universal diz que a força gravitacional (F) entre dois corpos de massas m e M, é diretamente proporcional às massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância d entre elas, o que se escreve como: F = G m M d,

7 7 onde a constante de proporcionalidade G é denominada constante universal de gravitação. Existem problemas de projeção para várias variáveis relacionadas por proporção, e eles têm resolução semelhante a que vimos para o caso de y x. Limitamo-nos a exemplificar. Para pavimentar 480 m de estrada foram precisos 8 trabalhadores, durante 15 dias de 10 horas. Quantos dias de 1 horas serão necessários para 6 trabalhadores pavimentarem 960 m? Resp. sejam d = dias, c = comprimento, t = trabalhadores, j = jornada de trabalho. Iniciamos notando a plausibilidade de termos d = d(c, t, j) c, 1/t, 1/ j, de onde sai d = m c t j o valor do coeficiente de proporcionalidade m por meio da relação 15 = m m =,5. Com isso, podemos fazer a projeção pedida: d 960,6, 1 =,5 960 (Compare a facilidade desse método com a obsoleta Regra de Três.) 7).- Problemas de composição de proporções 6 1 = 33,33. Determinamos, o que nos dá O objetivo é determinar o tipo de proporcionalidade que existe entre duas variáveis, y e x, achando uma proporcionalidade entre y e outras variáveis sucessivamente, até chegarmos a uma delas que se relacione proporcionalmente com x. A ideia, devida ao grande físico-matemático Galileo Galilei, é contornar um difícil relacionarmento direto entre y e x, apelando para variáveis intermediárias. Tornemos isso tudo claro por meio de exemplos. É de bastante utilidade (tratamento de queimados, etc.) relacionarmos a área corporal (A) com o peso (p) de um animal. Vejamos como. Indicando por L o comprimento do animal (ou qualquer outro comprimento de seu corpo, pois vamos supor todos serem proporcionais), temos: peso do animal sua massa seu volume L 3, que podemos escrever como L 3 peso. Por outro lado, área L, de modo que área 3 peso. Em notação algébrica: A=m 3 p, para um coeficiente de proporcionalidade que depende do tipo de animal. Com dados experimentais, pode-se determinar o valor numérico de m. Por exemplo: humanos m = 0,11, vacas m = 0,090, cavalos m = 0,100, etc., desde que tomemos p em kg e A em metros quadrados. Para aves voadoras, deseja-se relacionar a tensão que atua sobre as asas durante o voo com o peso da ave. Temos que a tensão = (peso da ave)/(área de suas asas). Ora, indicando por L o comprimento da ave (ou qualquer outro comprimento de seu corpo, pois supomos todos serem proporcionais), temos que área das asas L, e peso da ave sua massa seu volume L 3, de modo que tensão = peso/área L 3 / L L 3 peso. Ou seja: tensão 3 peso. dias.