UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Física Experimental IV. Relatório de atividade experimental ESTUDO SOBRE A DIFRAÇÃO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Física Experimental IV Relatório de atividade experimental ESTUDO SOBRE A DIFRAÇÃO Vítor Sudbrack Porto Alegre, 18 de Junho de Resumo: No presente relatório explora-se a teoria da difração da luz. Então, utiliza-se este fenômeno para medir a espessura de um fio de cabelo, a partir do princípio de Babinet. Qualitativamente, verifica-se a diferença entre difração e interferência utilizando fendas múltiplas, quando há a sobreposição dos dois fenômenos. Também se determina a quantidade de ranhuras por milímetro em uma rede de difração. Os resultados obtidos mostram alta concordância com os valores esperados. INTRODUÇÃO Na teoria corpuscular da luz, amplamente disseminada no meio científico no século XVII, predizia-se que a luz, ao passar por um obstáculo, produziria sua sombra em um anteparo. Em geral, isso é verdade, como as sombras dos postes, muros e árvores em dias ensolarados. Porém, em 1819, através de um concurso da Academia Francesa de Ciências sobre a luz, o cientista A. Fresnel mostrou que, quando os obstáculos têm medidas comparáveis com o comprimento de onda da luz, então, ao invés de apenas sombra, as ondas de luz produzem figuras de interferência ao passarem pelo obstáculo. Assim, a luz não poderia viajar em linha reta, como se pensava na época, mas sim curvar-se diante do contorno dos objetos, fenômeno hoje conhecido como difração. A figura de interferência das ondas de luz de uma fonte comum é chamada figura de difração. A imagem abaixo mostra a figura de difração da luz ao contornar uma esfera. O ponto claro central ficou conhecido como o ponto claro de Fresnel. Figura 1. A imagem da esquerda consiste na figura de difração de um feixe de luz de laser contornando uma esfera, conforme figura da direita. O ponto claro central é conhecido como o ponto claro de Fresnel. Fonte: Richmond University. A partir do princípio de Babinet, é possível verificar que um orifício circular em uma placa de mesmo tamanho que a esfera, produziria a mesma figura de difração. E, ainda mais geral, quaisquer obstáculos e orifícios complementares (ou seja, que se encaixam perfeitamente) produzem a mesma figura de difração. Para um modelo matemático simplório da difração da luz, faz-se a interferência da luz oriunda de uma fenda interferir com a luz oriunda da mesma fenda, em pontos equidistantes

2 entre si, conforme a figura abaixo para quatro raios, onde a espessura da fenda foi denotada por. Figura 2. Modelagem da difração, quatro pontos equidistantes de uma mesma fenda agem como fontes pontuais pelo princípio de Huygens e interferem no anteparo. Na figura à direita, na aproximação de, os raios podem ser considerados paralelos. A partir daí, trabalha-se com as situações de interferência, conforme foi demonstrado em relatórios anteriores. Aos considerar quantidades cada vez maiores de raios oriundos da fenda (conforme princípio de Huygens), chega-se à seguinte equação [1] : como: Onde a função seno cardinal normalizada ( do latim sinus cardinalis ) é definida Outras abordagens mais complexas do fenômeno podem ser obtidas, por exemplo, para casos de fendas não lineares, utilizando as integrais de Fresnel, conforme ref. [1]. Para os objetivos deste relatório, a abordagem acima é suficiente. Interessante notar que, ao contrário da interferência, em que todos os máximos têm a mesma intensidade, na difração a intensidade dos máximos decaí à medida que o ângulo aumenta. Ademais, os máximos não ocorrem mais quando, uma vez que o denominador interfere neste resultado, mas os mínimos ainda ocorrerão quando. Isso significa que é um número inteiro, então se tem a seguinte condição de mínimo: MATERIAIS Anteparo branco; Suportes e banco ótico; Placas com fendas de diferentes larguras; Placas com redes de difração lineares e quadriculadas; Placa com um fio de cabelo preso; Laser de Hélio-Neônio; Trena; Régua.

3 METODOLOGIA Foi montado um laser de Hélio-Neônio, que, como todo laser, produzia uma luz coerente, colimada e monocromática ( ). À frente da saída do laser colocou-se uma lâmina com fendas lineares de diferentes larguras desconhecidas. Observou-se qualitativamente as figuras formadas no anteparo pelas diferentes fendas. Em seguida, colocou-se um fio de cabelo esticado na frente do feixe do laser. Com um anteparo a uma distância medida com a trena, observou-se a figura de difração, e com um lápis marcaram-se os pontos de mínimos. Mediu-se as distâncias entre os mínimos equidistantes do máximo central ( ) com uma régua. Repetiu-se isso três vezes (em cada vez um aluno marcou suas medidas independentemente). Após, colocou-se fendas múltiplas na frente do feixe de luz e variando a quantidade de fendas analisaram-se os fenômenos de interferência e difração sobrepostos na figura formada no anteparo, e discutiu-se qualitativamente o fenômeno. Por fim, colocou-se uma rede de difração unidimensional e verificou-se a distância entre os máximos da rede (chamados de linhas, por serem bem finos) medindo novamente a distância, e também observou-se uma rede de difração bidimensional qualitativamente. RESULTADOS E DISCUSSÃO Verificou-se qualitativamente que, com o aumento da largura da fenda, a difração da luz produzia um máximo central mais intenso, e os máximos das demais ordens mais aproximados do centro. Isto é compatível com o resultado da passagem de luz por uma fenda cuja largura é muito maior que o comprimento de onda, onde a luz passa reto, sem uma difração perceptível. Uma figura de difração para uma fenda linear é mostrada na figura abaixo. Figura 3. Figura de difração de uma fenda linear. Fonte: Guilhaumont. Para o fio de cabelo, os dados medidos se encontram na tabela abaixo, onde se mediu a posição linear entre dois mínimos. A incerteza do valor não foi reduzida à metade, uma vez que a espessura do grafite utilizado para marcar os mínimos era, ou seja, maior que metade da incerteza da régua. Tabela 1. Valores de medidos para o fio de cabelo. Ordem dos mínimos Distância ao anteparo D ( ) 61,2 61,9 75,9 Na segunda medição não se marcou o sexto mínimo. Assim, foi possível calcular as posições angulares e sua incerteza através das fórmulas:

4 e Tabela 2. Posições angulares para os mínimos de difração para o fio de cabelo. Ordem dos mínimos 1 0,5 0,5 0,4 0,49 0,03 2 0,9 0,9 0,8 0,90 0,04 3 1,5 1,4 1,3 1,4 0,1 4 2,0 1,9 1,7 1,9 0,1 5 2,5 2,4 2,1 2,3 0,2 6 2,9 2,5 2,7 0,2 Por fim, é possível utilizar as equações demonstradas para os mínimos de difração para estimar o valor da espessura do fio de cabelo. A incerteza do ângulo para e foi dada pela incerteza das medidas individuais, dado que esta foi maior que o desvio padrão da média dos valores. Um valor médio final foi obtido através da média aritmética simples. Desconsideraram-se incertezas relacionadas ao comprimento de onda, dado que este é insignificante comparado com a incerteza no valor do ângulo. A propagação da incerteza do valor de foi dado por (com o ângulo em radianos): Tabela 3. Valor da distância entre as fendas para o par de fendas analisado Ordem dos mínimos ( ) ( ) Média 78 5 Assim, podemos afirmar que o cabelo tinha. Segundo Cinthya Rachel, a espessura do cabelo varia com a etnia do indivíduo (o cabelo asiático, por exemplo, é em média mais grosso que o do europeu) e também com a cor do cabelo. Os cabelos louros sadios têm espessuras de a, enquanto os cabelos morenos sadios têm espessuras de a. Assim, o cabelo analisado tem espessura média para uma pessoa morena. [2] Testaram-se também fendas lineares múltiplas colocadas lado a lado, onde há a superposição dos fenômenos de difração da fenda consigo mesma e interferências de cada fenda com as demais. As figuras a seguir, em um exemplo com fendas cuja distância é cinco vezes maior que suas espessuras. Tem-se a intensidade em função do ângulo, no gráfico verde. Em vermelho, a intensidade devido à difração, e em azul a intensidade devido à interferência.

5 Figura 4. Intensidade em função do ângulo observado no anteparo. Em verde a intensidade resultante da superposição dos fenômenos de interferência (azul) e difração (vermelho). A figura final observada é mostrada abaixo. Interessante notar que os máximos de ordem múltiplos de cinco não aparecem, pois coincidem com os mínimos da difração. O número de fendas influência na espessura dos máximos. Quando o número de fendas aumenta, então os máximos ficam cada vez mais finos. Num limite em que há um contínuo de fendas, chamadas ranhuras, então se tem uma linha de máximo. As redes de difração lineares produzem apenas linhas de máximo, e, quanto mais ranhuras por comprimento, mais afastados elas são. Para uma dada rede conseguiu-se detectar os dois pontos de máximo, além do central. As distâncias estão na tabela abaixo. Tabela 4. Valores de Ordem dos mínimos medidos para a rede de difração. 1 4,8 4,8 4,7 2 12,2 11,9 12,1 Distância ao anteparo D ( ) 13,5 13,0 13,6 Os ângulos foram obtidos sem a aproximação de pequenos ângulos, utilizando a função arco-tangente. Os valores estão na tabela a seguir. Tabela 5. Posições angulares para a rede de difração. Ordem dos mínimos 1 19,8±0,5 20,2±0,5 19,1±0,4 19,7 0,4 2 42,0±0,6 42,5±0,6 41,5±0,6 42,0 0,3 A incerteza da média será a maior entre as incertezas individuais, dado que os desvios padrões da média foram menores. Para obter o valor de espessura de cada ranhura ( ), utilizou-se a mesma equação de mínimos para fendas únicas, que agora é válida para os máximos, substituindo por.

6 Tabela 3. Valor da distância entre as fendas para o par de fendas analisado Ordem dos mínimos ( ) ( ) 1 1,88 0,04 2 1,89 0,01 Média 1,89 0,02 O número de fendas por milímetro será então o inverso de, portanto, a rede tem fendas por milímetro. Este valor concorda com o valor proposto pelo fabricante de 530 fendas por milímetro. A figura de difração para uma rede bidimensional (ranhuras em ambas as direções planares) de 12 fendas por milímetro é formadas por pontos em ambas as direções, conforme imagem abaixo. Figura 5. Figura de difração da luz por uma rede de ranhuras em ambas as direções. Fonte: Hyperphysics. CONCLUSÃO Qualitativamente observaram-se as belas imagens formadas pelas figuras de difração e pelas figuras de difração e interferência. Quando há apenas uma fenda, então ocorre apenas o fenômeno da difração com largas franjas claras separadas por franjas escuras. Quando há um número de fendas pequeno, há pequenas franjas claras e escuras com a intensidade moldada pelas franjas claras da difração e seus mínimos. Já quando há uma rede de difração com várias ranhuras por comprimento, então há a formação de linhas de máximos. Quantitativamente, determinou-se a espessura de um fio de cabelo como, um valor típico esperado para um cabelo moreno saudável. Também se verificou que uma rede tinha fendas por milímetro, ratificando o valor fornecido pelo fabricante. Por fim, deixo a frase de A. Fresnel sobre as descobertas revolucionárias dos fenômenos óticos que intrigaram os físicos de sua época e a necessidade da criação de novos modelos para explicá-las: A simplicidade repousa oculta neste caos, apenas para nós a descobrimos. BIBLIOGRAFIA [1] NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica vol. 4. 1ªed. São Paulo: Blucher, [2] RACHEL, Cinthya. Fios grossos ou finos: descubra porque cada cabelo tem uma espessura diferente. Disponível em: < Acesso em 11 de junho de RICHMOND UNIVERSITY. Poisson s spot. Disponível em: < Acesso em 11 de junho de 2016.

7 GUILHAUMONT. Le modèle ondulatoire de la lumière. Disponível em: < Acesso em 11 de junho de HYPERPHYSICS. Difracción por Rendijas Cruzadas. Disponível em: < Acesso em 11 de junho de 2016.