restart: with(plots): with(linalg): POLINÔMIO DE HERMITE EXEMPLO1:

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1 restart: with(plots): with(linalg): POLINÔMIO DE HERMITE EXEMPLO1: Interpole a função e sua derivada pelo Polinômio de Hermite, usando a tabela abaixo, onde por g(x) estamos denotando a devidada de f(x) Queremos interpolar a função e sua derivada. Multiplicidade 2. Usando três pontos o grau do polinômio de Hermite é N= =5 x2:=2.0: O valor da função f(x)=x^2 f0:=0.0: f2:=4.0: Vamos denotar g valor da derivada g(x)=f ' (x) g0:=0.0: x0:=0.0: x1:=1.0: f1:=1.0: g1:=2.0: g2:=4.0: CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA CADA PONTO UM POLINÔMIO. NESSE CASO OS PPOLINÔMIOS SÃO DE GRAU 2 L0:=(x-x1)*(x-x2)/((x0-x1)*(x0-x2)):; L1:=(x-x0)*(x-x2)/((x1-x0)*(x1-x2)):; L2:=(x-x0)*(x-x1)/((x2-x0)*(x2-x1)):; LL0:=plot([L0(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): LL1:=plot([L1(x)], x=x0..x2, color=[blue], style=[line]): LL2:=plot([L2(x)], x=x0..x2, color=[green], style=[line]): display(ll0,ll1,ll2);

2 x O Grafico acima é dos 3 polinômios de Lagrange de grau n=3. Note que os polinômios são ortogonais CÁLCULO DA DERIVADAS DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE DL0:=evalf(diff(L0,x),3); DL0 := 1.00 x K1.50 DL1:=evalf(diff(L1,x),3); DL1 := K2.00 x C2.00 DL2:=evalf(diff(L2,x),3); DL2 := 1.00 x K0.500 D0:=subs(x=x0, DL0); D0 := K1.50 D1:=subs(x=x1, DL1); D1 := 0. D2:=subs(x=x2, DL2); D2 := CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI0:=evalf((1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2,3); (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

3 PHI0 := C3.00 x x K1.0 2 x K2.0 2 PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); PHI1 := 1.00 x 2 x K2.0 2 PHI2:=evalf((1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2,3); PHI2 := K3.00 x x 2 x K1.0 2 LPHI0:=plot([PHI0(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): LPHI1:=plot([PHI1(x)], x=x0..x2, color=[blue], style=[line]): LPHI2:=plot([PHI2(x)], x=x0..x2, color=[green], style=[line]): (7) (8) (9) display(lphi0,lphi1,lphi2); x O grafico acima é a base da função base que interpola a função f(x). Note novamente que são polinômios de grau 5 e ortogonais. CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI0:=(x-x0)*(L0*L0); (10)

4 PSI0 := x x K1.0 2 x K2.0 2 PSI1:=(x-x1)*(L1)^2; PSI1 := x K1.0 x 2 x K2.0 2 PSI2:=(x-x2)*(L2)^2; PSI2 := x K2.0 x 2 x K1.0 2 LPS0:=plot([PSI0(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): LPS1:=plot([PSI1(x)], x=x0..x2, color=[blue], style=[line]): LPS2:=plot([PSI2(x)], x=x0..x2, color=[green], style=[line]): (10) (11) (12) display(lps0,lps1,lps2); x K0.1 K0.2 O grafico acima é a base da função base que interpola a função g(x). Note novamente que são polinômios de grau 5 e são ortogonais. POLINÔMIO DE HERMITE Assim o polinômio de Hermite é dado por:( combinação dos elementos da base de f com a combinação dos elementos da base da derivada) P:=simplify(evalf(f0*PHI0+f1*PHI1+f2*PHI2+g0*PSI0+g1*PSI1+g2*

5 PSI2,3)); # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE P := x 2 CALCULABDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q:=simplify(evalf(diff(P,x),3));# DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q := 2.00 x VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. (13) (14) a0:=subs(x=0, P);a1:=subs(x=1, P);a2:=subs(x=2, P); a0 := 0. a1 := a2 := b0:=subs(x=0, Q);b1:=subs(x=1, Q);b2:=subs(x=2, Q); b0 := 0. b1 := 2.00 b2 := 4.00 (16) Se desejamos saber o valor aproximado de f(x) e g(x) no ponto x=0.6, temos: a3:=subs(x=0.6, P); a3 := (17) b3:=subs(x=0.6, Q); b3 := (18) Note que as tabelas foram construídas a partir da função f(x)=x^2. Consequentemente a função g(x)=f (x)=2x Assim é facil de f(0.6)=0.36 e g(0.6)=1.2, tendo assim uma excelente aproimação. EXEMPLO 2: (15) INTERPOLAÇÃO DA FUNÇÃO f(x) e sua derivadas, usando três pontos. Queremos interpolar a função e sua derivada. Multiplicidade 2. Usando três pontos o grau do polinômio de Hermite é N= =5 x0:=0.0: x2:=2.0: O valor da função f(x) f0:=1.00: f2:= : Vamos denotar g valor da derivada g(x)=f ' (x) g0:=1.00: x1:=1.0: f1:= : g1:= : g2:= :

6 CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA CADA PONTO UM POLINÔMIO. NESSE CASO OS PPOLINÔMIOS SÃO DE GRAU 2 L0:=evalf((x-x1)*(x-x2)/((x0-x1)*(x0-x2)),3); L0 := x K1.0 x K2.0 L1:=evalf((x-x0)*(x-x2)/((x1-x0)*(x1-x2)),3); L1 := K1.00 x x K2.0 L2:=evalf((x-x0)*(x-x1)/((x2-x0)*(x2-x1)),3); L2 := x x K1.0 LL0:=plot([L0(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): LL1:=plot([L1(x)], x=x0..x2, color=[blue], style=[line]): LL2:=plot([L2(x)], x=x0..x2, color=[green], style=[line]): display(ll0,ll1,ll2):; (19) (20) (21) CÁLCULO DA DERIVADAS DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE DL0:=evalf(diff(L0,x),3); DL0 := 1.00 x K1.50 DL1:=evalf(diff(L1,x),3); DL1 := K2.00 x C2.00 DL2:=evalf(diff(L2,x),3); DL2 := 1.00 x K0.500 D0:=evalf(subs(x=x0, DL0),3); D0 := K1.50 D1:=subs(x=x1, DL1); D1 := 0. D2:=subs(x=x2, DL2); D2 := CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI0:=evalf((1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2,3); PHI0 := C3.00 x x K1.0 2 x K2.0 2 PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); PHI1 := 1.00 x 2 x K2.0 2 PHI2:=evalf((1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2,3); PHI2 := K3.00 x x 2 x K1.0 2 As funções acima é a base da função base que interpola a função f(x). {PHI0,PHI1,PHI2} Note novamente que são polinômios de grau 5 e ortogonais. (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) LPHI0:=plot([PHI0(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): LPHI1:=plot([PHI1(x)], x=x0..x2, color=[blue], style=[line]): LPHI2:=plot([PHI2(x)], x=x0..x2, color=[green], style=[line]): display(lphi0,lphi1,lphi2):; CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f

7 PSI0:=(x-x0)*(L0*L0); PSI0 := x x K1.0 2 x K2.0 2 PSI1:=(x-x1)*(L1)^2; PSI1 := x K1.0 x 2 x K2.0 2 PSI2:=(x-x2)*(L2)^2; PSI2 := x K2.0 x 2 x K1.0 2 (31) (32) (33) As funções acima é a base da função base que interpola a função g(x). {PSI0,PSI1,PSI2} Note novamente que são polinômios de grau 5 e ortogonais. LPS0:=plot([PSI0(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): LPS1:=plot([PSI1(x)], x=x0..x2, color=[blue], style=[line]): LPS2:=plot([PSI2(x)], x=x0..x2, color=[green], style=[line]): display(lps0,lps1,lps2):; Assim o Polinômio Interpolador de Hermite é dado por:( combinação dos elementos da base de f com a combinação dos elementos da base da derivada) OBERVE QUE O POLINÔMIO TEM GRAU 5 P:=simplify(evalf(f0*PHI0+f1*PHI1+f2*PHI2+g0*PSI0+g1*PSI1+g2* PSI2,4)); # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE P := x C C x 4 C x 3 C x 5 C x 2 CALCULABDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q:=simplify(evalf(diff(P,x),4)); # DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q := 1. C x 3 C x 2 C x 4 C x VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. f(x) a0:=subs(x=0, P);a1:=subs(x=1, P);a2:=subs(x=2, P); a0 := a1 := a2 := b0:=subs(x=0, Q);b1:=subs(x=1, Q);b2:=subs(x=2, Q); b0 := 1. b1 := b2 := Se desejamos saber o valor aproximado de f(x) e g(x) no ponto x=1.3, temos: a3:=subs(x=1.3, P); a3 := b3:=subs(x=1.3, Q); (34) (35) (36) (37) (38) (39)

8 b3 := (39) Note que as tabelas foram construídas a partir da função f(x)=exp(x). Consequentemente a função g(x)= f (x)=exp(x) Assim temos o seguinte valor "exato" para a função exponencial: aa3:=evalf(subs(x=1.3, exp(x))); aa3 := (40) bb3:=evalf(subs(x=1.3, exp(x))); bb3 := (41) Podemos verificar o erro absoluto da aproximação da função e de sua derivada. e1:=abs(aa3-a3); e2:=abs(bb3-b3); e1 := e2 := (42) (43) EXEMPLO 3: Determine o polinômio de Hermite para os 4 pontos tabelados. Observe que agora o grau do polinômio é : São 4 pontos então teremos um polinômio de grau n=2*4-1=7 x3:=1.5: O valor da função f(x) f0:=0.0: f3:=21.0: Vamos denotar g valor da derivada g(x)=f ' (x) g0:=18.86: x0:=0: x1:=0.5: x2:=1.0: f1:=15.0: f2:=22.0: g1:=20.47: g2:=19.38: g3:=21.00: CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA CADA PONTO UM POLINÔMIO. NESSE CASO OS PPOLINÔMIOS SÃO DE GRAU 3 L0:=evalf((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/((x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)),3); L0 := K1.33 x K0.5 x K1.0 x K1.5 L1:=evalf((x-x0)*(x-x2)*(x-x3)/((x1-x0)*(x1-x2)*(x1-x3)),3); L1 := 4.00 x x K1.0 x K1.5 (44) (45)

9 L2:=evalf((x-x0)*(x-x1)*(x-x3)/((x2-x0)*(x2-x1)*(x2-x3)),3); L2 := K4.00 x x K0.5 x K1.5 L3:=evalf((x-x0)*(x-x1)*(x-x2)/((x3-x0)*(x3-x1)*(x3-x2)),3); L3 := 1.33 x x K0.5 x K1.0 LL0:=plot([L0(x)], x=x0..x3, color=[red], style=[line]): LL1:=plot([L1(x)], x=x0..x3, color=[blue], style=[line]): LL2:=plot([L2(x)], x=x0..x3, color=[green], style=[line]): LL3:=plot([L3(x)], x=x0..x3, color=[black], style=[line]): display(ll0,ll1,ll2,ll3); 1.0 (46) (47) x K0.2 OBSERVE PELO GRÁFICO QUE OS QUATRO POLINÔMIOS DE LAGRANGE SÃO ORTOGONAIS EM RELAÇÃO AOS PONTOS TABELADOS. CÁLCULO DA DERIVADAS DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE DL0:=diff(L0,x):; DL1:=diff(L1,x):; DL2:=diff(L2,x):;

10 DL3:=diff(L3,x):; D0:=subs(x=x0, DL0):; D1:=subs(x=x1, DL1):; D2:=subs(x=x2, DL2):; D3:=subs(x=x3, DL3):; CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI0:=(1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2; PHI0 := C x x K0.5 2 x K1.0 2 x K1.5 2 PHI1:=(1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2; PHI1 := x 3 x K1.0 2 x K1.5 2 PHI2:=(1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2; PHI2 := K x x 2 x K0.5 2 x K1.5 2 PHI3:=(1-2*D3*(x-x3))*(L3)^2; PHI3 := K x x 2 x K0.5 2 x K1.0 2 #LPHI0:=plot([PHI0(x)], x=x0..x3, color=[red], style=[line]): #LPHI1:=plot([PHI1(x)], x=x0..x3, color=[blue], style=[line]): #LPHI2:=plot([PHI2(x)], x=x0..x3, color=[green], style=[line]): #LPHI3:=plot([PHI3(x)], x=x0..x3, color=[black], style=[line]): #display(lphi0,lphi1,lphi2, LPHI3); CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI0:=evalf((x-x0)*(L0*L0),3); PSI0 := 1.77 x x K0.5 2 x K1.0 2 x K1.5 2 PSI1:=evalf((x-x1)*(L1*L1),3); PSI1 := 16.0 x K0.5 x 2 x K1.0 2 x K1.5 2 PSI2:=evalf((x-x2)*(L2)^2,3); PSI2 := 16.0 x K1.0 x 2 x K0.5 2 x K1.5 2 PSI3:=evalf((x-x3)*(L3)^2,3); PSI3 := 1.77 x K1.5 x 2 x K0.5 2 x K1.0 2 #LPS0:=plot([PSI0(x)], x=x0..x3, color=[red], style=[line]): #LPS1:=plot([PSI1(x)], x=x0..x3, color=[blue], style=[line]): #LPS2:=plot([PSI2(x)], x=x0..x3, color=[green], style=[line]): #LPS3:=plot([PSI3(x)], x=x0..x3, color=[black], style=[line]): #display(lps0,lps1,lps2,lps3); POLINÔMIO DE HERMITE OBSERVE QUE O POLINÔMIO TEM GRAU 7 P:=simplify(evalf(f0*PHI0+f1*PHI1+f2*PHI2+f3*PHI3+g0*PSI0+g1* (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55)

11 PSI1+g2*PSI2+g3*PSI3,4)); # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE P := x C x 7 K x 6 K x 4 C x 3 C x 5 C x 2 (56) LP0:=plot([P(x)], x=x0..x3, color=[black], style=[point]): display(lp0); x CALCULANDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q:=simplify(evalf(diff(P,x),5)); # DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q := C x 6 K x 5 K x 3 C x 2 C x 4 C x (57) LQ0:=plot([Q(x)], x=x0..x3, color=[black], style=[point]): display(lq0);

12 x K10 K20 VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. a0:=subs(x=0.0, P);a1:=subs(x=0.5, P);a2:=subs(x=1.0, P);a3:=subs (x=1.5, P); a0 := 0. a1 := a2 := a3 := b0:=subs(x=0, Q); b1:=subs(x=0.5, Q); b2:=subs(x=1.0, Q); b3:= subs(x=1.5, Q); b0 := b1 := b2 := b3 := (58) (59)

13 POLINÔMIOS POR PARTES DE HERMITE Vamos calcular para cada dois pontos consectivos um polinomio de Hermite de grau N=2+2-1=3 restart: with(plots): with(linalg): x3:=1.5: O valor da função f(x) f0:=0.0: f3:=21.0: Vamos denotar g valor da derivada g(x)=f ' (x) g0:=18.86: x0:=0.0: x1:=0.5: x2:=1.0: f1:=15.0: f2:=22.0: g1:=20.47: g2:=19.38: g3:=21.00: CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA CADA DOIS PONTOS UM POLINÔMIO. ASSIM O GRAU SÃO 2*2-1= 3. NESSE CASO OS POLINÔMIOS SÃO DE GRAU 3; Primeiro polinômio por partes envolvendo os pontos x0 e x1 L0:=evalf((x-x1)/((x0-x1)),3); L0 := K2.00 x C1.00 L1:=evalf((x-x0)/((x1-x0)),3); L1 := 2.00 x (60) (61) CÁLCULO DA DERIVADAS DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE DL0:=diff(L0,x); DL1:=diff(L1,x); DL0 := K2.00 DL1 := 2.00 (62) (63)

14 D0:=subs(x=x0, DL0); D1:=subs(x=x1, DL1); D0 := K2.00 D1 := 2.00 CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI0:=(1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2; PHI0 := 1 C4.00 x K2.00 x C PHI1:=(1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2; PHI1 := K4.00 x x 2 (64) (65) (66) (67) CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI0:=(x-x0)*(L0*L0); PSI0 := x K2.00 x C PSI1:=(x-x1)*(L1*L1); PSI1 := x K0.5 x 2 POLINÔMIO DE HERMITE: Para o primeiro intervalo temos o seguinte polinômio de grau 3: P1:=evalf(f0*PHI0+f1*PHI1+g0*PSI0+g1*PSI1,3); # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE P1 := K4.00 x x 2 C18.9 x K2.00 x C C82.0 x K0.5 x 2 CALCULANDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE (68) (69) (70) Q1:=evalf(diff(P1,x),3); # DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q1 := K158. x 2 C K4.00 x x C18.9 K2.00 x C K75.6 x K2.00 x C1.00 C164. x K0.5 x VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. f(x)= g(x) (71) a0:=subs(x=0, P1);a1:=subs(x=0.5, P1); a0 := 0. a1 := b0:=subs(x=0, Q1); b1:=subs(x=0.5, Q1); b0 := b1 := Note que os valores obtidos acima, asseguram que o polinômio interpola corretamente a função e sua derivada. A seguir as respostas dos itens do exercício. (72) (73)

15 Polinômio de Hermite de grau 3 para o segundo intervalo: [X1, X2] L1:=evalf((x-x2)/((x1-x2)),3); L1 := K2.00 x C2.00 L2:=evalf((x-x1)/((x2-x1)),3); L2 := 2.00 x K1.00 (74) (75) CÁLCULO DA DERIVADAS DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE DL1:=diff(L1,x); DL1 := K2.00 DL2:=diff(L2,x); DL2 := 2.00 D1:=subs(x=x1, DL1); D1 := K2.00 D2:=subs(x=x2, DL2); D2 := 2.00 CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI1:=(1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2; PHI1 := K1.000 C4.00 x K2.00 x C PHI2:=(1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2; PHI2 := K4.00 x 2.00 x K CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI1:=(x-x1)*(L1*L1); PSI1 := x K0.5 K2.00 x C PSI2:=(x-x2)*(L2*L2); PSI2 := x K x K POLINÔMIO DE HERMITE PARA O SEGUNDO INTERVALO: P2:=f1*PHI1+f2*PHI2+g1*PSI1+g2*PSI2; # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE P2 := 15.0 K1.000 C4.00 x K2.00 x C C K4.00 x 2.00 x K C20.47 x K0.5 K2.00 x C C19.38 x K x K Fazendo uma simplificação temos: P22:simplify(P2); K x 2 C x K C x 3 CALCULANDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q2:=diff(P2,x); # DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q2 := K2.00 x C K K1.000 C4.00 x K2.00 x C2.00 K x K C K4.00 x 2.00 x K1.00 K x K 0.5 K2.00 x C2.00 C x K x K1.00 Fazendo uma simplificação temos: Q22:=simplify(Q2); (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86)

16 Q22 := x 2 K x C VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. f(x)= g(x)=exp(x) a0:=subs(x=0.5, P2);a1:=subs(x=1.0, P2); a0 := a1 := b0:=subs(x=0.5, Q2); b1:=subs(x=1.0, Q2); b0 := b1 := Note que os valores obtidos acima, asseguram que o polinômio interpola corretamente a função e sua derivada. Note que nos extremos do intervalo em comum com os dois Polinômios por partes temos: P1(0.5)=P2(0.5)=22.0 (assegurando a continuidade). Além disso Q1(0.5)=Q2(0.5)=19.38 (assegurando a continuidade da derivada) INTERPOLANDO AGORA NO INTERVALO [X2, X3]: POLINÔMIO DE HERMITE (87) (88) (89) L2:=evalf((x-x3)/((x2-x3)),3); L2 := K2.00 x C3.00 L3:=evalf((x-x2)/((x3-x2)),3); L3 := 2.00 x K2.00 (90) (91) CÁLCULO DA DERIVADAS DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE DL2:=diff(L2,x); DL3:=diff(L3,x); D2:=subs(x=x2, DL2); D3:=subs(x=x3, DL3); DL2 := K2.00 DL3 := 2.00 D2 := K2.00 D3 := 2.00 (92) (93) (94) (95) CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI2:=(1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2; PHI2 := K3.000 C4.00 x K2.00 x C PHI3:=(1-2*D3*(x-x3))*(L3)^2; PHI3 := K4.00 x 2.00 x K (96) (97)

17 CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI2:=evalf((x-x2)*(L2*L2),3); PSI2 := x K1.0 K2.00 x C PSI3:=evalf((x-x3)*(L3*L3),3); PSI3 := x K x K POLINÔMIO DE HERMITE: OBERVE QUE O POLINÔMIO TEM GRAU 3 (98) (99) P3:=evalf(f2*PHI2+f3*PHI3+g2*PSI2+g3*PSI3,3); # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE P3 := 22.0 K3.00 C4.00 x K2.00 x C C K4.00 x 2.00 x K C19.4 x K1.0 K2.00 x C C21.0 x K x K Fazendo uma simplificação temos: P33:=simplify(P3); P33 := K x 2 C x K C x 3 CALCULABDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q3:=evalf(diff(P3,x),3); # DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q3 := 107. K2.00 x C K88.0 K3.00 C4.00 x K2.00 x C3.00 K x K C K4.00 x 2.00 x K2.00 K77.6 x K1.0 K2.00 x C3.00 C84.0 x K x K2.00 Fazendo uma simplificação temos: Q33:=simplify(Q3); Q33 := x 2 K x C VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. f(x)= g(x)=exp(x) a0:=subs(x=1.0, P3);a1:=subs(x=1.5, P3); a0 := a1 := b0:=subs(x=1.0, Q3); b1:=subs(x=1.5, Q3); b0 := b1 := FAZENDO OS GRÁFICO DOS POLINÔMIOS DE HERMITE POR PARTES EM CADA INTERVALO: (100) (101) (102) (103) (104) (105) H01:=plot([P1(x)], x=x0..x1, color=[red], style=[line]): H12:=plot([P2(x)], x=x1..x2, color=[blue], style=[line]): H23:=plot([P3(x)], x=x2..x3, color=[green], style=[line]):

18 O gráficos de cada polinômio por partes de Hermite é dado abaixo: display(h01,h12,h23); x G01:=plot([Q1(x)], x=x0..x1, color=[red], style=[line]): G12:=plot([Q2(x)], x=x1..x2, color=[blue], style=[line]): G23:=plot([Q3(x)], x=x2..x3, color=[green], style=[line]): Os gráficos da cada derivada do polinômio de Hermite por partes é dado abaixo display(g01,g12,g23);

19 x K10 Suponhamos que queiramos calcular o valor da função aproximada e de sua derivada nos pontos x=0.3; x=0.7 e x=1.1. então c0:=subs(x=0.3, P1); c1:=subs(x=0.7, P2); c2:=subs(x=1.1, P3); c0 := c1 := c2 := Para as derivadas temos: d0:=subs(x=0.3, Q1); d1:=subs(x=0.7, Q2); d2:=subs(x=1.1, Q3); d0 := d1 := d2 := K ? `?` EXEMPLO DE POLINOMIO LINEAR POR PARTES (106) (107) (108)

20 USANDO OS DADOS DA FUNÇÃO f = x 2 x0:=0.0: x1:=1.0: x2:=2.0: O valor da função f(x)=x^2 f0:=0.0: f1:=1.0: f2:=4.0: Vamos denotar g valor da derivada g(x)=f ' (x) g0:=0.0: g1:=2.0: g2:=4.0: CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA INTERVALO [X0, X1]=[0,1]: GRAU DO POLINÔMIO É IGUAL A TRÊS PRIMEIRA PARTE L0:=(x-x1)/((x0-x1)); L0 := K x C L1:=(x-x0)/((x1-x0)); L1 := x (109) (110) DL0:=evalf(diff(L0,x),3); DL1:=evalf(diff(L1,x),3); DL0 := K1.00 DL1 := 1.00 (111) (112) D0:=subs(x=x0, DL0); D1:=subs(x=x1, DL1); D0 := K1.00 D1 := 1.00 (113) (114) CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI0:=evalf((1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2,3); PHI0 := 1. C2.00 x K1.00 x C PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); (115)

21 PHI1 := 1.00 K2.00 x C3.00 x 2 (116) O grafico acima é a base da função base que interpola a função f(x). Note que são polinômios de grau 3 e ortogonais. CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI0:=(x-x0)*(L0*L0); PSI0 := x K x C PSI1:=(x-x1)*(L1)^2; PSI1 := x K1.0 x 2 (117) (118) O grafico acima é a base da função base que interpola a função g(x). Note novamente que são polinômios de grau 5 e ortogonais. POLINÔMIO DE HERMITE Assim o polinômio de Hermite é dado por:( combinação dos elementos da base de f com a combinação dos elementos da base da derivada) P1:=simplify(evalf(f0*PHI0+f1*PHI1+g0*PSI0+g1*PSI1,3)); P1 := x 2 CALCULABDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q1:=simplify(evalf(diff(P,x),3)); Q1 := 0. VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. a0:=subs(x=0, P);a1:=subs(x=1, P); a0 := P a1 := P b0:=subs(x=0, Q);b1:=subs(x=1, Q); b0 := Q b1 := Q Se desejamos saber o valor aproximado de f(x) e g(x) no ponto x=0.6, temos: a3:=subs(x=0.6, P); b3:=subs(x=0.6, Q); a3 := P b3 := Q Note que as tabelas foram construídas a partir da função f(x)=x^2. (119) (120) (121) (122) (123) (124)

22 Consequentemente a função g(x)=f (x)=2x Assim é facil de f(0.6)=0.36 e g(0.6)=1.2, tendo assim uma excelente aproximação. *********************************************************************************** * CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA INTERVALO [X1, X2]=[1,2]: GRAU DO POLINÔMIO É IGUAL A TRÊS SEGUNDA PARTE L1:=(x-x2)/((x1-x2)); L1 := K x C L2:=(x-x1)/((x2-x1)); L2 := x K (125) (126) DL1:=evalf(diff(L1,x),3); DL2:=evalf(diff(L2,x),3); DL1 := K1.00 DL2 := 1.00 (127) (128) D1:=subs(x=x1, DL1); D2:=subs(x=x2, DL2); D1 := K1.00 D2 := 1.00 (129) (130) CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); PHI1 := 2.00 x K1.00 K1.00 x C PHI2:=evalf((1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2,3); PHI2 := 5.00 K2.00 x 1.00 x K (131) (132) O grafico acima é a base da função base que interpola a função f(x). Note que são polinômios de grau 3 e ortogonais. CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI1:=(x-x1)*(L1*L1); PSI1 := x K1.0 K x C PSI2:=(x-x2)*(L2)^2; (133) (134)

23 PSI2 := x K x K (134) O grafico acima é a base da função base que interpola a função g(x). Note novamente que são polinômios de grau 5 e ortogonais. POLINÔMIO DE HERMITE Assim o polinômio de Hermite é dado por:( combinação dos elementos da base de f com a combinação dos elementos da base da derivada) P2:=simplify(evalf(f1*PHI1+f2*PHI2+g1*PSI1+g2*PSI2,3)); P2 := x 2 CALCULANDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE (135) Q2:=simplify(evalf(diff(P2,x),3)); Q2 := 2.00 x VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. (136) a0:=subs(x=1, P2);a1:=subs(x=2, P2); a0 := a1 := b0:=subs(x=1, Q2);b1:=subs(x=2, Q2); b0 := 2.00 b1 := 4.00 Se desejamos saber o valor aproximado de f(x) e g(x) no ponto x=0.6, temos: (137) (138) a3:=subs(x=1.5, P2); a3 := (139) b3:=subs(x=1.5, Q2); b3 := (140) Note que as tabelas foram construídas a partir da função f(x)=x^2. Consequentemente a função g(x)=f (x)=2x Assim é facil de f(0.6)=0.36 e g(0.6)=1.2, tendo assim uma excelente aproimação. P01:=plot([P1(x)], x=x0..x1, color=[red], style=[line]): P12:=plot([P2(x)], x=x1..x2, color=[blue], style=[line]): Os gráficos da cada derivada do polinômio de Hermite por partes é dado abaixo display(p01,p12);

24 x Observe que nesse exemplo temos a solução exata, o polinômio de ajuste tem grau dois tanto no intervalo [0,1] que obtamos o polinômio P1(x) quanto no intervalo [1,2] que obtivemos o polinômio P2(x). Nesse caso os polinômio por partes coincidem com o polinômio de Hermite usando todos o spontos pontos pois o polinômi ótimo encontrado foi de grau 2, veja que o P(x)=x^2. EXEMPLO 5 No próximo exemplo vamos fazer uma pequena munda nos dados e ver os resultados usando um único polinômio de Hermite e o polinômio de Hermite por partes. VAMOS CONSIDERAR AGORA A SEGUINTE TABELA:

25 x2:= 2.0: O valor da função f(x) f2:=2.8: Vamos denotar g valor da derivada g(x)=f ' (x) restart: with(plots): with(linalg): x0 d 1.0 : x1:=1.5: f0:=-1.0: f1:=1.35: g0:=0.8: g1:=-1.0: g2:=2.5: L0:=(x-x1)*(x-x2)/((x0-x1)*(x0-x2)):; L1:=(x-x0)*(x-x2)/((x1-x0)*(x1-x2)):; L2:=(x-x0)*(x-x1)/((x2-x0)*(x2-x1)):; DL0:=evalf(diff(L0,x),3); DL0 := 4.00 x K7.00 DL1:=evalf(diff(L1,x),3); DL1 := K8.00 x C12.0 DL2:=evalf(diff(L2,x),3); DL2 := 4.00 x K5.00 D0:=subs(x=x0, DL0); D0 := K3.000 D1:=subs(x=x1, DL1); D1 := 0. D2:=subs(x=x2, DL2); D2 := PHI0:=evalf((1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2,3); PHI0 := 4.00 K5.00 C6.00 x x K1.5 2 x K2.0 2 PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); PHI1 := 16.0 x K1.0 2 x K2.0 2 PHI2:=evalf((1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2,3); PHI2 := K6.00 x x K1.0 2 x K1.5 2 PSI0:=(x-x0)*(L0*L0); PSI0 := x K1.0 x K1.5 2 x K2.0 2 PSI1:=(x-x1)*(L1)^2; PSI1 := x K1.5 x K1.0 2 x K2.0 2 (141) (142) (143) (144) (145) (146) (147) (148) (149) (150) (151)

26 ? PSI2:=(x-x2)*(L2)^2; PSI2 := x K2.0 x K1.0 2 x K1.5 2 `?` PHI0:=evalf((1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2,3); PHI0 := 4.00 K5.00 C6.00 x x K1.5 2 x K2.0 2 PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); PHI1 := 16.0 x K1.0 2 x K2.0 2 PHI2:=evalf((1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2,3); PHI2 := K6.00 x x K1.0 2 x K1.5 2 As funções acima é a base da função base que interpola a função f(x). {PHI0, PHI1,PHI2} Note novamente que são polinômios de grau 5 e ortogonais. (152) (153) (154) (155) (156) LPHI0:=plot([PHI0(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): LPHI1:=plot([PHI1(x)], x=x0..x2, color=[blue], style=[line]): LPHI2:=plot([PHI2(x)], x=x0..x2, color=[green], style=[line]): display(lphi0,lphi1,lphi2):; CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI0:=(x-x0)*(L0*L0); PSI0 := x K1.0 x K1.5 2 x K2.0 2 PSI1:=(x-x1)*(L1)^2; PSI1 := x K1.5 x K1.0 2 x K2.0 2 PSI2:=(x-x2)*(L2)^2; PSI2 := x K2.0 x K1.0 2 x K1.5 2 Assim o Polinômio Interpolador de Hermite é dado por:( combinação dos elementos da base de f com a combinação dos elementos da base da derivada) OBERVE QUE O POLINÔMIO TEM GRAU 5 (157) (158) (159) P:=simplify(evalf(f0*PHI0+f1*PHI1+f2*PHI2+g0*PSI0+g1*PSI1+g2* PSI2,4)); # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE PROCURADO NO INTERVALO [X0,X2]. P := K x K x 3 C x 4 K x 5 C C x 2 CALCULABDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE (160)

27 Q:=simplify(evalf(diff(P,x),4)); Q := K2222. K6408. x 2 C2862. x 3 K470.0 x 4 C6238. x VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. f(x) (161) a0:=subs(x=x0, P);a1:=subs(x=x1, P);a2:=subs(x=x2, P); a0 := K a1 := a2 := b0:=subs(x=x0, Q);b1:=subs(x=x1, Q);b2:=subs(x=x2, Q); b0 := 0. b1 := K b2 := K (162) (163) Se desejamos saber o valor aproximado de f(x) e g(x) no ponto x=1.3, temos: P02:=plot([P(x)], x=x0..x2, color=[red], style=[line]): Os gráficos da cada derivada do polinômio de Hermite por partes é dado abaixo display(p02);

28 x K1 CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA INTERVALO [X0, X1]=[0,1]: GRAU DO POLINÔMIO É IGUAL A TRÊS PRIMEIRA PARTE L0:=(x-x1)/((x0-x1)); L0 := K x C L1:=(x-x0)/((x1-x0)); L1 := x K (164) (165) DL0:=evalf(diff(L0,x),3); DL0 := K2.00 (166) DL1:=evalf(diff(L1,x),3); DL1 := 2.00 (167) D0:=subs(x=x0, DL0); D0 := K2.00 (168)

29 D1:=subs(x=x1, DL1); D1 := 2.00 (169) CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI0:=evalf((1-2*D0*(x-x0))*(L0)^2,3); PHI0 := K3.00 C4.00 x K2.00 x C PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); PHI1 := 7.00 K4.00 x 2.00 x K (170) (171) O grafico acima é a base da função base que interpola a função f(x). Note que são polinômios de grau 3 e ortogonais. CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI0:=(x-x0)*(L0*L0); PSI0 := x K1.0 K x C PSI1:=(x-x1)*(L1)^2; PSI1 := x K x K (172) (173) Note novamente que são polinômios de grau 3 e ortogonais. POLINÔMIO DE HERMITE Assim o polinômio de Hermite é dado por:( combinação dos elementos da base de f com a combinação dos elementos da base da derivada) P1:=simplify(evalf(f0*PHI0+f1*PHI1+g0*PSI0+g1*PSI1,3)); # ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE PROCURADO NO INTERVALO [X0,X1]. P1 := x 2 K x C K x 3 CALCULABDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE (174) Q1:=simplify(evalf(diff(P,x),3)); Q1 := K2220. K6420. x 2 C2860. x 3 K470. x 4 C6240. x VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. (175)

30 a0:=subs(x=x0, P);a1:=subs(x=x1, P); a0 := K a1 := b0:=subs(x=x0, Q);b1:=subs(x=x1, Q); b0 := 0. b1 := K (176) (177) *********************************************************************************** * CÁLCULO DOS POLINÔMIOS DE LAGRANGE, PARA INTERVALO [X1, X2]=[1,2]: GRAU DO POLINÔMIO É IGUAL A TRÊS SEGUNDA PARTE L1:=(x-x2)/((x1-x2)); L1 := K x C L2:=(x-x1)/((x2-x1)); L2 := x K (178) (179) DL1:=evalf(diff(L1,x),3); DL1 := K2.00 (180) DL2:=evalf(diff(L2,x),3); DL2 := 2.00 (181) D1:=subs(x=x1, DL1); D1 := K2.00 (182) D2:=subs(x=x2, DL2); D2 := 2.00 (183) CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO PRIMITIVA f PHI1:=evalf((1-2*D1*(x-x1))*(L1)^2,3); PHI1 := 4.00 x K5.00 K2.00 x C PHI2:=evalf((1-2*D2*(x-x2))*(L2)^2,3); PHI2 := 9.00 K4.00 x 2.00 x K (184) (185) CÁLCULO DAS FUNÇÕES BASE PARA A FUNÇÃO g, DERIVADA DA FUNÇÃO f PSI1:=(x-x1)*(L1*L1); (186)

31 PSI1 := x K1.5 K x C PSI2:=(x-x2)*(L2)^2; PSI2 := x K x K POLINÔMIO DE HERMITE (186) (187) P2:=simplify(evalf(f1*PHI1+f2*PHI2+g1*PSI1+g2*PSI2,3));# ESSE É POLINÔMIO DE HERMITE PROCURADO NO INTERVALO [X1,X2]. P2 := K x 3 C x 2 K x C CALCULANDO A DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE (188) Q2:=simplify(evalf(diff(P2,x),3)); # DERIVADA DO POLINÔMIO DE HERMITE Q2 := K51.6 x 2 C188. x K166. VERIFICAÇÃO DA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E DE SUA DERIVADA NOS PONTOS TABELADOS. (189) a0:=subs(x=x1, P2);a1:=subs(x=x2, P2); a0 := a1 := b0:=subs(x=x1, Q2);b1:=subs(x=x2, Q2); b0 := K0.100 b1 := Se desejamos saber o valor aproximado de f(x) e g(x) no ponto x=0.6, temos: (190) (191) a3:=subs(x=1.5, P2); a3 := (192) b3:=subs(x=1.5, Q2); b3 := K0.100 (193) Note que as tabelas foram construídas a partir da função f(x)=x^2. Consequentemente a função g(x)=f (x)=2x Assim é facil de f(0.6)=0.36 e g(0.6)=1.2, tendo assim uma excelente aproximação. P01:=plot([P1(x)], x=x0..x1, color=[green], style=[line]): P12:=plot([P2(x)], x=x1..x2, color=[blue], style=[line]): Os gráficos da cada derivada do polinômio de Hermite por partes é dado abaixo display(p01,p12);

32 x K1 COMPRANDO OS GRAFICOS DOS POLINÔMIOS LINEAR POR PARTES COM O POLINÔMIO GLOBAL display P01, P12, P02 ; `?` (194)

33 x K1 Observe que nesse caso os dois polinômios por partes de grau 3 estão próximos do polinômio de grau 5 VALORES APROXIMADOS : OBSERVE QUE A DERIVADAS NÃO SÃO BEM APROXIMADAS. a1 subs x = 1.4, P1 ; b1 subs x = 1.4, Q1 ; a:=subs(x=1.4, P); b:=subs(x=1.4, Q); C:=subs(x=1.9, P); DD:=subs(x=1.9, Q); C1 subs x = 1.4, P2 ; a := b := K a1 := b1 := K C := DD := C1 := (195) (196) (197) (198) (199) (200) (201)

34 D1 subs x = 1.4, Q2 ; D1 := K3.936 (202)

35