TÓPICO. Fundamentos da Matemática II REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS E MEDIDAS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Sérgio Ricardo Muniz

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1 12 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS E MEDIDAS TÓPICO Sérgio Ricardo Muniz Fundamentos da Matemática II 12.1 Introdução 12.2 Tabelas e gráficos Gráficos em linha Gráficos em colunas Gráficos em barras Gráficos em setores (torta/pizza) Gráficos ternários ou triangulares Imagens e gráficos de superfície Histogramas 12.3 Análise de gráficos: regressão linear e ajustes de curvas ( curve fitting ) para extrair parâmetros de medidas Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Introdução Neste tópico faremos uma breve introdução à representação gráfica de valores numéricos e grandezas medidas experimentalmente. O texto complementa a videoaula, portanto, não deixe de assisti-la! Embora exista um grande número de aplicativos (softwares) que permitam a rápida produção de gráficos de boa qualidade no computador, é importante que você entenda bem os princípios básicos utilizados aqui, e seja também capaz de esboçar os gráficos no papel, por conta própria, antes de usar o computador. Isso é essencial para fixar os conceitos. Depois de compreendê-los bem, você será capaz de tirar mais vantagens dos programas de representação e análise gráficos disponíveis no mercado Tabelas e gráficos É comum expressar números e conjuntos de valores numéricos na forma de tabelas. Embora seja natural e bastante eficiente, essa forma de organizar uma coleção de números nem sempre é a mais fácil de interpretar, especialmente se a quantidade de dados (informação) é grande. Por isso, utilizam-se diferentes formas de representação gráfica, visando, sobretudo, facilitar a análise por meio da visualização direta da informação relevante. Existem inúmeras formas de fazer isso, e a mais conveniente e útil numa dada situação irá só depender do tipo de informação a ser analisada. Apresentamos aqui algumas das mais comuns e importantes Gráficos em linha Uma das formas mais usuais de representar graficamente uma tabela de valores é através de um diagrama do tipo cartesiano, onde as duas colunas da tabela são expressas ao longo de dois eixos ortogonais. Esse tipo de gráfico já nos é bem familiar, pois o temos usado desde o início do nosso curso, para representar funções do tipo y = f (x). Neste caso, lançam-se no gráfico os Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

3 212 Licenciatura em Ciências USP/Univesp valores da tabela na forma de pares ordenados segundo os dois eixos ortogonais do gráfico. Esse tipo de representação é excelente para representar a dependência de uma grandeza em função de uma variável independente, que é tipicamente colocada no eixo horizontal. No caso específico dos diagramas em linha, costuma-se usá-los para representar grandezas medidas ou determinadas apenas num conjunto discreto (finito) de valores. Em contraste com o caso onde tínhamos uma função matemática contínua, e completamente determinada em todos os pontos do domínio da função, neste caso os valores entre os pontos medidos (tabelados) não são conhecidos. É usual conectar os pontos medidos por um segmento de reta, apenas para indicar a tendência local de variação de um ponto ao outro. Neste tipo de gráfico fica subentendido que os segmentos são meramente indicativos, e não representam valores conhecidos. Para enfatizar isso, é comum usar símbolos para representar os pontos (dados reais), de modo a destacá-los daqueles que formam os segmentos de retas. Um exemplo disso pode ser observado na Figura Ano Temp. ( C) , , , , , , , , , , , ,52 Tabela 12.1 Figura 12.1: Exemplo de um gráfico em linhas mostrando a temperatura média da superfície da Terra nas últimas décadas. Apenas os pontos representam os dados. Uma variação natural desse tipo de diagrama é representar apenas os ponto conhecidos (medidos) da Tabela 12.1, e não usar nenhuma linha conectando os mesmo. Esse tipo de gráfico é chamado de diagrama ou gráfico de pontos, ou ainda diagrama de dispersão de pontos. Um exemplo disso seria simplesmente imaginar o diagrama da Figura 12.1 sem as linhas vermelhas conectando os pontos azuis. TÓPICO 12 Representação gráfica de Grandezas e medidas

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Gráficos em colunas Outra forma muito útil de representar tabelas de dados numéricos, especialmente àquelas com várias colunas numéricas, é usar um gráfico em colunas. Esse tipo de diagrama é interessante para rapidamente visualizar a comparação (ou variação) de um valor com relação a outro, pois esses são representados por colunas dispostas lado a lado, com tamanhos proporcionais aos respectivos valores numéricos. Por isso, esse tipo de gráfico é usado especialmente para mostrar comparações diretas entre diversos valores que guardam alguma relação lógica entre eles, mas que provêm de grandezas ou medidas diferentes. Um exemplo disso é mostrado na Tabela 12.2, que apresenta dados proporcionais à atividade solar ao longo dos meses de diferentes anos. A representação gráfica, comparando essas medidas, é feita na Figura Janeiro Março Abril Julho Tabela 12.2 Neste caso, ao olhar para o gráfico percebemos imediatamente que a atividade solar mensal do ano de 2004 é claramente menor. Figura 12.2: Exemplo mostrando o número de manchas solares, indicador da atividade do Sol, ao longo dos meses em diferentes anos. Este exemplo ilustra uma boa aplicação deste tipo de gráfico. Outra aplicação importante desse tipo de gráfico é na visualização das contribuições parciais de vários parâmetros que resultam numa grandeza que é representada pela soma desse Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

5 214 Licenciatura em Ciências USP/Univesp conjunto de valores. Além de fornecer uma visualização direta das proporções relativas de cada componente, esse tipo de diagrama permite acompanhar a evolução dessa grandeza em diferentes momentos ou situações. Vejamos um exemplo prático, representado na Tabela 12.3, onde temos os tempos gastos por diferentes equipes na fabricação de um determinado item, que depende de quatro processos diferentes. Processo 1 Processo 2 Processo 3 Processo 4 Equipe 1 13 s 20 s 5 s 27 s Equipe 2 5 s 33 s 12 s 17 s Equipe 3 11 s 25 s 7 s 20 s Tabela 12.3 Neste caso, o tempo total de produção desse item é dado pela soma dos tempos (parciais) dos processos de 1 a 4. Observe que há uma grande variabilidade entre os tempos médios parciais das equipes. A simples identificação dos melhores tempos, com a aplicação das melhores práticas de cada equipe, já permitiria um grande ganho de produção final. Figura 12.3: Exemplo das contribuições parciais de diferentes processos no tempo total de produção de um componente montado por várias equipes. A coluna da direita representa os melhores tempos possíveis em cada processo Gráficos em barras Os diagramas em barras são uma variação dos diagramas em colunas, mudando apenas a direção em que os mesmos são apresentados. A escolha de qual usar irá depender da conveniência, ou do tipo de informação que se pretende destacar, pois ambas as representações possuem as mesmas propriedades. A Figura 12.4 TÓPICO 12 Representação gráfica de Grandezas e medidas

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 215 ilustra uma aplicação típica desse tipo de gráfico, usando dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). Figura 12.4: Exemplos de gráficos em barras, comparando as distribuições por faixa etária entre homens e mulheres no Brasil, assim como a evolução da mesma em diferentes anos, ao longo de uma década. Imagine ler esses dados numa tabela. Uma ligeira vantagem da representação em barras horizontais é que ela permite uma densidade maior de informação, quando há um grande número de valores a ser apresentado. Um ótimo exemplo disso é dado na Figura 12.4, onde é mostrada uma quantidade grande de informação de forma bem compacta. Para perceber a vantagem da representação gráfica, basta imaginar se você tivesse que analisar esses dados diretamente de uma tabela. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

7 216 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Gráficos em setores (torta/pizza) Uma limitação dos diagramas anteriores é que eles não permitem visualizar facilmente qual porção (fração percentual) um determinado item representa de um valor total. Assim, se a informação mais importante é justamente a contribuição relativa de uma determinada porção, ou setor, dentro de um conjunto de parâmetros ou medidas, então a escolha mais natural é utilizar um gráfico de setores, ou diagrama em torta ou pizza. A Figura 12.5 ilustra um exemplo desse tipo de representação, onde os setores circulares são proporcionais aos valores da grandeza expressas. Na grande maioria dos casos, a soma de todas as partes representadas equivale à área total do círculo, de modo que cada setor é exatamente igual à fração percentual do total, permitindo uma comparação direta das porções. Figura 12.5: Exemplo de um diagrama setorial, ou gráfico em pizza, mostrando a população estimada para 2010, das seis maiores cidades do mundo. Neste caso cada setor é proporcional a sua fração individual na soma de todas as partes Gráficos ternários ou triangulares Há situações onde a informação desejada pode depender de mais de um parâmetro ou variável. Já vimos que, em alguns casos, os gráficos do tipo barras ou colunas nos permite representar mais de um parâmetro ao mesmo tempo, porém, eles nem sempre permitem uma visualização da relação entre diferentes grandezas que não são relacionadas diretamente, ou que não possam ser categorizadas segundo uma ordem lógica. Um exemplo dessa situação ocorre quando temos três variáveis independentes. Uma maneira interessante de fazer isso, ainda numa representação plana bidimensional, é usar os chamados diagramas ternários ou gráficos triangulares. TÓPICO 12 Representação gráfica de Grandezas e medidas

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 217 Neste tipo de gráfico cada eixo representa uma variável, que é expressa num dos lados de um triângulo de referência. As escalas são traçadas paralelamente a cada um dos lados da figura, e os pontos representando as grandezas de interesse são então dispostos dentro do triângulo, de forma semelhante ao método cartesiano (embora aqui as coordenadas não sejam cartesianas, mas sim um caso particular de um sistema de coordenadas baricêntrico). Cada ponto é expresso por triplas de coordenadas ordenadas, não cartesianas. A Figura 12.6 ilustra uma aplicação desse tipo de representação, usando um dos exemplos mencionados na videoaula, envolvendo propriedades físico-químicas de misturas ternárias (três substâncias). Figura 12.6: Exemplo ilustrativo de um diagrama ternário, para mistura de três substâncias químicas: metanol, acetona e clorofórmio Imagens e gráficos de superfície Existem outras formas de representar um conjunto de dados que dependa de mais de uma variável. Uma forma bastante comum é a extensão natural do método cartesiano bidimensional, pela adição do terceiro eixo. Embora a representação ainda seja bidimensional, pois é feita num plano (papel, tela, etc), ela se utiliza do desenho em perspectiva para simular um efeito tridimensional. Já vimos alguns exemplos desse tipo de representação ao longo do curso, particularmente ao lidar com problemas que dependiam das três coordenadas espaciais cartesianas. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

9 218 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Figura 12.7: Exemplo de um gráfico tridimensional, indicando a trajetória de uma partícula carregada num campo magnético uniforme. A Figura 12.7 mostra um exemplo desse tipo de diagrama, para uma partícula carregada em movimento helicoidal num campo magnético uniforme. Neste caso, como estamos representando uma solução analítica (exata) do problema, foi utilizado uma linha contínua (vermelha) para indicar a trajetória da partícula (azul). Se tivéssemos feito medidas da posição em diferentes instantes de tempo, poderíamos apenas lançar os pontos representando o conjunto de coordenadas (x (t); y (t); z (t)) no diagrama. Esse mesmo método pode ser usado para representar figuras geométricas em três dimensões ou funções que dependem de duas variáveis, já que a neste caso o próprio valor da função irá ocupar o terceiro eixo, segundo (x; y; z (x, y)). Um exemplo da representação de um objeto tridimensional, neste caso uma superfície toroidal, é mostrado na Figura Figura 12.8: Exemplo da representação de uma figura geométrica tridimensional, neste caso uma superfície toroidal. Poderia ser também uma figura sólida. TÓPICO 12 Representação gráfica de Grandezas e medidas

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 219 Da mesma forma, pode-se também utilizar essa representação para dados experimentais, além de funções matemáticas. Na Figura 12.9 mostramos um exemplo desse tipo, com dados reais de um laboratório de física atômica, onde se destaca o fato de que uma imagem (bidimensional) é também uma forma prática de representar um conjunto de dados, ou uma função matemática, que dependa de duas variáveis. No caso da imagem, a quantificação da grandeza está expressa na escala de cores (neste caso, uma escala de tons em cinza). Outra forma de representar a mesma medida é dada ao lado, onde se utiliza um diagrama ou gráfico de superfície dos mesmos dados. Note que ambas as ferramentas são complementares, e ajudam a facilitar a visualização de diferentes aspectos da mesma informação. a b Figura 12.9: diferentes formas de representar dados experimentais de uma grandeza que varia em duas direções. Ambas as figuras representam os mesmos dados: a medida da densidade espacial de uma amostra de átomos ultrafrios (condensado de Bose-Einstein, T 100 nk), após serem liberados de uma armadilha óptica. Em a) temos uma imagem de absorção de um laser de prova, ressonante com um dos níveis de energia dos átomos, enquanto b) temos um diagrama de superfície Histogramas Esse é um tipo particular de gráficos de barras, ou colunas, que tem grande aplicação na análise estatística. A principal utilidade dos histogramas está em fornecer o número de itens que estão entre uma determinada categoria numérica, ou faixa de valores. Isso permite, por exemplo, estabelecer a frequência (contagem) com que ocorre certa faixa de valores dentro de um conjunto de medidas ou amostragem. Na verdade, esse tipo de diagrama também já foi apresentado a vocês durante o curso de Estrutura da Matéria, quando estudamos a função de distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann. Naquele caso, o diagrama mostrava justamente a distribuição (número de moléculas numa certa faixa, ou intervalo) de velocidades. Por isso, esse tipo de gráfico é muito usado para expressar Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

11 220 Licenciatura em Ciências USP/Univesp grandezas que seguem certos tipos especiais de distribuição de probabilidade. Nós voltaremos a esse assunto mais adiante no nosso curso, mas para fixar o conceito iremos ilustrar aqui um exemplo simples. Categoria Valores Vendas Faixa 1 R$ 1 - R$ 5 8 Faixa 2 R$ 6 - R$ 10 6 Faixa 3 R$ 11 - R$ 15 4 Faixa 4 R$ 16 - R$ 20 2 Faixa 5 R$ 21 - R$ 25 4 Faixa 6 R$ 26 - R$ 30 6 Faixa 7 R$ 31 - R$ 50 2 Tabela 12.4 Figura 12.10: histograma construído a partir dos dados da Tabela 12.4, mostrando o número de itens vendidos em cada faixa de preço. Imagine que os moradores de uma república estudantil resolveram vender objetos pouco usados da casa, para ganhar espaço. Um deles, que está aprendendo sobre métodos estatísticos, decide montar um histograma que mostre o resultado das vendas por faixa de valores, conforme indicado na Tabela Note que se trata de um gráfico de colunas, onde a grandeza de interesse é a frequência de ocorrência de certa condição, neste caso, o número de elementos (vendas) dentro de uma certa faixa de valores. Outra forma de expressar histogramas é em termos do valor relativo, ao invés do valor absoluto. Neste caso, bastaria dividir os valores indicados no eixo vertical pelo número total de vendas, que neste caso é 32, para ter a fração de venda que cada categoria contribui para o total Análise de gráficos: regressão linear e ajustes de curvas ( fitting ) para extrair parâmetros de medidas No seu trabalho, um cientista está frequentemente tentando entender como um efeito, ou grandeza física (no seu sentindo mais amplo), depende de certos parâmetros ou variáveis. Esse tipo de situação não é exclusividade dos cientistas, mas ocorre também em praticamente todas as áreas que envolvam números e medidas, como a engenharia, economia e até computação. TÓPICO 12 Representação gráfica de Grandezas e medidas

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 221 Uma das relações mais simples e importantes que se pode observar entre duas grandezas é a do tipo linear. No caso mais geral, se considerarmos duas grandezas representadas pelas variáveis x e y, que têm uma relação de proporcionalidade entre elas, isso pode ser expresso matematicamente por: y = Ax + B, onde A e B são parâmetros constantes. Neste caso, o gráfico de y versus x deveria ser uma linha reta cuja inclinação (coeficiente angular) é dada por A e que intersecta o eixo y no ponto y = B. Por exemplo, imagine que tenhamos feito um conjunto de N medidas para diferentes valores x 1, x 2, x 3,..., x N e os correspondentes valores y 1, y 2, y 3,..., y N. Se essas medidas fossem perfeitas, isto é, não sujeitas a nenhuma incerteza ou erro experimental, então cada ponto (x i ; y i ) deveria cair exatamente sobre a reta y = Ax + B, como na Figura 12.11a. Na prática, porém, sempre existirá alguma incerteza e o melhor que podemos esperar é que a distância de cada ponto (x i ; y i ) até a reta seja o menor possível, e compatível com as incertezas da medida, conforme indicado na Figura 12.11b. a b Figura 12.11: a) idealização de duas grandezas linearmente proporcionais, conforme y = Ax + B, determinadas sem nenhuma incerteza. b) Na prática, sempre há alguma incerteza (representada pelas barras de erro), e os pontos medidos irão apenas se aproximar de uma linha reta, que melhor representa o conjunto de medidas. Métodos de análise, do tipo regressão linear, permitem estimar, diretamente dos dados experimentais, os parâmetros A e B da reta. Apesar da dispersão e incerteza associada aos valores dos pares (x i ; y i ) medidos, é possível ainda extrair os parâmetros da reta, isto é, os valores dos coeficientes A e B, que descrevem a relação matemática entre os dados. No caso ilustrado na Figura 12.11b, por exemplo, a coisa mais simples de se fazer é traçar a melhor reta (aquela de menor distância da maioria dos pontos) diretamente no gráfico. Esse é um procedimento prático e bastante simples, que pode ser feito mesmo manualmente com papel e régua. Isso irá fornecer um resultado tipicamente tão bom quanto maior for o número de pontos medidos. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

13 222 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Na verdade, existe uma forma matemática bem precisa e formal de fazer isso, mas os detalhes do cálculo estão além do nosso objetivo neste momento. O importante agora é você entender a ideia. A ideia é bem simples, e basicamente consiste numa generalização matemática do que faríamos manualmente, tentando traçar a melhor curva que passa pelo conjunto de pontos medidos. Para isso é necessário criar um modelo matemático, assumindo uma dependência funcional (equação), que descreva os pontos observados. Isso é necessário para que possamos calcular a distância entre os pontos medidos e os pontos dessa curva de referência, produzida pelo modelo. O objetivo final é obter os parâmetros da curva modelo que mais se aproxima dos pontos medidos. O conceito importante aqui é o de distância entre um ponto e a curva (reta), e para os nossos propósitos essa distância será expressa em termos da diferença entre os valores das coordenadas de cada ponto medido e os correspondentes pontos da curva modelo. Essa diferença representa o erro na medida daquele ponto. Como, no final, o objetivo será somar todos os erros e achar a curva que minimiza essa soma, é importante tomar o cuidado de elevar ao quadrado os erros calculados de cada ponto, de modo a termos apenas valores positivos antes de fazer a soma. Esse processo de minimização dos erros ao quadrado é que dá origem ao nome geral desse tipo de método, que é formalmente conhecido como método dos mínimos quadrados. Para ilustrar o método e ajudar a fixar o conceito, nós iremos finalizar com um exemplo prático, ilustrando a regressão linear de um conjunto de medidas. A ideia é que vocês sejam já capazes de usar esses resultados, na análise de uma prática de laboratório, por exemplo, mas neste momento convém apenas apresentar os resultados finais, sem demonstrá-los formalmente. A ideia é fornecer uma ferramenta útil, sem desviar a atenção do conceito principal. Aqueles mais interessados não terão dificuldades de achar a demonstração detalhada dos cálculos em livros especializados. Exemplo 01: Verificação da Lei de Hooke Neste exemplo iremos considerar um conjunto de medidas feito por um estudante de engenharia, tentando verificar se uma balança de mola obedece a Lei de Hooke, isto é, confirmar se o deslocamento da mola é proporcional (linear) à força exercida sobre ela: F = kr. Para isso ele utilizou um conjunto de N diferentes massas (m i ), com valores bem conhecidos, e mediu o tamanho (l i ) da mola ao pendurar cada massa na balança. Os resultados estão na Tabela Abaixo também estão indicadas as fórmulas usadas pelo aluno para calcular os coeficientes da reta, e os valores auxiliares usados nos cálculos. Siga os cálculos e entenda como funciona. TÓPICO 12 Representação gráfica de Grandezas e medidas

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 223 Se y = Ax + B, então: N xy x y A = B = sendo 2 x y x xy u = N x ( x) 2 2 N i= 1 u i i x Massa m i (kg) y Tamanho l i (cm) (m i ) 2 m i l i , , , , , N = 5 m i = 30 l i = 256,6 m i 2 = 220 m i l i = 1622 Tabela 12.5 Neste caso: (x i m i ) e (y i l i ) l = Am + B = N m m = = A ( ) (30) 200 N ml m l , 6 = = m l m ml , B = = 200 B = 39,0 cm Figura g g F = kl = mg l = m l0 A k + = (inclinação do gráfico); B = l (coef. linear) k 0 Sendo k: constante de mola, g: aceleração da gravidade; l 0 : tamanho inicial da mola. Referências Bibliográficas do tópico Magalhães, M. N. & Lima, A. C. P de. Noções de Probabilidade e Estatística 4. ed., São Paulo: Edusp, Spiegel, M. R. Estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, Gomes Ruggiero, M. A. & Rocha Lopes, V. L. da. Calculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, Taylor, J. R. An introduction to error analysis. 2. ed. University Science Books, Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

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