NÍVEIS DE GENERALIDADE MANIFESTADOS POR ESTUDANTES DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL EM UMA TAREFA DE PADRÕES

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1 NÍVEIS DE GENERALIDADE MANIFESTADOS POR ESTUDANTES DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL EM UMA TAREFA DE PADRÕES Keila Tatiana Boni 1 Universidade Estadual de Londrina keilaboni@hotmail.com Angela Marta Pereira das Dores Savioli 2 Universidade Estadual de Londrina angelamarta@uel.br Débora Cristina Silva Dariva 3 Escola Municipal José Brazil Camargo dedariva@gmail.com Siumara Regina Bovo Urtado 4 Escola Municipal José Brazil Camargo siumarabovo@brturbo.com.br Resumo: Baseando-nos na pesquisa de Radford (2006), bem como em alguns estudos que defendem o desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais, apresentamos neste artigo os resultados de uma investigação que objetivou identificar e analisar as maneiras pelas quais estudantes do 5º ano buscam atribuir sentido para uma tarefa de padrões, bem como caracterizar em que nível de generalidade tem sido manifestado essa atribuição de sentido. Para tanto, aplicamos uma tarefa de padrões para três estudantes selecionados arbitrariamente e coletamos as informações necessárias por meio de registros escritos e gravação em vídeo. Tendo realizado uma análise descritivo-interpretativa, inferimos que os estudantes manifestaram pensamento algébrico em um nível elementar. Além disso, concluímos que tarefas envolvendo padrões se mostram potenciais para desenvolver o pensamento algébrico, bem como que a interação social é essencial para esse processo de desenvolvimento. Palavras-chave: Educação Matemática. Pensamento Algébrico. Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Níveis de Generalidade. Introdução 1 Estudante do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática (PECEM) UEL. 2 Doutora em Matemática/USP-SP e Docente da Licenciatura em Matemática e Programa de Mestrado e Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática (PECEM) UEL. 3 Docente da Escola Municipal José Brazil Camargo Apucarana/PR. 4 Docente da Escola Municipal José Brazil Camargo Apucarana/PR.

2 Os currículos de Matemática têm enfatizado o início do ensino da Álgebra formal 5 nos anos finais do Ensino Fundamental, mais especificamente a partir do 7º ano. Nesse momento, aos estudantes são apresentados conceitos abstratos, envolvendo símbolos alfanuméricos que, em geral, os estudantes não conseguem atribuir sentido. Muitos professores se concentram em apresentar aos seus estudantes técnicas, as quais são reproduzidas por estes sem refletir e compreender todo o processo. Se voltarmos nossa atenção para a história da Álgebra perceberemos que a Álgebra formal, tal como a conhecemos hoje, é oriunda de um longo processo que envolveu outros diversos tipos de linguagem, em especial, o discurso. É nesse sentido que acreditamos que o ensino da Álgebra não pode ser reduzido ao uso de símbolos, uma vez que existem diversos meios semióticos para expressar ideias algébricas. De maneira análoga ao desenvolvimento histórico da Álgebra formal, o desenvolvimento do pensamento algébrico depende de um processo longo de desenvolvimento desse tipo de pensamento por meio da valorização dos diversificados meios semióticos pelos quais os estudantes manifestam suas compreensões sobre conceitos algébricos. Assim, o pensamento algébrico pode e precisa começar a ser desenvolvido mais cedo, já nos anos iniciais do Ensino Fundamental, e, para isso, éessencial que o professor crie condições pedagógicas para esse fim, selecionando tarefas propícias para desenvolver o pensamento algébrico e valorizando os meios semióticos que os estudantes utilizam para manifestar suas compreensões. É nessa perspectiva que apresentamos os resultados de uma investigação na qual visamos identificar e analisar as maneiras pelas quais estudantes do 5º ano buscam atribuir sentido para uma tarefa de padrões, bem como caracterizar em que nível de generalidade tem sido manifestado essa atribuição de sentido. O Pensamento Algébrico e a teoria de Radford De maneira contrária ao que observamos no ensino de Matemática atual, com relação ao ensino da Álgebra, este não pode consistir apenas na manipulação de símbolos, mas em desenvolver uma maneira de pensar algebricamente, a qual precisa começar a ser desenvolvida nos anos iniciais de escolaridade. 5 Entendemos Álgebra formal como aquela que envolve o uso de símbolos.

3 De acordo com Kieran Pensamento algébrico nos anos iniciais envolve o desenvolvimento de formas de pensar no âmbito das atividades para as quais a linguagem simbólica pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivas para álgebra e com as quais podem se envolver sem usar qualquer linguagem simbólica, tais como analisar relações entre quantidades, observar a estrutura, estudar variações, generalizar, resolver problemas, modelar, justificar, provar e prever 6 (KIERAN, 2004, p. 149). Em concordância com Kieran (2004), Radford (2006) defende que o pensamento algébrico é uma maneira particular de refletir sobre objetos matemáticos. Segundo esse autor, o pensamento algébrico pode ser caracterizado por três elementos: por seu caráter indeterminado, pelo seu tratamento analítico e pela simbologia para designar objetos. O primeiro se refere ao fato do pensamento algébrico envolver objetos desconhecidos (incógnitas, variáveis e parâmetros), sendo esses objetos desconhecidos passíveis de tratamento analítico, podendo, por fim, serem representados por símbolos alfanuméricos. Contudo, tal como Kieran (2004), Radford (2006) defende que a álgebra não se reduz a simbolismo. Para Radford (2001), além da linguagem simbólica, muitas notações algébricas, no decorrer da história, se basearam em discurso, além de outros sistemas semióticos. Em Radford (2006) encontramos os resultados de uma pesquisa com estudantes de faixa etária entre 13 e 15 anos, que ao se envolverem com tarefas de padrões manifestaram pensamento algébrico por meio de discurso, de gestos e de desenhos. E, é nesse estudo de Radford (2006) que nos baseamos para realizar nossa pesquisa: defendendo que o pensamento algébrico pode ser desenvolvido mais cedo, já nos primeiros anos de escolaridade, nos interessamos por realizar uma investigação análoga à de Radford (2006), porém, no 5º ano do Ensino Fundamental, com estudantes entre 10 e 11 anos, os quais ainda não tiveram contato com uma linguagem simbólica. Em Radford (2006), o autor busca compreender os processos de produção de sentido dos estudantes sujeitos de pesquisa ao se envolverem com tarefas de padrões. Para este autor, esse processo de produção de sentido é mediado por uma atividade 6 Versão nossa de Algebraic thinking in the early grades involves the development of ways of thinking within activities for which letter-symbolic algebra can be used as a tool but which are not exclusive to algebra and which could be engaged in without using any letter-symbolic algebra at all, such as, analyzing relationships between quantities, noticing structure, studying change, generalizing, problem solving, modeling, justifying, proving, and predicting.

4 multi-semiótica, que consiste em palavras, gestos, desenhos, fórmulas, etc. Dessa forma, o objeto matemático gradativamente emerge para o sujeito, e todo esse processo de busca por dar sentido a um objeto é chamado por Radford (2006) de processo de objetificação. Durante esse processo, as atividades multi-semióticas passam a ser denominadas de meios semióticos de objetificação. Foi por meio da análise dos processos de produção de sentido que Radford (2006) inferiu níveis de generalização dos estudantes investigados, quando estes se envolviam com tarefas de padrões. Esses níveis de generalização são apresentados no Quadro 1 e explicados na sequência. Quadro 1 - Estratégias dos estudantes para lidar com atividades de padrões e a subdivisão das generalizações algébricas, de acordo com o seu nível de generalidade 7. Indução ingênua Generalização Adivinhação Aritmética (Tentativa e erro) Fonte: Radford (2006, p. 15). Algébrica Factual Contextual Simbólica A primeira estratégia, chamada por Radford (2006) de indução ingênua, consiste na estratégia de tentativa e erro, ou seja, na adivinhação de termos e de expressões para descrever uma regularidade. Portanto, esse processo não é considerado como generalização. Quanto às formas de generalizações, Radford (2006) afirma que nem sempre essas são algébricas. No caso de uma tarefa de padrões, quando um estudante consegue compreender uma regularidade entre os termos imediatos da sequência, mas ainda não é capaz de elaborar uma regra que lhe permita encontrar qualquer termo da sequência, a generalização manifestada por ele é apenas uma generalização aritmética. A generalização algébrica, por sua vez, vai além da percepção de regularidade de um termo a outro termo consecutivo: é preciso aplicar a regularidade apreendida para qualquer termo da sequência e, portanto, envolve o caráter indeterminado e analítico da 7 Versão nossa de Students strategies for dealing with pattern activities and the subdivision of algebraic generalizations in accordance with their level of generality.

5 álgebra. Nesse processo, Radford (2006) pontua que a generalização algébrica passa por três níveis: a generalização factual, na qual o estudante já consegue estabelecer uma relação entre a regularidade encontrada entre termos consecutivos com a posição da figura, sendo assim capaz de determinar qualquer termo mais avançado da sequência, sem precisar, por exemplo, desenhar termo a termo. Nesse caso, o que importa não é [...] o resultado numérico em si, mas o caminho que os alunos iriam escolher/construir para elaborar uma regra ou método de cálculo [...] (VELOSO, 2012, p. 50). Ainda, nesse nível de generalização os mecanismos de percepção de regularidades envolvem coordenação rítmica de recursos semióticos, como gestos, palavras, desenhos, entre outros, e a indeterminação permanece implícita. a generalização contextual, na qual os estudantes vão além da determinação de figuras particulares, para a determinação de uma expressão geral. Nesse momento, ocorre ainda o que Radford (2006) chama de contração semiótica, que consiste na exclusão de vários meios semióticos, os quais são compensados por uma concentração de significados em um número reduzido de símbolos, tornando a indeterminação explícita. Porém, nesse nível de generalidade a expressão geral ainda é manifestada apenas por meio de palavras, não fazendo uso do simbolismo algébrico padrão. a generalização simbólica, na qual o estudante já consegue escrever com uma linguagem simbólica uma expressão geral que, até então, só havia manifestado por linguagem natural (escrita ou oral). Tendo como base os elementos apresentados da teoria de Radford (2006), analisaremos os processos de atribuição de sentido dos nossos sujeitos de pesquisa diante de tarefas envolvendo padrões. Os detalhes sobre a aplicação, a coleta de informações, a análise, bem como os resultados obtidos serão a partir de agora esclarecidos. Procedimento metodológico A presente pesquisa foi desenvolvida em uma escola municipal da cidade de Apucarana-PR, a qual está vinculada ao Programa Observatório da Educação, por meio do projeto Educação Matemática de Professores que Ensinam Matemática, do

6 qual as três autoras são participantes. O objetivo desse projeto é desenvolver estudos e pesquisas na área de educação e, consequentemente, contribuir para a elevação da nota da referida escola no Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) 8. Nossos sujeitos de pesquisa são três estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental. A escolha pelo 5º ano deu-se porque esse é o último ano escolar ofertado na instituição e, portanto, em relação aos demais anos escolares, já tiveram contato com um maior número de conceitos matemáticos. Os três estudantes foram selecionados de maneira arbitrária e optamos por apenas três estudantes, por considerarmos que realizar a análise com apenas três já seria o suficiente para obtermos de maneira profícua alguns resultados relevantes. Vale ressaltar que dentre os três estudantes selecionados, ainda no início da aplicação, um estudante se recusou a participar e, então, o substituímos por outro. Visando atingir nossos objetivos de pesquisa (identificar e analisar a maneira pela qual estudantes do 5º ano buscam atribuir sentido para uma tarefa de padrões, bem como caracterizar em que nível de generalidade tem sido manifestado essa atribuição de sentido), selecionamos e adaptamos uma das tarefas aplicadas por Radford (2006), a qual é apresentada a seguir. 1) Considere os três primeiros termos da sequência: Figura 1 Figura 2 Figura 3 a) Qual o total de círculos da Figura 5? Explique como pensou. b) Qual o total de círculos da Figura 25? Explique como pensou. c) Qual o total de círculos da Figura 100? Explique como pensou. d) Você é capaz de encontrar qualquer termo dessa sequência? ( ) sim ( ) não Se sim, como poderíamos criar uma regra que permitisse saber qualquer figura dessa sequência? Explique como pensou. Fonte: Adaptado de Radford (2006, p. 04). 8 A nota é obtida por meio das informações do Censo escolar e do desempenho dos estudantes nas avaliações do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Anísio Teixeira (Inep). No caso do 5º ano do Ensino Fundamental, essa avaliação é a Prova Brasil, cujo foco em Matemática é a resolução de problemas.

7 Para a realização dessa tarefa os estudantes despenderam, aproximadamente, uma hora e quinze minutos. Durante a aplicação, estiveram presentes as três autoras desse trabalho, as quais ficaram responsáveis por realizar as intervenções necessárias e a gravação em vídeo. Destacamos que todos os estudantes investigados já possuem arquivados na escola termos de consentimento para realizarmos esse tipo de pesquisa. Tendo obtido as informações necessárias, o vídeo foi transcrito e analisado. Sendo essa investigação de natureza qualitativa, analisamos as informações obtidas de maneira descritivo-interpretativa, tal como foi realizada a pesquisa de Radford (2006), na qual nos baseamos. A análise das informações coletadas Organizamos nossa análise por item (a, b e c). O item d não foi analisado, pois nenhum dos estudantes forneceu respostas para este. Visando manter o anonimato dos estudantes sujeitos de pesquisa, os denominamos de E1, E2, E3 e E4, sendo E4 o estudante que substituiu E3 na aplicação, cujo motivo da substituição é relatado na análise do item a. As pesquisadoras, autoras desse trabalho, foram denominadas de P1, P2 e P3. Análise do item a: Após lerem a tarefa e tentarem compreender a sequência, os estudantes iniciaram a resolução do item a. Nesse item pedia-se o total de círculos da figura cinco. A estratégia dos estudantes para solucionar esse item da tarefa foi desenhar o próximo termo da sequência (quarta figura) para, então, desenhar a figura cinco. A seguir, destacamos um excerto das falas dos estudantes, bem como dos pesquisadores, nesse momento: [...] P2 Quanto deu na figura 5? E2 Na primeira fileira deu seis e na segunda, sete. P2 Mas quanto deu no total? E2 Treze. [...] P2 Por que vocês acham que deu treze? Como vocês pensaram? E1 Porque cada figura aumenta duas bolinhas. P1 Onde que aumenta duas bolinhas? E2 [...] Aumenta uma bolinha em cada figura. P2 Você está dizendo que aumentou uma bolinha em cada figura ou em cada linha? E2 Em cada linha.

8 P2 Duas bolinhas em cada linha? E1 Não, é em cada figura. P2 E qual a diferença de aumentar uma bolinha em cada linha e aumentar duas bolinhas em cada figura? E1 É a mesma coisa. O estudante E2, ao ser questionado sobre o número de círculos que encontrou para a figura cinco, ao invés de responder o total, respondeu seis na primeira fileira e sete na segunda. Mais adiante, ele justifica que em cada figura da sequência foram aumentando dois círculos, sendo acrescentado um em cada linha, conforme ilustramos na Figura 1: Figura 1 Percepção de E2 de regularidade na sequência Figura 1 Figura 2 Figura 3 Na Figura 2, apresentamos a regularidade percebida na sequência por E1. Figura 2 Percepção de E1 de regularidade na sequência Figura 1 Figura 2 Figura 3 Conforme podemos observar nas Figuras 1 e 2, os estudantes E1 e E2 olharam de maneiras diferentes para a sequência: enquanto E2 percebeu que aumentava um círculo na primeira linha, e mais um círculo na segunda linha, E1 percebeu que aumentam dois círculos em cada figura. O estudante E3, respondeu que havia doze círculos na figura cinco e não soube justificar como pensou. O que percebemos durante a aplicação é que E3 não estava compreendendo a tarefa, o que o levou a desistir. O estudante E4, que substituiu E3, percebeu que a cada figura aumentavam dois círculos, da mesma maneira que E1 observou.

9 Na resolução do item a pudemos inferir, de acordo com nossos estudos sobre a teoria de Radford (2006), que nesse momento os estudantes E1, E2 e E4 fizeram uma generalização aritmética. Essa inferência se baseia no fato dos estudantes perceberem uma regularidade entre as figuras consecutivas da sequência, sendo capazes de descobrir o número de círculos da figura subsequente à outra conhecida, bem como pelo fato de que, para conhecer o número de círculos da figura cinco, os três estudantes continuaram a sequência, desenhando o número de círculos do termo quatro. Ainda, quando os estudantes reconhecem que ambas as maneiras de olhar para a sequência significam a mesma coisa, reforçamos nossa inferência de que houve generalização. Análise do item b Para análise do item b, no qual se pedia a quantidade de círculos da figura vinte e cinco, destacamos o excerto de falas dos estudantes durante envolvimento com esse item: E2 Agora tem que fazer até a figura vinte e cinco. E1 Pode fazer conta? P3 Pode. E1 Porque daí a gente faz uma conta de vezes. [...] Eu acho que como a gente tem o resultado da figura cinco, fica mais fácil fazer de cinco em cinco [enquanto explica, ela faz vários gestos com as mãos. Em seguida, ela conta em voz baixa, nos dedos, levantando os dedos indicador, médio, anelar e mindinho representando, respectivamente, os números dez, quinze, vinte e vinte e cinco] Daí dá para fazer treze vezes o cinco. P2 Deu sessenta e cinco. No excerto que destacamos, percebemos que E2 continua no nível de generalidade aritmética, pois não manifestou ter encontrado uma regra que simplifique descobrir a quantidade de círculos da figura vinte e cinco, considerando necessário fazer todos os desenhos, desde a figura cinco até a vinte e cinco. Quanto ao estudante E1, percebemos que ele recorreu aos meios semióticos de objetificação, de maneira mais específica, ao recurso dos gestos e à contagem de cinco em cinco, fazendo bijeção com os dedos. Quanto ao nível de generalização, consideramos, no primeiro momento, como o que Veloso (2012) chama de falsa generalização, pois E1 apresentou uma estratégia equivocada para determinar a quantidade de círculos da figura vinte e cinco. Essa estratégia consistiu em aproveitar o resultado obtido na figura cinco (treze círculos) para multiplicar por cinco, uma vez que vinte e cinco é múltiplo de cinco e representa cinco vezes o cinco.

10 Porém, considerando a teoria de Radford (2006) e a pesquisa de Veloso (2012) pudemos inferir que, ainda que E1 tenha obtido um resultado errado, ele realizou uma generalização factual, pois, a partir da regularidade percebida entre os termos da sequência, esse estudante conseguiu formar uma regra que permitiu encontrar o número de círculos de qualquer termo da sequência, independente do quão distante este esteja dos primeiros termos. factual. A análise do item c reforça as nossas inferências com relação à generalização Análise do item c No item c pedia-se o total de círculos da figura cem. As estratégias para resolução desse item são destacadas no excerto das falas dos estudantes durante o envolvimento com a tarefa: E1 É quase a mesma coisa da letra b. Vai ter que contar de cinco em cinco, que é o que já sei, até chegar ao cem. Daí, o resultado de chegar até o cem multiplica pelo da figura cinco. Ou, então, dá para pegar o da figura vinte e cinco, porque daí multiplicado por quatro dá cem. [...] E2 Por que você fez cem vezes o sessenta e cinco? E1 Eu fiz errado. Porque tinha que multiplicar sessenta e cinco por quatro. [...] E2 É duzentos e sessenta. P3 O que você fez aqui? E2 Eu somei. P1 Por que você somou quatro vezes o sessenta e cinco? E2 Porque ficou mais fácil, porque a gente ia multiplicar sessenta e cinco vezes quatro. P1 Então quer dizer que somar quatro vezes o sessenta e cinco é o mesmo que multiplicar por quatro? E2 É. P1 E o que significa esse duzentos e sessenta? E3 É o resultado da figura cem. Tal como no item b, os estudantes utilizaram a estratégia de considerar os múltiplos de um termo (no caso, os múltiplos de cinco) para determinar a quantidade de círculos em outros elementos mais avançados, o que lhes fornecia um resultado errado o que consideramos como falsa generalização (VELOSO, 2012). Entretanto, assim como inferimos na análise do item b, enquanto lidavam com o item c, os estudantes manifestaram generalização factual, a qual representa a camada primária de generalidade algébrica (RADFORD, 2006). Essa generalização foi inferida a partir do momento que percebemos que além de utilizarem a quantidade de círculos da figura cinco para determinar a quantidade de círculos nas figuras vinte e cinco e cem, perceberam que cem é múltiplo de vinte e cinco e, portanto, utilizar o resultado deste termo simplificaria o cálculo, pois bastaria resolver a adição de quatro parcelas iguais a

11 sessenta e cinco (número de círculos da figura vinte e cinco) ou a multiplicação de sessenta e cinco quatro vezes. Almejando que os estudantes percebessem que a estratégia utilizada por eles era equivocada, as pesquisadoras pediram para que observassem novamente a quantidade de círculos em todos os termos que já conheciam e respondessem o que eles poderiam nos dizer sobre esses resultados. As respostas obtidas foram: que os números aumentam de dois em dois e que todos os números são ímpares. Dessa forma, os estudantes perceberam que a estratégia utilizada por eles não era conveniente para responder os itens b e c, pois, na figura cem o resultado obtido era um número par. Pedimos, em seguida, para que utilizassem a mesma estratégia utilizada nos itens b e c para descobrirem a quantidade de círculos da figura dez. Tendo feito isso, pedimos para que dessem continuidade à sequência até a figura dez. A Figura 3 ilustra esses procedimentos. Figura 3 Registro escrito de E1 Feito todo o procedimento pedido, os estudantes confirmaram que a estratégia que utilizaram para determinar a quantidade de círculos nas figuras vinte e cinco e cem era equivocada para essa situação. Isso ficou confirmado quando E2 e E3 decidiram continuar a sequência até o termo cem. Dessa forma, logo os estudantes se mostraram desanimados e, assim, consideramos que era o momento de encerrar a aplicação.

12 Considerações Finais Nesta investigação objetivamos refletir sobre as maneiras pelas quais estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental manifestam sentido para uma tarefa de padrões para, assim, analisarmos os níveis de generalidade (RADFORD, 2006) alcançados por estes estudantes. Com esse movimento interpretativo pudemos identificar que, além da generalização aritmética, alguns meios semióticos de objetificação foram comumente utilizados pelos estudantes enquanto se envolviam com a tarefa proposta, dos quais destacamos as falas e os gestos. De acordo com nossos estudos sobre a teoria de Radford (2006), pudemos inferir que esse uso excessivo de meios semióticos é característico da generalização factual. Este tipo de generalização foi evidenciado, ainda, pelo fato dos estudantes encontrarem uma estratégia aplicável para todos os termos da sequência, mesmo que esta estratégia fosse equivocada. Diante de tudo isso, constatamos que houve a manifestação de pensamento algébrico factual, ou seja, de pensamento algébrico no seu nível primário. Ainda que essa manifestação pareça ser bastante simples, consideramos que o raciocínio envolvido não é trivial para crianças dessa idade, que ainda não estão acostumadas com esse tipo de tarefa, uma vez que para esta é necessária muita atenção para analisar os termos da sequência, identificar e apreender semelhanças e, por fim, generalizar. Assim sendo, concluímos que tarefas envolvendo padrões são exemplos de tarefas potencialmente favoráveis para o desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental, pois, nessa primeira aplicação, percebemos que, ainda que em um nível elementar, houve generalização algébrica e, acreditamos que esta pode ser aprimorada com intervenções do professor ao envolver seus estudantes com esse tipo de tarefa. Contudo, esse processo é longo. Afinal, para chegar à compreensão e à manipulação simbólica da álgebra é essencial que o estudante atribua sentidos para tarefas que exigem uma forma de pensar mais analítica, tal como exigem as tarefas envolvendo padrões. Além disso, inferimos que é impreterível a valorização de outros meios semióticos utilizados pelo estudante, em especial, suas falas, pois, tal como defende Radford (2006), o plano de interação social precisa ser incluído, pois a compreensão de objetos matemáticos depende de contrastes, o que ocorre quando se busca compreender

13 os entendimentos de outras pessoas. E isso ficou perceptível em nossa aplicação: ao se envolverem com a tarefa proposta em conjunto e com a intervenção dos pesquisadores, os estudantes conseguiram verificar com maior rapidez e facilidade as semelhanças entre os termos da sequência, bem como os erros cometidos com suas estratégias de resolução. Agradecimentos Agradecemos à Fundação Araucária e à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro via Programa de Pós- Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina e ao programa Observatório da Educação Edital 2010 Fomento a Estudos e Pesquisas em Educação EDITAL Nº 38/2010/CAPES/INEP projeto Educação Matemática de professores que ensinam Matemática UEL. Referências KIERAN, C. Algebraic thinking in the early grades: What is it? The Mathematics Educator, v. 8, n. 1, p , RADFORD, L. The Historical Origins of Algebraic Thinking. In: SUTHERLAND, R.; ROJANO, T.; BELL, A.; LINS, R. (Org.). Perspectives in School Algebra. Dordrecht: Kluwer, p RADFORD, L. Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic perspective. In: ALATORRE, S.; CORTINA, J.; SÁIZ, M.; MÉNDEZ, A. (Org.). Proceedings of the 28th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, México, v. 1, p. 2-21, VELOSO, D. S. O desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébricos no ensino fundamental: análise de tarefas desenvolvidas em uma classe do 6º ano f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Minas Gerais