EXPLORAÇÃO DE PADRÕES E REGULARIDADES: UMA EXPERIÊNCIA NO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

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1 EXPLORAÇÃO DE PADRÕES E REGULARIDADES: UMA EXPERIÊNCIA NO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO Resumo Marcelo Silva de Jesus UEL marcelosilvadejesus@hotmail.com Angela Marta Pereira das Dores Savioli UEL angelamarta@uel.com.br Mariany Layne de Souza UEL marianylayne@gmail.com No presente trabalho relata-se uma intervenção de ensino realizada com alunos do 1º ano do Ensino Médio de um colégio estadual de Londrina. A intervenção ocorreu em três encontros, de cem minutos cada, envolvendo uma tarefa, o voo em V, e a Resolução de Problemas enquanto estratégia metodológica. O objetivo foi proporcionar situações em que os alunos pudessem elaborar conjecturas, apresentando para elas justificativas, validações e conclusões, na medida em que descobriam e exploravam os padrões e as regularidades. Durante a realização da tarefa os alunos lidaram com as ideias de variáveis e expressões algébricas. Conclui-se que a exploração de padrões e regularidades pautada na Resolução de Problemas permite aos alunos se tornarem mais participativos e autônomos no processo de ensino e aprendizagem, contribuindo para sua aprendizagem de conceitos algébricos. Palavras-chave: Educação Matemática. Padrões e Regularidades. Resolução de Problemas. Álgebra. Introdução A introdução da Álgebra a partir da exploração de padrões e regularidades é defendida por diversos autores, como Kaput (1999). Para o autor este tipo de tarefa encoraja os alunos a trabalhar confortavelmente com símbolos. Essa abordagem, segundo Branco (2008), permite o desenvolvimento de competências como: resolver situações-problema, investigar relações entre quantidades

2 variáveis num padrão; generalizar padrões por meio do uso de palavras ou variáveis; e compreender o conceito de função. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática abordam o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de explorações que levem o aluno a observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis (BRASIL, 1998, p. 81). Além disso, é sugerido propor situações de investigação de padrões, como de sucessões numéricas ou representações geométricas, que possibilitem a construção da linguagem algébrica, proporcionando ao aluno a elaboração da ideia de Álgebra como uma linguagem para expressar regularidades (BRASIL, 1998, p. 117). MacGregor e Stacey (1997) defendem que a partir de tarefas com padrões e regularidades o aluno passa a compreender melhor uma relação e posteriormente representá-la usando a linguagem algébrica. Neste trabalho relata-se uma intervenção de ensino realizada com alunos do 1º ano do Ensino Médio. A intervenção ocorreu em um colégio estadual de Londrina em três encontros, de cem minutos cada, envolvendo a tarefa o voo em V. O objetivo foi proporcionar situações em que os alunos pudessem elaborar conjecturas, apresentando justificativas, validações e conclusões, na medida em que descobriam e exploravam padrões e regularidades, utilizando para tanto a Resolução de Problemas como estratégia metodológica. A Resolução de Problemas possibilita um ambiente de aprendizagem em que os alunos deixam de simplesmente absorver e reproduzir algoritmos e regras, passando a recorrer aos seus conhecimentos prévios e informações que estão ao seu alcance de modo a aplicá-los a novas situações. Resolução de Problemas A Resolução de Problemas, como mostrado nas Diretrizes Curriculares do Paraná (PARANÁ, 2008) e nos PCN (BRASIL, 1998), é uma estratégia metodológica que pode ser utilizada no ensino da Matemática nos diferentes níveis de ensino, possibilitando aulas mais dinâmicas. Além do mais, segundo Onuchic (1999, p. 207 apud ALLEVATO, 2005, p. 60), o problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção

3 do conhecimento. Neste sentido a abordagem de ensino com a Resolução de Problemas auxilia no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Uma aula nos moldes da Resolução de Problemas, segundo Buriasco (1995), apresenta alguns procedimentos que a diferenciam da Tradicional, a seguir será apresentado o Quadro 1 com intuito de comparar esses procedimentos: Quadro 1 Comparação entre procedimentos em uma aula Tradicional com a aula de Resolução de Problemas. Tendência tradicional Tendência da Resolução de Problemas 1) O Professor explica a matéria (teoria). 1) O professor apresenta um problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s). 2) O professor mostra exemplos 2) Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm. 3) O professor propõe exercícios 3) Quando os alunos encontram algum obstáculo semelhantes aos exercícios dados para que os alunos resolvam. o professor os auxilia, por exemplo, com a re (visão) do conteúdo. 4) O Professor (ou aluno) resolve no quadro os exercícios. 5) O professor propõe aos alunos outros exercícios já não tão semelhantes aos exemplos que ele resolveu. 6) O professor (ou um aluno) resolve os exercícios no quadro. 7) O professor propõe problemas, se for o caso, ou mais exercícios. 8) Correção dos problemas ou dos exercícios. 9) O professor começa outro assunto. Fonte: Buriasco, ) Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os do conteúdo necessário. 5) O professor apresenta outro problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s). A Resolução de um Problema, segundo Polya (2006, p.4), apresenta algumas etapas: compreensão do Problema, Estabelecimento de um Plano, Execução do Plano e Retrospecto. Tais etapas estão resumidamente descritas no Quadro 2: Quadro 2: Como resolver um problema seguindo os passos de Polya. Primeiro passo: Compreensão do problema É preciso compreender o problema. Segundo passo: Estabelecimento de um plano Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata.

4 É preciso chegar afinal a um plano para a resolução. Terceiro passo: Execução do plano Execute o seu plano. Quarto passo: Retrospecto Examine a solução obtida. Fonte: Adaptado de Polya, Como já afirmado, neste artigo relata-se uma intervenção de ensino, na qual os alunos são colocados a explorar padrões e regularidades, por meio da Resolução de Problemas, em uma turma do 1º ano do Ensino Médio de um colégio estadual de Londrina com a tarefa do voo em V proposto e discutido pelo primeiro autor. A tarefa possibilitou de imediato explorar os conceitos de termo geral de uma sequência numérica e de suas várias representações, assim como de variável e expressões algébricas. A intervenção pautada na Resolução de Problemas permitiu que os alunos pudessem elaborar conjecturas a partir de suas observações e reflexões, ora feitas individualmente, ora feitas em pequenos grupos, compreendendo o processo de validação e justificação para as mesmas. A intervenção Durante o ano de 2012, o primeiro autor desse artigo realizou uma intervenção de ensino com uma turma do 1º ano do Ensino Médio de um colégio estadual de Londrina. Essa intervenção ocorreu durante oito semanas, com três encontros semanais de cem minutos cada, com tarefas que exigiam a exploração de padrões em sequências, de modo a desenvolver conceitos algébricos, como: variável e expressão algébrica. Apresenta-se neste trabalho o relato de três encontros, por esses terem proporcionado discussões mais ricas em relação aos demais e por serem suficientes para expor o objetivo do artigo, neles foram explorados os conceitos de termo geral, variável e expressão algébrica. Inicialmente foi proposto para a turma, composta de 36 alunos com idades entre os 14 e os 20 anos, a tarefa voo em V, apresentada por Ponte et al (2008) e adaptada pelo primeiro autor, na qual foi considerada apenas o enunciado e a penúltima questão da original. A tarefa envolve padrões lineares, exigindo a elaboração de uma regra que possibilite a determinação de um termo qualquer da sequência observada e, gradualmente, a tradução da regra encontrada em uma expressão algébrica. Os padrões

5 lineares são identificados por Zaxkis e Liljedahl (2002) como aqueles em que o elemento n pode ser expresso na forma an + b. Tarefa - O voo em V (adaptado PONTE, J. MATOS, A., & BRANCO, N. 2008) Algumas espécies de aves migratórias voam em bando, formando uma configuração em V. Será que este tipo de organização facilita o voo? Diversas equipes de cientistas têm investigado esta questão, procurando compreender as vantagens que podem surgir da aplicação deste conhecimento da natureza à aviação. Na sequência que segue, cada figura representa um bando, cada ponto simboliza uma das aves que lhe pertence e, de figura para figura, o número de aves vai sempre aumentando. Eis os primeiros três termos desta sequência. 1.1 Escreva uma regra que permita determinar o número de pontos de qualquer figura desta sequência. Inicialmente os alunos não conseguiram desenvolver coisa alguma, alegando que não haviam entendido o que era para ser feito e que nunca haviam lidado com esse tipo de problema matemático. Por isso, o primeiro autor levantou algumas questões aos alunos para que eles pudessem entender o que era para ser feito. Utilizando como exemplo a quantidade de pernas que uma mesa 1 possui, os alunos foram questionados sobre quantas pernas teria uma mesa, duas mesas, e assim sucessivamente até que percebessem alguma regularidade. 1 Nesse exemplo foi considerada uma mesa convencional com quatro pernas.

6 Ao perceber que os alunos conseguiam determinar o número de pernas de uma quantidade qualquer de mesas, o primeiro autor, voltando para a tarefa proposta inicialmente, perguntou aos alunos a quantidade de pontos da 4ª figura. Os alunos, então, começaram a fazer conjecturas sobre o comportamento da sequência para além do apresentado, o que gerou uma discussão nos pequenos grupos e posteriormente ao grande grupo. Um dos alunos compartilhou a sua resposta, nove, obtendo-a por meio de um raciocínio recursivo 2. Essa resposta foi confirmada por outros alunos. Nem todos os alunos utilizaram o mesmo raciocínio (recursivo), fato que motivou uma discussão coletiva a partir das apresentações desses raciocínios distintos. O momento possibilitou além do desenvolvimento da argumentação, a percepção de que se pode chegar a um mesmo resultado por caminhos diferentes. O primeiro autor concluiu, a partir das discussões, que os alunos haviam compreendido as regularidades encontradas até aqui, ou seja, entenderam como a sequência é construída. Por isso, lançou outra pergunta: como se obtém a próxima figura? A grande maioria respondeu: Basta ir somando de 2 em 2. O que permitiu inferir que estavam utilizando um raciocínio recursivo. Progredindo então no processo de generalização, o primeiro autor questionou-os novamente, mas agora referente à 100ª figura. Os alunos pensaram e não chegaram à conclusão alguma. Alguns tentaram aplicar a estratégia anterior, ir somando de 2 em 2 até obter a solução. Depois de algum tempo, era possível notar que os alunos, observando as relações existentes entre as posições e suas respectivas figuras, estavam conjecturando sobre estratégias mais simples, mais rápidas e sobre possíveis respostas. Pedro e Lúcia 3 : 50 pontos Mariana: 102 pontos Carlos: 199 pontos João: 189 pontos 2 Compreendemos, como Ponte et al. (2008), raciocínio recursivo como sendo aquele em que se recorre ao termo anterior para obter o seguinte. 3 Foi adotado pseudônimos, a fim de preservar a identidade dos alunos participantes da pesquisa.

7 As respostas dos alunos citados foram colocadas na lousa e foi proposto que cada um explicasse como havia chegado à resposta, para que assim fosse possível, juntos, analisar e validar, uma vez que a validação é um momento importante na resolução de problemas, pois permite verificar se a resolução obtida está ou não correta. Começou-se a validar a respostas dadas, todavia neste momento o primeiro autor não respondeu a nenhuma pergunta, se colocando apenas como mediador, procurando levá-los a alguma conclusão. Na demonstração de como haviam chegado a esses valores uma aluna percebeu uma regularidade: [...] a sequência só tem números ímpares. A partir disso os alunos começaram a analisar os valores que foram dispostos na lousa, e então Lúcia se manifestou dizendo a minha resposta está errada, 50 não está certo, pois é um número par. É possível inferir que os alunos compreenderam o processo de validação e apontaram que a resposta de Mariana também estava incorreta. Prosseguindo nas demonstrações, foi solicitado a João que explicasse o que havia pensado para chegar à resposta dada, 189 pontos. Quadro 3 Estratégia do João 10ª x 10 = 100 Figura conhecida Logo, basta multiplicar o número de pontos da 10ª figura por 10 também, 21 x 10 = 210 Número de pontos da 10ª figura Como 210 é par, muda-se o fator de multiplicação para o seu antecessor: 21 x 9 = 189 Número de pontos da 10ª figura Como 189 é ímpar, então é a resposta. Fonte: JESUS, p , Figura que se deseja saber tem 10 vezes mais pontos que figura conhecida (fator de multiplicação)

8 O primeiro autor explicou que para validar a estratégia utilizada bastava aplicála em uma situação em que já se conhece o resultado. Assim, aplicou-se essa estratégia com a intenção de descobrir a quantidade de pontos para a 4ª figura. Ao fazer a aplicação constatou-se que a estratégia não funcionava para outros casos, logo, não era válida. Após essa análise, a aula foi encerrada com uma breve retomada do conteúdo, com a proposta de continuidade no próximo encontro. No início do encontro seguinte foi realizada uma reflexão com um olhar geométrico sobre a estratégia utilizada por João, então averiguou-se que ao multiplicar o número de pontos de uma determinada posição, ele está fazendo com que cada ponto repita essa quantidade de vezes, inclusive o da ponta. O primeiro autor começou a explicar como chegar a uma regra que representasse a situação por meio do raciocínio do aluno João. Toda essa explicação a respeito da resolução apresentada por João foi realizada na lousa juntamente com os alunos, o que possibilitou que percebessem que existe uma grande variedade de leis de formação, leis essas que devem ser compatíveis com o que é dado no problema. Com isso apareceram mais algumas explicações de como se chegar a uma lei de formação para esse problema, como a da Júlia, que descobriu que o número da posição indicava quantos pontos cada figura teria em cada lateral, e que para se obter o total era só somar os pontos pertencentes a lateral da figura mais o da ponta. Para demonstrar sua fala, a aluna recorreu à seguinte figura: Figura 1: Registro escrito da resolução de Júlia Fonte: JESUS, 2012, p. 30. Júlia continuou explicando seu raciocínio, afirmando que na 100ª posição devese somar 100 de cada lado mais o da ponta, obtendo 201 pontos. Todos os alunos compreenderam a sequência, então foi proposta novamente a tarefa inicial:

9 Escreva uma regra que permita determinar o número de pontos de qualquer figura desta sequência. Como exemplo de uma solução obtida, tem-se o seguinte registro escrito: Figura 2: Registro escrito da resolução de Marta como exemplo de regra encontrada na tarefa 1. Fonte: JESUS, 2012, p. 31. Finalizou-se o segundo encontro apresentando no quadro as várias regras descritas. No terceiro encontro, os alunos foram estimulados a compreender as relações existentes entre as grandezas envolvidas no problema, número da posição e número de pontos e a utilizar uma linguagem simbólica para reescrever a regra encontrada anteriormente. Em um primeiro momento os alunos estavam livres para criar e usar símbolos próprios, mas depois deveriam entender a importância da padronização, atividade gerada a partir de leituras e discussões. Figura 3 Registro escrito da resolução de Carlos da tarefa 1 como exemplo dos resultados obtidos. Fonte: JESUS, 2012, p. 38. A aula encerrou-se com uma retomada do que foi desenvolvido até então, a busca de uma regra que determinasse o número de pontos de uma posição qualquer da sequência de pontos, a mudança de linguagem, da natural para a simbólica, a padronização dos símbolos e o conceito de expressão algébrica.

10 Considerações finais A exploração de padrões e regularidades pautada na Resolução de Problemas enquanto estratégia metodológica tem sido recomendada por alguns autores como Ponte e Branco (2008), como possibilidade de contribuir para a aprendizagem de conceitos algébricos pelos alunos. Pensando assim, procurou-se por meio da tarefa aplicada proporcionar um ambiente de aprendizagem que contribuísse para a aprendizagem de conceitos algébricos, como a ideia de variável e expressão algébrica. Durante a intervenção de ensino os alunos exploraram os padrões e as regularidades de uma sequência elaborando para isso conjecturas, validando-as de modo a chegar a uma conclusão e compreendendo as mais diversas representações na matemática, as ideias de variável e expressões algébricas, atingindo assim, o objetivo do trabalho, proporcionar situações em que os alunos pudessem elaborar conjecturas, apresentando para elas justificativas, validações e conclusões, na medida em que descobriam e exploravam os padrões na tarefa, com a intervenção de ensino proposta. No início dessa intervenção os alunos se sentiram desmotivados, pois a atividade não era corriqueira e o primeiro autor não se propôs a responder as perguntas com respostas imediatas, mas sim com outras perguntas, porém com sua mediação os alunos foram se sentindo mais estimulados a prosseguir com a resolução, tornando-se mais participativos e autônomos. Espera-se que o presente relato sirva como exemplo e material para a melhoria no ensino da Álgebra, estimulando reflexões por parte dos professores sobre a exploração de padrões e regularidades juntamente com a estratégia metodológica da Resolução de Problemas. Agradecimento: Ao apoio financeiro da Fundação Araucária. Referências ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Associando o computador à Resolução de Problemas fechados: análise de uma experiência f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2005.

11 BRANCO, Neusa Cristina Vicente. (2008). O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento algébrico f. Dissertação (Mestrado em Educação) Universidade de Lisboa, Lisboa, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, BURIASCO, Regina Luzia Cório de. Sobre a Resolução de Problemas (II). Nosso Fazer, Londrina, ano 1, n.5, p.1, xxxxxxxx. Álgebra, padrões e regularidades: uma intervenção de ensino com alunos do ensino médio f. Monografia (Especialização em Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, Kaput, J. Teaching and learning a new algebra with understanding. In E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Mathematics classrooms that promote understanding (pp ). Mahwah, NJ: Erlbaum, PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica. Curitiba, MACGREGOR, Mollie; STACEY, Kaye. Students'understanding of Algebraic Notation: Educational studies in mathematics, v. 33, n. 1, p. 1-19, POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, PONTE, João Pedro da; MATOS, Ana; BRANCO, Neusa. Sequências e funções: materiais de apoio ao professor. Tarefas para o 3. º ciclo 7. º ano. Lisboa: DGIDC, ZAZKIS, Rina; LILJEDAHl, Peter. Generalization of patterns: The tension between algebraic thinking and algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, n. 49, p , 2012.