CARACTERÍSTICAS DE PENSAMENTO ALGÉBRICO EVIDENCIADAS POR ESTUDANTES DO ENSINO FUNDAMENTAL I EM QUESTÕES NÃO ROTINEIRAS

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1 CARACTERÍSTICAS DE PENSAMENTO ALGÉBRICO EVIDENCIADAS POR ESTUDANTES DO ENSINO FUNDAMENTAL I EM QUESTÕES NÃO ROTINEIRAS Renata Karoline Fernandes Universidade do Norte do Paraná/Universidade Estadual de Londrina renatakaroline@hotmail.com Elza Maria Vieira Alves Escola Municipal José Brazil Camargo elzavieiraalves@gmail.com Maria Lucia Geraldo Escola Municipal José Brazil Camargo marialngeraldo@gmail.com Angela Marta P.das Dores Savioli Universidade Estadual de Londrina angelamarta@uel.br Resumo: Este trabalho apresenta resultados de um estudo que evidenciou a possibilidade de estudantes que nunca tiveram contato com a álgebra e com a notação algébrica formal, evidenciem características de pensamento algébrico, por meio de tarefas que os estimulem a realizar generalizações, criar padrões e testar hipóteses. O estudo buscava verificar que características de pensamento algébrico estudantes do Ensino Fundamental I evidenciam ao resolverem questões não rotineiras e foi realizada com seis estudantes do 5º ano de uma escola municipal de Apucarana, PR. Ao analisar as produções escritas destes estudantes, verificamos que eles manifestaram compreensão de propriedades matemáticas e aritméticas, estabeleceram relações de equivalência, estabeleceram padrões e relações e em alguns momentos, também generalizaram. Palavras-chave: Educação Matemática. Pensamento Algébrico. Ensino Fundamental I. Introdução Este artigo expõe análises de registros escritos de seis estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental I, na intenção de verificar que características de pensamento algébrico foram manifestadas por eles e assim, responder a questão norteadora, que

2 características de pensamento algébrico estudantes do Ensino Fundamental I evidenciam ao resolver questões não rotineiras 1? Os sujeitos da pesquisa deste trabalho são estudantes da escola José Brazil Camargo, localizada na cidade de Apucarana PR, sendo esta, participante do projeto da CAPES Observatório da Educação Educação Matemática de professores que ensinam Matemática desenvolvido por professores e estudantes da Universidade Estadual de Londrina UEL. Este projeto tem como objetivo estimular a produção acadêmica relativa à Formação de Professores que ensinam Matemática; colaborar para a elevação da média do IDEB nas instituições participantes; estabelecer/fortalecer uma interação entre pesquisadores da área de Educação Matemática do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática PECEM; fomentar, disseminar e desenvolver metodologias de prática de ensino significativas para enfrentamento dos problemas na área de Matemática, entre outros. Para atingir o objetivo da pesquisa utilizamos alguns procedimentos metodológicos da análise de conteúdo de Bardin (2004), a qual consiste em um conjunto de técnicas, que utiliza procedimentos sistemáticos, bem definidos e criteriosos, tendo como objetivo descrever o conteúdo das mensagens, sendo estas escritas, faladas, ou expressas por meio de figuras. Ao descrever o conteúdo das mensagens, tem-se como principal intenção compreender os sujeitos e o contexto da pesquisa. Bardin (2004) relata que para poder descrever o conteúdo de uma mensagem é preciso adotar critérios para organizar os dados obtidos, codificar os resultados, estabelecer categorias e realizar inferências para assim, comunicar por meio de um texto as análises. A análise de conteúdo (BARDIN, 2004) é composta de três polos, sendo estes: (I) a pré-análise, que é considerada a primeira leitura dos dados, nesta fase surgem as primeiras impressões e hipóteses do pesquisador; (II) a exploração do material, que consiste em operações de codificação, desconto ou numeração, em função de regras previamente formuladas; e por fim; (III) o tratamento dos resultados: a inferência e a 1 Neste trabalho consideramos como tarefas não rotineiras as que não são frequentemente aplicadas nas salas de aula e também não são comumente encontradas nos livros didáticos relativos ao 5º ano do Ensino Fundamental I.

3 interpretação, momento que o autor, por meio de um texto, expressa as suas principais análises e conclusões. Este estudo será realizado a luz destes polos. A opção por realizar a pesquisa com estudantes do 5º ano ocorreu devido a inferência de que estes estudantes já tem as habilidades de leitura necessárias para poder resolver as três questões propostas com o mínimo de interferência possível das pesquisadoras. A quantidade de estudantes participantes deveu-se à permissão dada pela professora 2 regente da turma, sendo estes escolhidos de modo arbitrário. Com a intenção de preservar o anonimato dos estudantes utilizamos a codificação E, de estudante, seguido pelo número correspondente à ordem em que entregaram as questões resolvidas, ou seja, E1 é o código que se refere ao primeiro estudante que entregou as questões, E2 refere-se ao segundo estudante e assim por diante. 1. Ensino de Álgebra e Pensamento algébrico O ensino da álgebra no Brasil apresenta diversos problemas, dentre estes problemas os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam a dificuldade que os estudantes evidenciam em compreender os conceitos algébricos e mais ainda em construir significados para os mesmos (BRASIL, 1998). Estando cientes dos problemas do processo de ensino e de aprendizagem referentes a Álgebra, Kaput (1999) elenca possíveis alternativas para que esse ramo da Matemática passe a ter mais significado para os estudantes, de modo que o ensino passe à ter como principal objetivo, não a manipulação dos símbolos algébricos, mas sim o desenvolvimento do pensamento algébrico, a compreensão da álgebra, que é muito mais do que equações, inequações e funções. Este autor sugere que o ensino da álgebra deva: - Começar cedo (em parte, pela construção do conhecimento informal dos alunos); - Integrar a aprendizagem da álgebra com a aprendizagem de outros assuntos (por estender e aplicar o conhecimento matemático); - Incluir as várias formas de pensamento algébrico (aplicando o conhecimento matemático); - Construir nos alunos naturalmente poderes linguísticos e cognitivos (incentivando-os ao mesmo tempo para refletir sobre o que aprender e articular o que eles sabem), e; 2 A professora regente do 5º ano desta instituição não participa do projeto e não é uma das autoras deste trabalho.

4 - Incentivar a aprendizagem ativa (e na construção dos relacionamentos) valorizando a percepção e compreensão dos alunos (KAPUT, 1999, p. 3). Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) oferecem sugestões para que o ensino da álgebra seja mais significativo. De acordo com esse documento, o enfoque da Álgebra deveria estar intimamente relacionado com os demais blocos de conteúdos, privilegiando o desenvolvimento do pensamento algébrico e não os exercícios meramente mecânicos baseados em cálculos repetitivos. Sendo assim, uma das formas evidenciadas de melhorar o ensino da álgebra, é por meio do desenvolvimento do pensamento algébrico, desde os primeiros anos do Ensino Fundamental, de modo que os estudantes passem a ter contado com a álgebra primeiramente de maneira informal, com uma simbologia própria, apoiados na linguagem aritmética e somente com o decorrer dos anos serem apresentados à álgebra formal e a linguagem algébrica introduzida. Para Ponte, Branco e Matos (2009) a aprendizagem efetiva da álgebra ocorre se o estudante for capaz de construir o pensamento algébrico, porém, definir exatamente o que é pensamento algébrico não é tarefa fácil. Por este motivo ao invés de defini-lo na sequência apresentaremos elementos caracterizadores deste tipo de pensamento. Para Blanton e Kaput (2005) os principais elementos caracterizadores do pensamento algébrico são: a) o uso da aritmética como um domínio para expressar e formalizar generalizações (aritmética generalizada); b) a generalização de padrões numéricos para descrever relações funcionais (pensamento funcional); c) a modelação como um domínio para expressar e formalizar generalizações; d) a generalização sobre sistemas matemáticos abstratos de cálculos e relações. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 413). Kaput (1999) também apresenta elementos que considera caracterizadores do pensamento algébrico, tais como: (I) a generalização e formalização de padrões e restrições; (II) a manipulação de formalismos guiada sintaticamente; (III) o estudo de estruturas abstratas a partir de cálculos e relações; (IV) o estudo de funções, relações e variação de duas variáveis; e (V) a utilização de múltiplas linguagens na modelação matemática e no controle de fenômenos. Para o autor, os dois primeiros elementos citados são o centro deste tipo de pensamento.

5 Lins e Gimenez (1997) afirmam que o pensamento algébrico é uma forma de produzir significado para a álgebra e este pensamento se manifesta pelo: (I) Aritmeticismo, ou seja, a produção de significados apenas em relação a números e operações aritméticas; (II) Internalismo, que consiste em considerar números e operações apenas segundo suas propriedades, e não modelando números em outros objetos, como os objetos físicos ou geométricos; (III) Analiticidade, quando opera-se com números desconhecidos como se fossem conhecidos (Lins e Gimenez, 1997, p.150). O pensamento algébrico pode ser desenvolvido independentemente da idade dos estudantes, desde que com um grau de formalidade crescente, inicialmente sem a necessidade de utilização da simbologia formal, de modo que os estudantes se expressam por meio da linguagem natural ou da linguagem aritmética, assim esse desenvolvimento ocorre: [...] gradativamente antes mesmo da existência de uma linguagem algébrica simbólica. Isso acontece, sobretudo, quando a criança estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos [...]; percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema; produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente, produz vários significados para uma mesma expressão numérica; interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; transforma uma expressão aritmética em outra mais simples; desenvolve algum tipo de processo de generalização [...](FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO, 2005, p.5). Lins e Gimenez (1997, p.10) apoiam a ideia de que é necessário desenvolver o pensamento algébrico nas séries iniciais do Ensino Fundamental, visto que, é preciso começar mais cedo o trabalho com Álgebra e de modo que esta e a Aritmética se desenvolvam juntas, uma relacionada no desenvolvimento da outra e para que este trabalho com a álgebra possa iniciar desde cedo, Kieran (2004, p. 149) sugere que os professores promovam tarefas que proporcionem o desenvolvimento do pensamento algébrico, sem a necessidade da utilização de uma simbologia formal da álgebra, denominada por ela como símbolo-letra da álgebra, em falas como: O pensamento algébrico nos primeiros anos de escolaridade envolve o desenvolvimento de maneiras de pensar em atividades em que o símbolo-letra da Álgebra pode ser usado como ferramenta, que não é exclusiva da Álgebra, e que podem ser realizadas sem usar qualquer símbolo-letra da Álgebra, tais como, analisar relações entre

6 quantidades, perceber estruturas, estudar a mudança, generalizar, resolver problemas, modelar, justificar e prever. Tendo em vista as considerações anteriores e a dificuldade de definir exatamente o que é pensar algebricamente e com a certeza de que é possível desenvolver o pensamento algébrico em qualquer etapa escolar, para este trabalho consideramos que o pensamento algébrico pode ser caracterizado da seguinte forma: Quadro 1- Caracterização para o pensamento algébrico baseado na literatura estudada. É independente da tarefa, interno ao estudante e pode ser evidenciado por meio da linguagem natural, simbologia própria ou linguagem aritmética. É uma forma de compreender conceitos e de pensar a respeito de determinadas situações, envolve construção de significados, estabelecimento de relações, padrões e generalizações, além de proporcionar autonomia aos estudantes para criarem conjecturas e testarem hipóteses. O pensamento algébrico pode ser desenvolvido por meio dos conhecimentos que os estudantes já possuem e proporcionam novos conhecimentos. São elementos caracterizadores do pensamento algébrico: a formulação de conjecturas, a compreensão de propriedades matemáticas e aritméticas, o estabelecimento de uma relação de equivalência, a percepção de aspectos invariantes e variantes, a comparação entre grandezas, o estabelecimento de padrões e regularidades, a generalização, validação de ideias por meio de testes e comparações, entre outros. Fonte: do autor Apoiados em nosso referencial teórico e nos elementos caracterizadores do pensamento algébrico, na próxima sessão realizaremos as análises dos registros escritos dos sujeitos desse trabalho. 2. As análises Optamos por apresentar neste artigo apenas alguns dos registros escritos que apresentaram alguma característica de pensamento algébrico e um quadro resumo para apresentar todos os dados. Iniciaremos com as tarefas e as análises referentes a elas. Tarefa 1 Caminhada na quadra Um aluno ao caminhar durante a aula de Educação Física percebeu que no ritmo que ele anda, consegue dar 20 passos em 1 minuto. Supondo que este aluno continuasse a andar no mesmo ritmo, complete o quadro com a quantidade de passos que ele daria nos seguintes minutos:

7 Tempo minutos Números passos em de Na sequência responda: a) Quantos passos ele dará se caminhar 10 minutos sem mudar o ritmo? Explique como você descobriu. b) E em 25 minutos, quantos passos dará? Explique como você descobriu. c) E em 1 hora? Explique como você descobriu. d) Sabendo a quantidade de passos que este estudante consegue dar em 1 minuto, como você faz para descobrir o número de passos? Nesta tarefa o único estudante que apresentou características de pensamento algébrico foi o estudante E6, como podemos ver na figura a seguir: Figura 1: Registro escrito E6

8 Podemos perceber por meio da figura anterior que o estudante E6 estabeleceu um padrão ao resolver a tarefa 1, pois em suas respostas deixa evidente que sabendo a quantidade de passos que o estudante dá em um minuto é possível multiplicar pela quantidade de minutos que ele vai caminhar e assim, calcular quantos passos esse aluno dará em qualquer tempo, mas ao não responder a letra d desta questão, podemos inferir que não compreendeu o que era solicitado, ou então, não está acostumado a justificar os procedimentos que adota para resolver uma tarefa. Tarefa 2 O professor Eduardo explicou a seus alunos que, às vezes, números podem ser representados por letras. Ainda nessa aula, o professor Eduardo perguntou a seus alunos: Se a letra n representar o número 2, qual é o valor da conta 3+n +n? a) Como você acha que os alunos responderam a essa pergunta? b) Por que você pensa assim? Nesta tarefa os estudantes E2, E3, E5, E6, estabeleceram uma relação de equivalência ao conceber que se a letra n representa o número 2, então n = 2 e assim, substituir a letra pelo valor que essa representa e, deste modo, estes estudantes evidenciaram característica de pensamento algébrico. Devido a similaridade entre os registros escritos dos estudantes E2, E3 e E5, optamos por apresentar apenas as produções dos estudantes E5 e E6: Figura 2: Registro escrito do estudante E5

9 Figura 3: Registro escrito do estudante E6 Podemos verificar nestes dois registros, de maneira generalizável aos registros escritos dos estudantes E2 e E3, que os estudantes mesmo sem ter contato algum com a simbologia algébrica, foram capazes de estabelecer uma relação de equivalência, pois compreenderam e aplicaram a informação presente no enunciado da tarefa, de que n representa o número 2. Como podemos verificar no registro escrito do estudante E5, ele montou o algoritmo da soma, utilizando o n presente no enunciado, mas ao realizar a operação o estudante apresenta como resultado final o número 7, pois compreende que se n vale 2, então 3 + n + n = = 7. Já o estudante E6 não evidencia uma resposta final numérica, mas indica o caminho que os estudantes citados no enunciado deveriam seguir. Ao explicar o porquê desse pensamento, E6 diz que porque acharia a conta mais fácil. A resposta dada pelo estudante é coerente com a etapa escolar a qual ele pertence, pois, por não ter contato com símbolos-letras para representar incógnitas e variáveis, lhe pareceu mais fácil realizar uma soma com o número 2 do que com a letra n. Tarefa 3 Na mesma aula o professor Eduardo escreveu no quadro negro que: A x B = B x A A + B = B + A O que você acha que o professor quis dizer com o que escreveu no quadro negro? Dê

10 um exemplo XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática Por que pensa assim? Nesta tarefa os estudantes E3, E4, E5 evidenciaram características de pensamento algébrico, como veremos nas figuras a seguir: Figura 4: registro escrito do estudante E3 O estudante E3 por meio de sua justificativa evidenciou compreensão de propriedades matemáticas, como a propriedade da comutatividade, pois afirma que inverteu as duas contas de lugar mas mesmo assim ia dar o mesmo resultado. Inferimos que ao dizer que o professor inverteu as contas E3 está se referindo as parcelas da soma e aos fatores da multiplicação e, ao justificar que realizar essa inversão não muda o resultado mostra o conhecimento a respeito da propriedade comutativa, mesmo possivelmente, sem ter tido contato formal com essa nomenclatura. Além disso, mesmo sem contato direto com a notação algébrica, este estudante estabeleceu uma relação funcional e uma generalização, ou seja, relacionou as letras com números e percebeu que as letras poderiam representar quaisquer números e por este motivo, as mesmas operações que podem ser realizadas com os números, podem ser realizadas com as letras de modo similar. Figura 5: registro escrito do estudante E4 Já o estudante E4 apresenta um exemplo particular para explicar o modo como compreendeu a situação e ao dizer que ao multiplicar um número por outro a ordem dos

11 fatores não faz diferença para o resultado, o estudante mostra compreender a propriedade comutativa. A justificativa apresentada para a questão, porque pensa assim, possivelmente indique, visto que E4 utilizou um exemplo particular para explicar o que o professor quis dizer com o que escreveu no quadro, que este estudante acredita ser mais fácil pensar na situação com números do que com símbolos que representam números generalizados. Figura 6: registro escrito do estudante E5 Por meio das análises das produções dos seis estudantes relativa às tarefas que compõem este trabalho, foi possível construir o quadro 2, que relaciona os registros escritos referentes a cada uma das questões com as características de pensamento algébrico apresentadas pelos estudantes. Para indicar a tarefa que o estudante apresentou determinada característica de pensamento algébrico, utilizamos T1 para indicar a tarefa 1, T2 pra a tarefa dois e T3 para a tarefa três. Quadro 2: Características de pensamento algébrico evidenciada por estudantes do Ensino Fundamental I em questões não rotineiras Características de pensamento algébrico E1 E2 E3 E4 E5 E6 Formulação de conjecturas Compreensão de propriedades matemáticas e aritméticas T3 T3 T3 Estabelecimento de relação de equivalência T2 T2 T2 T2 Percepção de aspectos invariantes e variantes Comparação entre grandezas Estabelecimento de padrões e relações T3 T1

12 Fonte: do autor Generalização T3 Como podemos verificar, por meio do quadro anterior, a resposta para a pergunta que características de pensamento algébrico estudantes do Ensino Fundamental I evidenciam ao resolver questões não rotineiras?, é que os estudantes evidenciaram as seguintes características de pensamento algébrico: estabelecimento de padrões e relações; Generalização; Compreensão de propriedades matemáticas e aritméticas; Estabelecimento de relação de equivalência. Algumas considerações Um ensino de álgebra voltado para o desenvolvimento do pensamento algébrico pode proporcionar um processo de aprendizagem com mais significado aos estudantes, um processo de aprendizagem em que eles são os elementos centrais e assim, o objetivo da aprendizagem se desloca para o desenvolvimento de elementos tais como, estabelecimento de padrões, relações, comparações, generalizações, entre outros. Foi possível perceber que mesmo sem nunca terem tido contado com a simbologia formal algébrica ou com conteúdos algébricos, cinco dos seis estudantes evidenciaram características do pensamento algébrico. Contudo, ficou evidente que o pensamento algébrico é interno ao estudante, pois mesmo todos os sujeitos da pesquisa tendo a mesma formação escolar desde o primeiro ano do Ensino Básico até a data da aplicação das tarefas, suas resoluções foram diferenciadas. Os estudantes manifestaram em algumas das tarefas características de pensamento algébrico e ainda, verificamos que o pensamento algébrico pode ser desenvolvido independentemente da simbologia algébrica e da etapa escolar em que o estudante pertence.

13 Agradecimento. XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), via projeto Observatório da Educação e a Fundação Araucária, via convenio , pelo apoio financeiro concedido a este trabalho. Referências BARDIN, L. Análise de Conteúdo. 3 ed. Lisboa: Edição 70 Ltda., KAPUT, J. J. Teaching and learning a new algebra. In: FENNEMA, E.; ROMBERG, T. (Eds.), Mathematics classrooms that promote understanding Mahwah, NJ: Erlbaum, p , PONTE, J. P; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. Lisboa: ME - DGIDC, BLANTON, M. L.; KAPUT, J. J. Characterizing a Classroom Practice That Promotes Algebraic Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, v.36, n.5, p , LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. Relatório de Projeto da Fapesp [processo 03/ ]. FE UNICAMP: Campinas, 2005.