X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

Transcrição

1 CLASSIFICAÇÃO E ANÁLISE DE ERROS EM TEORIA DE ANÉIS Elisangela de Campos Universidade Federal do Paraná elismat@ufpr.br Resumo: O objetivo desta pesquisa é identificar e interpretar as dificuldades dos estudantes na aprendizagem de uma estrutura algébrica, a saber, o anel quociente m, por meio da análise de erros, Cury(2007). Tem-se como hipótese que estas dificuldades estão ligadas a noção de congruência. No levantamento da literatura, foram encontrados estudos sobre o ensino e aprendizagem da Álgebra Abstrata, em trabalhos que focalizaram principalmente o conteúdo de Teoria de Grupos. Dentre eles, o trabalho de Lajoie e Mura (2004), foi utilizado para formular as questões do questionário sobre anel quociente m, que foi aplicado aos estudantes de um Curso de Matemática. O presente artigo relata alguns resultados da classificação e análise de erros encontrados. Palavra-chave: Ensino aprendizagem; Dificuldade; Relação de congruência; Anel quociente. Introdução A disciplina de Álgebra Abstrata, na qual são estudadas as estruturas algébricas como grupo, anel e corpo, faz parte da maioria das grades curriculares dos Cursos de Matemática. No caso da universidade onde foi realizada esta pesquisa, ela está presente tanto no currículo do Curso de Licenciatura quanto do Bacharelado em Matemática, sendo ofertado ao mesmo tempo para as duas modalidades. Nos últimos anos pesquisas sobre Álgebra Abstrata vem sendo desenvolvidas, principalmente em Teoria de Grupos, entre estes trabalhos o de Lajoie e Mura(2004), foram escolhidos para nortear este estudo, especialmente o segundo em que as autoras identificaram e interpretaram três dificuldades ligadas a aprendizagem de subgrupo normal e grupo quociente, por meio da análise de entrevistas e questionários aplicados a estudantes que já haviam cursado a disciplina de Álgebra. As dificuldades identificadas por estas autoras são as seguintes: 1) reconhecer a definição de subgrupo normal; 2) entender a natureza dos elementos e a operação de um grupo quociente; 3) reconhecer o papel do subgrupo normal na construção de um grupo quociente. Entendemos que as dificuldades identificadas por Lajoie e Mura(2004) podem estar relacionadas com os conceitos envolvidos em uma relação de congruência. Como pode ser Anais do 1

2 observado, por exemplo, na dificuldade no entendimento da natureza dos elementos do grupo quociente, grande parte dos estudantes reconheceram que os elementos do grupo quociente são classes de equivalência, mas consideraram que estes podem ser elementos do grupo de partida ou que o grupo quociente pode ser subgrupo do grupo de partida. Ao se trabalhar com os elementos da estrutura quociente, que são classes de equivalência, o que se utiliza é o representante desta classe, como este representante é um elemento do grupo de partida, os estudantes parecem acreditar que classe e representante são a mesma coisa, fazendo com que aceitem a ideia de que os elementos do grupo quociente, são elementos do grupo de partida. Isto justifica o fato da maioria dos estudantes terem respondido que os elementos do grupo quociente G/N são os mesmos do grupo G. Assim, temos como hipótese que as dificuldades que os estudantes possam apresentar ao estudar uma estrutura quociente, podem estar ligadas a noção de congruência, e identificar essas dificuldades pode auxiliar na elaboração de currículos e métodos de ensino, que possibilitem evidenciar a necessidade de discutir estas dificuldades. No presente artigo para identificar as dificuldades ligadas à aprendizagem de um conceito que foi construído através da congruência, escolheu-se o anel m, por ele ser um exemplo clássico dessa estrutura algébrica, e por se tratar de um anel que pode ser construído através da relação de congruência módulo m, que é uma relação entre números inteiros. Objeto Matemático Uma relação de congruência (ou simplesmente congruência) pode ser definida, utilizando a linguagem de teoria de conjuntos, como sendo uma relação de equivalência compatível com alguma operação algébrica, um exemplo tradicional desta relação é a congruência módulo m, que é uma congruência no anel dos inteiros. Entendemos (Campos, 2005) que a congruência é uma ferramenta poderosa para construção de novos objetos matemáticos a partir de outros já existentes, ela torna possível construir, por exemplo, um anel quociente e um grupo quociente. Anais do 2

3 Para construir o anel quociente n ou /n, temos que a relação de congruência é a congruência módulo ideal de. Para isto vamos tomar o ideal n, podemos mostrar que todo ideal de é desta forma, veja Gonçalves(1979). A definição de ideal permite generalizar a noção de congruência módulo n em, ou seja, se x, y então x y ( mod n) se e somente se x-y n. Esta é uma relação de equivalência em Z, na verdade uma relação de congruência, pois as operações em Zn estão bem definidas. É também usual escrever x y (mod I). As classes de equivalência mod n são definidas como: [x]= x+n ={x+nk k } e o conjunto quociente Z m = /n = {[x]; x }, que é um anel com as operações de soma e produto induzidos da operações usuais de. A construção de um novo objeto matemático utilizando a relação congruência, em geral, é resumida pelos matemáticos na expressão passar ao quociente, mas que nem sempre é entendida pelos estudantes. Esta construção não é simples, os conceitos envolvidos exigem do estudante um maior nível de abstração e de conhecimento matemático que nem sempre ele tem, no entanto, ela não é trabalhada em detalhes no curso de matemática. Metodologia Inspirado no questionário elaborado por Lajoie e Mura(2004), foi elaborado um questionário sobre o anel quociente n. Ele era composto por cinco questões com objetivos como, por exemplo, identificar o que o estudante entende por anel quociente; verificar se ele consegue diferenciar classes de equivalência de números inteiros, dos números inteiros; verificar se os estudantes conseguem distinguir os elementos e as operações dos anéis n e m. Este questionário foi aplicado a vinte e sete estudantes matriculados na disciplina Teoria de Anéis, oferecida a estudantes de Matemática de uma Universidade pública do sul do país. Os estudantes fora identificados por Q1, Q2,..., Q10 responderam a um primeiro questionário de uma pesquisa mais ampla, Campos (2009), e os estudante identificados por N1, N2,..., N17 não responderam a este questionário. Além do trabalho de Lajoie e Mura(2004) foram levados em conta na elaboração do questionário para esta pesquisa, as notas de aula do professor da disciplina, os livros indicados, as provas dos estudantes e conversas informais com o professor sobre as Anais do 3

4 dúvidas que seus alunos apresentavam, notação utilizada e o andamento do conteúdo da disciplina. Para organizar, analisar e interpretar os dados, tomamos como metodologia a análise de erros, de acordo com Cury (2007), levando em conta também os resultados de pesquisas sobre ensino e aprendizagem em Álgebra e os conceitos matemáticos envolvidos, ou seja, anel quociente e congruência. Nesta perspectiva, erros cometidos pelos estudantes, não são vistos apenas como um equivoco do aluno ou falta de atenção do mesmo ao resolver um problema, os erros são considerados como indicadores dos processos cognitivos na aprendizagem da Matemática na sala de aula, que podem ser analisados e investigados, sendo atribuídos a eles determinadas dificuldades dos estudantes na apreensão do conhecimento, Schubring (2002), Cury (2007). Classificação e Análise Descrevemos nesta seção a classificação e as análises de duas questões aplicadas aos estudantes. As respostas foram agrupadas em classes que foram elaboradas de acordo com o tipo de justificativa apresentada. Questão 1 A primeira questão a ser analisada é: Os elementos de /3, podem ser elementos de? Justifique sua resposta. O objetivo desta questão era verificar se o aluno consegue distinguir classe de equivalência de números inteiros do conjunto dos números inteiros. A resposta para esta questão é que os elementos de Z/3Z não podem ser elementos de Z, pois os elementos de Z/3Z são classes de congruência módulo 3 enquanto o elementos de Z são número inteiros. Esta questão foi respondida por onze (11) alunos dos vinte e sete que responderam o questionário. As classes estão descritas abaixo. Classe A: corresponde a três (3) respostas com justificativa considerada correta. Estes estudantes responderam que não, pois os elementos dos conjuntos não são os mesmos, como Q4, que respondeu: Não. Os elementos do anel quociente são classes de equivalência e não inteiros., este tipo de resposta, indica que estes alunos parecem Anais do 4

5 entender a natureza destes objetos. Os estudantes N2 e N3 escreveram não, pois Z contém inteiros e Z 3 contém classes. Classe B: corresponde a duas (2) respostas, em que os estudantes apesar de responderem que não é possível que os elementos de Z/3Z sejam elementos de Z, suas justificativas estão equivocadas. Os estudantes N1 e N9 tiveram o mesmo tipo de raciocínio, ambos responderam que não, pois os elementos de Z/3Z pertencem a Q, como a resposta de N9: Z/3Z não podem ser elementos pois alguns elementos de Z/3Z Z Z/3Z [3] = 1/ 3 Z, ou seja, para eles este anel quociente está contido no conjunto dos números racionais. Eles provavelmente não entenderam o conceito de anel quociente. Classe C: Corresponde a seis (6) respostas consideradas incorretas. Estes estudantes responderam sim a esta questão, ou seja, que os elementos de Z/3Z podem ser elementos de Z. As justificativas para esta resposta foram variadas, dois estudantes, Q1 e Q3, justificaram que seriam os múltiplos de 3, como o estudante Q3 disse que sim e justificou que serão coincidentes com os múltiplos de 3, ou seja, para ele Z/3Z = 3Z e portanto são elementos de Z. Outros disseram que sim, porque Z é ideal ou subanel de Z/3Z, como Q5 que justificou escrevendo... pois é subanel.. O estudantes Q8 escreveu que Z é ideal de Z/3Z, por isso respondeu sim a questão. Já o estudante N11 justificou dizendo que: Os elementos Z/3Z são Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}, 3Z = {..., 6, 3, 0, 3, 6, 9,...}, Z/3Z = Z 3 e Z 3 está contido em Z, dessa forma todos os elementos do Z 3 pertencem a Z. Primeiras Análises Nas respostas da classe B, os estudantes entendem o anel quociente como quociente numérico, já que dois estudantes escreveram que Z/3Z Q, isto sugere que estes estudantes fizeram a relação do anel quociente com o quociente aritmético, que é algo familiar para eles, pois até este momento do curso quociente era algo ligado a divisão de números. Esta relação como quociente aritmético também foi observado por Lajoie e Mura (2004). Nota-se nas respostas da classe C a confusão entre as classes de congruência, que são os elementos do anel quociente e os números inteiros que são os elementos do anel de partida. Estes estudantes não estão diferenciando a natureza destes objetos matemáticos. Anais do 5

6 Ainda na classe C, outros afirmaram que Z/3Z = 3Z, dizendo que Z/3Z é subanel de Z e, portanto, seus elementos são também elementos de Z. Estes estudantes parecem não entender o que é um anel quociente, quais e o que são seus elementos. Pode-se inferir pelas respostas das classes B e C que a maioria dos estudantes, não faz distinção entre os elementos de Z/nZ e Z, já que apenas três (3) dos onze (11) estudantes que responderam a questão fizeram isto corretamente. Questão 2 A segunda questão a ser analisada é a seguinte: Podemos afirmar que 3 é subanel do anel 6? Justifique sua resposta. O objetivo era verificar se os estudantes conseguem diferenciar os elementos e as operações envolvidas em cada anel. E verificar se os estudantes conseguem reconhecer um subanel. A resposta desta questão é que 3 não é subanel do anel 6, pois os elementos e as operações dos anéis são diferentes. Vinte e um (21) estudantes responderam esta questão, que estão descritas nas classes abaixo. Classe A: corresponde a quatro (4) respostas, em que as justificativas são consideradas corretas. Estes estudantes, Q4, Q8, N2 e N15, justificaram suas respostas, usando como argumento que os elementos dos conjuntos são diferentes, como por exemplo, o estudante N2, que escreveu [0] 3 [0] 6, logo 3 6, isto é a classe do 0 em 3 é diferente da classe do 0 em 6. Já o aluno Q4, justificou que...as classes de 3 são de congruência módulo 3, enquanto as classes do Z 6 são módulo 6". Estes estudantes perceberam que os elementos destes conjuntos são classes de congruência de módulos diferentes, e que, portanto, um não poderia estar contido no outro. Classe B: corresponde a sete (7) respostas em que os estudantes apesar de responderem não a questão, justificaram de alguma forma que Z 6 Z 3 e, portanto, Z 3 não pode ser subanel de Z 6. Como na resposta do estudante Q10, que escreveu Não. É ao contrário, pois os elementos de Z 6 é que estarão dentro de Z 3. Outro estudante N8, que diz que não... pois Z 6 é maior que Z 3, provavelmente com o termo maior que ele se refere ao número de elementos de cada conjunto. O aluno N10, justifica que... Z 6 é subanel de Z 3, pois Z 3 = {0; 1; 2} é o conjunto dos divisores de Anais do 6

7 3. 3 é divisor de 9, no entanto 6 não é divisor de 9, este aluno, apesar de escrever os elementos de Z 3, ele entende estes elementos como sendo divisores de 3, o que indica que ele não entendeu o que é o anel Z n. Já o estudante N11, diz que Z 6 é subanel de Z 3,...uma vez que Z 6 = 2Z 3. Este estudante provavelmente está se referindo aos subanéis 3Z e 6Z de Z, que são usados na construção dos anéis quocientes Z 3 e Z 6 respectivamente. Classe C: corresponde a três (3) respostas negativas em que o argumento utilizado foi o do fechamento da operação, mas que não foram escritos de forma clara, como na resposta do estudante N7, que escreveu: [3] Z 3, [6] Z 3 mas [3] + [6] = [9] Z 6, não é subanel. Outro aluno, Q2, respondeu Não, um contra exemplo seria [3] + [3] = [6] Z 3 assim Z 3 não é fechado p/ soma." Classe D: corresponde a seis (6) respostas, em que os estudantes responderam sim, e usaram como justificativa que Z 3 Z 6. Como, por exemplo, o estudante Q9, que respondeu: Z 3 = {[0]; [1]; [2]} e Z 6 = {[0]; [1];[ 2]; [3];[ 4];[5]}. Logo Z 3 Z 6 e portanto é subanel. Classe E: corresponde a uma (1) resposta afirmativa, em que foram usados argumentos que não se encaixam nas classes anteriores. O aluno N17, afirmou que Z 3 é subanel de Z 6 pois é fechado para adição e multiplicação, embora ele não mostre nenhuma argumentação que o leve a concluir isto. Primeiras análises Nas respostas desta questão, pode-se identificar alguns problemas na forma de escrever de alguns estudantes, como, por exemplo, nas respostas da classe C, em que não é possível saber se [3] Z 3 ou Z 6, e desta forma não há como saber se estão corretas, embora a ideia de testar o fechamento da operação seja correta. Outro problema observado é quanto ao representante da classe, dizer que [9] Z 3, não está correto, pois [9] = [0] em Z 3, isto sugere a falta de entendimento sobre a partição induzida sobre Z e o uso do representante da classe. Nas respostas da classe D, os estudantes concluíram que Z 3 é subanel de Z 6, apenas comparando os representantes em comum dos conjuntos, ou seja, os inteiros 0, 1, 2. Eles não verificaram que os elementos desses conjuntos são diferentes, apesar de os representantes serem os mesmos. Também não verificaram as condições para que um Anais do 7

8 subconjunto de um anel seja subanel do mesmo; mesmo que esta inclusão fosse verdadeira isto não é garantia de que o subconjunto seja subanel. Nas respostas negativas a esta questão o argumento utilizado na justificativa é que Z 6 Z 3 e por isso que Z 3 não poderia ser subanel de Z 6. O que se observa nestas respostas é que eles podem ter confundido estes conjuntos com os ideais 6Z e 3Z. As respostas da questão 4 indicam que os estudantes, em geral, não sentem necessidade de verificar as condições para que um subconjunto de um anel seja um subanel deste anel, pois nenhum estudante fez esta verificação, como se a inclusão fosse condição necessária e suficiente para que um subconjunto seja um subanel. Pode-se concluir também que os estudantes não conseguem diferenciar os elementos dos anéis quocientes e nem as operações desses anéis. Resultados Da classificação e primeiras análises feitas na seção anterior foi possível reconhecer que os estudantes que participaram da pesquisa apresentam as seguintes dificuldades: 1. Dificuldade em entender a natureza dos elementos do anel quociente Z m. A classe C da questão 3, refere-se as respostas em que os estudantes responderam que os elemento do anel quociente /3 são elementos de, por considerarem que é subanel ou ideal de /3, que não está correto, pois se isto fosse verdadeiro, teríamos que /3 o que não garante que os elementos do anel quociente são elementos de. Outra justificativa é que /3 = 3. As respostas da classe D da questão 4, também são indícios dessa dificuldade, pois os estudantes afirmaram que 3 6, e que portanto 3 é subanel de 6. Pensando novamente em m como conjunto de restos, esta inclusão pode ser considera correta, mas não a afirmação de que 3 é subanel do anel 6, pois as operações destes anéis são diferentes e 3 não é fechado em relação a adição módulo 6, isto é, [2] + (mod 6) [2] = 4 3. Agora tomando m como conjunto das classes de equivalência módulo m, a inclusão 3 6 não é verdadeira, uma vez que os elementos destes conjuntos são diferentes, ou seja, [0] 3 é o conjunto dos múltiplos de 3, enquanto [0] 6 é o conjunto dos múltiplos de 6, que não são os mesmos e as operações destes anéis também são diferentes. Anais do 8

9 No trabalho de Lajoie e Mura (2004), as autoras identificaram a dificuldade de entender a natureza dos elementos e das operações do grupo quociente. Mesmo a maioria dos estudantes tendo respondido que os elementos do grupo quociente são classes de equivalência, eles admitem que estes elementos também são elementos do grupo de partida, ou que o grupo quociente é um subgrupo deste. Para as autoras alguns fatores podem contribuir para que esta dificuldade seja difícil de ser superada, entre outros, o uso dos representantes para realizar as operações do grupo quociente, o que pode induzir a uma confusão sobre a natureza dos elementos e a operação de grupo quociente. No caso do anel quociente Z/nZ, que é também um grupo comutativo aditivo, podese pensar que esta confusão, com os representantes, torna-se mais fácil de acontecer, pois os representantes são números inteiros que são muito familiares para os estudantes. Considerando, ainda, a dificuldade dos estudantes em entender a partição induzida pela relação de equivalência, de noções de teoria de conjunto como a partição e classe de equivalência, observados em Campos (2009), isso pode colaborar ainda mais para que a dificuldade em entender a natureza dos elementos de Z/nZ aconteça. 2. Dificuldade em trabalhar com o representante da classe. O representante de uma classe de equivalência, ou no caso, de congruência, é um elemento da classe de congruência, no caso do anel Z n que está sendo estudado, são tomados para representantes os menores inteiros positivos de cada classe, como por exemplo, em Z 3, que tem como representantes os inteiros 0, 1, 2, mas que poderiam ser 9, 13, 26, já que estes números são congruentes a 0, 1, 2 módulo 3, respectivamente. Toma-se estes números pela comodidade de se trabalhar com números pequenos e positivos e por estes números darem a ideia de resto da divisão por m, por isso é usual denotarmos os elementos de Z 3 por [0], [1], [2]. Em Lajoie e Mura(2004) o uso dos representantes da classe foram tomados como fonte de dificuldade, que acontece pelo seu uso nas aulas de Álgebra, sem as devidas explicações do porque isso pode ser feito. Na presente pesquisa acreditamos que os representantes, podem também ser fonte de dificuldade, mas observamos em nossos estudantes a dificuldade em trabalhar com o representante. As respostas dos estudantes que sugerem esta dificuldade, podem ser encontradas na classe B da questão 2, em que os estudantes N7 e N14, escreveram [8] [3] (mod 5) e o estudante N10 escreveu [8] 5 = Anais do 9

10 1+3 e na classe C da segunda questão apresentada, em que o estudantes N7 escreveu 9 Z 6. Este estudantes parecem não diferenciar o representante da classe de um classe. As razões para que os erros que sugeriram a dificuldade em trabalhar com o representante da classe tenham ocorrido, pode ter sido a familiaridade com os números inteiros e o obstáculo do desdobramento, assim como ocorreu na primeira dificuldade identificada nesta seção, a de entender a natureza dos elementos do anel quociente Z n. Outra razão pode ter sido devido à forma com que os representantes das classes de congruência, em questão, são tratados em sala de aula e nos livros de Álgebra. Em geral, os representantes utilizados são os canônicos, isto é, os menores inteiros positivos de cada classe, o que pode levar o estudante a pensar que existem apenas estes. Consideramos, ainda, ser possível pensar que a dificuldade em trabalhar com o representante da classe pode ter acontecido porque estes estudantes não entenderam as noções e as propriedades ligadas a uma relação de equivalência. Por exemplo, no caso do representante de uma classe, que pode ser qualquer elemento da classe de equivalência, e no caso do Z n, em que, identificando um elemento da classe, pode-se reconstruir a classe inteira. Conclusão As dificuldades relatadas neste artigo foram identificadas em uma pesquisa mais ampla, Campos (2009), que tratava da analisar as respostas dos alunos a questões referentes a congruência algébrica. Nos resultados deste trabalho foi possível identificar dificuldades no reconhecimento da partição induzida pela relação de congruência módulo m sobre Z, no entendimento da natureza dos elementos do anel quociente Zm, em construir e entender o anel quociente, em reconhecer dois anéis isomorfos e em trabalhar com o representante da classe. Entre as possíveis razões para que estas dificuldades ocorram pode-se destacar a falta de conhecimentos básicos de teoria de conjuntos, especialmente os envolvidos na noção de congruência algébrica, provavelmente decorrentes de obstáculos didáticos e cognitivos. Ao buscar respostas para estas questões esperamos contribuir para uma reflexão sobre o ensino e a aprendizagem de Álgebra Abstrata, além de contribuir para a formação de um banco de dados sobre este tema, para que outros pesquisadores possam utilizar esses resultados em investigações relacionadas ao campo Educação Matemática. Anais do 10

11 Bibliografia CAMPOS, E. Congruência Algébrica: uma poderosa ferramenta na construção de objetos matemáticos. In: EBRAPEM- Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-graduação em Educação Matemática, São Paulo. Atas do Ebrapem, A noção de congruência algébrica no Curso de Matemática: uma análise das respostas dos estudantes. Tese (doutorado). Universidade Federal do Paraná. Curitiba CURY, H. N. Análise de erros - o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Ed. Autêntica, GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, LAJOIE, C. MURA, R. Dificultés liées à l'aprentissage des concepts de sous-groupe normal et de groupe quotient. Recherches en Didactique dês Mathématiques, Grenoble, vol. 24, n. 1, p , SCHUBRING, G. A noção de Multiplicação: um obstáculo desconhecido na História da Matemática. Bolema, Ano 15, no18, p , Anais do 11