Dificuldades Ligadas a Aprendizagem do Anel Quociente Z m

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1 1 Dificuldades Ligadas a Aprendizagem do Anel Quociente Z m Prof. a Ms. Elisangela de Campos Prof. a Dr. a Maria Tereza Carneiro Soares Resumo O objetivo principal do meu trabalho de doutorado é identificar e interpretar as dificuldades dos estudantes ligadas a aprendizagem de uma estrutura algébrica, a saber, o conjunto quociente Z m, através da análise de erros, Cury(2007). Tendo como hipótese que estas dificuldades estão ligadas a noção de congruência. No levantamento da literatura, encontrei estudos sobre o ensino e aprendizagem da Álgebra Abstrata, sendo que os trabalhos encontrados focalizam principalmente o conteúdo de Teoria de Grupos. Dentre eles, o trabalho de Lajoie e Mura (2004), ajudou a formular as questões de dois questionários, sobre congruência módulo m e anel quociente Z m, que foram aplicados aos estudantes. O presente artigo relata a análise de uma das questões destes questionário. Palavra-chave: Ensino-Aprendizagem. Relação de congruência. Anel Quociente. Análise de Erros. 1 Introdução As disciplinas do curso de graduação em Matemática, que tratam das estruturas algébricas, grupo, anel e corpo de forma genérica, ou de Álgebra Abstrata, são ministradas tanto para licenciatura quanto para o bacharelado, no curso de graduação em matemática da Universidade Federal do Paraná, UFPR, nelas estes conteúdos são trabalhados dando ênfase às suas propriedades independentemente do conjunto envolvido. Atualmente, na UFPR, estas disciplinas estão divididas em três semestres, com os seguintes nomes e ordem: Teoria de Números, teoria de Aneis e teoria de Grupos, substituíndo a disciplina chamada Álgebra A. Em geral, esta disciplina não é a preferida dos estudantes, que reclamam da sua abstração e seu formalismo, é o que pude constatar com minha experiência como professora da mesma. Este formalismo e esta abstração da qual os estudantes reclamam, são conseqüências, entre outros fatores, da progressiva abstração pela qual passou a noção de operação algébrica, que fez com que se ampliasse a noção de número, a ponto de fazermos cálculos com objetos

2 2 matemáticos que não têm nenhum caráter numérico, como as permutações de um conjunto, como aponta Bourbaki(1970) no prefácio do livro Èlèments de Mathèmatiques: Algèbre. Além disso, os conceitos algébricos são apresentados aos estudantes, em geral, a partir das definições formais, apresentadas em sua forma geral, apoiadas na linguagem da teoria de conjuntos, onde as relações entre os objetos são mais importantes do que o próprio objeto e onde o conhecimento é apresentado na forma axiomática. Somente depois, nos exemplos é que se dá significação a esta definição, quando se trabalha com um conjunto particular. Pode-se perceber este fato em praticamente todos os livros de Álgebra destinados ao ensino universitário. A escolha por focar esta pesquisa em Álgebra, se deu por um gosto pessoal e por esta ser umas das disciplinas do Curso de Matemática onde existe um número relativamente alto de reprovação e evasão de alunos. Desde o início de minha pesquisa, busquei trabalhar um conceito que estivesse presente em vários momentos nesta disciplina, escolhi então a relação de congruência. Em álgebra abstrata uma relação de congruência (ou simplesmente congruência) é definida, utilizando a linguagem de teoria de conjuntos, como sendo um relação de equivalência compatível com alguma operação algébrica, o exemplo tradicional desta relação é a congruência módulo m, que é uma congruência no anel dos inteiros, e que pode ser generalizada. Além disso encontramos a congruência em outras disciplinas, como por exemplo em Geometria Analítica, quando definimos um vetor através de segmentos equipolentes, também usamos a congruência na construção lógico-formal dos números inteiros, racionais e reais. Dessa forma, pode-se justificar a relevância da escolha deste conceito para ser analisado. Entendo que a relação de congruência é uma ferramenta poderosa para construção de novos objetos matemáticos a partir de outros já existente. Embora este conceito não seja, em geral, explicitamente colocado como objeto de estudo em alguma disciplina, o não entendimento do mesmo, pode levar o estudante a não compreender os conceitos decorrentes de seu uso, e entender as dificuldade que os estudantes possam apresentar ao trabalharem com este conceito, a relação de congruência, é importante para amenizar as dificuldades na aprendizagem dos conceitos obtidos através da congruência, como grupo quociente e anel quociente. Desta forma, pretendo com esta pesquisa, analisar, classificar e interpretar as respostas dos estudantes, para identificar as dificuldades na compreensão de conceitos construídos utilizando a relação de congruência, particularmente a congruência módulo m e o anel quociente Z m. Optei por delimitar a minha pesquisa nestes dois conceitos, pois as primeiras disciplinas de Álgebra, no curso de Matemática da UFPR, em que reconhecemos a congruência nos conteúdos

3 3 ensinados são Teoria de Números e Teoria de Áneis, em que eles são ensinados. 2 Literatura relacionada As pesquisas que estão relacionadas com ensino e aprendizagem de Álgebra no ensino superior, estão em geral, destinadas aos conteúdos de Teoria de Grupos e Álgebra Linear (Dias,1993. Dubinski et al,1997. Lajoie e Mura, Lajoie, Karrer, Dorier e Sierpinska, Asiala et al, 1997.). Outras pesquisas foram desenvolvidas em Teoria de Números (Resende, Smith, Campbell e Zazkis, 2002.). Dentre os artigos sobre Teoria de Grupos, destaco os seguintes: 1. On learning fundamental concepts of group theory. Dubynski et al (1994). 2. Understanding of cosets, normality, and quotient groups. Asiala et al (1997). 3. Difficultés liées à l apprentisage des concepts de sous-groupe normal e de groupe quocient. Lajoie e Mura (2004). Nestes artigos encontrei resultados que me deram indícios das dificuldades dos estudantes na aprendizagem de alguns conceitos da Teoria de Grupos, como é o caso do terceiro artigo, no qual as autoras identificam três dificuldades na aprendizagem destes conceitos. São elas: 1. reconhecer a definição de um subgrupo normal: os estudantes não reconhecem a definição de subgrupo normal. Eles confudem esta definição com a definição de subgrupo central, ou comutativo, além de escolher mais de uma alternativa, como se fossem definições equivalentes. 2. entender a natureza dos elementos e da operação de um grupo quociente: apesar de grande parte dos estudantes reconhecerem que os elementos do grupo quociente são classes de equivalência, consideram que estes podem ser elementos do grupo de partida e/ou que o grupo quociente pode ser subgrupo do grupo de partida. 3. reconhecer o papel de um subgrupo normal na construção de um grupo quociente: apesar da maioria dos estudantes afirmarem que o subgrupo N deva ser normal, para que se possa construir um grupo quociente, eles não conseguem justificar satisfatoriamente porque isto deva acontecer.

4 4 Dubinsky et al(1994) e Asiala et al (1997), concordam que encapsular, o processo de formação de classes em objeto é muito difícil. Os primeiros acreditam ainda que as dificuldades no entendimento da Teoria de Grupos começam quando os conceito relacionados ao Teorema de Lagrange e grupo quociente, ou seja, classes laterais, operações entre classes e normalidade, são apresentados aos estudantes. Mas o que são estas classes laterais? Elas são classes de equivalências, de uma relação de congruência, e por isso temos suas operações bem definidas. O que faz com que este conceito possa ser fonte de dificuldade para os estudantes do curso de Álgebra? Um grupo quociente G/N pode ser definido, como o conjunto de classes laterais, que é também um grupo. Esta definição, traz consigo uma série de outros conceitos que são importantes para o seu entendimento, tais como relação de equivalência, estrutura quociente, operação entre classes de equivalência. Pode-se reunir todos estes conceitos em um só, o conceito de relação de congruência ou simplesmente congruência. As pesquisas mencionadas acima, ao meu ver, indicam que dificuldades em teoria de grupos podem estar relacionadas com os conceitos envolvidos em uma relação de congruência. Veja, por exemplo, a dificuldade no entendimento da natureza dos elementos do grupo quociente, quando se trabalha com estes elementos, que são classes de equivalência, o que se utiliza é o representante desta classe, como este representante é um elemento do grupo de partida, os estudantes parecem acreditar que classe e representante são a mesma coisa, fazendo com que aceitem a idéia de que os elementos do grupo quociente, são elementos do grupo de partida. Isto justifica o fato da maioria dos estudantes terem respondido que os elementos de G/N são os mesmos de G. Com o objetivo de verificar se os estudantes do curso de Licenciatura e Bacharelado da UFPR, apresentam as mesmas dificuldade identificadas por Lajoie e Mura(2004), decidi aplicar em março de 2006, o questionário elaborado por elas, e aplicado a seus estudantes, (Campos 2007). Dezessete (17) estudantes voluntários que já haviam cursado a disciplina Álgebra A, na qual o conteúdo de Teoria de Grupos é ensinado, responderam ao questionário. Da análise, feita de acordo com as respostas destes estudantes, foi possível identificar as mesmas dificuldades encontradas pela pesquisa mencionada anteriormente. Entretanto, os dados coletados pela minha pesquisa revelaram ainda uma dificuldade diferente das relatadas por Lajoie e Mura(2004), que esta relacionada com os conceitos envolvidos na construção de um grupo quociente, conceito de partição de um conjunto. As respostas dadas a uma questão sobre partição de conjunto indicaram que os estudantes não compreendem o que é uma partição, nem como se dá a formação das classes de equivalência como objeto, já

5 5 que 4 das 17 pessoas que responderam esta questão entenderam que: o elemento x do conjunto E pertence a {S 1, S 2,..., S n }, onde S 1, S 2,...S n é uma partição de E. Os resultados encontrados pela aplicação deste questionário, apoiam a minha hipótese de que estas dificuldades, em se trabalhar com a estrutura quociente, estão ligadas a noção de relação de congruência. De fato, ao se trabalhar com um conjunto quociente, vários outros conceitos matemáticos estão em jogo, como classe de equivalência, operação entre classes e conjunto como elemento de outro conjunto, além de conceitos básicos de teoria de conjuntos como as relações de pertinência e inclusão. Desta forma, ao se trabalhar com grupo quociente, por exemplo, existem outros conceitos que se não forem bem compreendidos pelos estudantes, poderão causar dificuldades em sua aprendizagem. Ainda que os resultados das pesquisas mencionadas sejam referentes a Teoria de Grupos, é possível fazer uma analogia com conceitos de teoria de Aneis, pois o processo utilizado para a construção anel quociente é essencialmente o mesmo da construção do grupo quociente. Na próxima seção será feita uma breve explicação do que é uma relação de congruência e do processo de construção do anel quociente Z m. 3 Relação de congruência Em Álgebra Abstrata, define-se relação de congruência como uma relação de equivalência compatível com alguma operação algébrica. Pela definição dada acima, é possível perceber que existem vários conceitos ligados a uma congruência, entre eles, a relação de equivalência, operação binária, classe de equivalência e conjunto quociente. No presente trabalho, quando me referir ao conceito de congruência, estarei englobando todos estes conceitos, como já foi dito anteriormente. Mas o que significa esta definição? O que é uma relação de equivalência? Qual a utilidade da compatibilidade de operação? Nos próximos parágrafos pretendo responder ou pelos menos discutir estas questões. Dizer que dois elementos de um conjunto são equivalentes significa dizer que eles são os mesmos em certos aspectos. Veja, por exemplo, a relação definida sobre os números inteiros xry, se e somente se, x = y, R é uma relação de equivalência sobre Z. Desta forma, pode-se pensar que 1 e 1, são os mesmos (ou são iguais) segundo a relação R. Pode-se interpretar esta relação como sendo a distancia de n a um ponto O é a mesma de n ao mesmo ponto. Do mesmo modo, pode-se pensar nas frações equivalentes: uma fração a pode ser vista b

6 6 como o par ordenado (a, b), onde a e b são inteiros e b 0, e a equivalência de frações é dada por (a, b) (a /b ) se e somente se ab = a b. Assim, pode-se dizer que 1 2 e 4 8 são equivalentes, ou que elas são iguais segundo esta relação, 1 = 4, por isso podemos simplificá-las, trocando 2 8 uma pela outra. Usando linguagem matemática, formalmente, podemos definir uma relação de congruência da seguinte maneira: dado um conjunto E munido de operação algébrica (ou seja, E tem uma estrutura algébrica), diz-se que R é uma relação de congruência sobre E, se e somente se R é uma relação de equivalência e para todo x, x, y, y E, se x R x e y R y, então x y R x y, onde é a operação definida em E. Neste caso, dizemos que a relação de equivalência R sobre E é uma relação de congruência, ou que R é uma relação de congruência para. Por esta definição, tomando E = Z, com as operações de adição (+) e multiplicação ( ) usuais, teremos que a relação de congruência R em Z é compatível com as operações de Z, no seguinte sentido: 1. se a R b e a R b, então a + a R b + b. 2. se a R b e a R b, então a a R b b. 3. se a R b, então a R b. O caso em que n = 0, teremos a relação de igualdade. Quando E é um anel comutativo < A, +, >, uma congruência é a mesma coisa que a decomposição de classes para um ideal. Teremos aqui a congruência módulo I, onde I é um ideal de A. Certamente, nem toda relação de equivalência é uma relação de congruência, veja o seguinte exemplo: seja R uma relação em Z, definida por xry,se e somente se, x = y. R é uma relação de equivalência sobre Z, R é compatível com a multiplicação, pois se x = x e y = y, então xy = x y = x y = x y, o que significa que xy R x y, mas R não é compatível com a adição, pois 1 R 1 e 2 R 2, mas ( 1 + 2)R/ (1 + 2). Logo R não é uma congruência para +, Warner(1965). Como a relação de congruência no conjunto E é uma relação de equivalência, esta relação também produz uma partição em E, isto é, divide o conjunto E em subconjuntos dois a dois disjuntos e que unidos resulta no próprio E. É possível então, definir classes de

7 7 equivalência e conjunto de classes de equivalência, que neste caso terá a mesma estrutura, em termos gerais,de E. A relação de congruência pode ser considerada uma ferramenta poderosa para a construção de novos objetos matemáticos à partir de outros já existentes. A utilização desta ferramenta, pode ser reconhecida na construção de espaços vetoriais, na construção dos números inteiros, racionais e reais, na construção de grupo quociente, entre outros. Isto é feito de acordo com o procedimento descrito a seguir. Considere um conjunto E, e uma relação de equivalência R sobre E. O conjunto a = [a] = {x E; xra}, a é chamado classe de equivalência de a, ou seja, o conjunto de todos os elementos de E que se relacionam segundo R com a, onde a é o representante da classe. Desta forma, tomando E o conjunto dos números inteiros, Z e a relação R definida por xry, se e somente se, y x é múltiplo de 2, teremos 0 = {x Z; x R 2}, que pode ser entendido como o conjunto dos números pares. O conjunto das classes de equivalência é um conjunto quociente e denotado por E/R. No exemplo anterior, o conjunto quociente é Z/R = {0, 1}, onde 0 pode ser entendido como o conjunto dos números pares e 1 o conjunto dos números ímpares. Através da relação de equivalência construímos um novo objeto matemático, o conjunto quociente E/R, cujos elementos são também conjuntos, as classes de equivalência a = [a]. O conjunto quociente E/R pode herdar a estrutura do conjunto E, para isso é necessário a garantia de que as operações em E/R estejam bem definidas. O que garante isto, é a compatibilidade da relação de equivalência com as operações de E, só assim, as operações entre as classes de equivalências podem ser feitas. Portanto, para que E/R tenha uma estrutura algébrica é necessário que a relação R, seja uma relação de congruência. É o que acontece com o anel quociente, o conjunto E neste caso é um anel A e A/I o anel quociente. Para construir o anel quociente Z n ou Z/nZ, temos E = Z e a relação de congruência é a congruência módulo ideal de Z. Para isto vamos tomar o ideal nz, podemos mostrar que todo ideal de Z é desta forma, veja Gonçalves(1979). A definição de ideal permite generalizar a noção de ( mod n) em Z, ou seja, se I = n Z e x, x Z então x x ( mod n) x x nz é também é usual escrever x x ( mod I), define uma relação de equivalência em Z, na verdade uma relação de congruência, pois as operações em Z n estão bem definidas.

8 8 De fato, se x x ( mod n), então x x = nk para algum k Z, mas nk nz, logo x x nz. Por outro lado se x x nz, enão x x = nk para algum k Z, o que significa que x x ( mod n). Definimos as classes de equivalência modnz como sendo x = x+nz = {x+nk : k Z} e o conjunto quociente Z/nZ = {x; x Z}, que é um anel com as operações de soma e produto induzidos da operações usuais de Z. A maior parte dos textos utilizados para o ensino de Álgebra Abstrata, não faz distinção entre os aneis Z/nZ e Z n, mas formalmente o que se tem é um isomorfismo entre eles, Z/nZ = Z n, veja por exemplo em Fraleigh (2002), Rotman(1996). O fato é que em geral, que se trabalha nas disciplinas de Álgebra Abstrata, sem se preocupar com esta distinção. A construção de um novo objeto matemático utilizando a relação congruência, em geral, é resumida pelos matemáticos na expressão passar ao quociente, mas que nem sempre é entendida pelos estudantes. Esta construção não é simples, os conceitos envolvidos exigem do estudante um nível de abstração e de conhecimento matemático que nem sempre ele tem, no entanto, ela não é trabalhada em detalhes no curso de matemática. 4 Procedimentos Metodológicos Para analisar classificar e interpretar as respostas dos estudantes, foram elaborados dois questionários aplicados as estudantes do curso de matemática da UFPR, matriculados nas disciplinas Teoria de Aneis e Álgebra A, que tratam do estudo da estrutua anel. Este estudantes tinham anteriormente cursado a disciplina de Teoria de Números, em que o conceito de congruência módulo m é ensinado. Estes questionários, foram elaborados tendo como inspiração o questionário elaborado por Lajoie e Mura(2004), bem como os resultados encontrados por elas, também foi levado em conta, livros textos utilizados nestas disciplinas, para que não houvessem conflitos com as notações utilizadas. O primeiro questionário, foi respondido por quarenta e um estudantes voluntários, as questões eram sobre congruência módulo m, suas propriedades, teoremas e sobre a construção do conjunto de classes de resíduos. Os estudantes matriculados na disciplina Álgebra A, foram identificados por A1, A2,...; os matriculados na disciplina Teoria de Anéis por T1, T2,...; e os que não informaram a disciplina por N1, N2,... O segundo questionário, aplicado a vinte e oito estudantes voluntários, continha questões sobre representante de classe de congruência, sobre a construção do anel quociente Z n e seus

9 9 elementos, sobre propriedades de ideal e subanel de um anel. Os estudantes que disseram ter respondido ao questionário anterior sobre congruências, foram identificados como Q1, Q2,..., os estudantes que não escreveram esta informação, foram identificados por N1, N2,... A metodologia de análise de erros, de acordo com Cury(2007), foi utilizada para o tratamento e análise dos dados. Não foram consideradas as provas em que os estudantes não responderam ou não justificaram a questão. Inicialmente as respostas de cada questão, foram agrupadas em classes de acordo com a semelhança de argumentos. Depois foi feita uma descrição e análise das respostas, para então interpretá-las, de acordo com resultados de pesquisas relacionadas ao tema. 4.1 Análise de uma Questão Para exemplificar como a análise das questões estão sendo feitas, segue a análise de uma questão do segundo questionário: Podemos afirmar que Z 3 é subanel do anel Z 6? Justifique sua resposta. O objetivo desta questão era verificar se os alunos reconhecem a partição de um conjunto e se eles conseguem diferenciar a natureza dos elementos e a operação envolvida em cada anel. Vinte e quatro estudantes (24) responderam a esta questão, o número de respostas afirmativas e negativas econtradas, estão no quadro abaixo. resposta sim não 7 15 Apesar da maioria responder corretamente, ou seja, que Z 3 não é subanel do anel Z 6, nem todas as justificativas dadas pelos alunos que responderam não a esta pergunta estão corretas. As classes que estão descritas a baixo, foram elaboradas de acordo como tipo de justificativa apresentada. Classe A: corresponde a quatro respostas, em que as justificativas são consideradas corretas. Estes estudantes justificaram suas respostas, usando o argumento que os elementos dos conjuntos são diferentes, como por exemplo o estudante N2, que escreveu , logo Z 3 Z 6. já o aluno Q4, justificou que...as classes de Z 3 são de congruência módulo 3, enquanto as classes do Z 6 são módulo 6. Estes estudantes perceberam que os elementos destes conjuntos são classes de congruência de módulos diferentes, e que portanto um não poderia estar contido no outro.

10 10 Classe B: corresponde a três (3) respostas em que os estudantes apesar de responderem não a questão, justificaram de forma incorreta. As respostas agrupadas nesta classe, tem como argumento que Z 6 Z 3, e portanto Z 3 não pode ser subanel de Z 6. Como na resposta do estudante N4, que escreveu Não. É ao contrário pois os elementos de Z 6 é que estarão dentro de Z 3. Mesmo afirmando isto, este aluno não verificou as outras condições para que um subconjunto de um anel seja subanel. Classe C: corresponde a oito (8) respostas, em que os estudantes responderam que não, mas com justificativas que não se encaixam nas classes anteriores. As justificativas são como a do estudantes N9, que diz que não... pois Z 6 é maior que Z 3, provavelmente como termo maior que ele se refere ao número de elementos de cada conjunto. Outro aluno N10, justifica que:... Z 6 é subanel de Z 3, pois Z 3 = {0, 1, 2} é o conjunto dos divisores de 3. 3 é divisor de 9 0, no entanto 6 não é divisor de 9, este aluno, apesar de escrever os elementos de Z 3, ele entende estes elementos como sendo divisores de 3, o que mostra que ele não comprendeu a noção de anel quociente. Já o estudante N12, diz que Z 6 é subanel de Z 3,...uma vez que Z 6 = 2Z 3. Este aluno provavelmente está se referindo ao subaneis 3Z e 6Z de Z, que são usados na construção de Z 6 e Z 3. Observa-se que este aluno não consegue diferenciar estes conjuntos. Classe D: corresponde a cinco (5) respostas, em que os alunos responderam sim, e usaram como justificativa que Z 3 Z 6. Como por exemplo o estudante Q9, que respondeu: Z 3 = {0, 1, 2} e Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Logo Z 3 Z 6 e portanto é subanel. Estes estudantes, concluíram isto apenas comparando os elementos dos conjuntos, eles não verificaram que os elementos desses conjuntos são diferentes, apesar dos representantes serem os mesmos. Também não verificaram as condições para que um subconjunto de um anel seja subanel do mesmo, mesmo que esta inclusão fosse verdadeira isto não é garantia de que o subconjunto seja subanel. Classe E: corresponde a duas (2) respostas afirmativas, em que foram usados argumentos que não se encaixam nas classes anteriores. Uma das respostas, a do estudante Q1, diz que sim,... pois os elementos são múltiplos de 3n, n Z. 3Z é subanel de Z. Estes não são os conjuntos que estão no enunciado da questão, outro problema para este argumento é que os elementos de 3Z são múltiplos de 3 e não de 3n. E aqui também não se verificou as condições para que um subconjunto seja um subanel. Esta descrição das respostas dos estudantes revela uma tendência dos estudantes a não verificar as condições que fazem que um subconjunto de um anel, seja um subanel deste anel. Outro fato revelado é que os estudantes, não compreendem a diferença entre os elementos dos

11 11 anéis envolvidos, atendo-se apenas aos representantes das classes de congruência. O uso de representantes das classe, como observa Lajoie e Mura (2004), pode dificultar o entendimento dos estudantes sobre a natureza dos elementos dos anéis, já que os números inteiros 0, 1, 2, 3, aparecem como elementos nos dois conjuntos, mas a barra acima dos números quer dizer que eles estão representando classes de congruência diferentes. Conforme LAJOIE e MURA (2004), o uso do recurso dos representantes das classes para efetuar as operações é uma prática corrente nas aulas de álgebra, porém... é muito possível que os especialistas subestimem as dificuldades que podem surgir da incompreensão das razões que as tornem possíveis devido a uma má interpretação dos representantes utilizados... (2004, p. 75). A escolha do representante da classe, a natureza dos elementos dos conjuntos e a operação entre eles, fazem parte do processo de passar ao quociente. Assim, o fato dos elementos dos anéis quocientes, que são conjuntos, serem tratados como números, no sentido que podemos fazer operações com eles e que estas operações tem as mesmas propriedades dos números inteiros (entendo Z como um grupo aditivo), merece ser analisado em minha investigação. 5 Bibliografia ASAILA M., et al,(1997); Development of student s understending of cosets, normeality, and quocient groups. Jornal of Mathematical Behavior. 16(3), p BOURBAKI, N. (1970); Élémentes de Mathématique: Algèbre. Cap. 1-3, Hermann, Paris. CAMPBELL, S. R., ZAZKIS, R. (Eds.) (2002). Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction. Westport, CT: Ablex Publishing CAMPOS, E. (2007); Dificuldades na aprendizagem de uma estrutura matemática. Anais XI Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-graduação em Educação Matemática. CURY, H. N.(2007); Análise de Erros- o que podemos aprender com as respostas dos alunos, Autêntica Editora. DIAS, M. A.(1993); Contribuition à alalyse d un enseignement expérimental d álgèbre linéaire en DEUG, A première année. Mémoire de DEA. Paris: Université de Paris 7. DORIER, J.-L., Sierpinska, A. (2001); Research into the teaching and learnig of linear algebra. Dans Holton, D. The teaching and learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study (pp ). Kluwer Academic Publishers DUBINSKY, E.,et al(1994); On leraning concepts of group tehory. Educational Studies in Mathematics, vol.27, n. 3, p FRALEIGH, J. B. (2002); A First Course in Abstract Algebra. 7 a edição, Hardcover.

12 12 GARCIA, A., LEQUAIN, Y.(2005); Elementos de Álgebra. 3a ed. IMPA, Rio de Janeiro. GONÇALVES, A.(1979); Introdução à Álgebra. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro. KARRER, M.(2006); Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: um estudo sobre transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. Tese de Doutorado. Puc-SP. LAJOIE, C.(2000); Difficultés liées aus premiers apprentissages em théorie des groupes. Tese (Doutorado), Faculte des études supérieures de l Université Laval. Québec, Candá. LAJOIE, C.; MURA, R.(2004); Difficultés à l aprentissage des concepts de sous-groupe normal et de groupe quotient. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, vol. 24, n. 1, pp RESENDE, M. R.(2007); Re-significando a disciplina de teoria dos números na foramção do professor de Matemática na licenciateura. Tese de Doutorado. Puc-SP. ROTMAN, J. J. (1996); A First Course in Abstract Algebra. Hadcover. SMITH, J. C. (2006); Revisiting Algebra in a Number Theoretical Setting, in Number theory in mathematics education: Perspectives and prospects. org. Zazkis, R. e Campbell, S. R.. Lawrence Erlbaum Press. WARNER, S.(1965); Modern Álgebra. Vol. 1, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J..