A TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS NA REDE PÚBLICA DO ESTADO DE SÃO PAULO

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1 A TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS NA REDE PÚBLICA DO ESTADO DE SÃO PAULO Joice D Almeida Pontifícia Universidade Católica de São Paulo joicedijo@yahoo.com.br Resumo: No ano de 2008 a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo iniciou a implantação de uma nova Proposta Curricular em toda rede estadual. Por outro lado, vários pesquisadores da área de Educação Matemática como Campbell e Zaskis (2002), Resende (2007) e Machado (2008) têm apontado a importância de pesquisas referentes ao ensino e a aprendizagem de Teoria Elementar dos Números na formação pré-universitária. Este texto apresenta o desenho e alguns resultados de uma pesquisa em andamento sobre a abordagem da Teoria Elementar dos Números no Caderno do Professor de Matemática da 7ª série, do ª bimestre de 2009, material integrante da Proposta Curricular de 2008, sob a metodologia qualitativa descritiva indicada por Bardin (2009) como Análise de Conteúdo. Palavras-chave: Caderno do Professor; Currículo; Teoria Elementar dos Números. Justificativa Recentes pesquisas têm mostrado a importância da Teoria Elementar dos Números. Dentre elas, é possível destacar Machado (2008) que afirma que o estudo de questões sobre números inteiros, deve permear todo o percurso escolar de um indivíduo, uma vez que o seu conhecimento assume um papel importante na vida deste indivíduo como cidadão. Pesquisadores como Campbell & Zaskis (2002), da mesma forma, falam sobre a importância do estudo da Teoria Elementar dos Números no ensino básico. Em seus trabalhos, questionam quais os motivos da falta de estudos no campo da Teoria dos Números dentro da Matemática, e consequentemente, estudos sobre a Teoria Elementar dos Números, ressaltando a necessidade de mais pesquisas com esta temática. Com a mesma preocupação, o Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica GPEA, do qual participo, tem desenvolvido diversas pesquisas sobre o ensino e sobre a aprendizagem da Teoria Elementar dos Números no Ensino Básico e Superior. Resende (2007), participante do GPEA, em sua tese de doutoramento, buscou re-significar a disciplina Teoria dos Números, enquanto saber a ensinar, na formação do professor de matemática na licenciatura. Resende (idem) afirma que o campo da Teoria dos Números propicia o desenvolvimento de ideias matemáticas importantes, presentes nos números inteiros, como a divisibilidade, os números primos, as estruturas multiplicativas e outros

2 temas relacionados a estes. Desta forma, a pesquisadora definiu os tópicos essenciais para o ensino da Teoria Elementar dos Números como sendo: Números Inteiros: evolução histórica e epistemológica do conceito de números naturais e inteiros; representações dos números naturais, operações, algoritmos e propriedades, definição por recorrência (potências em N, seqüências, progressões aritméticas e geométricas) e princípio da indução finita; Divisibilidade: algoritmo da divisão, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, algoritmo de Euclides, números primos, critérios de divisibilidade, o Teorema Fundamental da Aritmética; Introdução à congruência módulo m: definições, propriedades e algumas aplicações; Equações diofantinas lineares. (Resende, 2007, p.228) Essa definição é assumida por todos os membros do GPEA como contendo os assuntos essenciais que devem ser tratados ao longo de todo Ensino Básico. Como professora da rede pública do Estado de são Paulo, pude presenciar a recente mudança ocorrida nos currículos básicos. No início do ano de 2008, a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (SEE-SP) apresentou uma nova Proposta Curricular para as escolas públicas estaduais. A elaboração desta Proposta Curricular, segundo a SEE-SP, se deu na intenção de oferecer a todas as escolas públicas estaduais uma base comum de conhecimentos e competências, para que, de fato, estas escolas funcionem como uma rede. A necessidade de homogeneização surgiu pela grande variedade de currículos diferentes existentes no Estado de São Paulo, além da intensa mobilidade que há dos alunos entre as escolas da rede. Outro motivo para a elaboração da Nova Proposta Curricular foi em vista da melhoria da qualidade das aprendizagens dos alunos, uma vez que os últimos resultados dos alunos da rede estadual paulista em exames como o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) e SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica) foram insatisfatórios. No início de 2008, a SEE-SP enviou para todos os professores da rede o chamado Caderno do Professor de Matemática, parte integrante da Proposta Curricular de 2008, o qual deveria ser utilizado na gestão da sala de aula do ano vigente em diante. Promoveu também, uma série de fóruns de discussões sobre a nova Proposta entre os professores, além de vídeos explicativos para o professor se inteirar das expectativas que os formuladores tiveram quando elaboraram os Cadernos. 2

3 Considerando a pertinência da ampliação de estudos sobre a Teoria Elementar dos Números e, diante do presente quadro das escolas da rede pública do Estado de São Paulo, estabeleci como objetivo de minha pesquisa investigar a abordagem dada à Teoria Elementar dos Números nos Cadernos do Professor da 7ª série (8º ano) da rede publica estadual de São Paulo do ano de 2009, doravante indicado pela sigla CPM Metodologia Para o estudo dos CPM-2009, farei uma pesquisa qualitativa sob a ótica da metodologia qualitativa descrita, denominada por Bardin (2009) de Análise de Conteúdo. Essa autora define análise do conteúdo como um conjunto de técnicas de análise de comunicações que objetivam encontrar por meio de procedimentos sistemáticos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens indicadoras (quantitativas ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens (Bardin, 2009, p. 44). Desta forma, define três pólos cronológicos: a pré-análise, a exploração do material, e o tratamento dos resultados, onde são feitas as inferências e as interpretações. Assim, busco indicadores que me permitam inferir uma realidade que vai além daquela presente no material, evidenciando a parte matemática presente nos Cadernos do Professor. Na fase de pré-analise, escolhi para serem analisados os seguintes documentos: a Proposta Curricular do Estado de São Paulo para Matemática de 2008 e os 4 CPM-2009 relativos aos 4 bimestres. Na Proposta Curricular busco referências sobre assuntos da Teoria Elementar dos Números e principalmente sobre sua importância para o desenvolvimento de ideias matemáticas relevantes. Nos CPM-2009, procuro assuntos da Teoria Elementar dos Números apresentados de forma equilibrada, juntamente com a matemática do contínuo. Na segunda fase, em andamento, apresento os pontos importantes presentes na Proposta Curricular sobre o trabalho com o a Teoria Elementar dos Números, além de descrever os tópicos trabalhados nos CPM-2009, que favorecem o trabalho de assuntos da Teoria Elementar dos Números. 3

4 Na última fase da análise, farei a interpretação dos dados coletados, segundo o objetivo da pesquisa além de sugerir ideias para o trabalho da Teoria Elementar dos Números durante todo o percurso escolar. Descrição e análise do CPM-2009 relativo ao º bimestre da 7ª série Os CPM-2009 foram apresentados em quatro encartes, referentes a quatro bimestres. Cada encarte traz um panorama geral do tema a ser trabalhado no bimestre, além de atividades denominadas de situações de aprendizagem. Estas situações trazem a forma de abordagem sugerida pela Proposta Curricular de 2008 para instrumentar o professor em sua ação em sala de aula. A seguir apresento a análise do CPM-2009, destinado à 7ª série (8º ano), referente ao º bimestre de 2009, observando o que há de Teoria Elementar dos Números em cada uma dessas situações de aprendizagem, a partir da ordem de aparição das mesmas. A primeira situação de aprendizagem do caderno tem por objetivo estudar diferenças e semelhanças envolvendo as frações, a razão entre dois números quaisquer e números racionais. Com isto em vista, pretende esclarecer, dentre outras, a questão: Qual é a diferença entre uma fração e um número racional?. Para responder a esta questão, é proposta uma abordagem diferente daquela tradicionalmente apresentada em livros didáticos, explorando a noção de classes de equivalência. A partir de exemplos de conjuntos inicialmente desorganizados, como o conjunto de automóveis que circulam na cidade, o Caderno do Professor provoca a ideia de organização deste conjunto, segundo um critério pré-estabelecido. Para o conjunto de automóveis um critério escolhido para definir a relação de equivalência poderia ser o fabricante dos automóveis; feita a organização do conjunto de automóveis, o mesmo pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, no qual um representante de cada fabricante seria o suficiente para mapear todo o conjunto relação. Com o conjunto das frações, a organização em classes será feita se considerarmos como equivalentes todas as frações irredutíveis que representam a mesma parte da unidade; o mostruário destas frações seria, desta forma, o conjunto dos racionais. A exploração desta idéia está presente em exercícios como: 4

5 Denominador X Encontro Nacional de Educação Matemática Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a relação de equivalência seguinte: dois números inteiros são equivalentes se, e somente se, situam-se à mesma distância da origem, onde está o número zero. Nesse caso, a) quais seriam as classes de equivalências? b) qual seria o mostruário? (São Paulo, 2009, p.2) Apesar das classes de equivalência não pertencerem à lista de tópicos essenciais no que estabelecemos como sendo Teoria Elementar dos Números, é interessante notar que a escolha de critérios para organizar um conjunto de números também está presente nas congruências módulo m. A diferença é que nas congruências módulo m quer se organizar o conjunto dos números inteiros. A segunda situação de aprendizagem do Caderno do Professor de 2009 apresenta como título As dízimas periódicas são previsíveis, por objetivar a instrumentalização dos alunos para reconhecerem quando uma fração irredutível qualquer gerará uma dízima periódica, no caso de se dividir o numerador pelo denominador. Propõe, então, a confecção de uma tabela de dupla entrada, com os números de a 9 que mostra algumas combinações possíveis para o numerador e o denominador. Construída a tabela, pede-se aos alunos que dividam o numerador pelo denominador das frações representadas e assinalem com um X as casas que correspondem a dízimas periódicas. A tabela ficaria como a que segue: 2 Numerador X X X X X X X X X X X X 7 X X X X X X X X 8 9 X X X X X X X X Figura 2 (São Paulo, 2009, p.7) Sugerem-se, em seguida, questões para reflexão sobre a tabela, tais como: Quando uma fração irredutível não gera uma dízima periódica, se for dividido numerador por denominador?, Quando uma fração com denominador igual a 3 não gera uma dízima? 5

6 e Quando a divisão entre numerador e denominador de uma ração irredutível gera uma dízima periódica? (São Paulo, 2009, p.8, 9). Espera-se com a reflexão destas questões a percepção de que, uma fração irredutível resultará uma dízima periódica apenas no caso de em seu denominador haver qualquer fator primo diferente de 2 ou 5. Em continuação da atividade anterior, explora-se a observação do ciclo presente nos períodos de frações com mesmo denominador. Exemplificando este fato, apresenta-se a divisão da fração, juntamente com a tabela: 7 Quocientes Restos Figura 2 (São Paulo, 2009, p.22) A partir desta tabela, é possível prever o ciclo de todas as frações com denominador 7, bastando para isso, observar o primeiro resto decimal da divisão. O primeiro número do quociente decimal será aquele encontrado no primeiro resto decimal. Os próximos números do quociente seguirão o ciclo apresentado na tabela. Observar a regularidade presente em uma sequência numérica pode ser uma atividade motivadora, impelindo os alunos a descobrirem estratégias e métodos próprios para descrever o padrão observado na busca de uma generalização. Na terceira situação de aprendizagem, o tema central é o estudo das potências para a representação de números muito grandes ou muito pequenos como justificativa do estudo de suas propriedades operatórias. Apresenta-se, para tal, a seguinte questão: Dentre os números 2 0, 0 3 e 0 7, qual deles é escrito com maior número de dígitos (São Paulo, 2009, p.28). A discussão desta questão permite a retomada do significado e do cálculo de potências, além de possibilitar a percepção de que, ao escrever um número como uma potência de base 0, podemos saber a quantidade de algarismos deste número, observando o expoente desta potência. Para a exploração deste significado, propõem-se questões contextualizadas como Em astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é 6

7 chamada ano-luz. Pergunta-se: Quantos metros tem ano-luz [sabendo que a velocidade da luz no vácuo é de, aproximadamente m/s]? (São Paulo, 2009, p.30) Finalizando a situação de aprendizagem, são apresentadas as potências com expoentes negativos para representar números muito pequenos. Para tal, utiliza-se a regularidade presente no Sistema Posicional Decimal e outros números que podem ser representados com potências de expoentes negativos como: cm = 0 2 m, mm = 0 3 m, μm = 0 6 m, nanômetro = 0 9 m, angstrom = 0 0 m, Massa da molécula de água = g, diâmetro de uma célula = 5 a m (São Paulo, 2009, p.32) Como se pode observar, esta situação de aprendizagem foi totalmente voltada para o estudo das potências, tópico relacionados à Teoria Elementar dos Números definidos por Resende (2007) como essenciais. Juntamente com as potências, vemos uma variação na representação dos números naturais ao serem utilizadas as potências de 0. Esta variação permite um trabalho mais eficaz na realização de cálculos com potências, assim como leva ao aluno a ter mais experiências com outras representações dos números naturais. A última situação de aprendizagem presente no Caderno do Professor apresenta diversas atividades contextualizadas, relacionando as potências e as unidades de memória dos computadores. Comenta-se que o termo byte seus múltiplos são amplamente utilizados nos dias de hoje e, por sua natureza, são representações de números binários, isto é, potências de base 2. Seu significado, porém, tem sido mudado pelos fabricantes de memória, que adotam a representação decimal para facilitar o entendimento do usuário. Isto acaba gerando uma diferença entre o que é registrado no sistema operacional e da real capacidade de memória do computador. Na exploração deste tema, atividades envolvendo as transformações entre bytes em seus múltiplos, e vice-versa, são utilizadas como transformar 0 megabytes em bytes, segundo o Sistema Internacional. Partindo da pergunta: Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2? (São Paulo, 2009, p. 40), propõe-se a construção de uma tabela, seguida de um gráfico, em que se relacionam o expoente e o número de algarismos das potências de 2. Após a construção da tabela e do gráfico pede-se para que, observando o padrão existente, se determine o número de algarismos do número O texto em colchetes foi adicionado para melhor entendimento do leitor. 7

8 Nesta esta situação de aprendizagem, vejo novamente uma ampla utilização das potências em contextualizações e a exploração de suas propriedades em cálculos envolvendo transformações das unidades de memória. Mais uma vez, a ideia da observação e a generalização de padrões é utilizada para determinar a quantidade de algarismos de uma potência. Considerações parciais Na análise dos CPM-2009 do º bimestre de 2009, pude perceber que todos os conteúdos previstos como essenciais da Teoria Elementar dos Números, para a série analisada, foram encontrados, ou seja, observei a presença da ideia de classes de equivalente, noção recorrente à congruência módulo m, mínimo múltiplo comum, os critérios de divisibilidade, os números primos, o Teorema Fundamental da Aritmética (decomposição em fatores primos), o algoritmo da divisão, as potências em N e suas operações, seqüências para a observação e generalização de padrões numéricos. A forte presença das sequências, para a observação e generalização de padrões numéricos, é um indicador de uma aproximação maior dos resultados de pesquisas recentes e das aplicações destes resultados em sala de aula, o que certamente contribuirá para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Algumas abordagens, ainda, são inovadoras para a série analisada, como é o caso da ideia das classes de equivalência para organizar o conjunto dos números racionais. Referências Bibliográficas BARDIN, L. Análise de conteúdo. Lisboa: Edições 70, CAMPBELL, S. R.; ZAZKIS, R. (Eds) Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction. Westport,CT: Ablex, MACHADO, S.D.A. O estudo dos números inteiros visando uma cabeça bem feita. In: XIV ENDIPE Encontro de Didática e Prática de Ensino: Porto Alegre, MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números: Uma introdução à Matemática. São Paulo: Edusp,

9 RESENDE, M.R., Re-significando a disciplina Teoria dos Números na formação do professor de Matemática na Licenciatura. Tese (Doutorado em Educação Matemática), PUC-SP, SÃO PAULO (Estado). Secretaria da educação do Estado de São Paulo. Caderno do Professor. Matemática: Ensino Fundamental 7ª série º bimestre. São Paulo: SEE, SÃO PAULO (Estado). Secretaria da educação do Estado de São Paulo. Proposta Curricular de Matemática. São Paulo: SEE,