MÓDULO IV.

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1 1 MÓDULO IV Antes de começar a estudar o Módulo IV, faço a sugestão de leitura de um artigo que considero interessante para introduzir o assunto Razões e Proporções. Nesse artigo se encontra um detalhamento multicultural de nosso tema de estudo nesse módulo. Ele nos transporta para às Civilizações Clássicas (Grécia e Roma Antiga). Nos lembra os mais nobres pensamentos que perpetuaram nossa Matemática. Não deixe de acessar: Iniciaremos nosso estudo de razões e proporções entendendo os conceitos, as propriedades e os tipos de proporções, bem como, aplicações envolvendo este tema que é importantíssimo para quem presta concursos. Então, um bom estudo para todos nós...

2 Razões e Proporções Razão É o resultado da comparação entre duas grandezas. Como por exemplo: 3 5 ou 3 5. Se 0 10 e 8 0 8, podemos então escrever ou , que se lê está para 10, assim como 8 está para 4. Então, razão de dois números é o quociente do primeiro número pelo segundo. Exemplo: Calcule a razão entre 0,5 e 0,05. Temos que 0,5 chama-se antecedente e 0,05 chama-se conseqüente. Então: 0,5 0,05 ou 0,5 0, A razão entre 0,5 e 0,05 é 0. Dizemos que a razão entre dois números racionais a e b, com b 0, é o quociente de a por b. Indica-se: a b ou a, sendo a antecedente e b conseqüente. b

3 3 Razões Inversas Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra e vice-versa. Exemplo: Proporção Dados quatro números a, b, c, d diferentes de zero, dizemos que formam uma proporção ou que estão em proporção se a razão entre os dois primeiros a e b for igual a razão entre os dois últimos c e d. Proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplo: 6, 3, 10 e 5 formam uma proporção, pois: Indicaremos que os números a, b, c, d formam uma proporção da seguinte maneira: a c ou a b c d que se lê: b d a está para b, assim como c está para d.

4 4 Termos de uma proporção a 1 0 antecedente c b 1 0 conseqüente d 0 antecedente 0 conseqüente Propriedade Fundamental Em toda a proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo:

5 5 Cálculo do termo desconhecido de uma proporção (resolução). Significa encontrar o valor do termo desconhecido aplicando a propriedade fundamental. Exemplo: Calcular o termo desconhecido em 5 6 x 1 6 x 5 1 6x 60 x 60 6 x 10 Quarta Proporcional Para se encontrar a quarta proporcional dos números a, b e c, basta formar com eles uma proporção, tal que: a b c x, onde x é a quarta proporcional de a, b e c. Exemplo: Qual é a quarta proporcional dos números 1, 3 4 e 1 4? Forma-se a proporção: x Onde: x x 16 x 3 16 x 16 3

6 6 16x 6 6 x 16 3 x 8 Proporção Contínua Aquela que tem ou os meios ou os extremos iguais, tais como: a) b) Média Proporcional ou Média Geométrica A média proporcional ou geométrica de dois números é igual a raiz quadrada do produto desse números. Exemplo: Qual é a média geométrica dos números 5 6 e 0 4? Forma-se a proporcional contínua: 5 0 x x x x x 144 x x 1

7 7 5 x 6 Terceira Proporcional É o quarto termo de uma proporção contínua. Se uma proporção ocorrer: x, temos que x é um terceiro elemento diferente, que com os outros dois ( e 10) formam essa proporção contínua. Diz-se que x é a terceira proporção de dois números, a e b, basta formar com eles nessa ordem, uma proporção contínua, onde b é o meio igual, ou seja, a b b x. Exemplo: Qual é a terceira proporcional dos números 3 4 e 3? x 3 x x 4 9 3x x x 7

8 8 Propriedades das Proporções 1 a ) Propriedades da soma dos termos A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto)., temos: a ) Propriedade da diferença dos termos A diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto). Então em, temos:

9 9 Exemplo: Calcular dois números cuja diferença entre eles é 0 e que estão si na razão de 6 4. Solução: Sejam a e b os números procurados. Aplicando a propriedade da diferença dos termos:, temos: 0 a 0 6 b 4 a 0 6 b 0 4 a 10 b a b 80 a 60 b 40 Os números procurados são 60 e 40.

10 10 3 a ) Propriedade da soma dos antecedentes e dos conseqüentes. A soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente., temos: 4 a ) Propriedade da diferença dos antecedentes e dos conseqüentes A diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente., temos: (1) a c b d a b ou () a c b d x y Exemplo: Resolver a proporção, sabendo que x + y c d Solução:, temos:

11 11 Como x + y 4 : ( 1 ) 4 x x x 4 9 1x 378 x x 18 ( ) 4 y y y 4 1 1y y y 4 Resposta x 18 e y 4 1

12 1 5 a ) Propriedade do produto dos antecedentes e dos conseqüentes O produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado do seu conseqüente., temos: Em qualquer proporção, os quadrados de seus termos também formam uma proporção. Se Exemplo: Calcular x e y na proporção x y 3, sabendo-se que x + y 5. Solução:

13 13 Aplica-se a propriedade da soma dos termos ( 1 0 ) vem. x + y ( 1 ) x x 4 x x x 13 x ( ) y y 9 y y y 13 y 36 x 16 y 36 x 4 y 6 Resposta: x 4 e y 6

14 14 Série de razões iguais (proporção múltipla). Em qualquer proporção múltipla, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente. a b c Exemplo: Calcular a, b e c em, sabendo que a b + c Solução: Aplica-se propriedade da soma (ou diferença) dos antecedentes e conseqüentes. Como a b + c 33 : ( 1 ) a b + c a a a a a 44 a 4

15 15 ( ) 33 b b b b b 6 44 ( 3 ) 33 c c c 660 c c 15 Resposta: a4 b6 e c15 Bom de Papo Um sujeito acaba de conseguir um cargo de vendedor em uma loja que vendia de Tudo. Terminado o primeiro dia, o gerente de RH pergunta: - Como foi seu primeiro dia? Quantas vendas você fez? - Fiz apenas uma venda - responde o vendedor. - Uma só? - espanta-se o gerente - Mas todos os outros vendedores fazem de 0 a 30 vendas por dia... E de quanto foi esta venda? - R$ ,00 - responde o vendedor. O gerente arregala os olhos. Uma venda daquele valor era realmente inusitada. - Como é que você conseguiu isto? - pergunta, o gerente, intrigado. - Bem, - responde o vendedor - vendi a este cliente um anzol pequeno, um médio e um grande. Vendi os três tipos de linhas para cada tipo de anzol e também todos os apetrechos para pesca. Ao perguntar-lhe onde ele iria pescar

16 16 e obtendo a resposta de que pretendia ir ao litoral, informei-lhe de que seria necessário um barco. Ele então comprou o de pés, cabinado, com dois motores. Como o carro dele não seria capaz de rebocá-lo, vendi-lhe uma Blazer... O gerente o interrompe: - Você fez esta venda para um sujeito que entrou pedindo um anzol? - Bem, - responde o vendedor - na realidade, o sujeito veio me perguntar onde havia uma farmácia. Perguntei-lhe o que ele iria comprar lá, e soube que seria um OB para sua esposa. Aproveitei e comentei: "Já que seu fim-de-semana foi pro saco mesmo, que tal uma pescaria?" Exercícios: 1) A escala utilizada, quando representamos um comprimento real de 50m em um desenho de comprimento igual a,5cm, é: Solução: Comprimento real ( ) C m cm Comprimento do desenho ( C ),5 R D cm Portanto: C E C R D 5 E E ou 1:

17 17 ) O coeficiente de proporcionalidade dos números proporcionais: é: Solução: Como , concluímos que o coeficiente de proporcionalidade é ) O valor de x na proporção x x x x 6 11 x x é: x

18 18 4) (UFR-RJ/005) Numa escola foi feito um levantamento para saber quais os tipos de calçados mais usados pelas crianças. Foi obtido o seguinte resultado: um terço usa sandálias; um quarto usa tênis; um quinto usa sapatos, e os 5 restantes usam outros tipos de calçados. Pode-se concluir que, pelos tipos de calçados encontrados, há nessa escola um total de: a) ( x ) 40 crianças b) ( ) 50 crianças c) ( ) 60 crianças d) ( ) 70 crianças e) ( ) 80 crianças Solução: Número total de crianças x x x x x x + 15 x + 1 x x x + 15x + 1x x 0x + 15x + 1x 60x x 310 x 40 Letra A 5) (UEL-PR/005) Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$4300,00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$50,00 e cada calça de tamanho médio custou R$60,00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio, respectivamente, ele comprou?

19 19 a) ( ) 30 e 50 b) ( ) 37 e 43 c) ( ) 40 e 40 d) ( ) 43 e 37 e) ( x ) 50 e 30 Solução: Número de calças tamanho pequeno: x Número de calças tamanho médio: y + 10y 300 y y Substituindo y 30 50x x x x 500 x x Resposta: Letra E

20 0 6) (UEL-PR) As idades de Cacá e Mimi somam 34 anos. Se Cacá é mais velho que Mimi e o produto de suas idades é numericamente igual a 88, quantos anos Cacá tem a mais que Mimi? a) ( ) 6 b) ( ) 5 c) ( ) 4 d) ( ) 3 e) ( x ) I) C + M 34 II) C M 88 De I e II) C (34 C) C C 88 0 C + 34C 88 0 ( 1) C 34C a 1 b 34 c 88 ± C b b 4ac a 34 ± C 34 ± C I C V II 3 C 16 F

21 1 Resposta: Cacá tem dois anos a mais que Mimi. 7) A razão entre a minha idade e a idade de meu primo é de para 5 e juntos temos 4 anos. Então, tenho: Solução: x eu y meu primo x + y + 5 x x + y + 5 y x 4 7 y 5 7x 84 7y 10 x 84 7 y 10 7 x 1 y 30 Resposta: Tenho 1 anos

22 8) Em uma prova com 40 questões, um candidato acertou 5, deixando 5 em branco e errando as demais. Qual é a razão do número de questões certas para o de questões erradas? Solução: Total 40 questões Certas 5 questões Em branco 5 questões Então, o número de questões erradas Razão do número de questões certas para o de questões erradas: 40 4 ou 4 para

23 3 GATO E GATA Fonte: Fonte: