LISTA DE EXERCÍCIOS GEOM. ESPACIAL MÉTRICA 2º E. M. PROF. MARCO POLO. Nome: Nº: Turma:

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1 LIST DE EXERCÍCIOS GEOM. ESPCIL MÉTRIC º E. M. PROF. MRCO POLO Nome: Nº: Turma: 01. Cacue a diagona, a área tota e o voume de um paraeepípedo de dimensões, 4 e Cacue a diagona, a área tota e o voume de um cubo de de aresta. 0. Qua é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de 4 de aresta? 04. O cubo de vértices BCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta E, então a distância do ponto M ao centro do quadrado BCD é igua a a) c) a 5 a a d) a e) a 05. Cacue a medida da terceira aresta de um paraeepípedo reto-retânguo, sabendo que duas deas medem 4 e 7 e que a sua diagona mede Determine a medida da diagona de um paraeepípedo, sendo ( a b + c) = a + b + c + ab + bc + ac + ). 6 sua área tota e 10 a soma de suas dimensões (obs.: 07. s dimensões de um aquário são de 1m, 0,5m na base e 0,58m na atura. o enchermos este aquário, coocamos água até 8 abaixo de sua atura tota, para que a água não transborde. a) Se para cada 5 itros de água devemos acrescentar três gotas de um descorificante (produto para eiminar o coro da água), quantas gotas desse produto serão adicionadas à água? o coocarmos o cascaho no fundo do aquário para decoráo, o níve de água subiu 5. Cacue o voume (em ocupado peo cascaho no aquário. ) 8 0,58m 1m 0,5m 08. Um prisma trianguar reguar tem 4 de atura e o apótema da base mede. Cacue, desse prisma: a) a aresta da base a área da base c) a área de uma face atera d) a área atera e) a área tota f) o voume. 09. Idem ao exercício anterior para um prisma hexagona reguar de 4 de atura e de apótema da base. 10. Cacue o voume de um prisma trianguar de 6 de atura, cujas arestas da base medem 5, 5 e Cacue o voume de um prisma obíquo, sabendo que a base é um hexágono reguar de ado e que a aresta atera, incinada a 60 em reação ao pano da base, mede Dois bocos de aumínio, em formato cúbico, com arestas medindo 4 e 6 são evados juntos à fusão e, em seguida, o aumínio íquido poderá se modado: a) em uma única pirâmide reguar quadrada de aresta da base medindo 6 e atura x. Cacue x. ou em uma quantidade n de paraeepípedos reto-retânguos, com arestas iguais a, e. Cacue essa quantidade n.

2 1. Dois bocos de aumínio, ambos em forma de cubo, com arestas medindo 10 e 6 são evados juntos a fusão e, em seguida, o aumínio íquido é modado como um paraeepípedo de arestas 8, 8 e x. Cacue o vaor de x. 14. figura ao ado apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos reguares. O apótema da base mede prisma. 5 e a atura do prisma mede 10. Cacue o voume do F E B C D F E D B C 15. Um tanque de criação de peixes tem a forma da figura ao ado, em que BCDEFGH representa um paraeepípedo retânguo e EFGHIJ um prisma cuja base EHI é um triânguo retânguo, com ânguo reto no vértice H e ânguo α no vértice I, ta que sen α =. superfície interna do tanque será pintada com 5 materia impermeabiizante íquido. Cada metro quadrado pintado necessita de itros de impermeabiizante, cujo preço é R$,00 o itro. Sabendo-se que B = m, E = 6m e D = 4m, determine: a) as medidas de EI e HI a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto em reais. m C G J H B I F D 4m 6m E 16. Uma pequena indústria pretende fabricar caixas de dois tipos uma em forma de um cubo e outra em forma de um paraeepípedo reto-retânguo, feitas de um mesmo materia e ambas com a mesma capacidade. Se as dimensões do paraeepípedo forem 8, 7 e 64, qua será a área tota da caixa cúbica? 17. figura ao ado representa um prisma reto cujas bases são hexágonos reguares. Os ados dos hexágonos medem 5 cada um e a atura do prisma mede 10. a) Cacue o voume do prisma. Encontre a área da secção pana desse prisma que passa peos pontos, e C. 10 C 18. Uma amostra de meta é merguhada em um tanque de água retanguar, cuja base tem 15 por 0 de dimensões. O níve de água eeva-se em 0,5. Determine, em centímetros cúbicos, o voume do meta. 19. Uma caçamba para recoher entuho, sem tampa, tem a forma de um prisma reto, conforme mostra a figura, em que o quadriátero BCD é um trapézio isóscees. s dimensões da caçamba, dadas em metros, são B =, CD =,, BC = 1 e CG = 1,5. a) Cacue a capacidade dessa caçamba, em metros cúbicos. s chapas de aço que compõem a caçamba devem ser protegidas com tinta anticorrosiva, tanto na parte interna quanto na parte externa. Cacue a área a ser pintada, em metros quadrados Para aproveitar mehor o espaço do compartimento de carga de um determinado modeo de avião, os objetos a serem transportados são acondicionados em contêineres com o formato de um prisma hexagona, como mostra a figura (fora de escaa). Cacue, em metros cúbicos, o voume de cada um desses contêineres. m m,7m 1,6m m 0,m,1m 0,m

3 1. atura de uma pirâmide trianguar reguar mede 1 e o apótema da base mede 5. Cacue, dessa pirâmide: a) a medida de um apótema a aresta da base c) a área da base d) a área de uma face atera e) a área atera f) a área tota g) o voume.. Idem ao exercício anterior para uma pirâmide hexagona reguar com 6 de atura e de apótema da base.. O apótema de uma face de um tetraedro reguar mede. Cacue: a) a medida de uma aresta a área tota c) a atura d) o voume. 4. Pretende-se construir um obeisco de concreto, de forma piramida reguar, no qua a aresta da base quadranguar mede 6m e a aresta atera mede 5m. Determine: a) a área tota do obeisco o voume do obeisco c) o ânguo α de incinação entre cada face atera e a base do obeisco. 5. pirâmide da figura é reguar. aresta da base mede 6 e a atura mede. Cacue: a) o voume da pirâmide. a área atera da pirâmide. 6. área da base de uma pirâmide é de de área 64. Determine a atura dessa pirâmide do vértice passa-se um pano paraeo à base, determinando uma secção 7. Uma pirâmide com 96 de voume é cortada em duas partes por um pano paraeo à sua base e que passa peo ponto médio da sua atura. Cacue os voumes dessas duas partes. 8. figura ao ado representa uma pirâmide de base trianguar BC e vértice V. Sabe-se que BC e BV são triânguos eqüiáteros de ado e que M é o ponto médio do segmento B. Se a medida do ânguo voume da pirâmide. VM ˆ C é 60º, cacue o V 60º C M B 9. Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro reguar. s arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura. a) Obtenha a atura do tetraedro e verifique que ea é igua a dois terços da diagona do cubo. Obtenha a razão entre o voume do cubo e o voume do tetraedro.

4 0. Para compor uma escutura, um artista criou uma peça metáica formada por um prisma hexagona reguar, cuja aresta da base mede e a atura 0. Sobre esse prisma, ee modou uma pirâmide reguar, com a mesma base do prisma e com 10 de atura, como mostra a figura ao ado. Cacue o voume dessa peça Uma pedra preciosa foi apidada, ficando com a forma de um octaedro reguar de 1 de aresta. Determine: a) a área tota dessa pedra o voume dessa pedra. figura fora de escaa. Cacue a medida de uma diagona, a área tota e o voume de um octaedro reguar de 4 de aresta.. área atera de um ciindro reto é 150π. Cacue seu voume, sabendo que a atura é igua ao tripo do raio da base. 4. Cacue a área atera e a área tota de um ciindro eqüiátero que tem por voume 5. Retirando-se um semiciindro de um paraeepípedo reto-retânguo, obtivemos um sóido cujas fotografias, em vista fronta e vista superior, estão indicadas nas figuras. Se a escaa das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o voume do sóido fotografado, em m, é igua a 18π. ) (14 + π). B) (14 + π). C) (14 π). D) (1 π). E) (1 π). 6. área de uma secção meridiana de um ciindro de revoução é de sabendo-se que o raio da base é da atura do ciindro. 48. Cacue a área tota e o voume desse ciindro, 7. Um tanque com a forma de um ciindro circuar reto tem,40m de atura e raio da base igua a m, estando com a base apoiada num pano horizonta. o ongo de uma geratriz (vertica), de baixo para cima, esse tanque possui torneiras iguais, espaçadas de 60, como mostra a figura abaixo. Cada torneira proporciona uma vazão de 0π itros por minuto. Estando competamente cheio de água e abrindose as torneiras, o tempo necessário para o esgotamento competo do tanque será de: a) h40min h0min c) h40min d) 4h0min e) 4h40min 8. Uma peça de ferro é formada de um prisma hexagona reguar com um furo ciíndrico no meio, conforme mostra a figura. aresta da base do prisma mede 6 e a atura,. O diâmetro do furo mede 4. Cacue o voume de ferro utiizado nesta peça.

5 9. Num ciindro circuar reto de raio da base r e atura 10, competamente cheio de água, foi imersa uma pirâmide quadranguar reguar de atura π, cuja diagona da base mede r. Cacue a razão entre o voume de água que transbordou e o voume do ciindro. 40. Um cone reto tem 8 de raio da base e 6 de atura. Cacue, desse cone: a) a medida de uma geratriz a área atera c) a área tota d) o voume e) a medida, em radianos, do ânguo θ obtido peo desenvovimento da superfície atera sobre um pano. 41. geratriz de um cone reto mede 10 e sua área tota é 96π. Cacue o seu voume. 4. Cacue o voume de um cone eqüiátero cuja área de uma secção meridiana é de figura representa o sorvete choconiha, cuja embaagem tem a forma de um cone circuar reto. O cone é preenchido com sorvete de chocoate até a atura de 1 e, o restante, com sorvete de bauniha. dotando π =, o número máximo de sorvetes que é possíve embaar, com itros de sorvete de bauniha e 1 itro de sorvete de chocoate, é a) 1 c) 18 d) 17 e) Uma mistura de eite batido com sorvete é servida em uma taça, como na figura. Se na parte superior do copo há uma camada de espuma de de atura, cacue o voume ocupado pea mistura no copo, excuindo-se a espuma (considere π = ) No sóido da figura, BCD é um quadrado de ado e E = BE = 10. Cacue o voume desse sóido. D C B E

6 46. Um pano secante a uma esfera distando 5 do centro dea, determina na esfera um círcuo de área 16π. Cacue a área e o voume dessa esfera. π 47. Cacue a área de um fuso esférico de raio 4 e ânguo diédrico igua a rad Cacue a área da superfície tota e o voume de uma cunha esférica de 60 em uma esfera de diâmetro Um recipiente ciíndrico reto, com raio da base igua a 1, contém água até a metade de sua atura. Uma esfera maciça, coocada no seu interior, fica totamente submersa, eevando a atura da água em. Cacue o raio da esfera Uma bóia marítima, cuja superfície é coberta por uma determinada iga metáica, tem o formato de uma gota que, separada em dois sóidos, resuta em um cone reto e uma semiesfera, conforme a figura ao ado, na qua r = 0, 5m. Se o preço do m da iga metáica é 100 reais, cacue o custo da iga metáica que cobre a superfície da bóia (adote π = ). r r 51. Considere o recipiente da figura, formado por um ciindro reto de raio e atura 10, com uma concavidade inferior na forma de um cone, também reto, de atura e raio da base 1. a) Cacue o voume de um íquido que ocupa o recipiente até a metade da sua atura. 4 Merguhando-se no íquido desse recipiente uma esfera impermeáve, o níve do íquido sobe. Determine o raio da 7 esfera. Figura fora de escaa Figura fora de escaa 5. Na figura, temos um recipiente cônico reto cheio de água (I), um recipiente ciíndrico reto (II) e uma esfera de aço dentro do recipiente ciíndrico (III). 15 h (I) (II) (III) a) Cacue o voume de água contida no cone (I). o despejarmos o voume de (I) em (II), a água atinge uma atura h. Cacue h. 9 c) Em (III), merguha-se a esfera na água e o íquido eeva-se em. Cacue o raio dessa esfera. 4

7 5. Um troféu para um campeonato de futebo tem a forma de uma esfera de raio R=10 cortada por um pano situado a uma distância de 5 do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r, e sobreposta a um ciindro circuar reto de 0 de atura e raio r, como na figura (não em escaa). O voume do ciindro, em, é a) 100π. 00π. c) 50π. d)500π. e)750π.

8 GBRITO 01. d = d = = 108 = 4 V = 7 V = 8 5. a) 6. 7 V = 54 = e aternativa c V = a) 105 gotas 08. a) = 6 c) f = 4 d) e) t 18( + 4) b = 9 = 7 = f) V = a) = c) f = 4 d) e) t 6( + 4) 7 45 b = 54 = 144 = f) V = a) 5 70 paraeepípedos 1. x = a) h = d = 0. V = a) t = V = d = 4 t = V = π = 64π 5. aternativa e 6. t = 80π 7. aternativa d t = 96π V = 96π 14. V = V = 4( 7 π ) 15. a) EI = 5m HI = 4m 16. = 104m R$ 416, a) V = 75 s = a),1 0, 0. 14,56m 1. a) m = 1 = 10 c) b = 75 d) f = 65 e) = 195 f) g) V = 00 t = 70. a) m = 4 = 4 c) b = 4 d) f = 8 e) = 48 f) g) V = 48. a) = 6 4. a) t = 7 t = 6 c) h = 6 d) V = 18 t = 108 V = 6 c) a) g = c) t 144 = π d) 8π e) θ = rad 5 96π 9 π 4. aternativa d V = π = 144π 4π = 60π 49. R = R $ = 4500, 00 V = 88π V = 48π = 80π V = 18π 51. a) V = 44π R = 1 5. a) V = 80π h = 5

9 c) r = 5. aternativa d