UMA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA LÓGICA FUZZY AN INTRODUCTION TO FUZZY LOGIC

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1 Hórus Revista de Humanidades e Ciências Sociais Aplicadas, Ourinhos/SP, Nº 02, 2004 UMA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA LÓGICA FUZZY Prof. Ms. Dario de Almeida Jané [1] Resumo. Este trabalho apresenta uma introdução ao estudo da lógica fuzzy, seus conceitos fundamentais e principais aplicações. A lógica fuzzy, também chamada de lógica nebulosa ou difusa, foi introduzida oficialmente no cenário acadêmico pelo professor Lotfi Zadeh em 1965, proporcionando novos parâmetros conceituais relacionados à teoria dos conjuntos matemáticos. Como resultado imediato desta nova forma de interpretar dados surge o conceito de grau de participação em um conjunto, inexistente na lógica convencional boolena. Neste trabalho, pretende-se demonstrar sua utilização através do uso das chamadas variáveis lingüísticas durante a transformação da informação contida no intelecto humano em conceitos matemáticos lógicos e manipuláveis. Dessa maneira busca-se obter variáveis para os mais diversos modelos matemáticos, que permitam cálculos mais precisos, pois estas são resultados da interpretação lógica humana no processo de atribuição de valores. Palavras-chave: Lógica fuzzy, Lógica nebulosa, Variáveis lingüísticas, Risco, Incerteza. AN INTRODUCTION TO FUZZY LOGIC Abstract. This work presents an introduction to fuzzy logic, its basic concepts and principal applications. It was inserted in academic field by the university professor Lotfi Zadet in It provides new parameters for concepts concerned to the theory mathematic sets. Thus this new way of understanding data, we get in the concept of degree of a participation in a set, inexistent into the formal boolean logic. So, we intend to demonstrate its usefulness through the called linguistic variables during human information within the intellect transferring in logical and mathematical concepts. This way, we hope to obtain variables for a lot of mathematical models, which permit more precise calculation, because its results of human logical interpretation are in attribution value process. Key words: Fuzzy logic, Linguistic variable, Risk, Uncertainty. [1] Professor de Administração de Recursos Materiais e Patrimoniais da Faculdade Estácio de Sá de Ourinhos e Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Federal de Itajubá. E- mail: dariojane@faeso.edu.br

2 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy INTRODUÇÃO Grande é a diversidade de fatores que levam ao risco ou à incerteza durante a análise de um problema real em uma empresa. Independentemente de o problema analisado estar relacionado ao gerenciamento de pessoas, planejamento e controle da produção, variação do fluxo de caixa em determinado período ou mesmo análise de alternativas de investimento, existirão momentos decisórios baseados em suposições ou aproximações/simplificações. Pode-se dentre vários outros, citar com fontes de incerteza ou risco, os fatores políticos, os problemas intrínsecos das organizações com relação à administração dos seus projetos, os chamados fatores técnicos ou relativos à função produção da organização, os fatores financeiros e finalmente os fatores econômicos (PAMPLONA; MONTEVECHI, 2001). As variações que tais fatores introduzem provocam dúvidas quanto à validade dos resultados obtidos. Assim sendo, faz-se necessária a quantificação e o correto entendimento da origem destas dúvidas. Segundo Pamplona e Montevechi (2001), durante a determinação do fluxo de caixa para uma alternativa de investimento, a condição de incerteza é caracterizada quando as variações relacionadas aos componentes do mesmo não podem ser previstas com exatidão, ou seja, não é possível descrever uma distribuição de probabilidades para tais variáveis. O método determinístico mais usual para avaliar alternativas distintas de investimentos em tais circunstâncias é a chamada análise de sensibilidade. Quando é possível descrever a distribuição de probabilidades destas variáveis, considera-se então a situação de risco, sendo utilizados os chamados modelos de simulação para cálculo deste risco. Os algoritmos baseados na lógica fuzzy apresentam um conceito distinto dos métodos determinísticos e probabilísticos, considerando na verdade a natureza possibilística das variáveis envolvidas. 2. A LÓGICA FUZZY A lógica fuzzy foi introduzida no contexto científico em 1965 pelo professor Lotfi Zadeh, através da publicação do artigo Fuzzy Sets no journal Information and Control.

3 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 3 Segundo Cox (1995), os conceitos básicos que justamente diferenciam a lógica fuzzy da lógica booleana, já existiam anteriormente a Aristóteles. Também no século XIV, William Ockham indagava sobre tais conceitos. Já no século XX, Max Black e posteriormente Jan Lukasiewicz aprofundaram-se ainda mais no estudo da assim chamada lógica nebulosa. Assim, com o passar dos anos, a lógica fuzzy encontrou aplicação em uma infinidade de áreas, através das quais tem mostrado sua capacidade de adaptação e facilidade de interface com o ser humano. Conforme Von Altrock (1996), pode-se encontrar aplicação para a mesma em diversas áreas como: avaliação de crédito, controle de fluxo de caixa, análise de risco, controle de estoques, avaliação de marketing, avaliação de fornecedores, controle de qualidade, otimização de inventários, etc. Porém diversas outras aplicações recentemente foram alcançadas segundo Yen, Langari e Zadeh (1994). São elas: controle automático de máquinas e equipamentos (controle de elevadores, tráfego automotivo, controle automático de foco em câmeras fotográficas, sistemas de acionamento robotizado, etc.), otimização de processos produtivos, dentre outros. Citada por Pinho (1999) como um novo ramo da matemática, a lógica fuzzy tem como ponto fundamental a representação da lógica e da racionalidade humana na resolução de problemas complexos (VON ALTROCK, 1996). Chiu e Park (1994), afirmam que conforme o grau de incerteza de um problema aumenta, a capacidade de descrição de um modelo para resolução do mesmo decresce. Assim sendo, fez-se necessário o surgimento de uma teoria que fornecesse subsídios para a resolução de problemas com alto grau de incerteza, sem que informações importantes se perdessem durante a manipulação dos dados por incapacidade do modelo matemático em lidar com a incerteza inerente ao mesmo. Neste contexto, a lógica fuzzy é definida por Cox (1995), como sendo capaz de combinar a imprecisão associada aos eventos naturais e o poder computacional das máquinas para produzir sistemas de resposta inteligentes, robustos e flexíveis. Kaufmann e Gupta (1988), afirmam que a lógica fuzzy é composta por conceitos e técnicas que dão a forma matemática ao processo intuitivo humano que na sua grande maioria é caracterizado pela imprecisão e ambigüidade. Von Altrock (1996), enfatiza que lógica fuzzy permite o desenvolvimento de sistemas que representam decisões humanas, onde a lógica e a matemática convencional (booleana) se mostram insuficientes ou ineficientes. Portanto nota-se a preocupação ao definir o conceito de lógica fuzzy, em demonstrar seu objetivo principal que é aproximar a maneira tal qual o ser humano relaciona dados, para gerar uma resposta aproximada ao problema

4 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 4 relacionado. Assim, espera-se através de um modelamento matemático baseado no conhecimento intuitivo humano, resolver problemas complexos e compostos por variáveis cuja informação contida é incerta, de uma maneira organizada e com a máxima confiabilidade possível. As figuras 2.1, 2.2 e 2.3 extraídas e adaptadas de Pinho (1999), demonstram de uma maneira simples, as idéias acima descritas e posteriormente serão utilizadas na definição de alguns conceitos fundamentais fuzzy. A questão relacionada à figura 2.1 é a seguinte: Qual a cor das bolinhas contidas no cesto? Obviamente a resposta seria imediata - verde. Figura 2.1: Cesto com bolinhas verdes. Fonte: Pinho (1999). Da mesma maneira, se for observada a figura 2.2 ante a mesma indagação, a resposta seria também imediata - vermelha. Figura 2.2: Cesto com bolinhas vermelhas. Fonte: Pinho (1999). Até este momento, não há nada que conteste a veracidade das respostas dadas à respectiva pergunta. Porém analisando agora as figuras 2.3a, 2.3b, 2.3c e 2.3d, nota-se uma dificuldade antes inexistente na tentativa de se classificar a cor do conteúdo do cesto!

5 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 5 Figura 2.3a: Cesto com bolinhas variadas Figura 2.3b: Cesto com bolinhas variadas Fonte: Pinho (1999) Fonte: Pinho (1999). Figura 2.3c: Cesto com bolinhas variadas Figura 2.3d: Cesto com bolinhas variadas Fonte: Pinho (1999) Fonte: Pinho (1999). Provavelmente a resposta mais adequada à pergunta ao se analisar as figuras 2.3a, 2.3b, 2.3c e 2.3d, seja: quase totalmente verde; grande parte verde; grande parte vermelha; quase totalmente vermelha. Este é o ponto em questão. Nota-se a criação imediata de uma escala de valores, responsável por quantificar o conteúdo dos cestos desde o extremo da figura 2.1 (totalmente verde), até o outro extremo da figura 2.2 (totalmente vermelho), passando pelos vários estágios das figuras 2.3a, 2.3b, 2.3c e 2.3d. Sob a ótica da matemática convencional, seria impossível descrever a cor do conteúdo do cesto da figura 2.3c, como sendo: grande parte verde. Porém a lógica fuzzy através do uso justamente de variáveis denominadas lingüísticas (grande, pequeno, entre, ao redor de, etc) consegue captar a incerteza associada a estas variáveis e traduzi-la para o modelamento matemático. Isto é possível, porque diferentemente da lógica booleana, a lógica fuzzy está baseada no conceito denominado grau de participação, ou função de pertinência (membership). O exemplo a seguir (figuras 2.4 e 2.5), retirado e adaptado de Von Altrock (1996) será utilizado para demonstrar tal conceito. Neste exemplo, nota-se um conjunto denominado de pessoas com febre, que através da matemática booleana será definido como sendo o conjunto de elementos (pessoas), cuja temperatura esteja acima de 38º C. 40 º C 38 º C 36,5 º C 39 º C 37,9 º C

6 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 6 Percebe-se, entretanto que determinados elementos cuja temperatura estava próxima Figura da 2.4: temperatura Conjunto de pessoas estipulada com febre como - lógica limite booleana. entre Fonte: pertencer Von Altrock ou não (1996). ao conjunto, invariavelmente foram classificados como não pertencentes ao mesmo. Fica claro a existência de uma ruptura abrupta durante a classificação dos elementos que pertencem e dos que não pertencem ao conjunto. Tal situação não ocorre no conjunto fuzzy da figura 2.5, pois neste, temperaturas próximas são avaliadas de maneiras diferentes, porém sutilmente. Neste caso, as temperaturas serão classificadas de acordo com o respectivo grau de participação no conjunto de pessoas com febre, ou seja, pode-se dizer que se determinada pessoa estiver com uma temperatura de 37,5º C, possui um grau de pertinência (participação) no conjunto de pessoas com febre igual a 0,6. 40 º C 38 º C 39 º C 37,5 º C 37 º C 37,9 º C 36,5 º C 36 º C Figura 2.5: Conjunto de pessoas com febre - lógica fuzzy. Fonte: Von Altrock (1996). Da mesma forma, outro indivíduo que apresenta uma temperatura de 39º C, possui um grau de pertinência de 0,9 em relação a este conjunto. Assim, pode-se classificar todos os elementos observados, não mais como pertencentes ou não ao conjunto, mas sim de acordo com seu respectivo grau de pertinência ao conjunto estudado.

7 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy A Lógica Fuzzy Como Base Para o Raciocínio Aproximado - As Variáveis Lingüísticas Kaufmann e Gupta (1988), afirmam que o conhecimento ou o significado de certos fatos empíricos nem sempre se comportam de maneira probabilística ou mesmo determinística, envolvendo muitas vezes alguma forma de aproximação ou raciocínio aproximado. A frase a seguir ilustra esta idéia: O investimento inicial para possibilitar a implementação completa do empreendimento é extremamente elevado. Os conceitos envolvidos no significado das palavras completa e elevado, vão muito além do que os aspectos determinísticos ou probabilísticos podem analisar. Assim fica clara a necessidade de elaboração de um sistema que permita analisar tais dados de maneira a permitir que estas informações sejam levadas em consideração durante a avaliação do problema. Segundo Von Altrock (1996), as chamadas variáveis lingüísticas constituem o vocabulário da lógica fuzzy, trazendo toda a incerteza presente no pensamento e na expressão oral do ser humano, para sistemas de decisão que priorizam o padrão e respeitam determinada metodologia durante o cálculo computacional envolvido. Esta característica excepcional encontrada na lógica fuzzy, só é possível, porque considera a parcela de informação relativa não à incerteza estocástica, mas sim a chamada incerteza léxica presente em qualquer problema real analisado em que estejam envolvidas variáveis lingüísticas. A idéia relacionada à incerteza estocástica contida em uma determinada variável corresponde exatamente ao grau de probabilidade de que a informação nela contida seja realmente verdadeira ou não. Esta é a maneira como os modelos probabilísticos relacionam suas variáveis para determinar resultados como viabilidade ou não do investimento. A frase seguinte permite que a idéia acima discutida seja exemplificada: A probabilidade de o investimento inicial perfazer um total de R$ ,00 é de 90% Assim, pode-se notar que tanto o evento, bem como sua ocorrência, estão muito bem definidos. Além do mais, a incerteza neste caso, refere-se ao fato da variável investimento inicial, ser ou não igual ao valor de R$ ,00, ou seja, a cada 100 chances diferentes, em noventa, o valor do investimento inicial seria de R$ ,00.

8 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 8 Já no caso da incerteza léxica, contida na linguagem e no modo de pensar do ser humano, busca-se através de abstrações e analogias, sentenças que consigam descrever contextos muito difíceis de serem modelados através da matemática booleana, como na afirmação abaixo: Existe uma possibilidade muito grande de que o investimento inicial seja alto Neste exemplo, que a princípio pode parecer similar ao anterior, mostra-se essencialmente diferente ao ser analisado minuciosamente. Nota-se que na verdade o evento em si não está claramente definido. O que pode ser considerado investimento alto para determinado investidor, não será assim entendido por outro, pois estes possuem diferentes interpretações para esta variável. Além disso, o termo probabilidade não se adequaria neste caso, e sim o termo possibilidade, visto que a incerteza não está relacionada em ser o investimento inicial exatamente alto ou baixo, mas sim que o valor admitido por esta variável tem, dentro da sua possível distribuição de possibilidades, grande chance de ser alto. Não é de se estranhar então, que tais variáveis sejam extremamente importantes na aplicação de soluções baseadas na lógica fuzzy em problemas reais. Porém, se de um lado tem-se a incerteza associada ao pensamento humano, deve ser levado em consideração, que somente existirá benefício através da adição de informações ao problema real analisado, caso esta possa ser expressa de maneira tal, que possibilite ao sistema efetuar cálculos e/ou aproximações com estes valores. Desta forma, percebe-se a importância de um componente do sistema baseado na lógica fuzzy responsável pela interface entre as variáveis lingüísticas, e sua interpretação matemática. Aliás, a função de pertinência, é na verdade um mapeamento de cada possível valor numérico da correspondente variável lingüística.a figura 2.6 demonstra a interpretação da variável lingüística investimento inicial alto através de um conjunto de funções de pertinência representadas em um mesmo gráfico, indicando as possíveis interpretações para a variável em questão. A figura 2.6 representa a variável investimento inicial, mapeada através de três diferentes funções de pertinência. µ 1 Investimento baixo Investimento médio Investimento alto 0

9 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 9 Figura 2.6 Variável lingüística investimento inicial e suas funções de pertinência. Fonte: Autor. 2.2 Estrutura do Sistema Lógico Fuzzy A estrutura de todo o sistema lógico fuzzy está baseada em três operações que estão explicitadas na figura 2.7, adaptada de Cox (1995). Variáveis Lingüísticas Inferência Fuzzy Resultados Lingüísticos Fuzificação Defuzificação Dados Iniciais Dados Finais Figura 2.7 Sistema lógico fuzzy. Fonte: Cox (1995) Fuzificação Este primeiro passo do sistema lógico fuzzy, chamado de fuzificação, corresponde à transformação dos dados de entrada iniciais em suas respectivas variáveis lingüísticas. Nesta etapa, todas as informações relativas à imprecisão ou incerteza associada a estas variáveis devem ser consideradas. Pinho (1999) cita a necessidade de que especialistas da área estudada sejam consultados durante a atribuição de valores relacionados aos graus de pertinência para cada uma das variáveis em estudo, contribuindo assim para maior precisão nos resultados. A figura 2.8 exemplifica o processo de fuzificação das informações relativas à idade de um indivíduo, através de três funções de pertinência: Variável Idade Funções de pertinência: criança, adulto e idoso; µ 1 criança adulto idoso

10 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 10 Figura 2.8 Variável lingüística idade e suas funções de pertinência. Fonte: Autor. Nota-se, portanto, que as informações iniciais referentes ao valor numérico da idade de um indivíduo, através do processo de fuzificação são transformadas em variáveis lingüísticas, podendo a partir deste momento ser utilizadas no processo seguinte de inferência. A tabela 2.1 demonstra como podem ser expressas estas variáveis lingüísticas, em função dos respectivos vetores de graus de pertinência. Nelas observa-se os valores assumidos pelas variáveis durante o processo de fuzificação. Tabela 2.1: Atribuição de valores à variável lingüística idade Valor atribuído para a variável Idade (anos) lingüística (grau de pertinência) Vetor Grau de pertinência (Criança ; Adulto ; Idoso) 10 Criança = 1,0 Adulto = 0,0 Idoso = 0,0 {1,0 ; 0,0 ; 0,0} 17 Criança = 0,5 Adulto = 0,5 Idoso = 0,0 {0,5 ; 0,5 ; 0,0} 23 Criança = 0,0 Adulto = 1,0 Idoso = 0,0 {0,0 ; 1,0 ; 0,0} 41 Criança = 0,0 Adulto = 0,5 Idoso = 0,5 {0,0 ; 0,5 ; 0,5} 60 Criança = 0,0 Adulto = 0,0 Idoso = 1,0 {0,0 ; 0,0 ; 1,0} Outra maneira de se representar o valor de uma variável lingüística seria através de palavras, ao invés dos vetores de graus de pertinência, conforme a tabela 2.2: Tabela 2.2: Representação lingüística para os vetores grau de pertinência

11 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 11 Vetor Graus de Pertinência Valor Lingüístico {1,0 ; 0,0 ; 0,0} Muito criança {0,5 ; 0,5 ; 0,0} Pouco criança, quase adulto {0,0 ; 1,0 ; 0,0} Muito adulto {0,0 ; 0,5 ; 0,5} Pouco adulto, quase idoso {0,0 ; 0,0 ; 1,0} Muito idoso Inferência Fuzzy Uma vez feita a adequação dos valores iniciais em variáveis lingüísticas, segue-se com a fase denominada inferência fuzzy, cuja finalidade é relacionar as possíveis variáveis entre si, através de regras pré-estabelecidas, cumprindo assim com os objetivos do algoritmo. Segundo Von Altrock (1996), pode-se separar esta fase em dois componentes visualizados na figura 2.9 e denominados Agregação e Composição. O primeiro diz respeito à chamada parcela Se das regras que irão reger o processo de inferência, e o segundo, refere-se à parcela Então do conjunto de regras assim chamadas, Se-Então. Tais componentes compõem o chamado processo de inferência lógica fuzzy, controlando as relações entre variáveis lingüísticas através de seus respectivos operadores lógicos. Inferência Fuzzy Agregação - Parcela Se; - Define a validade de uma regra para o caso estudado. Composição - Parcela Então; - Define o resultado obtido depois de feita a inferência. Figura 2.9: Inferência Fuzzy. Fonte: Autor.

12 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy DESFUZIFICAÇÃO A terceira e última etapa do sistema lógico fuzzy é chamada desfuzificação, e compreende segundo Von Altrock (1996), a tradução do resultado lingüístico do processo de inferência fuzzy, em um valor numérico. Porém, Cox (1995), fornece uma outra interpretação para o termo desfuzificação, compreendendo o processo de conversão de um número fuzzy em um número real. Dentre os vários processos de desfuzificação encontrados na literatura, podese citar o método baseado em variáveis lingüísticas e chamado de Centro-de-Máximo. Apresentado por Von Altrock (1996), este método é caracterizado pela relação entre o valor lingüístico e seu correspondente valor real. A figura 2.10 demonstra o processo de desfuzificação de uma variável fuzzy qualquer. Assim, dado um certo valor lingüístico, resultado do processo de inferência fuzzy, através do método do Centro-de-Máximo, deve-se selecionar os valores máximos assumidos pela variável, nos pontos onde a(s) função(ões) de pertinência relacionadas tem o seu maior valor ( µ =1). µ 1 lento normal acelerado 1 lento normal acelerado Crescimento Figura 2.10: Seleção dos valores com grau de pertinência = 1 - variável crescimento. Fonte: Autor. 0 0 O próximo 2 passo consiste 5 em atribuir pesos 8 proporcionais 10 Crescimento aos graus de pertinência da variável resultante ao processo de inferência fuzzy. Supondo um vetor resultante para a variável crescimento igual a: (0,8; 0,2; 0), obtém-se o seguinte resultado: crescimento normal: 0,8 2 = 1, 6 adulto: 0,2 5 = 1, 0

13 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 13 idoso: 0,0 8 = 0, 0 O resultado é composto pela soma das parcelas acima descritas, e perfaz um total de 2,6. Este é então o valor real correspondente a variável lingüística analisada, e no exemplo, indica um determinado ponto de uma escala de crescimento, com faixa de operação entre zero (0), e dez (10). Tal escala é responsável por demonstrar o ritmo de crescimento do indivíduo analisado. Outros métodos são também apresentados, como o método representativo ordinário proposto por Kaufmann e Gupta (1998), e considerado neste trabalho através de uma aplicação específica para o processo de desfuzificação de um número fuzzy triangular (TFN). Partindo-se então de sua forma vetorial A = (a 1, a 2, a 3 ), obtém-se seu representativo ordinário  pela equação 2.1 e demonstrado na figura 2.11: a1 + 2 a2 + a3  = (2.1) 4 µ Crescimento Figura 2.11: Exemplo de desfuzificação através do método representativo ordinário. Fonte: Autor. equação 2.2. Através da equação 2.1, aplicada ao TFN (2, 3, 8) da figura 2.11, obtém-se a

14 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 14 a1 + 2 a2 + a  = = = 4 (2.2) 4 4 Segundo Pinho (1999), este método apresenta uma maior sensibilidade às possíveis assimetrias dos TFN s estudados, além de demonstrar maior simplicidade nos cálculos que o chamado método do Centro-de-Área, Centróide ou Centro de Gravidade. Este terceiro método aqui apresentado é descrito por Von Altrock (1996) como sendo o resultado do balanço das áreas sob as curvas, das funções de pertinência envolvidas. Assim sendo, uma clara desvantagem deste método pode ser indicada, referindo-se à necessidade de se calcular constantemente através da integração numérica as áreas analisadas. µ ,1 6 Crescimento Figura 2.12: Exemplo de desfuzificação através do método centróide. Fonte: Autor. Isso faz com que o esforço computacional necessário para o cálculo se eleve demasiadamente. A figura 2.12 explicita este método, através da análise do TFN (1,2,6) conforme Pinho (1999). 3. CONCLUSÕES

15 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 15 Neste trabalho foi introduzido o estudo da lógica fuzzy, seus conceitos fundamentais, e sua possível aplicação na solução de problemas sob situações de risco e incerteza. Através da análise da tabela 2.1, nota-se que os valores atribuídos às variáveis lingüísticas, contém um tipo de informação que as variáveis determinísticas ou probabilísticas desconhecem. Informações do tipo muito adulto, pouco criança, quase idoso, comuns no diaa-dia, perdem parte do seu significado, ao serem transcritas para a matemática convencional. Este fato se verifica devido à própria natureza das variáveis em uso, que esta alicerçada na teoria dos conjuntos booleanos, onde um dado ou um conjunto de dados pertence ou não ao conjunto analisado, inexistindo valores intermediários relacionados à sua participação no conjunto analisado. Neste contexto, pode-se enxergar os benefícios que a modelagem matemática baseada na lógica fuzzy pode proporcionar, ao oferecer possibilidades infinitas de classificação de um determinado valor, dentro do domínio de sua função de pertinência. Assim, torna-se mais precisa a avaliação e transcrição de uma informação relevante ao modelo, da sua forma inicial, e muitas vezes informal, para padrões que permitirão seu manuseio e conseqüentemente benefício para os resultados finais gerados. A informação contida nestas variáveis permite que os valores fuzzy quando utilizados em modelos matemáticos reais, possibilitem cálculos mais apurados e precisos, além de favorecer o uso das chamadas variáveis lingüísticas, conforme demonstrado (Jané, 2003). Nota-se, entretanto, a necessidade da figura do especialista, quando tais valores forem atribuídos, e também do desenvolvimento de uma teoria específica para manuseio destes dados. Conclui-se então da importância assumida nos últimos anos pela teoria dos conjuntos fuzzy, aplicada principalmente ao modelamento de sistemas reais, buscando aproximar a maneira racional e lógica utilizada pelo ser humano em relacionar dados com os algoritmos computacionais para tomada de decisão.

16 Uma introdução ao estudo da Lógica Fuzzy - 16 REFERENCIAS VON ALTROCK, Constantin. Fuzzy logic and neurofuzzy applications in busines and finance. New Jersey: Prentice Hall PTR, CHIU, Chui-Yu; PARK, Chan S. Fuzzy cash flow analysis using present worth criterion. The Engineering Economist, vol 39, , COX, Earl. Fuzzy logic for business and industry. Massachusetts: Charles River Media Inc, JANÉ, Dario de Almeida. A simulação de monte carlo e a lógica fuzzy na análise econômico/financeira de investimentos sob condições de risco. 2003, 157f. Dissertação (Mestrado em Engenharia) Universidade Federal de Itajubá, Itajubá, KAUFMANN, Arnold; GUPTA, Madan M. Fuzzy mathematical models in engineering and management science. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B, PAMPLONA, Edson de O.; MONTEVECHI, José A. B. Apostila do Curso de Engenharia Econômica I. Universidade Federal de Itajubá, Itajubá, PINHO, Alexandre F. Uma contribuição para a resolução de problemas de programação de operações em sistemas de produção intermitentes flow-shop: A consideração de incertezas Dissertação (Mestrado em Engenharia) Universidade Federal de Itajubá, Itajubá, YEN, John; LANGARI, Reza; ZADETH, Lotfi A. Industrial applications of fuzzy logic and intelligent systems. New York: IEEE Press, 1994.