UMA ABORDAGEM IMPLÍCITA PARA O MÉTODO M-GRANDE

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1 UMA ABORDAGEM IMPLÍCITA PARA O MÉTODO M-GRANDE Pedro Augusto Munari Junior, Marcos Nereu Arenales Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Caixa Postal 668, São Carlos - SP, CEP , Brasil munari@icmc.usp.br, arenales@icmc.usp.br RESUMO Um procedimento bastante conhecido para a obtenção de uma solução básica factível é o método M-grande. Entretanto, a dificuldade na escolha do parâmetro de penalização M é retratada na literatura de otimização linear como uma desvantagem do método. Em geral, um valor muito pequeno para M leva à obtenção de uma solução infactível, enquanto um valor muito grande pode resultar em um elevado número de iterações e na introdução de erros numéricos. Neste trabalho, é proposta uma modificação no método M-grande que considera M implicitamente durante a resolução do problema. Assim, a desvantagem retratada na literatura deixa de existir. Os aspectos conceituais dessa abordagem são descritos e os resultados computacionais obtidos na resolução de problemas da biblioteca NETLIB confirmam a eficiência da proposta. PALAVRAS CHAVE: otimização linear, método simplex, M-grande. ABSTRACT A well known procedure to obtain a basic feasible solution is the Big-M method. However, the difficulty in choosing the penalty parameter M is reported in the linear optimization literature as a disadvantage of the method. In general, a too small value for M produces an infeasible solution whereas a too high value can result in a large number of iterations and insert numerical errors. In this paper, we propose a change in the Big-M method which handles implicitly the parameter M when solving the problem. Hence, the disadvantage reported in the literature ceases to exist. We address conceptual aspects of this approach and computational results are given for a set of problems of the NETLIB library that confirm the efficiency of the method. KEYWORDS: linear optimization, simplex method, Big-M. 2193

2 1. Introdução A modelagem de problemas por meio da otimização linear foi formalizada por Dantzig em 1947 que, em seguida, desenvolveu também um método prático de solução, o qual chamou de método simplex. Desde então, um grande número de pesquisadores tem contribuído na área de otimização linear de diferentes maneiras, incluindo desenvolvimentos teóricos e computacionais e novas aplicações. A aplicação do método simplex para a resolução de um problema de otimização linear exige que uma solução básica factível seja conhecida. Desse modo, deve-se definir uma base inicial factível para a inicialização do método. O número de iterações e o tempo de execução do método simplex para a resolução de um problema são extremamente dependentes da base inicial escolhida. A obtenção de uma boa base inicial é ainda um ramo de investigação na área de otimização linear, como pode ser constatado nos trabalhos de Vieira Junior e Lins (2005), Hu (2007) e na literatura citada por esses autores. Um método bastante conhecido para a obtenção de uma base factível é o método M- grande. Este método é conceitualmente simples e sua implementação computacional é direta a partir do método simplex. Entretanto, dependendo da escolha do parâmetro de penalização M, dificuldades numéricas podem surgir durante a resolução do problema e até mesmo uma solução ótima equivocada pode ser obtida, fazendo com que a utilização do método M-grande seja evitada. Essas desvantagens envolvendo o método M-grande são retratadas por trabalhos recentes da literatura. Koberstein e Suhl (2007) relatam que a principal razão para o método M- grande não ser utilizado na prática é a dificuldade na escolha de M. Segundo os autores, um valor muito grande para M pode levar a problemas numéricos e a um número excessivo de iterações, enquanto um valor muito pequeno pode não produzir uma solução básica factível. Vieira Junior e Lins (2005) propõem uma nova técnica para a construção de uma base inicial que tem grandes chances de ser próxima da base ótima. Entretanto, a base obtida pode não ser factível e, então, os autores sugerem a utilização do método M-grande, porém alertando para a desvantagem computacional do método. Arsham (2007) cita que o método M-grande pode causar erros graves, fazendo o infactível parecer factível quando M é muito pequeno. Além disso, erros de arredondamento e overflow computacional podem destruir a precisão numérica da solução quando M é muito grande. Livros-texto de otimização linear também abordam esse assunto. Bazaraa (1990) descreve detalhadamente o método M-grande e fecha sua descrição com a pergunta: Quão grande deve ser o M-grande?. De acordo com o autor, M não pode ser escolhido apenas olhando-se para a magnitude dos coeficientes da função objetivo. Dado que o problema a ser resolvido é factível, M deve ser grande o bastante para que alguma solução básica factível, com todas as variáveis artificiais iguais a zero, tenha valor estritamente melhor que a melhor solução básica factível que não tenha todas as variáveis artificiais nulas. Porém, essa é uma condição teórica e mesmo quando satisfeita, o método ainda não está livre das dificuldades numéricas. Bertsimas e Tsitsiklis (1997) comentam que não há a necessidade de se fixar um valor numérico para M, basta considerá-lo como um parâmetro indeterminado durante a resolução do problema. Para isso, sugerem que a comparação entre expressões contendo M seja realizada considerando-o suficientemente grande. Entretanto, na descrição dos autores, os termos que não envolvem M são desprezados na comparação dessas expressões, fazendo com que a função objetivo do problema original seja ignorada nas expressões de custos reduzidos contendo o parâmetro. Além disso, a abordagem é descrita por meio da resolução de um problema particular usando o método simplex na forma tableau, sem expor as modificações necessárias para a implementação computacional da proposta. 2194

3 Considerando essa revisão da literatura, uma implementação computacional do método M-grande é sugerida neste trabalho, tratando o parâmetro M implicitamente durante a resolução do problema. Assim como na abordagem que atribui um valor numérico para M, os coeficientes da função objetivo do problema são considerados na comparação de custos reduzidos envolvendo o parâmetro. As modificações necessárias no método simplex para considerar M implicitamente são expostas e discutidas e os testes computacionais realizados ilustram a eficiência da abordagem em problemas de otimização linear da biblioteca NETLIB ( Na seção a seguir, é dada uma breve revisão sobre a obtenção de soluções básicas factíveis para problemas de otimização linear, envolvendo o método de duas fases e o método M-grande. Na Seção 3, é apresentada uma abordagem implícita para o método M-grande. Os testes realizados para a comparação dessa abordagem com o método M-grande convencional são expostos e discutidos na Seção 4. Por fim, as conclusões obtidas são apresentadas juntamente com a descrição de trabalhos futuros na Seção Inicialização do método simplex Os problemas de otimização linear consistem na minimização ou maximização de uma função linear sujeita a um número finito de restrições lineares sobre as variáveis envolvidas. Considere o seguinte problema de otimização linear na forma padrão: minimizar f(x) = c t x (1) sujeito a Ax = b (2) x 0 (3) com A R m n, x R n, c R n, b R m, m < n e posto(a) = m. Em (1) temos a função objetivo do problema que, nesse caso, será minimizada. As equações do sistema linear (2) recebem o nome de restrições do problema e as desigualdades em (3) são as condições de não-negatividade. Em geral, um problema de otimização linear na forma padrão possui diversas variáveis de folga, utilizadas para expressar restrições de desigualdade em forma de equações. Uma variável de folga é toda aquela cuja coluna correspondente em A é uma coluna da matriz identidade. O motivo de apresentar o problema na forma padrão é facilitar a descrição do método simplex e da teoria envolvida. Existem diversas outras formas equivalentes para se descrever um problema de otimização linear, as quais permitem a exploração de certas particularidades durante a resolução e podem levar a abordagens mais eficientes, como apresentado em Sousa et al. (2005) e Maros (2003). A aplicação do método simplex para a resolução de problemas de otimização linear exige que uma base inicial factível seja conhecida. Desse modo, o primeiro passo antes da aplicação do método é definir uma base inicial. Se essa base for factível, o método simplex pode ser iniciado. Caso contrário, dois caminhos são possíveis: utiliza-se uma abordagem de duas fases, caracterizada pela existência de uma fase inicial bem determinada, denominada Fase-I. Nesta fase, um problema auxiliar é resolvido e uma solução básica factível para o problema original é obtida. Em uma segunda etapa, denominada Fase-II, o método simplex é iniciado com a base factível obtida na Fase-I; ou utiliza-se uma abordagem de fase única, na qual o método simplex pode ser iniciado sem que se conheça uma base factível correspondente e a factibilidade da solução é obtida enquanto se busca, ao mesmo tempo, uma solução ótima do problema. Para isso, a função objetivo do problema deve ser modificada pela adição de termos que agem como penalizadores de soluções infactíveis. 2195

4 Aspectos teóricos e computacionais sobre a inicialização do método simplex envolvendo as abordagens citadas acima podem ser encontrados em Arenales et al. (2007) e Maros (2003). Uma maneira bastante simples de se construir uma base inicial para um problema de otimização linear é por meio da introdução de variáveis artificiais. Dado um problema de otimização linear na forma padrão (1)-(3), uma variável artificial y i > 0 é adicionada a cada restrição do problema, fazendo com que as restrições do problema sejam redefinidas como: Ax + Dy = b (4) x 0, y 0 (5) com y = (y 1, y 2,..., y m ) e D uma matriz diagonal com valores 1 e 1, satisfazendo D 1 b 0. Sem perda de generalidade, será considerado b 0, de modo que D = I. Assim, uma base inicial factível B = I com solução inicial (x, y) = (0, b) está sempre disponível para um problema com o conjunto de restrições (4) e (5). A introdução de variáveis artificiais tem o inconveniente de aumentar a dimensão do problema, já que são adicionadas m variáveis. Entretanto, a facilidade conceitual e prática dessa técnica é incontestável. Uma maneira de melhorá-la é através da utilização das variáveis de folga do problema original. Assim, uma variável artificial só é adicionada a uma restrição se não houver uma variável de folga disponível nessa restrição, ou se a variável de folga existir mas levar a uma solução básica infactível. Dada uma solução ( x, ȳ) das equações descritas em (4) e que satisfaça (5), tem-se A x = b se, e somente se, ȳ = 0. Em outras palavras, x será uma solução factível para o problema original quando cada variável artificial for nula. Para se obter um par ( x, ȳ) com tal característica, duas abordagens podem ser utilizadas, uma de duas fases e outra de fase única. A abordagem por duas fases cria um problema auxiliar a partir do conjunto de restrições (4) e (5), o qual também é um problema de otimização linear, cuja função objetivo é definida pela soma das variáveis artificiais. Matematicamente, o problema auxiliar é dado por: minimizar sujeito a f a (y) = m i=1 y i Ax + Iy = b x 0, y 0, Utilizando-se a base B = I, o método simplex pode ser aplicado a esse problema auxiliar e caso a solução ótima ( x, ȳ) obtida satisfaça ȳ = 0 tem-se x como solução factível do problema original, podendo ser iniciada a Fase-II. Note que a função objetivo do problema original não é considerada no problema auxiliar, fazendo com que essa abordagem obtenha uma solução factível x sem considerar sua otimalidade. A abordagem de fase única utilizando variáveis artificiais é conhecida na literatura como método M-grande. Nessa abordagem, as variáveis artificiais são incorporadas à função objetivo do problema original, porém penalizadas de acordo com um valor M > 0 suficientemente grande para que não seja vantajoso mantê-las em valores positivos. Sendo assim, o problema original é redefinido como: minimizar sujeito a f(x, y) = c t x + M m i=1 y i Ax + Iy = b x 0, y 0, Esse problema é chamado de problema M-grande e vale ressaltar que não corresponde a um problema auxiliar, mas sim à redefinição do problema original. O método M-grande consiste em aplicar o método simplex sobre o problema M-grande. A solução ótima obtida 2196

5 (x, y ) é analisada e, dependendo do resultado obtido, uma solução ótima para o problema original pode ter sido encontrada. Se y > 0 então o problema original é infactível. Caso contrário, tem-se y = 0 e x é solução ótima do problema original. Se o problema original for ilimitado então o problema M-grande também será. Até o momento, o parâmetro M foi considerado suficientemente grande. Entretanto, como definir um valor numérico para M? Infelizmente, não existe uma resposta direta para essa pergunta. Além de um bom valor para M depender do problema que se está resolvendo, efeitos numéricos também devem ser levados em conta. Um valor muito pequeno pode fazer com que uma solução do problema M-grande seja infactível para o problema original e um valor grande demais pode levar a um elevado número de iterações e à introdução de erros numéricos durante a resolução do problema. Conforme retratado na literatura, essas características fazem com que o método M-grande seja evitado e que uma abordagem de duas fases seja utilizada em implementações computacionais. Para verificar na prática como o valor escolhido para M pode influenciar o método M- grande, alguns problemas da biblioteca NETLIB foram resolvidos utilizando-se diferentes valores de M. Na Tabela 2, são apresentados os resultados obtidos na resolução dos problemas agg3, lotfi, scsd8 e ship12l pelo método, os quais possuem os respectivos valores ótimos: , 935; 25, ; 904, e , Questões relacionadas à implementação computacional do método encontram-se na Seção 4. agg3 lotfi scsd8 ship12l M IT Valor ótimo IT Valor ótimo IT Valor ótimo IT Valor ótimo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9193 Tabela 2. Resultados obtidos pelo método M-grande para diferentes valores de M. Como pode ser observado na Tabela 2, o número de iterações para a resolução de um problema pelo método M-grande é extremamente dependente do valor escolhido para M. Além disso, note que é difícil definir um valor único para M que seja adequado para qualquer problema. Para o problema lotfi, M = 10 2 é um valor bom pois leva à obtenção da solução ótima do problema original em relativamente poucas iterações. Entretanto, para os problemas agg3 e ship12l esse valor de M leva a uma solução infactível. Em geral, valores grandes para M estão associados a um maior o número de iterações, como pode ser observado para os problemas agg3 e ship12l com M igual e Entretanto, esse fato nem sempre é verificado, como mostra os problemas lotfi e scsd8. É importante observar que mesmo para um valor exagerado como M = o valor ótimo desses problemas não foi prejudicado por erros numéricos. Esse fato é melhor discutido na Seção 4. Pelos resultados obtidos, verifica-se que a definição de um valor adequado para o parâmetro M é determinante para a obtenção de uma solução correta em um número de iterações relativamente pequeno. Por outro lado, não existe uma regra que permita definir um bom valor para M a priore. A abordagem proposta na seção a seguir tem o objetivo de evitar essa escolha, considerando M implicitamente durante a resolução do problema. 2197

6 3. O método M-grande implícito Nesta seção é apresentada uma nova abordagem para o método M-grande, que será chamada de método M-grande implícito, na qual M é utilizado implicitamente, isto é, nenhum valor numérico é definido para M e o método simplex é modificado de modo a considerar M suficientemente grande. Uma abordagem semelhante foi proposta por Paparrizos et al. (2003) no contexto do método simplex de pontos exteriores, uma variação do método simplex que permite a infactibilidade da solução básica (Paparrizos, 1993). Além disso, os autores consideram que apenas uma variável artificial é adicionada ao problema. A abordagem aqui apresentada é mais geral pois é descrita para o método simplex convencional e não se restringe à utilização de apenas uma variável artificial. Na seção anterior, foi visto que o método M-grande redefine o problema a ser resolvido, adicionando variáveis artificiais e penalizando-as na função objetivo, por meio de um parâmetro numérico M. O problema continua sendo um problema de otimização linear na forma padrão com m restrições, porém possui agora m + n variáveis. A fim de facilitar a exposição, o problema M-grande será colocado no formato (1)-(3), de acordo com a seguinte redefinição: A := [A I ], x := [ x y ], c t := [ c t (M,..., M) t]. (6) A matriz de coeficientes do problema passa a ter a matriz identidade como submatriz, correspondendo às colunas das variáveis artificiais. O vetor de variáveis e o vetor de custos também são modificados de modo a considerar as variáveis artificiais e seus custos. O método (primal) simplex apresentado no Quadro 1 pode ser utilizado para resolver o problema M- grande, já que uma base factível B = I é conhecida. Entrada Problema de otimização linear na forma padrão com partição básica primal factível A = [B N]. A possui m linhas e m + n colunas. Passo 1 Calcule a solução básica primal: x B = B 1 b, x N = 0. Passo 2 Calcule o vetor multiplicador simplex: π t = c t B B 1. Passo 3 Teste de otimalidade: Calcule os custos reduzidos c Nj = c Nj π t a Nj, j = 1,..., n. Se c Nj 0 j então PARE! A solução básica atual é ótima! Caso contrário, obtenha k = arg min{ c Nj j = 1,..., n}. Passo 4 Calcule as coordenadas básicas da direção simplex: d B = B 1 a Nk. Passo 5 Teste da razão: Se d Bi 0 i então PARE! O problema é ilimitado! Caso contrário, obtenha l = arg min{ x Bi /d Bi d Bi < 0, i = 1,..., m}. Passo 6 Atualização da base: B = B \ {l} {k} e N = N \ {k} {l}. Redefina as matrizes B e N de acordo com os índices atualizados. Inicie uma nova iteração a partir do Passo 1. Quadro 1. Método simplex para problemas na forma padrão. Durante a resolução do problema M-grande pelo método simplex, deve ser mantido um registro de quais variáveis são legítimas e quais são artificiais para que ao se obter uma solução ótima, possa ser verificado se esta é factível para o problema original, conforme especificado pela Tabela 1. Além disso, uma vez que uma variável artificial tenha saído da base, ela não deve retornar à base, porém para as variáveis legítimas isso é permitido. Considere a primeira iteração do método simplex para a resolução do problema M- grande. A base nessa iteração é composta apenas de variáveis artificiais e tem-se B = I com x B = y = b e c t B = (M, M,..., M). Assim, o vetor multiplicador simplex no Passo 2, pode 2198

7 ser escrito como: π t = c t BB 1 = (M, M,..., M)B 1 = Me t B 1 com e t = (1, 1,..., 1). Definindo o vetor π t A = et B 1, tem-se π t = Mπ t A. (7) Desse modo, os custos reduzidos no Passo 3 podem ser calculados como: c Nj = c Nj Mπ t Aa Nj, j = 1,..., n. (8) Pelo método M-grande, M é positivo e suficientemente grande. Assim o segundo termo da diferença em (8) predomina sobre o primeiro, isto é, Mπ t A a Nj >> cnj, j = 1,..., n, sempre que πa t a N j 0. Quando esse termo é nulo, o custo reduzido é o próprio custo da variável não-básica. Sendo assim, observe que não há a necessidade de se atribuir um valor numérico para M e realizar o cálculo do custo reduzido exatamente como descrito pela expressão (8). Basta analisar os termos da expressão separadamente, levando-se em conta que M é positivo e suficientemente grande. De fato, na primeira iteração, o Passo 3 deve obter um índice k tal que c Nk MπAa t Nk c Nj MπAa t Nj, j = 1,..., n. (9) Para índices k e j arbitrários, essa desigualdade é verdadeira se, e somente se, um dos dois casos ocorre: (i) π t A a N k < π t A a N j ; ou (ii) π t A a N k = π t A a N j e c Nk c Nj. Note que esse resultado é válido mesmo quando πa t a N j = 0, para algum j. As expressões dos demais passos do método não dependem do vetor de custos, seja direta ou indiretamente. Dessa maneira, o parâmetro M não é utilizado em nenhum outro cálculo da iteração e não há necessidade de se analisar os demais passos. Considere agora uma iteração qualquer na resolução do problema M-grande pelo método simplex. Se nenhuma variável artificial se encontra na base, então o vetor de custos básicos não possui componentes iguais a M e, assim, os cálculos estão livres do parâmetro. Suponha, então, que exista pelo menos uma variável artificial na base. É possível realizar, sem perda de generalidade, uma reordenação das variáveis básicas de modo a particionar a base em B = [B L B A ], sendo B L a matriz contendo as colunas de B correspondentes às variáveis legítimas e B A as colunas correspondentes[ às variáveis ] artificiais. Essa partição induz sobre o vetor de custos básicos a partição c t B = c t B L c t B A com c t B L = ( c B1... c Bp ), c t B A = ( M... M ) e p sendo o número de variáveis legítimas na base. Considerando a partição definida, o vetor multiplicador simplex pode ser escrito como: π t = c t BB 1 = c t B L B 1 + c t B A B 1 = c t B L B 1 + Mē t B 1 com ē t = (0,..., 0, 1,..., 1), um vetor cujas primeiras p posições são nulas e as demais são iguais a 1. De maneira semelhante à primeira iteração, define-se π t L = ct B L B 1 e π t A = ēt B 1 e, assim, o vetor multiplicador simplex é dado por: π t = π t L + Mπ t A (10) 2199

8 Substituindo esse resultado na expressão do custo reduzido, dada do Passo 3, tem-se: c Nj = c Nj (π t L + Mπ t A)a Nj = c Nj π t La Nj Mπ t Aa Nj, j = 1,..., n. (11) Para M positivo e suficientemente grande, a seguinte relação é válida sempre que π t A a N j 0: Mπ t Aa Nj >> c Nj π t La Nj, j = 1,..., n. Para πa t a N j = 0, o custo reduzido c Nj possui apenas componentes legítimas e o parâmetro M não é utilizado em seu cálculo. Assim como na primeira iteração, não há necessidade de se atribuir um valor numérico para M e realizar o cálculo do custo reduzido exatamente como descrito pela expressão (11). De fato, para se obter um índice k tal que c Nk π t La Nk Mπ t Aa Nk c Nj π t La Nj Mπ t Aa Nj, j = 1,..., n, (12) basta analisar os termos da expressão separadamente, levando-se em conta que M é positivo e suficientemente grande. Para índices k e j arbitrários, a desigualdade acima é verdadeira se, e somente se, um dos dois casos ocorre: (i) π t A a N k < π t A a N j ; ou (ii) π t A a N k = π t A a N j e (c Nk π t L a N k ) (c Nj π t L a N j ). Observe a semelhança entre as expressões (7) e (8) obtidas na primeira iteração e as expressões (10) e (11). Na realidade, as expressões da primeira iteração são um caso particular destas, em que p = 0, ou seja, nenhuma variável legítima está na base. Por outro lado, se todas as variáveis básicas são legítimas, então p = m com π A = 0. Utilizando a expressão (11), os custos reduzidos calculados têm componentes artificiais nulas e correspondem ao cálculo convencional. Logo, todos os casos se enquadram nos resultados obtidos aqui, fazendo com que a modificação das expressões dos passos 2 e 3 do método simplex seja de âmbito geral. O método apresentado no Quadro 2 corresponde ao método simplex apresentado no Quadro 1, modificado de modo a considerar M implicitamente nos cálculos, de acordo com a descrição realizada. No Passo 3 do método modificado, a expressão para a obtenção do índice k pode ser reescrita da seguinte maneira: Calcule o conjunto K = arg min{ c A N j j = 1,..., n}. Se K possui apenas um elemento então defina-o como k. Caso contrário, obtenha k = arg min{ c L N j j K}. A ordenação das variáveis básicas sugerida na obtenção dos resultados, tem o único intuito de facilitar a compreensão do texto. Em uma implementação computacional do método apresentado no Quadro 2, deve-se apenas armazenar quais variáveis são legítimas e quais são artificiais e realizar os cálculos de acordo com essa informação. Além disso, um contador de quantas variáveis artificiais estão presentes na base pode ser utilizado a fim de evitar cálculos desnecessários. Com essa nova proposta, evita-se a definição de um valor numérico para M e o método M- grande está livre de desvantagens retratadas na literatura. Para atingir esse objetivo, apenas dois passos do método simplex precisam ser modificados, sem aumentar a dificuldade de sua implementação computacional. Vale ressaltar que a proposta apresentada por Bertsimas e Tsitsiklis (1997) para o tratamento implícito de M diferencia-se da abordagem descrita aqui por não realizar o desempate das expressões utilizando os termos que não dependem de M, conforme definido em (9) e (12). Assim, a proposta dos autores se assemelha ao método de duas fases, já que ignora os coeficientes da função objetivo do problema original nas expressões de custos reduzidos contendo M. 2200

9 Entrada Problema M-grande conforme definido em (6). Inicialize B = I, N = A, c BL = 0, ē t = (1,..., 1). Passo 1 Calcule a solução básica primal: x B = B 1 b, x N = 0. Passo 2 Calcule as componentes legítima e artificial do vetor multiplicador simplex: πl t = ct B L B 1 e πa t = ēt B 1. Passo 3 Teste de otimalidade: Calcule as componentes legítima e artificial dos custos reduzidos: c L N j = c Nj πl t a N j e c A N j = πa t a N j, j = 1,..., n. Se c L N j 0 e c A N j 0 j então PARE! A solução atual é ótima para o problema M-grande! Caso contrário, obtenha k tal que k = arg min{ c L N q c A N q c A N j, q = 1,..., n e j = 1,..., n}. Passo 4 Calcule as coordenadas básicas da direção simplex: d B = B 1 a Nk. Passo 5 Teste da razão: Se d Bi 0 i então PARE! O problema é ilimitado! Caso contrário, obtenha l = arg min{ x Bi /d Bi d Bi < 0, i = 1,..., m}. Passo 6 Atualização da base: B = B \ {l} {k} e N = N \ {k} {l}. Reordene B para obter B = [B L B A ]. Redefina as matrizes B e N e o vetor ē de acordo com os índices atualizados. Inicie uma nova iteração a partir do Passo 1. Quadro 2. Método simplex modificado para o método M-grande implícito. 4. Resultados e discussões Para verificar a eficiência da abordagem proposta na Seção 3 na resolução de problemas de otimização linear reais, 41 problemas da biblioteca NETLIB ( org/lp/data) foram resolvidos pelos métodos M-grande implícito e M-grande convencional, sendo que para esse último utilizou-se M = 10 0, 10 1,..., e M = Além disso, os problemas também foram resolvidos pelo método de duas fases, descrito na Seção 2, com o intuito de se realizar uma melhor comparação dos resultados obtidos. Para a implementação desses métodos, foi utilizada uma biblioteca desenvolvida em linguagem C pelo autores, baseada no método primal simplex com características como estruturas de dados para matrizes esparsas, representação da base pela forma produto da inversa e teste da razão de passagem dupla (Harris ratio test). Na Tabela 3, são apresentados os resultados obtidos na resolução dos problemas. A segunda coluna da tabela corresponde ao valor ótimo de cada problema, obtidos pelo método M-grande implícito e verificados de acordo com Koch (2004). Nas demais colunas está o número de iterações para a resolução de cada problema, de acordo com o método e o valor de M utilizado (quando aplicável). Por questão de exposição, são apresentados os resultados de apenas três valores numéricos para M. O valor 10 6 foi escolhido por se tratar do menor valor de M com o qual o método M-grande foi capaz de obter a solução ótima correta de todos os problemas. O valor representa um M razoavelmente grande enquanto corresponde a uma valor exagerado, utilizado para verificar a introdução de erros numéricos. Todos os problemas foram resolvidos corretamente pelos métodos de duas fases, M- grande implícito e M-grande convencional com M = Para M = 10 10, o problema scorpion foi o único a apresentar erro em seu valor ótimo, que foi da ordem de Para M = , somente o problema scsd1 apresentou erro em seu valor ótimo, sendo da ordem de Para esse mesmo valor de M, o método M-grande não foi capaz de resolver os problemas scorpion e scrs8, pois excedeu o número máximo de iterações sem obter uma solução ótima. É importante ressaltar que mesmo para um valor exagerado como apenas 3 problemas foram prejudicados por erros numéricos, ao contrário do que é afirmado 2201

10 Problema Valor ótimo Duas fases M implícito M = 10 6 M = M = adlittle 2, E afiro -4, E agg2-2, e agg3 1, E bandm -1, E blend -3, E bnl1 1, E bnl2 1, E brandy 1, E e226-1, e fffff800 5, E israel -8, E lotfi -2, E maros-r7 1, E sc105-5, e sc205-5, e sc50a -6, E sc50b -7, E scagr25-1, e scagr7-2, e scfxm1 1, E scfxm2 3, E scfxm3 5, E scorpion 1, E scrs8 9, E scsd1 8, E scsd8 9, E sctap1 1, E sctap2 1, E sctap3 1, E share1b -7, E share2b -4, E ship04l 1, E ship04s 1, E ship08l 1, E ship08s 1, E ship12l 1, E ship12s 1, E stocfor1-4, e stocfor2-3, e woodw 1, E Tabela 3. Resultados obtidos na resolução dos problemas por diferentes métodos e parâmetros. recentemente na literatura (ver Introdução). Provavelmente, essas afirmações se baseiam em resultados computacionais antigos, referentes à utilização de variáveis com precisão simples. Analisando-se os dados da Tabela 3, é possível verificar que o método M-grande implícito resultou em um número de iterações menor ou igual que o método M-grande convencional em 17 problemas (41, 5%). Comparando o método de duas fases com o método M-grande implícito, em 33 problemas (80, 5%) esse resultou em um número de iterações menor ou igual ao obtido por aquele. Apenas para os problemas adlittle e sctap3 o método M-grande implícito obteve maior número de iterações que todos os demais. Para os testes com M até 10 5, o método M-grande obteve soluções infactíveis para alguns problemas. Para M = 10 6 todos os problemas foram resolvidos corretamente, podendo levar à conclusão equivocada de que essa seria uma boa escolha para M. Entretanto, um valor adequado para M depende do problema a ser resolvido e, assim, para a resolução de outros problemas, M = 10 6 pode levar a soluções infactíveis. 2202

11 Considerando os testes realizados, é possível verificar que o método M-grande implícito está realmente livre das principais desvantagens relatadas na literatura a respeito do método M-grande convencional e leva, na maioria dos casos, a menos iterações do que utilizando-se o método de duas fases. 5. Conclusões e trabalhos futuros O método M-grande implícito proposto mostrou-se superior ao método M-grande, como pôde ser observado nos resultados obtidos pela aplicação do método na resolução de 41 problemas de otimização linear da biblioteca NETLIB. Sem a necessidade de se definir um valor numérico para M, o método não obtém soluções ótimas equivocadas, não sofre a introdução de erros numéricos e, na maioria dos casos, não leva ao aumento do número de iterações. O método também se mostrou vantajoso com relação ao método de duas fases, devido ao menor número de iterações para a resolução de grande parte dos problemas. As mudanças propostas não dificultam a implementação computacional do método com relação ao método M-grande, já que são necessárias pequenas modificações no método simplex de modo a considerar o parâmetro M implicitamente na realização de comparações durante a resolução do problema. O próximo passo é estender essa abordagem para o método dual simplex, que também pode ser inicializado pelo método M-grande (Koberstein, 2007). Nesse caso, busca-se uma solução básica dual factível e, assim, o problema M-grande é definido de outra maneira. A abordagem também pode ser aplicada na resolução de problemas de otimização linear canalizados, quando incorporada ao método dual canalizado proposto por Sousa et al. (2005). Referências [1] Arenales, MN; Armentano, VA; Morabito, R; Yanasse, HH (2007) Pesquisa Operacional. Editora Campus. [2] Arsham, H (2007) A computationally stable solution algorithm for linear programs. Applied Mathematics and Computation. v.188, p [3] Bazaraa, MS; Jarvis, JJ; Sherali, HD (1990) Linear Programming and Network Flows. 2a ed. John Wiley & Sons Inc. [4] Bertsimas, D; Tsitsiklis, JN (1997) Introduction to Linear Optimization. Athena Scientific, Belmont, Massachusetts. [5] Hu, J (2007) A note on an improved initial basis for the simplex algorithm. Computers & Operations Research, v.34, p [6] Koberstein, A; Suhl, UH (2007) Progress in the dual simplex method for large scale LP problems: practical dual phase 1 algorithms. Computational Optimization and Applications, v.37(1), p [7] Koch, T (2004) The final Netlib-LP results. Operations Research Letters, v.32, p [8] Maros, I (2003) Computational techniques of the simplex method. Kluwer Academic Publishers. [9] Paparrizos, K (1993) An exterior point simplex algorithm for general linear problems. Annals of Operations Research, v.32, p

12 [10] Paparrizos, K; Samaras, N; Stephanides, G (2003) An efficient simplex type algorithm for sparse and dense linear programs. European Journal of Operational Research, v.148(2), p [11] Sousa, RS; Silva, CTL; Arenales, MN (2005) Métodos do tipo dual simplex para problemas de otimização linear canalizados. Pesquisa Operacional. v.25(3), p [12] Vieira Junior, H; Lins, MPE (2005) An improved initial basis for the simplex algorithm. Computers & Operations Research, v.32, p