ESTUDOS COMPUTACIONAIS SOBRE A INFLUÊNCIA DA MUDANÇA DE ESCALA NO MÉTODO SIMPLEX

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1 ESTUDOS COMPUTACIONAIS SOBRE A INFLUÊNCIA DA MUDANÇA DE ESCALA NO MÉTODO SIMPLEX Pedro Augusto Munari Jr Marcos Nereu Arenales Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo, São Carlos, Brasil munari@icmc.usp.br, arenales@icmc.usp.br RESUMO A proposta deste trabalho é analisar como a mudança de escala influencia na resolução de problemas de otimização linear pelo método simplex. As principais técnicas apresentadas na literatura são revisadas e duas outras são propostas. Os problemas da biblioteca Netlib foram resolvidos pelo método simplex com diferentes mudanças de escala e a análise dos resultados foi feita utilizando-se perfis de desempenho, os quais facilitam a exposição e a interpretação das comparações. Os resultados apontam claramente o impacto da mudança de escala para o método simplex, pois reduz o tempo computacional e o número de falhas para a maioria dos problemas. Palavras chave: Mudança de escala. Método simplex. Netlib. Otimização linear. PM ABSTRACT The purpose of this paper is to analyze how scaling affects the solution of linear optimization problems by the simplex method. The main techniques presented in the literature are addressed and two others are proposed. The Netlib problems were solved by the simplex method with different scaling techniques and the results were analyzed using performance profiles, which help showing and interpreting the comparisons among different techniques. The results clearly show the advantage of scaling in the simplex method, since it reduces the running times and the number of failures in most of the problems. Keywords: Scaling. Simplex method. Netlib. Linear optimization. MP XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2946

2 1 Introdução Um problema de otimização linear consiste na minimização ou maximização de uma função linear sujeita a um número finito de restrições lineares. Por convenção, o problema é apresentado na forma padrão: minimizar f(x) = c t x sujeito a Ax = b (1) l x u sendo A uma matriz real m n com posto(a) = m, x, c, l e u vetores n-dimensionais, b um vetor m-dimensional e m < n. A função linear f(x) recebe o nome de função objetivo e as equações do sistema linear Ax = b são chamadas de restrições do problema. Os vetores l e u, com l u, podem ter componentes reais, e + e correspondem, respectivamente, aos limitantes inferiores e superiores de cada variável do problema. Por esta razão, as variáveis são ditas canalizadas. Métodos tipo simplex são a base dos principais softwares utilizados na resolução de problemas de otimização linear. Apesar da complexidade exponencial associada, estes métodos são bastante eficientes na prática. Desde a apresentação do método primal simplex por George B. Dantzig, em 1947, outros métodos utilizando diferentes abordagens foram propostos com o mesmo objetivo, conforme revisado por Todd (2002). Dentre estes, apenas os métodos de pontos interiores, em especial o método primal-dual de barreira logarítmica (Wright, 1997), são atualmente competitivos em relação aos métodos tipo simplex, na resolução de problemas em geral (Bixby, 2002). Os métodos tipo simplex são sensíveis aos erros de arredondamento causados pela representação numérica limitada dos computadores. Em geral, o acúmulo destes erros pode levar a consequências no resultado final, como a obtenção de uma solução ótima sem precisão numérica e a constatação de infactibilidade em um problema factível. Também, pode causar a definição de uma base singular (ou quase-singular) ou a perda de factibilidade, durante a resolução do problema. Em uma implementação eficiente de um método tipo simplex, as principais operações realizadas em uma dada iteração do método envolvem a resolução de sistemas lineares utilizando a decomposição LU da matriz básica. Os erros numéricos que surgem nestas operações são, em geral, dependentes do condicionamento desta matriz. Em sistemas lineares descritos por uma matriz bem-condicionada, o erro relativo é pequeno e não interfere na qualidade do resultado obtido. Entretanto, operações envolvendo matrizes mal-condicionadas podem resultar em soluções totalmente incorretas. A matriz de um sistema linear pode ter suas linhas e colunas multiplicadas por constantes, ou escalares, com o intuito de melhorar o seu condicionamento. Esta técnica mantém inalterado o conjunto de soluções e recebe o nome de mudança de escala. A mudança de escala de matrizes é originalmente utilizada na resolução de sistemas lineares pelo método do Gauss e na decomposição LU (Golub e Van Loan, 1996). No contexto da otimização linear, a mudança de escala consiste em definir as matrizes diagonais R = diag(r 1, r 2,..., r m ) e S = diag(s 1, s 2,..., s n ) e reescrever o problema (1) como: minimizar f(x) = c t x sujeito a RAS x = Rb (2) l x ū XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2947

3 com x = S 1 x, c = cs, l = S 1 l e ū = S 1 u. Os elementos r 1, r 2,..., r m e s 1, s 2,..., s n recebem o nome de fatores de mudança de escala. A matriz R é responsável pela mudança de escala das restrições do problema e a matriz S realiza a mudança de escala das variáveis. O principal objetivo na mudança de escala de um problema é melhorar as propriedades numéricas de sua formulação, evitando que erros de arredondamento prejudiquem a qualidade da solução final. A mudança de escala também pode levar à redução do tempo computacional para a resolução de um problema. Observe que a mudança de escala é aplicada uma única vez sobre os dados do problema, ao invés de considerar a matriz básica de cada iteração. Entretanto, por serem submatrizes da matriz de coeficientes, as propriedades numéricas das matrizes básicas também são melhoradas, em geral. Este artigo está dividido em 5 seções. Na Seção 2, tem-se uma revisão sobre as principais técnicas de mudança de escala e a proposta de duas outras. Algumas considerações sobre a implementação computacional são feitas na Seção 3. Na seção 4, são reportados e discutidos os testes computacionais. As conclusões do trabalho e algumas propostas futuras são dadas na Seção 5. 2 Mudança de escala Tomlin (1975) faz um levantamento sobre as técnicas de mudança de escala e apresenta os resultados obtidos pela utilização em problemas de otimização linear. De acordo com o autor, a mudança de escala não deve ser aplicada a um problema bem formulado do ponto de vista numérico, podendo prejudicar sua resolução. Porém, Benichou et al. (1977) ressaltam que poucos problemas reais são bem formulados neste sentido e, dessa maneira, a resolução de problemas em geral deve recorrer à mudança de escala. As técnicas apresentadas por Tomlin (1975) são classificadas como ótimas ou empíricas pelo autor. A obtenção dos fatores de mudança de escala em uma técnica ótima é feita por meio da resolução de problemas de otimização não-linear, criados a partir dos coeficientes do problema original. Por exemplo, os fatores podem ser calculados de modo que a variância dos expoentes dos novos coeficientes seja a menor possível. Conforme mostrado pelo autor, apesar de ter um custo computacional relativamente alto, a abordagem ótima nem sempre melhora o condicionamento da matriz. Em técnicas empíricas, os fatores de mudança de escala são obtidos por meio de operações simples sobre os coeficientes não-nulos do problema, sempre considerando uma única linha ou coluna para a definição de um fator. Tomlin (1975) descreve três delas: Equilíbrio. Os fatores de mudança de escala de linhas são dados por r i = 1/ max j { a ij }, para i = 1,..., m, e multiplicam suas respectivas linhas na matriz. Em seguida, os fatores de mudança de escala de colunas são calculados por s j = 1/ max i { a ij }, para j = 1,..., n, e multiplicam suas respectivas colunas. Média aritmética. Sejam nr i o número de elementos não-nulos na linha i e nc j o número de elementos não-nulos na coluna j. Para cada linha i = 1,..., m da matriz de coeficientes, é calculado o fator de mudança de escala r i = 1/( j a ij /nr i ) que multiplica os elementos desta linha. Em seguida, para cada coluna j = 1,..., n, o fator de mudança de escala s j = 1/( i a ij /nc j ) deve multiplicar todos os elementos da coluna. Média geométrica. Os fatores de mudança de escala são calculados de acordo com a média geométrica dos elementos, ou seja, r i = 1/(max j { a ij }. min j { a ij }) 1/2 e s j = 1/(max i { a ij }. min i { a ij }) 1/2, para i = 1,..., m e j = 1,..., n. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2948

4 Observe que a mudança de escala por equilíbrio consiste em normalizar as linhas e colunas da matriz considerando a norma infinito. A partir desta ideia, duas outras técnicas podem ser definidas: Norma 1. Os fatores de mudança de escala de linhas r i = 1/ j a ij multiplicam suas respectivas linhas na matriz. Em seguida, os fatores de mudança de escala de colunas s j = 1/ i a ij multiplicam cada coluna. Norma 2. Equivalente ao anterior, porém utilizando os fatores de mudança de escala r i = 1/ j a2 ij e s j = 1/ i a2 ij. Apesar destas duas mudanças de escala não terem sido encontradas na literatura, apresentam bons resultados, como mostrado na Seção 4. Tomlin (1975) ressalta que a combinação das técnicas pode levar a resultados ainda melhores. Baseado em seus testes, o autor recomenda a mudança de escala pela média geométrica seguida por equilíbrio, devido ao bom desempenho obtido. Benichou et al. (1977) propõem uma técnica bastante eficiente que consiste na aplicação iterativa da mudança de escala por média geométrica, utilizando como teste de parada o valor da variância dos nnz elementos não-nulos da matriz, dada por ( 2 ij ij ) a 1 nnz a 2 ij ij O processo é finalizado se a variância calculada for menor que um determinado parâmetro, sugerido como 10 pelos autores, ou se 4 iterações foram executadas. A mudança de escala é utilizada em implementações eficientes do método simplex. Por exemplo, Kim et al. (2003) citam que o software LPAKO (Lim e Park, 2002) utiliza a mudança de escala por média geométrica seguida de equilíbrio e que, de acordo com os testes realizados, essa combinação resultou na redução de cerca de 20% do tempo computacional. Conforme descrito por Suhl (1994), o software MOPS utiliza um processo de mudança de escala iterativo, semelhante ao proposto por Benichou et al. (1977). Bixby (1992) relata que a versão 2.0 do software CPLEX adota, como padrão, a mudança de escala por equilíbrio e que não permite a resolução de um problema sem sua utilização. O uso de técnicas ótimas não foi observado em trabalhos da literatura descrevendo implementações eficientes do método simplex. A razão disto está possivelmente no fato de que estas técnicas apresentam resultados semelhantes às empíricas, apesar de possuírem maior custo computacional para a obtenção dos fatores de mudança de escala. Além disso, apesar de denominadas ótimas, estas técnicas são heurísticas e também podem levar a resultados insatisfatórios como apresentado por Tomlin (1975). Por esta razão, a mudança de escala ótima não é considerada neste trabalho. 3 Implementação computacional As mudanças de escala discutidas foram incorporadas a uma implementação do método simplex em linguagem C, cuja descrição é feita por Munari (2009b). As principais características da implementação são: estruturas de dados para o armazenamento de vetores e matrizes esparsas; inicialização pela técnica de duas fases, partindo da base lógica-mista (variáveis de folga e artificiais); tratamento de degeneração por meio de perturbações; regra de Dantzig como estratégia de pricing; mudanças de escala dadas na Tabela 1; e decomposição e atualização LU esparsa, conforme proposto por Suhl e Suhl (1990, 1993). nnz. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2949

5 Mudança de escala Não realizada Equilíbrio Média aritmética Média geométrica Benichou et al. (1977) Norma 1 Norma 2 Média aritmética seguido de equilíbrio Média geométrica seguido de equilíbrio Média geométrica seguido de norma 2 Símbolo S EQ MA MG BE N1 N2 MAE MGE MG2 Tabela 1: Mudanças de escala implementadas. A compilação foi feita usando o mingw , uma versão do compilador gcc para sistemas operacionais Microsoft Windows 32 bits, disponível na interface Dev-C++. Todos os testes foram executados em um único computador, com processador Intel Core 2 Duo 2.39 MHz, 2 GB de RAM e sistema operacional Microsoft Windows XP. 3.1 Problemas de teste A biblioteca Netlib 1 é a coleção de problemas mais utilizada na literatura de otimização linear para a realização de testes computacionais. Esta biblioteca é formada por problemas que modelam aplicações reais, conforme descrito por Gay (1997), e foram selecionados devido à dificuldade em resolvê-los pelo método simplex. Em geral, estes problemas são esparsos, sendo que a densidade da maioria não chega a 1%. Informações sobre os problemas, como número de linhas e colunas, densidade dos dados e valor ótimo com precisão de 11 dígitos, podem ser encontradas em Munari (2009b). 4 Resultados e discussões Com o intuito de verificar como a mudança de escala influencia no desempenho do método simplex, os problemas de teste foram resolvidos utilizando as mudanças de escala da Tabela 1. A métrica adotada para a comparação do desempenho foi o tempo de resolução dos problemas, considerando apenas a execução do método simplex. Nas Tabelas 2 e 3, são apresentados os tempos obtidos, de acordo com a mudança de escala utilizada. A não obtenção da solução ótima do problema (falha) é indicada por NaN. O tempo de execução das mudanças de escala foi muito baixo e, por essa razão, não foi considerado. A análise dos resultados é feita por perfis de desempenho, uma técnica proposta por Dolan e Moré (2002) e brevemente descrita na sequência. Seja P o conjunto de n p problemas de teste e S o conjunto de n s softwares dados pela implementação do método simplex utilizando cada mudança de escala da Tabela 1. O tempo de resolução de cada problema p P utilizando o software s S é denotado por t p,s. Dado um software s S, a comparação de seu desempenho no problema p P em relação ao desempenho do melhor software é dada pela razão de desempenho: r p,s = t p,s min{t p,s : s S}. Se o software s falhar na resolução do problema p então r p,s é definido como r M, tal que r M = 1 + max{r p, s : p P e s S}. 1 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2950

6 Problema S EQ MA MG N1 N2 BE MAE MGE MG2 25FV BAU3B ADLITTLE AFIRO AGG AGG AGG BANDM BEACONFD BLEND BNL BNL BOEING BOEING BORE3D BRANDY CAPRI CYCLE CZPROB D2Q06C DEGEN DEGEN NaN NaN NaN E ETAMACRO FFFFF FINNIS FIT1D FIT1P FIT2D FIT2P FORPLAN NaN NaN GANGES GFRD-PNC GREENBEA NaN 5624 NaN GREENBEB NaN GROW GROW GROW ISRAEL KB LOTFI MAROS-R MAROS MODSZK NaN NESM PEROLD NaN PILOT.JA PILOT PILOT.WE PILOT NaN PILOT PILOTNOV NaN RECIPE SC SC SC50A SC50B SCAGR SCAGR SCFXM SCFXM NaN SCFXM SCORPION SCRS SCSD NaN NaN Tabela 2: Tempo de execução do método simplex para a resolução dos problemas, utilizando as mudanças de escala indicadas (parte 1). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2951

7 Problema S EQ MA MG N1 N2 BE MAE MGE MG2 SCSD NaN SCSD NaN SCTAP SCTAP SCTAP SEBA SHARE1B SHARE2B SHELL SHIP04L SHIP04S SHIP08L SHIP08S SHIP12L SHIP12S SIERRA STAIR STANDATA STANDMPS STOCFOR STOCFOR TRUSS NaN NaN TUFF VTP.BASE WOOD1P NaN NaN NaN WOODW Tabela 3: Tempo de execução do método simplex para a resolução dos problemas, utilizando as mudanças de escala indicadas (parte 2). O desempenho do software s em relação aos demais é dado pelo perfil de desempenho: ρ s (τ) = 1 n p {p P : r p,s τ}, com. representando o número de elementos no conjunto. O perfil de desempenho ρ s (τ) é uma função que associa a um dado valor τ R, a fração de problemas resolvidos pelo software com um desempenho dentro de um fator τ do melhor desempenho obtido. Também pode ser visto como a probabilidade de que a razão de desempenho r p,s associada ao software s esteja dentro de um fator τ da melhor razão obtida. Com isso, ρ s (τ) corresponde a uma função de distribuição acumulada para a razão de desempenho, dada por: ρ s (τ) = P (r p,s τ : 1 s n s ). Se o conjunto P é suficientemente grande e capaz de representar os problemas provavelmente encontrados na prática, então os softwares com grande probabilidade ρ s (τ) são preferidos. Para a comparação dos softwares, os perfis de desempenho calculados devem ser apresentados em um único gráfico, cuja abcissa represente o parâmetro τ variando no intervalo [1, r M ). Para cada software, uma curva representa seu perfil de desempenho conforme a variação de τ. Como r M pode ser muito maior do que 1, será utilizada escala logarítmica para a apresentação dos perfis de desempenho no gráfico, de acordo com o mapeamento: τ 1 n p {p P : log 2 (r p,s ) τ}. Agora, o fator τ varia no intervalo [0, r M ), com r M = 1 + max{log 2 (r p, s ) : p P e s S}. Na sequência, a análise das técnicas de mudança de escala é realizada em três etapas. Primeiro, é feita a comparação entre as mudanças sem combinações (EQ, MA, MG, N1 e N2) e a não realização da mudança de escala (S). Em seguida, são consideradas as combinações XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2952

8 BE, MAE, MGE e MG2 e a não realização da mudança de escala (S) e, por fim, são comparadas as melhores técnicas das duas etapas. Para o cálculo dos perfis de desempenho e a criação dos gráficos correspondentes, foi utilizada a planilha perfis.xls, versão 1.2, descrita por Munari (2009a). O gráfico de perfis de desempenho considerando a não realização da mudança de escala (S) e a utilização das técnicas EQ, MA, MG, N1 e N2 é dado na Figura 1. Observe que em nenhum dos casos foi possível resolver todos os problemas de forma correta. De acordo com o cenário considerado, a mudança de escala por equilíbrio (E) é uma boa escolha pois apresenta um bom desempenho geral e faz com que 98,9% dos problemas sejam resolvidos, apesar de ter obtido tempo melhor ou igual às demais técnicas apenas para apenas 22% dos problemas. As mudanças de escala por N1 e N2 também levaram a um bom desempenho, semelhante ao obtido por EQ. Para a N2, 97,8% dos problemas foram resolvidos corretamente e 41% em melhor tempo do que utilizando outras mudanças de escala. A não realização de mudança de escala e a utilização da média geométrica (MG) obtiveram um desempenho geral inferior, dado que seus perfis são dominados pelos demais. De acordo com a análise realizada, podese concluir que as mudanças de escala por EQ, N1 e N2 proporcionaram melhor desempenho na resolução dos problemas. S EQ MA MG N1 N2 τ = 0 0,2637 0,2198 0,2418 0,3407 0,3297 0,4176 τ r M 0,9560 0,9890 0,9890 0,9560 0,9670 0,9780 Figura 1: Comparação entres as mudanças de escala EQ, MA, MG, N1 e N2 e a não realização de mudança de escala (S). Os perfis de desempenho correspondentes à execução do método simplex sem a mudança de escala e utilizando as combinações BE, MAE, MGE e MG2 são apresentados na Figura 2. Observe que, nesta comparação, o desempenho quando a mudança de escala não foi utilizada foi inferior à utilização das técnicas. As mudanças de escala BE e MGE fizeram com que todos os problemas fossem resolvidos pelo método simplex, além de contribuírem para um bom desempenho geral. A resolução utilizando a MG2 foi a que obteve o maior número de vitórias, pois cerca de 60% dos problemas foram resolvidos em tempo menor ou igual àquele XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2953

9 utilizando as demais técnicas ou sem utilizar a mudança de escala. Entretanto, quase 4% dos problemas não foram resolvidos quando a MG2 foi adotada. No contexto analisado a partir do gráfico 2, pode-se recomendar a utilização das técnicas BE e MGE na resolução de problemas de otimização linear. A mudança por MG2 também pode ser recomendada, porém um estudo mais aprofundado sobre sua implementação deve ser realizado, com o intuito de obter um meio de eliminar as falhas. Mais uma vez, a realização de uma mudança de escala adequada contribuiu para a melhoria do desempenho do método simplex, principalmente ao possibilitar que todos os problemas fossem resolvidos. S BE MAE MGE MG2 τ = 0 0,2857 0,2747 0,3077 0,2418 0,5934 τ r M 0,9560 1,0000 0,9560 1,0000 0,9670 Figura 2: Comparação entre as mudanças de escala BE, MAE, MGE, MG2 e a não realização de mudança de escala (S). Na Figura 3, é apresentado o gráfico de perfis de desempenho correspondente ao desempenho do método simplex utilizando as seis melhores técnicas de mudança de escala, de acordo com a análise apresentada, sendo elas: BE, MGE, MG2, N1 e N2. Nesta comparação, as mudanças de escala por BE e MGE resultaram em melhores desempenhos do que aqueles obtidos por EQ, N1 e N2, reforçando o desempenho obtido na comparação anterior (Figura 2). A utilização da MG2 também resultou em um bom desempenho relativo, apesar da desvantagem de não ter resolvido todos os problemas. Os resultados indicam que a combinação das técnicas apresentadas na Seção 2 leva a melhores mudanças de escala, como afirmado por Tomlin (1975). Para auxiliar na compreensão dos resultados obtidos, um último teste foi realizado. Para cada problema, foram determinados os elementos com o menor e o maior valor em módulo e calculada a média, considerando os elementos não-nulos da matriz de coeficientes. Os mesmos cálculos foram feitos após a realização de cada uma das mudanças de escala dadas na Tabela 1. Na Tabela 4, são dadas as informações sobre os coeficientes sem a mudança de escala (S) e após a mudança de escala por MG2 e BE. Note que o intervalo de coeficientes é bastante amplo, em especial para os problemas PEROLD, PILOT.WE e XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2954

10 EQ BE MGE MG2 N1 N2 τ = 0 0,2747 0,2857 0,2857 0,4396 0,2857 0,2747 τ r M 0,9890 1,0000 1,0000 0,9670 0,9670 0,9780 Figura 3: Comparação das seis melhores mudanças de escala. PILOT4. Entretanto, após a mudança de escala, os coeficientes tornaram-se menores ou iguais a 1, em módulo, reduzindo a distância entre eles. Assim, esta característica parece ser bastante favorável na resolução dos problemas pelo método simplex. 5 Conclusões De um modo geral, a mudança de escala pode ser considerada uma técnica bastante eficaz na prática, pois melhora as propriedades numéricas do problema e contribui para a redução do número de falhas e do tempo computacional. Conforme observado, as técnicas de mudança de escala têm como característica reduzir a distância entre o valor absoluto dos elementos não-nulos da matriz de coeficientes, tornando-os mais próximos e dentro do intervalo [0, 1], fato que parece favorecer o desempenho do método simplex. De acordo com os resultados apresentados, é recomendada a mudança de escala pela média geométrica seguida de equilíbrio ou pelo procedimento de Benichou et al. (1977). Como trabalho futuro, um estudo mais aprofundado das técnicas de mudança de escala pode ser realizado, com o intuito de evitar falhas na resolução dos problemas. Aspectos envolvendo o cálculo dos fatores de mudança de escala e o ajuste de tolerâncias do método simplex podem ser analisados neste sentido. Agradecimentos Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) por financiar a realização deste trabalho. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2955

11 S MG2 BE Problema Menor Maior Média Menor Maior Média Menor Maior Média 25FV47 0, ,950 5,294 0, ,301 0, ,522 80BAU3B 0, ,740 1,122 0, ,624 0, ,795 ADLITTLE 0, ,300 1,955 0, ,410 0, ,540 AFIRO 0, ,429 1,006 0, ,584 0, ,827 AGG 0, ,000 2,165 0, ,210 0, ,582 AGG2 0, ,000 2,229 0, ,203 0, ,534 AGG3 0, ,000 2,221 0, ,203 0, ,533 BANDM 0, ,000 6,963 0, ,307 0, ,478 BEACONFD 0, ,000 5,727 0, ,139 0, ,313 BLEND 0, ,000 2,555 0, ,326 0, ,577 BNL1 0, ,000 1,931 0, ,415 0, ,631 BNL2 0, ,000 1,662 0, ,440 0, ,696 BOEING1 0, ,585 56,383 0, ,244 0, ,536 BOEING2 0, ,000 17,849 0, ,254 0, ,484 BORE3D 0, ,904 8, ,340 0, ,485 BRANDY 0, ,700 5,091 0, ,226 0, ,462 CAPRI 0, ,745 4, ,347 0, ,549 CYCLE 0, ,618 18,881 0, ,289 0, ,445 CZPROB 0, ,000 2,057 0, ,550 0, ,815 D2Q06C 0, ,700 11,767 0, ,297 0, ,526 DEGEN , , DEGEN , , E226 0, ,200 14,486 0, ,231 0, ,418 ETAMACRO 0, ,000 26,348 0, ,427 0, ,690 FFFFF800 0, ,560 87,669 0, ,276 0, ,510 FINNIS 0, ,000 1,856 0, ,432 0, ,666 FIT1D 0, ,000 46,110 0, ,675 0,209 0, ,528 FIT1P 0, ,000 38,926 0, ,197 0, ,397 FIT2D 0, ,000 17,436 0, ,655 0,218 0, ,532 FIT2P 0, ,000 13,100 0, ,279 0, ,502 FORPLAN 0, ,000 5,171 0, ,226 0, ,541 GANGES 0, ,512 0, ,378 0, ,586 GFRD-PNC , ,086 0, ,599 0, ,773 GREENBEA 0, ,000 0,857 0, ,344 0, ,511 GREENBEB 0, ,000 0,857 0, ,344 0, ,511 GROW15 0, ,174 0, ,157 0, ,195 GROW22 0, ,175 0, ,157 0, ,196 GROW7 0, ,171 0, ,156 0, ,191 ISRAEL 0, , ,573 0, ,147 0, ,348 KB2 0, ,000 40,365 0, ,310 0, ,602 LOTFI 0, ,000 24,784 0, ,375 0, ,526 MAROS-R7 0, ,110 0, ,100 0, ,114 MAROS 0, , ,313 0, ,308 0, ,526 MODSZK1 0, ,190 0,848 0, ,641 0, ,749 NESM 0, ,333 1,867 0, ,258 0, ,651 PEROLD 0, , ,308 0, ,356 0, ,481 PILOT.JA 0, ,788 0, ,243 0, ,401 PILOT 0, ,600 0, ,180 0, ,314 PILOT.WE 0, , ,388 0, ,441 0, ,593 PILOT4 0, , ,949 0, ,275 0, ,349 Tabela 4: Informações sobre os coeficientes de 50 problemas de teste sem mudança de escala (S) e após as mudanças de escala por MG2 e BE. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2956

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