Porque sobem os corvos a 5 metros?

Transcrição

1 Porque soem os corvos a 5 metros? I - Conjectura As gaivotas e os corvos alimentam-se de vários tipos de moluscos erguendo-os no ar e deixando-os cair contra as rochas para arir as conchas. Os iólogos oservaram que os corvos deixam cair um úzio de uma altura média de 5 metros. Os corvos parecem ser selectivos apanham apenas úzios grandes. Por outro lado, são persistentes uma vez que um único corvo pode ser oservado a deixar cair o úzio cerca de 0 vezes. Os cientistas sugeriram que este comportamento é um exemplo de uma tomada de decisão no sentido de optimizar a luta pela sorevivência. Porque será que os corvos voam para uma altura de cerca de 5 metros antes de deixarem cair um úzio contra a rocha? Trajectos possíveis do voo Búzio grande Pensa nesta situação Considera a queda dos úzios lançados pelos corvos. 1. Qual dos trajectos, A ou B, te parece melhor? Porquê?. Que factores influenciam a altura a que os corvos soem para deixarem cair os úzios? 3. Haverá um número mínimo de quedas necessário para arir um úzio? 4. E haverá uma altura máxima ou mínima para deixar cair um úzio? 5. Como pensas que se relaciona o nº de vezes que é necessário deixar cair um úzio com a altura a que o corvo soe? Esoça um gráfico que traduza as tuas conjecturas. 1

2 II Experiência Será que o modo como os corvos atiram os úzios minimiza o seu traalho? O traalho do corvo depende da altura da queda e do número de vezes que o corvo voa até essa altura. Para responder a esta questão é necessário estudar a relação entre a altura da queda e o número de vezes que é lançado o úzio. Reto Zach * realizou a seguinte experiência. Deixou cair várias vezes um úzio de uma altura fixa até a concha partir. Repetiu a experiência considerando diferentes alturas e registou os dados. Esta experiência pode ser simulada com a queda de outros ojectos por exemplo amendoins. Procedimento: Para modelar a queda precisas de um metro e de amendoins descascados. Deixa cair um amendoim de uma altura de 15 cm e repete a operação até que ele se separe em duas partes. Regista o número de vezes que o deixaste cair. Repete o processo com pelo menos oito amendoins e determina o número médio de quedas necessárias. Repete todo o processo agora das seguintes alturas: 0, 5, 30, 35, 40, 50 e 60 cm. Junta os teus dados com os otidos pelos teus colegas e regista-os na taela seguinte. Taela Altura da queda Média Nº de quedas Desvio padrão Pensa... Analisa os dados recolhidos. Compara os resultados com as conjecturas que fizeste. 1. As tuas conjecturas confirmaram-se ou não? Que alterações deves introduzir?. A que altura devem ser lançados mais amendoins para melhorar os valores otidos? Porquê? 3. Como é que este facto se evidencia nos teus dados? 4. Como podes decidir que o número de amendoins lançados a uma dada altura é suficiente? 5. Pensas que há um número mínimo de quedas necessárias para arir um amendoim? E haverá uma altura mínima para que o amendoim se ara? 6. Que tipo de função pensas que podes utilizar para modelar esta situação?

3 III Análise dos dados O traalho de um corvo para partir um úzio (amendoim) depende do seu peso e tamém do do úzio, da altura da queda e do número de vezes que é necessário deixar cair o úzio. Atendendo a que o peso de um corvo e de um úzio é sensivelmente constante, vamos supor que é 1, temos então: Traalho = Altura Número de quedas ou seja W = h x N Para estudar o traalho em função da altura é necessário relacionar o número de quedas (N) com a altura (h) das mesmas. Podes oservar que a representação gráfica dos dados 1 (h, N) faz lemrar o gráfico da função y = que tem x uma assímptota vertical x = 0 e uma horizontal y = 0. Uma expressão geral para as funções deste tipo é y = a +. x c A partir desta família de funções tenta encontrar um modelo que descreva a relação entre a altura (h) da queda e o número de quedas (N) para os dados da tua experiência. Análise do gráfico Usa a tua calculadora e descore os parâmetros a, e c de modo que o gráfico da função y = a + se ajuste ao conjunto de dados. x c Responde às seguintes questões: 1. Qual a influência dos parâmetros a, e c no gráfico?. Qual é a tua conjectura para um om valor de a? Porquê? 3. Usando esse valor de a, quais os valores de e c? 4. Quais são os pontos que te criam mais dificuldade no ajustamento do gráfico aos dados? Como explicas esse facto? 5. Uma função do tipo N = a + é uma conjectura razoável para descrever a situação. Porquê Experimentar diferentes valores para os parâmetros a, e c não é um processo sistemático para produzir um modelo. Diferentes pessoas encontram por este 3

4 processo diferentes modelos. Um om método deve poder ser reproduzido por vários e assentar em processos mais fiáveis. A regressão linear é um método aceitável. Se assumirmos para a o valor 1, é então possível transformar a função racional de modo que a questão a resolver seja a procura de um modelo linear. N = 1 + Porquê? ; N 1 = Porquê?; ( N 1) 1 = Porquê? Assumindo que a primeira equação define correctamente o modelo, porque é que a última equação mostra uma relação linear entre (N - 1) -1 e h? Análise do modelo Introduz na calculadora os dados relativos a (N-1) -1 e pede a função de regressão linear que relaciona h e (N-1) Qual é a equação da recta que relaciona h e (N - 1) -1? Resolve a equação em ordem a N.. Pensas ser necessário assumir um valor para usares este método? Porquê? 3. Quais são as assimptotas horizontais e verticais desta função? Estes valores fazem sentido? Descore, por ti Reto Zach recolheu dados para úzios de diversos tamanhos. Os gráficos destes resultados e as curvas que ele traçou estão no diagrama. 1. O que oservas relativamente às assimptotas dos gráficos para os diferentes tipos de úzios? Explica porque é que as assimptotas devem ser diferentes.. Escreve possíveis expressões analíticas para as funções representadas. 3. Usa os dados relativos aos úzios grandes (em anexo) e procura uma expressão analítica para este caso, usando o método sugerido anteriormente 4

5 IV - Conclusão O traalho de um corvo para partir um úzio (amendoim) depende do seu peso e do do úzio, da altura da queda e do número de vezes que é necessário deixar cair o úzio. Atendendo a que o peso de um corvo e do úzio é sensivelmente constante, supondo que é 1 unidade, temos: Traalho = Altura Número de quedas (W = h N) Usa os teus dados dos amendoins, para completares a taela: Altura da queda Número de quedas Traalho W=N x h Com ase nos valores calculados, entre que alturas é o traalho menor? A relação entre a altura (h) e o número de quedas pode ser usado para investigar o Traalho (W). Usando o método descrito anteriormente para descorir a relação entre h e N para a amostra de amendoins (dados em anexo), encontrámos: 59, 5 N = 1+. h 13, 8 A equação do traalho para os dados da amostra é então: 59, 5 W = h N = h ( 1+ ) h 13, 8 Actividade 1 Usa a calculadora gráfica para encontrares a altura correspondente ao mínimo traalho, com ase na equação do traalho em função da altura otida a partir dos dados da tua experiência. 1. Qual é a altura para a qual o traalho é mínimo?. Compara os valores encontrados através da equação com os valores oservados a partir dos dados. 3. O que acontece para grandes alturas? 4. Quais são as assimptotas para a função do traalho? 5

6 Tanto a função que define o número de quedas (N) em função da altura (h) como a que define o traalho (W) em função da altura (h) são funções racionais que podem ser escritas como quociente de dois polinómios. Há três processos, vulgarmente usados, para representar a mesma expressão racional: Quociente de dois polinómios: Forma factorizada : x ( x 1)( x + 1) = ( x 1) x 1 x + 1 x + 1 x 1 Forma de fracção própria: 1+ x 1 Cada uma das formas evidencia diferente informação acerca da função por ela definida. Actividade Escreve as expressões analíticas das funções N e W em cada uma das formas referidas. Representa graficamente cada função e indica assimptotas e zeros. 1. Que informação oténs imediatamente a partir de cada uma das expressões?. Examina a fracção própria. O que é que esta expressão te diz sore o traalho para alturas muito grandes? E muito pequenas? 3. Pensa: qual é o parâmetro que mais contriui para a quantidade de traalho, em cada caso? 4. Estaelece condições para que a função racional f(x) seja escrita so a forma de fracção própria a partir das funções polinomiais p(x), r(x) e q(x). Completa a frase: se f(x) é uma função racional escrita so a forma de fracção própria usando os r( x) polinómios p(x), r(x) e q(x) tal que f ( x) = p( x) +, então... q( x)... Actividade 3 Reto Zach* realizou a sua experiência com úzios de diversos tamanhos. Estuda tamém os resultados a que chegou Reto Zach para os úzios grandes (dados em anexo). 6

7 Questões para reflexão Analisa a tua equação inicial para o traalho e as diferentes formas de exprimir a mesma expressão de N e de W. Analisa tamém as equações que encontraste para os dados dos úzios grandes. 1. Alguns iólogos pensam que a altura de 5 metros para os corvos é um om exemplo de optimização na luta pela sorevivência. Será que os dados relativos aos úzios grandes suportam esta afirmação? Apresenta argumentos.. O traalho tamém depende do peso dos ojectos. Os corvos a que se refere esta investigação lançam apenas úzios grandes que têm um peso aproximado de 8,8 gramas. O corvo pesa cerca de... gramas. Altera a tua equação de forma a incluíres o factor peso. 3. Como é que a altura onde o traalho é mínimo é afectada pelo facto de incluirmos o peso? 4. Consideraste útil o uso das funções racionais no estudo do traalho dos corvos? Explica como. Notas / Anexos: * Reto Zach Investigador americano que estudou o comportamento dos corvos. Dados de uma amostra, com amendoins: Altura da queda (cm) Nº médio de quedas 17,3 9,5 7,13 5,13 4,15 3,5,63.5 Dados dos úzios grandes: Altura da queda (metros) 1, Nº médio de quedas Algumas notas sore traalho e unidades: O traalho W = p x h é expresso em joules, quando o peso (p) está em newtons e o deslocamento (h) em metros e que 1kg força (peso) = 9,8 newtons. 7