Vericação da Lei de Stefan-Boltzmann Protocolos dos laboratórios de Física Departamento de Física, UAlg

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1 1 Introdução Esta experiência envolve o conhecimento de vários conceitos: corpo negro, corpo cinzento, dependência da resistência na temperatura Assim, esta introdução faz um resumo de cada um destes temas 11 Corpos negros Todos os corpos estão constantemente a emitir e a absorver radiação Não há uma forma universal de descrever o padrão de emissão de um corpo qualquer Mas existe um caso especial, que é o do corpo negro, que tem um padrão bem conhecido Todos os corpos que se possam descrever como corpos negros irradiam da mesma forma Um corpo negro é caracterizado por absorver toda a radiação que nele incide Uma forma clássica de idealizar um corpo negro é considerar uma cavidade pintada de preto e apenas com um estreito orifício de entrada Fig 1: A abertura da cavidade é um modelo de corpo negro: a radiação que entra já não sai e por isso dizemos que o corpo negro absorve toda a radiação que nele incide Consideremos então um corpo negro em equilíbrio térmico com o ambiente (como se sabe, estar em equilíbrio térmico quer dizer estar à mesma temperatura) Vamos ver que o corpo negro também tem de emitir radiação Com efeito, se o corpo negro apenas absorvesse a energia nele incidente, então iria aumentar a sua temperatura até ao innito, e não poderia 1

2 estar em equilíbrio térmico com o ambiente Segue-se que o corpo negro tem de perder uma quantidade de energia igual à que recebe Essa energia é perdida por emissão Segue-se então que um corpo negro em equilíbrio térmico com o ambiente emite uma quantidade de radiação igual à que absorve Com esta armação podemos actualizar a gura 1, para a transformar na imagem mais exacta dada na gura 2 Fig 2: Um corpo negro em equilíbrio térmico com o ambiente emite uma quantidade de radiação igual à que absorve A Física determinou que a potência emitida por um corpo negro em equilíbrio térmico só depende: da sua temperatura absoluta da sua superfície A lei que materializa esta dependência é a chamada Lei de Stefan-Boltzmann: P rad = σat 4, (1) em que P rad quer dizer potência radiativa (em W), A é a área do corpo negro (em m 2 ), T a sua temperatura absoluta (em K) e σ é a constante de Stefan-Boltzmann, que vale σ = Wm 2 K 4 (2) Há, no entanto, um detalhe que se deve esclarecer antes de continuar: é que, em rigor, o corpo que vamos usar não é negro! O corpo que vamos usar é um corpo cinzento 12 Corpos cinzentos A maior parte dos objectos que nos cercam não se podem considerar negros (do ponto de vista da denição física que demos acima), porque reectem ou transmitem parte da radiação incidente (e portanto não a absorvem toda) No entanto, há bastantes corpos que se podem tratar como corpos cinzentos Um corpo cinzento é aquele que emite uma fracção v 11 (Rui Guerra) 2

3 constante da potência emitida por um corpo negro à mesma temperatura, para todos os comprimentos de onda Por outras palavras, se P rad (λ) é a potência emitida pelo corpo no comprimento de onda λ `temperatura T e Prad CN (λ) é a potência emitida pelo corpo negro no mesmo comprimento de onda e à mesma temperatura, então para um corpo cinzento e = P rad(λ) = constante (3) (λ) Prad CN A e chama-se a emissividade do corpo Os conceitos explicados são ilustrados na gura 3 Fig 3: Exemplos de um corpo cinzento, um corpo aproximadamente cinzento e um corpo que P rad (λ) é a potência emitida pelo corpo no não pode ser aproximado como cinzento (λ) é a potência emitida pelo corpo negro no mesmo comprimento de onda λ e P CN rad comprimento de onda e à mesma temperatura O corpo cuja curva P rad (λ)/prad CN (λ) é representada a azul escuro é um corpo cinzento, porque emite sempre a mesma fracção da potência emitida por um corpo negro, para todos os comprimentos de onda O corpo cuja curva é representada a verde é aproximadamente cinzento, porque a fracção de potência que emite é aproximadamente constante O corpo cuja curva é representada a azul mais claro não pode ser identicado como um corpo cinzento porque a fracção de potência que emite relativamente a um corpo negro à mesma temperatura varia com o comprimento de onda considerado Deve notar-se que a constante e da equação (3) pode depender da temperatura: e = e(t ) (4) Isto quer dizer, por exemplo, que a uma temperatura diferente daquela que está implícita no gráco a linha azul escura pode estar ao nível 07 e não 08 Levando este facto em conta, pode ver-se de (1) e (3) que os corpos cinzentos admitem uma aproximação à lei de v 11 (Rui Guerra) 3

4 Stefan-Boltzmann, através da multiplicação pela constante adicional e(t ): P rad = e(t )σat 4 (5) O objectivo deste trabalho é vericar a lei (5) Mas no nosso caso, dada a gama de temperaturas usadas e as características do lamento, a variação de e(t ) com a temperatura é relativamente lenta Assim, a equação (5) ca, aproximadamente, P rad = eσat 4 (6) O apêndice A detalha um pouco mais a questão do corpo cinzento, para os alunos interessados em perceber melhor qual é a relevâcia de e depender de λ e/ou de T 13 Relação entre a resistência e a temperatura de um lamento de metal No decurso da experiência será necessário estimar a temperatura do lamento de uma lâmpada (é o lamento da lâmpada que vai funcionar como corpo cinzento) A forma de o fazer é usar o facto de que há uma relação entre a temperatura e a resistência eléctrica de um o metálico Do ponto de vista microscópico, e numa descrição simplista, podemos dizer que o aumento da temperatura promove o aumento das vibrações da rede iónica e da velocidade média de deriva dos electrões, o que aumenta a probabilidade de colisões e portanto a resistência da rede à passagem dos electrões No caso dos metais, começamos por assumir que há uma relação entre a resistência (R) e a temperatura (T ): R = R(T ) (7) Podemos fazer uma expansão de Taylor para a função em torno da temperatura ambiente, T = T 0 : R(T ) = R(T 0 ) + dr dt (T T 0 ) + 1 d 2 R T =T0 2! dt 2 (T T 0 ) 2 + T =T0 onde se deniu = R(T 0 ) [ 1 + α T + β( T ) 2 + ], (8) α = dr/dt T =T 0 R(T 0 ) e β = d2 R/dT 2 T =T0 (9) 2R(T 0 ) α é o coeciente de temperatura da resistividade, que tem unidades C 1 O coeciente α está tabelado para vários condutores e ligas na tabela 1 Como a gama de temperaturas que vamos usar é bastante alargada devemos usar a expansão de Taylor em segunda ordem, e portanto a expressão que efectivamente vamos usar para relacionar R e T é (8) Na verdade vamos ainda reescrever esta expressão de uma forma v 11 (Rui Guerra) 4

5 metal/liga α ( C 1 ) Cu W Ni 0006 Fe 0005 Pt 0003 latão (07 Cu + 03 Zn) constantan (06 Cu + 04 Ni) ferro-níquel (075 Fe Ni) Tab 1: Valores do coeciente de temperatura da resistividade para vários metais e ligas ligeiramente diferente Vamos assumir que T 0 = 0 C e portanto T = T T 0 = τ, em que τ representa a temperatura em graus Celsius Assim, a expressão nal ca com R(τ) = R 0 (1 + ατ + βτ 2 ), (10) α = C 1 e β = C 2, (11) os valores tabelados para o tungsténio É importante voltar a frisar bem que R 0 é a resistência a 0 C e portanto, para aplicar esta expressão, teremos de saber o valor de R 0 Da análise desta tabela vericamos que os metais têm um valor de α bastante maior do que o das ligas, o que quer dizer que a sua resistência varia muito mais com a temperatura Por isso os metais podem ser usados para fazer termómetros com base na variação da resistência Por outro lado as ligas são mais indicadas em aplicações onde a resistência deve variar o menos possível com a temperatura 14 Termopilhas Nesta experiência é preciso medir a potência radiada pelo corpo negro O aparelho que vamos usar para fazer essa medida chama-se termopilha Uma termopilha é constituída por um conjunto de termopares em série e gera uma tensão de saída proporcional à potência óptica que entra através da sua janela Devemos então começar por ver o que é um termopar Um termopar é um transdutor conceptualmente simples que se baseia no efeito de Seeback, que diz o seguinte: Se dois os de metais diferentes forem unidos pelas suas extremidades, formando um circuito, e se as duas junções forem mantidas a temperaturas diferentes, uma corrente eléctrica passará no circuito O efeito de Seebeck pode então ser usado para formar um termopar, tal como está ilustrado na gura 4a: um metal está representado a vermelho e o outro a preto A temperatura v 11 (Rui Guerra) 5

6 das junções é respectivamente T 1 e T 2 e gera-se uma diferença de potencial aos extremos do circuito Essa diferença de potencial é proporcional à diferença de temperaturas, V T 1 T 2, e pode ser medida com um voltímetro Na gura 4b vemos o esquema de uma termopilha: é constituída por termopares ligados em série As junções do lado direito estão em contacto térmico com um bloco de material absorvente preto que está à temperatura T 2 ; as junções da esquerda estão a uma temperatura xa e bem conhecida T 1 A placa absorvente está bem isolada do resto da termopilha A radiação térmica incidente na pilha aquece a placa absorvente e as junções nela embutidas A temperatura da placa é tanto maior quanto maior a potência incidente Na verdade a temperatura da placa aumenta linearmente com a potência incidente Por isso, a voltagem de saída da termopilha varia de forma directamente proporcional com a potência óptica incidente: V tmp P rad = eσat 4, (12) em que V tmp é tensão de saída da termopilha e T é a temperatura do corpo emissor (não confundir com T 1 e T 2, que são as temperaturas relevantes na termopilha) Portanto, a tensão de saída da termopilha é uma medida directa da potência emitida pelo corpo cinzento 1 Fig 4: a) termopar b) termopilha 1 Em rigor a temperatura da placa da termopilha resulta do balanço entre a potência absorvida, que contribui para o aquecimento, e a potência emitida pela própria placa, que contribui para o arrefecimento Assumindo que a placa é um corpo negro, V tmp P abs P em at 4 bt 4 p (13) em que T é a temperatura do corpo cinzento que queremos medir (o lamento), T p é a temperatura da placa da termopilha e a e b são coecientes de proporcionalidade que dependem da geometria do sistema No entanto verica-se certamente que T T p e portanto desprezaremos a contribuição de T p v 11 (Rui Guerra) 6

7 2 Material A montagem experimental para a vericação da lei de Stefan-Boltzmann é mostrada na gura 5 A sub-gura de cima tem a fotograa de uma montagem realizada em anos anteriores e a sub-gura de baixo tem o esquema da montagem A numeração abaixo tem correspondência na numeração das duas guras 1 Lâmpada de lamento de tungsténio, 13 VDC 2 Termopilha de Moll 3 Fonte de alimentação 15 VDC 4 Amperímetro (para medir a corrente que atravessa a lâmpada) 5 Voltímetro (para medir a tensão aos terminais da lâmpada) 6 Amplicador (opcional) 7 Voltímetro (para medir a tensão à saída do amplicador ou, se este não for usado, directamente à saída da termopilha) 8 Resistência de 82 Ω (apenas representada na gura 7) Fig 5: Montagem experimental: fotograa da montagem Em baixo: esquema correspondente Os números correspondem à lista de material v 11 (Rui Guerra) 7

8 Fig 6: Montagem experimental: esquema correspondente Os números correspondem à lista de material 3 Procedimento experimental 1 Registe o valor da temperatura da sala 2 Monte em primeiro lugar o circuito da gura 7 Este circuito destina-se a medir a resistência do lamento à temperatura ambiente Para isso é necessário que a corrente que atravessa o lamento seja tão fraca que não o aqueça A resistência é introduzida para limitar a corrente Fig 7: Montagem experimental para a determinação de R(τ amb ) A numeração coincide com a das guras anteriores e com a da lista de material Fixe a corrente em 20 ma e faça a leitura do voltímetro Repita o procedimento de 20 em 20 ma até aos 100 ma, fazendo a correspondente leitura da tensão em cada passo v 11 (Rui Guerra) 8

9 3 Monte de seguida o circuito da gura 6 O lamento deve car a uma distância de 6 cm da termopilha Os eixos de simetria da termopilha e da lâmpada devem car perfeitamente alinhados 4 Se a montagem incluir o amplicador, pergunte ao professor qual é o factor de amplicação adequado e regule o amplicador para esse valor 5 Apenas para as montagens com amplicador: desligue o amplicador da termopilha e curte-circuite a sua entrada (ligando as duas pontas de um mesmo o às entradas do amplicador) e verique o valor da saída do amplicador no voltímetro #7 Se o amplicador estiver bem regulado, a saída deve ser 0 (zero) Se a saída não for 0 (diz-se que há um oset), então deve usar o botão de ajuste de zero para colocar a saída a zeros Volte a ligar o amplicador à termopilha, como indicado na gura 6 6 Realize uma leitura do fundo, isto é, uma leitura da tensão da termopilha com o lamento desligado Esta leitura dá a contribuição do ambiente e será retirada às leituras seguintes no tratamento dos dados 7 Aplique uma tensão de 1 V aos terminais do lamento Efectue as leituras do amperímetro #4 e dos voltímetros #5 e #7 Tenha em atenção que a leitura do voltímetro #7 pode levar algum tempo a estabilizar Espere o tempo necessário para efectuar a leitura 8 Aumente a tensão para 15 V e repita o procedimento 9 Varie a voltagem em passos de 05 V até aos 12 V (Nota importante: conrme com o professor qual é a tensão máxima que se pode aplicar, já que por vezes, por ruptura do stock de lâmpadas, é necessário recorrer a lâmpadas de menor voltagem) 10 Repita todo procedimento mais duas vezes (ie, os passos 5 9), de forma a ter três réplicas das medições 4 Tratamento dos dados 1 Coloque numa tabela os valores de tensão e corrente obtidos no ponto 2 do procedimento 2 Determine a resistência do lamento à temperatura ambiente, R(τ amb ), através de uma regressão linear entre os valores de tensão e corrente desta tabela (τ amb é a temperatura ambiente, correspondente à temperatura anotada no passo 1 do procedimento) 3 De seguida determine o valor de R 0, o valor da resistência em τ = 0 C Para isso basta usar a expressão (10) e inverter em ordem a R 0 : R 0 = R(τ amb ), (14) 1 + ατ amb + βτamb 2 v 11 (Rui Guerra) 9

10 4 De seguida construa uma tabela para mostrar as três séries de valores (réplicas) referidas no ponto 10 do protocolo: V lamp (V) I lamp,1 (A) I lamp,2 (A) I lamp,3 (A) V tmp,1 (V) V tmp,2 (V) V tmp,3 (V) (V em #5) (I em #4) (I em #4) (I em #4) (V em #7) (V em #7) (V em #7) réplica 1 réplica 2 réplica 3 réplica 1 réplica 2 réplica Na tabela seguinte deve mostrar as médias e os desvios médios relativos às três réplicas: V lamp (V) Ī lamp (A) (I lamp ) (A) Vtmp (V) (V tmp ) (V) valor desvio valor desvio médio médio médio médio A última tabela tem as seguintes entradas: V lamp (V) I lamp (A) R(τ) (Ω) T (K) ln(t ) ln(v tmp ) [ln(v tmp )] 1 12 As colunas preenchem-se da seguinte forma: (a) Coluna V lamp : são os valores de tensão aplicada à lâmpada, de 1 a 12 V, tal como nas tabelas anteriores (b) Coluna I lamp : é o valor médio Īlamp da tabela anterior (c) Coluna R(τ): obtém-se pela lei de Ohm e pelas duas colunas anteriores: R(τ) = V lamp I lamp (15) é a resistência da lâmpada à temperatura τ (neste passo ainda não sabemos quanto é τ; vai ser determinado a seguir) v 11 (Rui Guerra) 10

11 (d) Coluna T : nesta coluna inscrevem-se os valores da temperatura absoluta do lamento A temperatura é determinada através da inversão de (10) em ordem a τ e depois adicionando 273 ao resultado, para obter o valor nal em graus Kelvin: [ T = ( ) ] R(τ) α 2β 2 + 4β 1 α (16) R 0 Nesta expressão os valores de R(τ) são obtidos da coluna anterior e R 0 do passo 3 (e) Coluna ln(v tmp ): contém os valores obtidos por aplicação do logaritmo natural aos valores médios de V tmp, obtidos na tabela anterior (f) Coluna (ln(v tmp )): trata-se da incerteza na medida de ln(v tmp ) Pela aplicação da propagação de erros vem (ln(v tmp )) = d(ln(v tmp ) dv tmp V tmp = V tmp, (17) V tmp em que V tmp é obtido da tabela anterior 7 Faça um gráco com as últimas três colunas da tabela: ln(v tmp ) em função de ln(t ), com barras de erro verticais dadas por (ln(v tmp )) Este gráco corresponde a fazer o gráco de ln(p rad ) em função de ln(t ), pois V tmp P rad [ver (12)] 8 Observe o gráco e averigue se este contém uma zona constante, isto é,uma série de pontos que dão origem a uma linha de tendência recta e horizontal Se assim for, deve eliminar estes pontos do gráco, pois correspondem à situação em que a potência óptica da lâmpada é pequena quando comparada com a potência recebida do ambiente Refaça então o gráco sem estes pontos 9 Faça a regressão dos valores de ln(v tmp ) aos valores de ln(t ) Idealmente, o declive da recta deve ser 4, pois este é o expoente da lei de Stefan-Boltzmann 2 Comente o valor obtido 2 Com efeito, se tivermos uma relação entre duas variáveis x e y na forma então temos, por aplicação de logaritmos, y = ax b, (18) ln y = ln(ax b ) = ln a + b ln x, (19) o que mostra que a relação entre ln y e ln x é linear e tem por declive o valor de b, ou seja, o valor do expoente na expressão inicial v 11 (Rui Guerra) 11

12 Apêndice A A questão do corpo cinzento em mais detalhe Já vimos que a potência emitida por um corpo negro é P (T ) = σat 4, (20) em que σ = Wm 2 K 4 é a constante de Stefan-Boltzmann, A é a área radiante e T a temperatura do corpo negro Denindo a exitância radiante M como a energia radiante emitida por unidade de tempo e unidade de área (Js 1 m 2 =Wm 2 ), temos M(T ) = σt 4 (21) Sabemos também das aulas teóricas que a lei de Planck dá a distribuição espectral da radiação do corpo negro: 2πhc 2 M λ (λ, T ) = λ 5 (e hc/λk BT ) 1, (22) em que M λ (λ, T ) é a exitância radiante espectral, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz e k B a constante de Boltzmann A integração de (22) em todos os comprimentos de onda dá (21) Para um corpo qualquer em equilíbrio térmico à temperatura T, a potência emitida é, em geral, inferior àquela que seria emitida se fosse um corpo negro Dene-se então a emissividade espectral, ɛ(λ, T ) = M λ(λ, T ) M λ,cn (λ, T ), (23) em que o subscripto cn quer dizer corpo negro Para um corpo não negro temos então M λ (λ, T ) = ɛ(λ, T )M λ,cn (λ, T ) (24) Devido à depedência adicional em λ através de ɛ(λ, T ), a integração de (24) em todos os comprimentos de onda não conduz a uma expressão do tipo (21) Assim, a lei de Planck não é válida para um corpo qualquer No entanto, se a emissividade não depender de λ, então ɛ(λ, T ) = ɛ(t ), (25) 2πhc 2 M λ (λ, T ) = ɛ(t )M λ,cn (λ, T ) = ɛ(t ) λ 5 (e hc/λk BT ) 1 (26) Um corpo cuja emissividade é independente ddo comprimento de onda chama-se corpo cinzento A exitância espectral de um corpo cinzento é proporcional à de um corpo negro a uma dada temperatura, isto é, a uma dada temperatura o espectro da radiação emitida v 11 (Rui Guerra) 12

13 por um corpo cinzento é obtido a partir do espectro do corpo negro por uma simples multiplicação No entanto, como ɛ = ɛ(t ), essa proporcionalidade varia com a temperatura, ou seja, pode ser, por exemplo, 07 para 5000 K e 06 para 3000 K A integração de (26) em todos os comprimentos de onda dá de novo a lei de Stefan- Boltzmann a menos da emissividade constante: M(T ) = ɛ(t )σt 4 (27) Isto quer dizer que, em geral, a exitância de um corpo cinzento não varia com T 4, devido à dependência adicional introduzida por ɛ(t ) Em muitos casos, porém, a emissividade de um corpo cinzento depende muito pouco de T, pelo menos numa dada gama de temperaturas, pelo que podemos tomar ɛ(t ) = ɛ = constante (28) Note-se que ɛ(t ) só pode variar entre 0 e 1 e portanto, para a maior parte dos casos a variação de ɛ só se dá numa gama relativamente estreita, por exemplo, entre 1000 K e 5000 K Fica claro que a variação de ɛ com T é necessariamente lenta Podemos então escrever M(T ) = ɛσt 4 σ T 4, (29) o que é a lei de Stefan-Boltzmann com uma constante diferente, σ = ɛσ No nosso trabalho vamos usar o lamento de tungsténio de uma lâmpada como corpo cinzento Verica-se que para o lamento de tungsténio, e na gama relativamente restrita de temperaturas que vamos usar, ɛ varia entre aproximadamente 04 e 05 O nosso objectivo é vericar que a exitância do lamento depende de T 4 v 11 (Rui Guerra) 13