Notas para a experiência da condutividade térmica

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1 Notas para a experiência da condutividade térmica 6 de Outubro de Transferência de calor Existem três mecanismos de transferência de calor: convecção, condução e radiação. Vamos ver cada um deles em mais detalhe. 1.1 Convecção A transferência de calor por convecção resulta do movimento da substância aquecida. Por isto deve entender-se o movimento de quantidades macroscópicas da substância. Isto é importante para perceber a diferença entre condução e convecção. Suponhamos, por exemplo, que temos uma placa aquecida em contacto com o ar. As moléculas de ar que chocam com a placa cam com maior energia térmica. Quando estas moléculas chocam com outras transferem-lhes parte da energia que ganharam da placa. Através de colisões sucessivas a energia térmica da placa vai sendo transferida para o ar, para regiões cada vez mais afastadas da placa quente. O processo que acabou de ser descrito é um processo de condução através do ar. Se apenas houvesse este processo o aquecimento do ar seria muito lento. Na verdade dá-se um movimento de conjunto das moléculas do ar, e é o movimento em bloco de massas de ar que correponde ao transporte por convecção. O aquecimento de uma casa através de uma lareira, por exemplo, é um caso de transferência de calor por convecção. Mas anal como se processa a convecção? Vejamos o que acontece com a chama de uma vela: O ar aquecido na chama aquece, expande e torna-se mais leve. Portanto sobe. A massa de ar quente que sobe transporta então calor, que vai transferir para as zonas mais distantes da atmosfera é a transferência de calor por convecção. As massas de ar quente vão para zonas mais frias da atmosfera e vão contribuir para o aumento da sua temperatura. A convecção pode ser natural ou forçada: 1

2 Figura 1: O aquecimento de uma casa por convecção Convecção natural: quando o movimento do uido resulta de diferenças de densidade, como no exemplo do arà volta de uma chama. Convecção forçada: quando o movimento do uido é forçado através de uma ventoínha ou bomba. Este é o caso dos recuperadores de calor em que se acopla uma ventoínha à lareira, para forçar a convecção e torná-la mais eciente. O movimento das massas de uido geralmente organiza-se de acordo com um padrão de correntes, a que chamamos correnteds de convecção. Geram-se correntes de convecção à volta de um radiador, ou numa panela de água a aquecer ao lume: No caso do aquecimento da água as correntes de convecção desempenham um papel fundamental para que se possa atingir a temperatura de ebulição. As massas de água quente sobbem e as de água fria descem. Assim, a homogeneização da temperatura do liquído é muito eciente, pois em cada instante as massas mais frias descem e cam em contacto com o fundo da panela, aquecendo de imediato. A convecção é uma forma de garantir que todo o liquído é aquecido ao memso tempo. Se a convecção não existisse o tempo necessário para ferver um litro de água seria certamente muito maior do que é. As correntes de convecção também desempenham um papel importante na atmosfera. A brisa marítima, por exemplo, explica-se através do padrão das correntes de convecção. Como se pode ver na gura, a terra aquece, e com ela as camadas de ar que estão em contacto. O ar quente vai então subir por convecção e arrefecer na atmosfera. Desce então para o mar e, claro, vai aquecendo na descida. No entanto o mar não está 2

3 Figura 2: O ar aquecido pela chama torna-se mais leve e sobe Figura 3: Convecção forçada tão quente como a terra e por isso o ar que se sente chegar do mar é mais fresco do que o ar que está na terra. Finalmente um exemplo importante relacionado com o congelamento da água. Acima de 4 o C pode dar-se a homogeneização da temperatura da água por convecção. Aos 4 o C, no entanto, dá-se o congelamento da zona supercial da água (e T>4 a C nas camadas mais profundas). Como o gelo é menos denso que a água, o gelo utua. Assim, o gelo está a uma temperatura mais baixa do que a água por baixo, mas á não segue a corrente de convecção. Desta forma a ágia por baixo mantém-se acima dos 4 o C e não congela. É este facto que permite aos lagos congelarem por cima mas manterem vida por baixo! 3

4 Figura 4: Um recuperador de calor usa convecção forçada Figura 5: Correntes de convecção à volta de um radiador 1.2 Radiação Todos os corpos emitem e absorvem energia electromagnética. A potência irradiada por um objecto em equilíbrio térmico é dada pela Lei de Stefan: P = σaet 4, (1) em que P é a potência emitida em W, σ = Wm 2 K 4 é a constante de Stefan Boltzmann, A é a área radiante (m 2 ) e e é a emissividade (0 e 1). Esta é a potência irradiada em todos os comprimentos de onda. Em equilíbrio térmico um corpo tem de absorver tanta energia como aquela que emite. Com efeito, se assim não fosse a sua temperatura iria baixar até 4

5 Figura 6: Correntes de convecção na água aquecida dentro de uma panela. T=0 o K!. Portanto, para todos os corpos em equilíbrio térmico a expressão (1) é também válida para a potência absorvida. Se num dado instante um corpo está a uma temperatura T e o meio ambiente a uma temperatura T 0, então nesse instante a potência emitida é P e = σaet 4 e a potência absorvida é P a = σaet 4 0. Assim, a taxa global de variação da energia é dada por P = P e P a = σae(t 4 T 4 0 ). (2) A temperatura vai então variando até que esta diferença se anule e o corpo entre em equilíbrio. Um corpo negro é um corpo idealizado que absorve toda a energia que nele incide. Isto quer dizer que P a = σat 4 (onde se fez e = 1) e portanto também P e = σat 4. Na prática podemos fazer uma boa aproximação a um corpo negro através de uma abertura numa cavidade. A radiação que entra é absorvida ao m de várias reexões no interior da cavidade. Mas se e = 1, então o corpo negro também é um emissor ideal. Da abertura do modelo de corpo negro é emitida a mesma quantidade de energia que é recebida. Em (1) P é a potência irradiada em todo o espectro. Mas como se distribui essa potência ao longo do espectro? Dene-se I(λ, T )dλ como a potência emitida à temperatura T por unidade de área no intervalo de comprimentos de onda dλ. Planck mostrou que para um corpo negro se tem I(λ, T ) = 2πhc 2 λ 5 (e hc/λk BT ) 1, (3) 5

6 Figura 7: Correntes de convecção atmosféricas. Figura 8: Porque é que nos lagos congelados há agua na camada inferior. em que h = Js é a constante de Planck, c é a velocidade da luz e k B a constante de Boltzmann. A ilustração da fórmula de Planck está ilustrada na gura 11. Nesta gura vemos as curvas da intensidade da radiação para várias temperaturas. Observa-se o deslocamento do máximo de intensidade para os comprimentos de onda mais pequenos quando T aumenta. Isto já tinha sido observado por Wien, antes de Planck ter formulado a sua explicação. A lei do deslocamento 6

7 Figura 9: Todos os corpos emitem radiação. Figura 10: Um modelo de corpo negro. de Wien diz que a temperatura do corpo e o pico da distribuição de intensidade da radiação estão relacionados por λ max T = m K. (4) Qual é o comprimento de onda pico para a radiação que o nosso corpo emite? 1.3 Condução Já falámos brevemente da transferência de calor por condução. Na condução a transferência é feita através dos movimentos individuais das partículas da substância. Suponhamos uma qualquer substância. Em equilíbrio térmico, a uma dada temperatura, as suas partículas microscópicas vibram em torno das suas posições de equilíbrio com uma dada amplitude. Quando se dá o aquecimento de uma 7

8 Figura 11: Aplicação da fórmula de Planck à determinação da temperatura das estrelas. dada zona, então as partículas microscópicas dessa zona adquirem maior agitação térmica, isto é, maior amplitude de vibração. No caso de electrões livres isto quer mesmo dizer maior velocidade média e no caso de iões/moléculas xas quer dizer energia de vibração, rotação ou ainda de vibração da rede. Em qualquer dos casos, estas partículas vão transferem a energia térmica às outras zonas da substância através de colisões com outras partículas ou por propagação das vibrações da rede. Figura 12: Condução de calor numa barra. É o que se passa com o exemplo da gura 12: quando a barra começa a ser aquecida na extremidade da esquerda, os electrões e os iões do lado esquerdo começam a adquirir energia térmica, passando a vibrar mais fortemente. Através de colisões a agitação térmica vai-se propagando a toda a barra, e ao m de algum tempo toda a barra está mais quente. A diferença entre convecção e condução está em que a condução dá-se apenas 8

9 devido ao movimento microscópico aleatório, enquanto a convecção dá-se através do movimento macroscópico de massas de uido. A razão porque algumas substâncias conduzem muito bem o calor e outras não está na sua estrutura microscópica. De uma forma geral todas as substâncias conduzem calor através das vibrações atómicas, moléculares ou iónicas. No entanto, é fácil de entender que o processo de conducção é muito facilitado se existirem electrões livres, pois as trocas através dos choques são muito mais ecientes. Assim, Metais: bons condutores, pois têm electrões livres. Isolantes: em geral não têm electrões livres e por isso conduzem mal o calor. gases: são maus condutores térmicos porque são muito rarefeitos, tornando a transferência de calor por colisões ineciente. Assim, nos gases a transferência é feita sobretudo por convecção. A conducção dá-se apenas se existe uma diferença de temperatura entre dois pontos do material. Consideremos então a gura 13. Figura 13: Fluxo de calor numa barra. Uma barra de uma dada substância, de comprimento x e secção recta A, tem as suas extremidades a temperaturas diferentes, T 1 e T 2. Experimentalmente observa-se que a o calor transferido no intervalo de tempo t obedece à proporcionalidade Q t = A T x, (5) 9

10 em que T = T 2 T 1. Tomamos então valores innitésimais e expressamos a proporcionalidade através de uma constante K, que é a condutividade térmica (Wm 1 K 1 ou Wm 1o C 1 ): Q t = KAdT dx. (6) Esta é a lei da condução de calor. A tabela 1 dá valores típicos da condutividade térmica de alguns materiais comuns. Porquê o sinal ()? Consideremos uma barra alinhada com o eixo dos xx, com os extremos em x inf e x sup, x inf < x sup. Então T = T (x sup ) T (x inf ). Se T > 0 então a barra está mais quente à direita e o uxo de calor dá-se da direita para a esquerda, isto é, tem sinal negativo. A equação (6) está na forma diferencial, e isso quer dizer que dt/dx pode variar de ponto para ponto. Vejamos agora o caso em que o condutor de calor está em contacto com dois reservatórios de calor, tal como ilustrado na gura 14. Figura 14: Fluxo de calor numa barra colocada entre dois reservatórios de calor. Assume-se ainda que a barra que liga os dois reservatórios de calor está isolada, de forma que as trocas de calor da barra são feitas apenas com os reservatórios e não com o meio ambiente. A barra tem comprimento L e o reservatório quente está à temperatura T 2, enquanto que o reservatório frio está à temperatura T 1. Quando se atingir o equilíbrio térmico: 10

11 os extremos da barra estão à temperatura do reservatório com o qual estão em contacto (por denição de reservatório); a taxa de transferência de calor tem de ser constante (por denição de equilíbrio), mas não zero (porque as temperaturas nos extremos são diferentes); de onde se conclui que o gradiente dt/dx é constante. Ora, se o gradiente é constante podemos escrever Portanto a taxa de transferência de energia é dt dx = T x = T 1 T 2. (7) L Q t = KAT 2 T 1. (8) L É esta expressão para a transferência de energia que vamos usar no trabalho prático. Material K (Wm 1 K 1 ) Material K (Wm 1 K 1 ) Prata 406 Hidrogénio a 0 o 0.14 Cobre 385 Hélio a 0 o 0.14 Latão 109 Oxigénio Alumínio 205 Gelo Seco 0.1 Ferro 65 Fibra de vidro 0.04 Aço 50.2 Tijolo de isolamento 0.15 Chumbo 34.7 Tijolo vermelho 0.6 Mercúrio 8.3 Cortiça 0.04 Gelo 1.6 Lã 0.04 Vidro 0.8 Fibra de rocha 0.04 Cimento 0.8 Esferovite 0.01 Água a 20 o 0.6 Madeira Asbesto 0.16 Ar a 0 o Tabela 1: Condutividade térmica de materiais habituais (Tabela retirada de Young, Hugh D., University Physics, 7th Ed., Addison Wesley (1992) através da página ) 11